Base cartésienne

Y.CHAIR Page 1

Base cartésienne

Base cylindrique

Base sphérique

APPLICATION: Une araignée assimilable à un point matériel M se déplace par rapport au repère Oxyz selon les équations horaires cartésiennes :

x(t) = a.sin(ωt), y(t) = a.sin(ωt+π /3), z(t) = a.sin(ωt+2π/3) (a et ω étant deux constantes).

1. Montrer que la trajectoire de M est contenue dans un plan passant par O et donner son équation cartésienne.

2. Montrer que l'araignée se déplace sur un cercle de centre O, et donner son rayon.

3. Calculer la norme du vecteur vitesse de l'araignée à chaque instant. Comment peut-on qualifier le mouvement ?

4. Calculer la période T de ce mouvement.

Y.CHAIR Page 3 ---

Lois de Coulomb :

Soit R la réaction du support solide sur le point matériel M. On a : R=R_T+R _N

- R_N: la composante normale (au support) de la réaction Rdu support solide sur le point matériel M.

- R_T: la composante tangentielle (au support et au vecteur vitesse) de la réaction R.

→ Tant que le solide modélisé par le point matériel M ne glisse pas par rapport au support on a:

RT ≤ µS RN

µS : le cœfficient de frottement statique pour le contact solide/support étudié.

→ Lorsque le solide M glisse par rapport au support on a:

RT = µD RN

µD : le cœfficient de frottement dynamique pour le contact solide/support étudié.

Remarque :

En toute rigueur µS > µD, mais lorsqu’un énoncé parle d’un seul cœfficient de frottement µ, il s’agit du cœfficient de frottement dynamique : µ = µD.

→ Déterminer le module de la réaction R du support en fonction de m, g, µ et α dans le cas schématisé ci-dessus.

--- Application : Le pendule simple

On considère le mouvement d’un pendule simple qui oscille dans un milieu où les forces de frottement sont inexistantes. Le pendule est constitué d’un objet ponctuel M de masse m, accroché à un point fixe O par l’intermédiaire d’un fil rigide de longueur ℓ et de masse négligeable.

On note θ l’angle que fait le fil avec la verticale. Le champ de pesanteur terrestre gest considéré uniforme. A t = 0 on écarte le pendule de sa position d’équilibre d’un angle θ0 puis on le lâche sans vitesse initiale.

1- En utilisant la 2^éme loi de Newton, établir l’équation différentielle du mouvement.

2- Résoudre l’équation différentielle du mouvement dans le cas des petites oscillations.

3- Établir et tracer l’équation de la trajectoire de phase dans le plan ( , ) ^• et dans le plan ( , )

o

 

•

.

Application : Particule soumise à un frottement fluide :

Une particule matérielle est lâchée sans vitesse initiale en un lieu ou règne un champ de pesanteur uniforme.

La particule est soumise, en plus de la pesanteur, à une force de frottement de l’air proportionnelle au carrée de sa vitesse, d’intensité f = k V² et de sens opposé au mouvement. Le référentiel d’étude est un référentiel terrestre considéré galiléen.

Le mouvement de la particule est repéré sur un axe Oz descendant, d’origine O (Position initiale de la particule) et de vecteur unitaire e_z .

1- Écrire l’équation du mouvement de chute. Quelle est la vitesse limite V∞ atteinte par la particule ? 2- Exprimer la vitesse de la particule à l’instant t, en fonction de k, m et V∞.

3- Quelle est l’expression de la distance parcourue d à l’instant t en fonction de k, m et V∞. On rappelle que : ₂^2a ₂ ^{1 1}

a

a x = x+a x

− − +

--- Application : Étude d’un projectile avec et sans frottement :

Un trièdre orthonormé (Ox,Oy,Oz) est lié au sol terrestre d’axe Oz vertical ascendant. Le champ de pesanteur, supposé uniforme, est noté :g= −ge_y . A l’origine des temps ( t = 0), un projectile supposé ponctuel, de masse m, est lancé du point O avec une vitesse initiale V_osituée dans le plan xOy, faisant un angle α avec l’horizontale.

1- En projetant la 2^éme loi de Newton dans le référentiel terrestre supposé galiléen, déterminer les composantes du vecteur OM.

2- Exprimer, en fonction de Vo, g et α le temps nécessaire ts pour que le projectile atteigne sa plus haute altitude S puis les coordonnées de S.

3- Pour quelle valeur de l’angle α la portée du lancement est-elle maximale ?

4- Donner l’équation de la courbe (dite de sûreté) séparant les points du plan xOy pouvant être atteints par le projectile de ceux qui ne seront jamais atteints. (Vo et supposé constant, α est variable).

5- Le sol fait un angle θo < α avec l’horizontale Ox. Déterminer α pour que la portée soit maximale.

6- Dans cette partie, on suppose que la résistance de l’air est modélisable par une force de type f = − kV . 6-1- Déterminer les composantes du vecteur vitesse ^V

( )

^{M .}

6-2- En déduire celles du vecteur position OM .

Y.CHAIR Page 5

ENERGIE D’UN POINT MATERIEL

On se place dans un référentiel R, on considère un point matériel de masse m situé au point courant M, son vecteur position est r =OM , sa vitesse est v M( )_R, il est soumis à des forces.

I. TRAVAIL ET PUISSANCE:

1) Travail d’une force:

Pendant un court intervalle de temps dt, le point M se déplace de dr ; or : ( )_R

R

v M dr

= dt donc : ...

R

dr = a- Travail élémentaire:

Dans le référentiel R, le travail élémentaire W de la force F pendant dt est,:

( )

... ...

W F = =

→ On dit aussi que le travail élémentaire est ... de la force F .

→ W dépend du référentiel d’étude. (Unité : le Joule 1 J = ...).

Additivité : Si M est soumis à plusieurs forces F_i alors le travail élémentaire de la résultante de ces forces est:

...

i i

W F

 ^ ^=





 b- Travail total (ou fini):

A t1 le point est en M1. A t2 le point est en M2. On appelle () la trajectoire suivie entre ces 2 points.

Le travail total (ou fini) de la force F entre les 2 positions M1 et M2 le long de la trajectoire () est :

( )

^{2 2 2}

1 2

( ) 1 1 1

... ... ...

M M M

M M

M M M

W _→ F

 =



=



=



Attention :

→ L’intégrale est prise le long du chemin M1M2 W dépend a priori du chemin suivi.

→ W dépend du référentiel d’étude.

c- Cas simples:

→ Force constante:

Si  instant considéré ,  position considérée, F =cste, alors :

2

1

. ... ...

M

M

W =



F dr = =

Le travail total ne dépend donc pas du chemin suivi si la force est constante.

Exemple : Poids dans un champ de pesanteur uniforme :

( )

²

1

. ... ...

M

M

W P =



P dr = =

→ Force de contact sans frottement:

Pas de frottement, donc,  t, la force de contact est ... à la surface, donc

(

R =N

)

⊥... 

(

R =N

)

⊥... et

(

R =N

)

⊥.... On a alors : , . . ( )_R ... :... ...

t W N dr N v M dt et donc

 = = = =

Les forces de contact sans frottement ...

2) Puissance d’une force:

La puissance d’une force F est :

( )

... ...

R

P F W

dt

= = = .

→ La puissance dépend du référentiel d’étude.

→ Unité : le Watt tel que 1 W = ... = ...

Additivité : Si M est soumis à plusieurs forces F_i :

i i

( )

i i

i i R

i R i

W F W

P F P

dt dt

 ^_ ^_ 

  =   = =

 

 

 

 

II. THEOREME DE L’ENERGIE CINETIQUE:

Dans cette partie, on considère que le référentiel d’étude est galiléen : On le note Rg. 1) Théorème de l’énergie cinétique:

La RFD s’écrit : _mat d v

F m

= dt



^.

Le travail élémentaire de l’ensemble des forces extérieures s'écrit:

. ... ... ...

tot i i

W W F v dt

 =



 =



= = =

On appelle énergie cinétique du point matériel M (m,v) la quantité : 1 2

C 2

E = mv ou

( )

^



 



 = ( ) ²

2 ) 1

( _{Rg Rg}

C M mv M

E ( dépend du référentiel d’étude).

Le travail total du à toute les forces appliquées au point matériel est d'expression:

1 2 1 2

( )

1 2

( )

2

1 M

M M M M i M M i

M

W _→ =



W _→ F =

 

W _→ F

Y.CHAIR Page 7 ^{1 2}

1 2

2 2

1

: 1

2

' : ... ... ...

M

M M

M

M M

soit W d mv

d ou W

→

→

 

=  

= = =



Enoncé du théorème de l’énergie cinétique (TEC):

Dans un référentiel galiléen, la variation d’énergie cinétique entre 2 points de la trajectoire est égale à la somme des travaux des forces entre ces 2 points (les travaux étant pris le long de la trajectoire).

( ) ^{( ) ( )}

1 2 1 2

2 2

2 1

1 1

2 2

M M M M i C

W _→ =



W _→ F = mv M − mv M = E 2) Théorème de la puissance cinétique:

Dans un référentiel galiléen, la dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique est égale à la somme des puissances des forces.

en effet, on a :



^{W F}

( )

^{i =d}¹₂^{mv 2}^{=d E}

^{( )}

^{C .}

soit :



P F

( )

_i =...=... ou tout simplement ...

III. CHAMP DE FORCES CONSERVATIVES:

1°) Champ de force

Une force qui ne dépend que de la position M de son point d’application définit ce que l’on appelle un champ de force : F M( ), en tout point d’un domaine de l’espace.

Exemples : Champs de pesanteur , champs électriques, etc…

Contre-exemples : forces de contact, forces de frottement, etc…

2°) Energie potentielle

Dans un référentiel R, on dit qu'un champ de force dérive d’une énergie potentielle s’il existe une fonction de l'espaceE r_P( )tel que tout travail élémentaire de la force vérifie : ...

a- Exemples

→ Champ de pesanteur uniforme :

( )

. _z. _{x y z} ( ) ( )

W P dr mg e dx e dy e dz e mgdz d mgz d mgz cte

 = = − + + = − = − = − +

...

...

Le poids dérive donc d’une énergie potentielle : E_PP =mgz+cste (à condition que l’axe (Oz) soit vers le haut). Le travail du poids s’écrit donc :

1 2 ...

...

...

...

M M

W _→ =

=

=

=

→ Force de rappel élastique

.

...

...

...

W F dr

 =

=

=

= ...

...

=

La force de rappel élastique dérive donc d’une énergie potentielle : 1 ₀ ²

( )

PE 2

E = k l−l +cste.

Remarque : ...

Le travail de la force élastique s’écrit :

1 2

2 2

2 0 1 0

1 1

( ) ( )

2 2

M M PE

W _→ = −E = − k l −l − k l −l ^.

→ Masse dans le champ gravitationnel créé par une masse ponctuelle On choisit l’origine du repère sphérique à l’endroit où se trouve la masse.

( )

2

2

.

. sin

...

...

r

r

W F dr

G m M e dr e rd e r d e r

G m M dr r

 



  

=

= − + +

= −

=

=

L’interaction gravitationnelle entre deux masses dérive donc d’une énergie potentielle :

r cste M m E_Pgravit =−G +

Remarque :

...

...

b- Champ de forces conservatives

Le travail d’une force dérivant d’une énergie potentielle, le long d’un chemin quelconque s'écrit:

(

P P

)

P

M

M P M

M M

M W dE E M E M E

W_^→ =



=−



² =− ^{( 2)}− ^{( 1)} =−

1 2

) 1 (

2

1 

Quand un champ de force dérive d’une énergie potentielle, le travail total entre deux points de la trajectoire ne dépend pas du chemin suivi entre ces 2 points.

c- Relation mathématique entre une force conservative et son énergie potentielle Considérons une force conservative.

(

^{.x x y y z z}

) (

^{. x y z}

)

x y z

W F dr

F e F e F e dx e dy e dz e F dx F dy F dz

 =

= + + + +

= + +

Y.CHAIR Page 9 L’énergie potentielle ne dépend que de l’espace, donc des trois coordonnées x, y, z :

z dz dy E y dx E x dE E

donc z

y x E r

E_{P P P} ^{P P P}

 +

 +



= 

= ( , , ) )

(

Or ... on trouve ..., il vient finalement :

...

...

...

x y z

F F F

 =

 =

 =



noté de façon simplifié : ...

IV. CONSERVATION DE L’ENERGIE:

1 ) Energie mécanique:

On étudie un point matériel dans un référentiel galiléen. On divise l’ensemble des forces subies par le point matériel en forces conservatives et forces non-conservatives:



F =



F_C+



F_NC

Le théorème de l’énergie cinétique entre 2 points de la trajectoire s’écrit :

2 2

2 1 2 1

1 1

2 2

C C C

E E E m v m v W

 = − = − =



Or

(

2 1

)

C NC

P P NC

W W W

E E W

= +

= − − +

  

 

D'ou: E_C2−E_C1+



(E_P2−E_P1)=



W_NC

ou: (E_C2+



E_P2) (− E_C1+



(E_P1)=



W_NC On définit l’énergie mécanique par : ^{EM =EC +}



^EP

2 ) Conservation de l’énergie:

On a finalement : ^{EM2 −EM1 =}



^WNC

Dans un référentiel galiléen, la variation d’énergie mécanique est égale à la somme des travaux des forces non- conservatives.

On peut aussi écrire la conservation de l’énergie entre deux instants infiniment voisins : dE_M =W_NC, soit encore :

NC NC

M P

dt W dt

dE = = .

Dans un référentiel galiléen, la dérivée (par rapport au temps) de l’énergie mécanique est égale à la puissance des forces non-conservatives.

3 ) Forces conservatives et conservation de l’énergie:

Par définition, une force est dite conservative si elle définit un champ de force et si elle dérive d’une énergie potentielle, càd s’il existe une fonction de l’espace Ep(M) tel que F = −grad E_P. Cette définition implique qu’une telle force permet d’avoir conservation de l’énergie mécanique.

La réciproque n’est pas vraie : une force de contact sans frottement F ne travaille pas, l’énergie mécanique se conserve alors. Néanmoins, on ne peut pas trouver de fonction Ep(M) telle que :F = −grad E_P.

4 ) Evolution conservative à un degré de liberté d’un point matériel

On étudie un point matériel pouvant se déplacer selon un seul degré de liberté : l’axe (Ox). La résultante des forces qui peut modifier le mouvement est donc colinéaire à (Ox) ; on note F_x sa projection sur l’axe.

On a : F = −grad E_Psoit encore :

dx F_x =−dE^P .

L’évolution est supposée conservative, donc l’énergie mécanique se conserve.

a- Positions d’équilibre:

En (A) et (B) : ( ) 0 (B)

dx A dE

dx

dE_{P P}

=

= donc F_x(A)=0=F_x(B) : Or un point où la résultante des forces est nulle est un point d’équilibre  (E) est une position d’équilibre si ^P (x_E)=0

dx dE

• Stabilité des positions d’équilibre

✓ On considère que le point matériel est en (A) ;

→ Si, à cause d’une légère perturbation, x(dx0) alorsE_P(dE_p 0)donc

0 0

P P

x

dE dE

dx  et F = − dx   La résultante des forces ramène donc le point matériel vers la position d’équilibre (A).

→ Si, à cause d’une légère perturbation, x(dx0) alors E_P(dE_p 0) donc

0 0

P P

x

dE dE

dx  et F = − dx  La résultante des forces ramène donc encore le point matériel vers la position d’équilibre (A).

✓ On considère que le point matériel est en (B) ;

→ Si, à cause d’une légère perturbation, x(dx0) alors E_P(dE_p 0) donc dE^P 0 _x dE^P 0 dx  et F = − dx 

La résultante des forces éloigne encore plus le point matériel de la position d’équilibre (B).

→ Si, à cause d’une légère perturbation, x(dx0) alors E_P(dE_p 0),donc dE^P 0 _x dE^P 0 dx  et F = − dx 

La résultante des forces éloigne aussi le point matériel de la position d’équilibre (B).

Une position d’équilibre (E) est stable si ₂ ( ) 0

2

E 

P x dx

E

d .

Remarque: (Si ₂ ( ) 0

2

E =

P x dx

E

d , point d’inflexion, l’équilibre est stable d’un côté, instable de l’autre, donc globalement instable).

b- Etats de diffusion et états liés

La conservation de l’énergie mécanique s’écrit : E x cste dt

m dx + _P =



 



 ( )

2

1 ²

. Or l’énergie cinétique est toujours positive, donc l’énergie potentielle est toujours plus petite que l’énergie mécanique. D’autre part,

dx

F_x =−dE^P , donc la particule tend vers les états d’énergie potentielle minimum.

Y.CHAIR Page 11 Etat de diffusion : l’énergie mécanique est supérieure aux éventuelles barrières de potentiel entre l’état initial et l’infini ; le point matériel finira donc son mouvement à l’infini.

(exemples : le point matériel possède l'énergie mécanique EM2 et se trouve initialement à xinitial tel que xinitial > x''') Etat lié : le contraire ; le point matériel reste confiné au voisinage d’une cuvette de potentiel.

(exemples : point matériel possède l'énergie mécanique EM2 et se trouve initialement à xinitial tel que x' < xinitial < x'')

---

---

Application:

On considère le portrait de phase d’un oscillateur amorti composé d’une masse m = 500 g soumise à une force de rappel élastique (ressort de raideur k) et à une force de frottement fluide – 𝜆 v (vétant la vitesse de la masse m et x est l’écart à la position d’équilibre). L’étude est réalisée dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen.

1) Déterminer la nature du régime de l’oscillateur.

2) Déterminer :

a - La position et la vitesse initialeset finales.

b - La pseudo-période 𝑇𝑎 ; c - Le décrément logarithmique δ.

3) En déduire le cœfficient de frottement fluide 𝜆, le coefficient d'amortissement α, la pulsation propre 𝜔0, la raideur k du ressort et le facteur de qualité Q de l’oscillateur.

--- Cas d'un oscillateur en régime pseudopériodique

La trajectoire de phase prend la forme d'une spirale logarithmique.

Le portrait de phase représenté ci-dessus contient 2 trajectoires de phase ayant des conditions initiales différentes. (x(t=0) = x0 > 0 et v(t=0) = 0 et x(t=0) = 0 et v(t=0) = v0 > 0).

Le point origine (position d’équilibre) attire toutes les trajectoires de phase ; on dit que c’est un point attracteur.

Une telle évolution vers la position d'équilibre stable est appelée relaxation. Et on a : x(t) = a e^-αt cos(ωt+φ). Le temps de relaxation est : 1

 .

= 

Y.CHAIR Page 13

Cas d'un o

scillateur en régime critique ou apériodique

La trajectoire de phase tend rapidement vers l'état d'équilibre sans osciller (x toujours du même signe).

Remarque:

- Les trajectoires de phase sont toujours orientées dans le sens horaire.

- C'est dans le cas du régime critique que le retour à l'état d'équilibre est le plus rapide.

- Dans le cas de l'oscillateur amorti, x(t) tend vers 0 au bout de quelques τ.

- Pour maintenir les oscillations, il faut fournir de l'énergie au système pour compenser les pertes d'énergie dues au frottement. Pour cela on peut appliquer une force supplémentaire au point matériel M.

--- APPLICATION:

Pour maintenir les oscillations d'un point matériel M constituant un oscillateur amorti on doit fournir de l'énergie au système pour compenser les pertes dues aux frottements. Pour cela on applique une force supplémentaire Fsur M tel que F = F cos0

( )

t ex.

L'oscillateur est soumis aussi à son poids P, à la réaction R, à la force du frottement fluide f = −hv ainsi qu'à F.

k, l₀

l₀

O x x

M(m)

1. Trouver l'équation différentielle du mouvement du point matériel M.

2. Quelle est la solution de cette équation lorsque le régime sinusoïdal est établi ?

3. En déduire l'expression de la vitesse algébrique du point matériel M.

4. Donner l' expressions de l'impédance mécanique de l'oscillateur en fonction de h, m, ω0

et ω.

5. Donner l' expression de la puissance moyenne fournie par m'excitation Fen fonction de h et de vm l'amplitude de la vitesse.

6. Donner l' expression de la puissance moyenne dissipée par frottement. Conclure.

7. Exprimer ωr la pulsation de résonance de l'élongation en fonction de ω0 et du facteur d'amortissement α. Conclure.

8. Exprimer ωr' la pulsation de résonance de la vitesse en fonction de ω0. Conclure.

---

EXERCICE 1 :

A - Mouvement d’un électron dans un champ électrique stationnaire et uniforme.

Un électron de charge qé = - e = -1,6 . 10^-19 C et de masse mé = 9,31 . 10^-31 kg pénètre dans un domaine où règne un champ électrostatique uniforme et stationnaire E=Ee_z tel que E = 10³ V.m^-1. Le référentiel d'étude du mouvement de la particule est R(OXYZ) supposé galiléen.

A l'instant t = 0 on a ^{OM t}

(

⁼⁰

)

^{=0 et} v0 =v t

(

=0

)

=v0sine_x+v0cos e_z . 1. Que signifient les termes : stationnaire – uniforme ?

2. Montrer que le poids de l’électron est négligeable devant la force électrique à laquelle l’électron est soumis.

3. En appliquant le PFD trouver les équations du mouvement de la particule. Conclure.

Y.CHAIR Page 15 4. Quelle est la nature du mouvement si v₀ E?

5. Trouver l'équation de la trajectoire dans le cas ou v₀ n’est pas parallèle à E. 6. On définit le potentiel électrostatique V par E= −grad V.

a. Trouver l'expression de l'énergie potentielle électrostatique Ep élec en fonction de q et V.

b. Montrer que la particule chargée représente un système conservatif.

B - Mouvement de l’électron dans un champ magnétique stationnaire et uniforme :

A l'instant t = 0, l’électron est émis au point O avec la même vitesse initiale v₀ dans un espace où règne un champ magnétique uniforme et stationnaire B=Be_z .

Le poids de l’électron étant négligeable devant la force magnétique.

Le référentiel d'étude du mouvement du proton est R(OXYZ) supposé galiléen.

7. Trouver les équations du mouvement de l’électron.

8. Que deviennent ces équations si v₀ =0? Conclure.

9. Montrer que l'énergie cinétique de l’électron reste constante lors du mouvement.

THEOREME DU MOMENT CINETIQUE - FORCE CENTRALE - CHAMP NEWTONIEN

I - THEOREME DU MOMENT CINETIQUE:

1- Définitions:

Considérons un point matériel M de masse m en mouvement dans un référentiel R(O, x, y, z) supposé galiléen, avec une vitesse vR

( )

M ^.

→ On appelle le moment cinétique au point A, du point matériel M, dans le référentiel R la quantité vectorielle : ...

Considérons un axe Δ passant par O et de vecteur unitaire e_.

→ On appelle le moment cinétique du point matériel M par rapport à Δ la quantité scalaire : ...

...

...

→ On appelle le moment dynamique au point A, de la force F appliquée au point matériel M dans le référentiel R la quantité vectorielle : ...

→ On appelle le moment dynamique de la force F par rapport à Δ la quantité scalaire : ...

ENONCE DU THEOREME DU MOMENT CINETIQUE:

Dans R galiléen, et par rapport à un point fixe A, le théorème du moment cinétique s'écrit:

( )

A ( )

A i

d L M

d M F

t =



Fi ( i = 1, 2, .... n ) étant les forces appliquées au point matériel M.

Remarque:

On a aussi : ^{A( )}. A( )i . d L M

e M F e

dt ^ =



^{ soit dL M}_dt^{( ) =}



^{M( )Fi} .

Y.CHAIR Page 17

Application 1 :

1. Définir une force centrale et en donner des exemples.

2. Montrer que si la force centrale est conservative alors l’énergie potentielle Ep dont elle dérive ne dépend que de r ( la distance separant le point M du point attracteur O ).

3. Dans un référentiel galiléen R, un point matériel M de masse m soumis seulement à une force centrale est lancé à l’instant t = 0 du point M0 avec la vitesse initialeV . ₀

a. En appliquant le théorème du moment cinétique dans R, montrer que L (_O M )est constant.

Conclure.

b. Quelle est la nature du mouvement de M dans le cas général. Conclure.

c. Quelle est la nature du mouvement de M dans le cas particulier ou V et ₀ OM sont colinéaires ₀ d. Montrer que les coordonnées polaires r et θ du point M vérifient la relation : r²^• = =C cte. e. En déduire l’expression de S12 la surface balayée par OM pendant une durée Δt = t2 – t1. Conclure.

Application 2 :

1. Définir une force newtonienne.

2. Cette force est-elle conservative ? Si oui donner l’expression de l’énergie potentielle dont elle dérive.

3. Soit un point matériel M de masse m soumis (seulement) à une force newtonienne dans un référentiel galiléen R(Oxyz). Le mouvement de M étant plan, on peut l’étudier en utilisant les coordonnées polaires.

Montrer que l’expression de l’énergie mécanique du point matériel M s’écrit sous la forme :

2

m p,eff

E m r1 E (r)

2

= • +

4. Calculer ^dEp,eff

dr .

5. Cas d’une force attractive :

a. Déterminer r0 donnant la position du point matériel M à l’équilibre.

b. Donner le tableau de variation de Ep,eff puis tracer le graphe de Ep,eff(r).

c. Trouver l’équation différentielle du mouvement vérifiée par r.

d. On pose u ¹

= r. Montrer que u vérifie l’équation différentielle suivante :

2 2

+ ( ) 1 d u u

d  P

 ^{= .}

e. La solution de cette équation différentielle s'écrit :

(

0

)

( ) 1

u A cos

 =  − +P tel que A et θ0 sont deux constantes que l'on détermine à partir des conditions initiales.

Montrer que r(θ) peut s’écrire sous la forme :

( ) (

0

)

1 r p

e cos

 ⁼ +  −  f. Trouver l’expression de l’énergie mécanique Em en fonction de e, K et p.

g. Discuter la nature du mouvement pour différentes valeurs de l’excentricité e ou de Em. 6. Cas d’une force répulsive :

a. Donner le tableau de variation de Ep,eff puis tracer le graphe de Ep,eff(r).

b. En résolvant l’équation différentielle dans ce cas montrer que r(θ) vérifie :

( ) (

0

)

1 r p

e cos

 ⁼ − +  − 

c. Discuter la nature du mouvement.

FORCE NEWTONNIENNE ATTRACTIVE (

Cas particulier d’une trajectoire elliptique):

C’est le cas du mouvement des planètes autour du soleil ou le mouvement des satellites autour de la terre.

Application:

Soit O le centre d’attraction de la force newtonienne appliquée sur le point matériel M dont la trajectoire est elliptique.

- P est appelé périgée ; c’est le point le plus proche de O.

- A est appelé d’apogée ; c’est le point le plus éloigné de O.

- f = OC est la distance focale.

1. Exprimer a, f et b en fonction du paramètre de la conique p et de l’excentricité e.

2. Exprimer l’énergie mécanique Em en fonction de K et a.

3. Exprimer les vitesses à l’apogée va et au périgée vp en fonction des rayons ra et rp, de Em et de la masse du point matériel m.

--- 1 - Les lois de KEPLER :

Dans le référentiel de Kepler supposé galiléen, l’origine est le centre de masse du système solaire (pratiquement confondu avec le centre du soleil), et les trois axes sont dirigés vers trois étoiles très éloignées (gardant ainsi les mêmes directions).

Le mouvement de chaque planète dans ce référentiel est un mouvement à force centrale conservative (force d’attraction gravitationnelle appliquée par le soleil, les forces d’attraction gravitationnelles appliquées par les autres planètes sont négligeables).

Toute planète est assimilée à un point matériel pris confondu avec son centre de masse. En effet les rayons des planètes supposées sphériques sont négligeables devant les dimensions de leurs trajectoires.

Première loi de Kepler : La trajectoire d’une planète autour du soleil est elliptique. Le soleil occupe l’un des foyers de cette ellipse.

Deuxième loi de Kepler : L’aire balayée par le vecteur SP pendant des durées égales est constante. Soit aussi : =

2 ds C

dt (C étant la constante des aires)

La vitesse de la planète est maximale en P et elle est minimale en A.

Troisième loi de Kepler :

2 3

T a =cte

T : La période de la révolution de la planète autour du soleil. C’est la durée nécessaire pour que la planète effectue un tour complet autour du soleil.

Y.CHAIR Page 19 3- Satellites de la terre :

La terre de masse MT et de rayon RT est supposée fixe dans le référentiel géocentrique supposé galiléen.

Le satellite est assimilé à un point matériel de masse m M_T. Dans la suite on va supposer que la trajectoire du satellite est circulaire de rayon r centrée au centre de la terre T et que les forces de gravitation appliquées par tous les astres autre que la terre sont négligeables.

1. Que devient la troisième loi de Kepler dans ce cas ?

2. Exprimer l’énergie mécanique Em, l’énergie potentielle de gravitation Ep et l’énergie cinétique Ec en fonction de la constante de gravitation G, de MT, m et r.

3. Montrer que le mouvement du satellite sur l’orbite de rayon r est uniforme. Exprimer v en fonction de G, MT et r.

4. Qu’appelle-t-on première vitesse cosmique vc1 ? exprimer vc1 en fonction de l’intensité de pesanteur à la surface de la terre g0 et de RT.

5. Qu’appelle-t-on deuxième vitesse cosmique vc2 ? exprimer vc2 en fonction de vc1. 6. Qu’appelle-t-on satellite géostationnaire ? Décrire son mouvement.

--- FORCE NEWTONNIENNE REPULSIVE : La diffusion de Rutherford

Dans l'expérience de Rutherford (1911), une fine couche d'or est bombardée par un faisceau de particules α.

C'est de cette expérience que Rutherford déduisit le modèle planétaire de l'atome.

On note :

e : valeur absolue de la charge d'un électron.

ε0: permittivité diélectrique du vide.

Un noyau de numéro atomique Z, assimilé à un point matériel de masse M, supposé immobile dans le référentiel du laboratoire, est bombardé par une particule α (noyau d’hélium) de masse m et de charge +2e.

On note respectivement O et P les points occupés par les centres du noyau et de la particule.

Loin du noyau, lorsque l’interaction entre le noyau et la particule α est négligeable, le mouvement de celle-ci peut être considéré comme rectiligne uniforme de vitesse V₀. On note b la distance de O à la droite support

de V₀ (paramètre d’impact).On note I l’intersection des asymptotes de la trajectoire et Ox l’axe défini par les points O et I.

1. Expliquer qualitativement ce qui se passe lorsque la particule se rapproche du noyau.

2. Exprimer la force exercée par le noyau sur la particule α.

3. Montrer que l'énergie mécanique et la quantité C = r² , appelée constante des aires, sont deux constantes du mouvement de la particule.

4. Quelle est la nature de la trajectoire de la particule ?

5. Montrer que l'énergie mécanique de la particule peut se mettre sous la forme : E = ¹

2 m ² + Ep,eff(r).

6. Faire une étude rapide de la fonction Epp(r) et tracer sa courbe représentative.

7. Montrer graphiquement qu'au cours de son mouvement la particule reste à une distance r du centre O du noyau supérieure ou égale à une valeur rmin qui sera portée sur le graphique.

8. Exprimer rmin en fonction des données.

---

Y.CHAIR Page 21

1. LE REFERENTIEL DE COPERNIC RC:

On peut associer à ce référentiel un repère cartésien: ^RC

(

S, e , e , e^{x y z}

)

.

→ S est le centre de masse du système solaire ( pratiquement confondu avec le centre de masse du Soleil).

→ Ses trois axes pointent vers trois étoiles suffisamment éloignées pour être considérées comme fixes.

→ Pour des points matériels en mouvement dans le système solaire, ce référentiel peut être considéré comme galiléen quand l'expérience est d'une durée brève devant le mouvement du système solaire dans la Galaxie, donc d'une durée très inférieure à ~225-250 millions d'années.

→ Ce référentiel est adapté à l'étude du système solaire avec une excellente précision.

2. REFERENTIEL DE KEPLER (OU HELIOCENTRIQUE):

Le référentiel de Kepler ou référentiel héliocentrique est le référentiel centré sur le centre de masse du Soleil et dont les axes sont parallèles à ceux du référentiel de Copernic. Les expériences prouvent que l'on peut le considérer comme galiléen avec une très bonne précision.

3. LE REFERENTIEL GEOCENTRIQUE RG:

On peut associer à ce référentiel un repère cartésien^RG

(

T, e , e , e^{x y z}

)

:

→ T est le centre de masse de la Terre.

→ e , e , e_{x y z} pointent vers trois étoiles suffisamment éloignées pour être considérées comme fixes (les directions des axes de RG restent constamment parallèles aux directions des axes de RC).

→ Ce référentiel étant en mouvement de translation quasi circulaire  il n'est pas galiléen. Mais il peut éventuellement être considéré comme galiléen pour des expériences de durée très inferieure devant la période de révolution de la terre autour du soleil (365.25 jours).

4. LE REFERENTIEL TERRESTRE RT:

On peut associer à ce référentiel un repère cartésien ^RT

(

O, e , e , e^{x’ y’ z’}

) lié

à la Terre dont l'origine est le centre de la terre.

→ Les axes du référentiel terrestre suivent la terre dans son mouvement autour d’elle-même. Ce référentiel n'est donc pas galiléen, Mais il peut éventuellement être considéré comme galiléen pour des expériences de durée très inferieure devant la période de révolution de la terre autour d'elle même (24 heures).

---

Application1:

Un point matériel M se déplace sur un cercle de rayon R.

Soient:

→ R(O,x,y,z) le référentiel absolu.

→ R'(O,x',y',z') le référentiel relatif lié au cercle. ( R' suit le cercle dans son mouvement).

Le cercle tourne autour de l'axe Oz avec une vitesse angulaire constante ω.

Tous les vecteurs doivent être exprimés dans la base

(

^{er, e, ey'}

)

^.

1. Exprimer OM le vecteur position et ^

(

^{R R'/}

)

le vecteur rotation de R' par rapport à R.

2. Exprimer v Mr

( )

^et ve. En déduire va

( )

M ^. 3. Exprimer ar

( )

M ^, a et ae c. En déduire aa

( )

M ^.

4. Retrouver les expressions de va

( )

M et de aa

( )

M par un calcul direct.

--- -

Application :

Soit un véhicule en mouvement rectiligne non-uniforme d’accélération a= a e_x ( a ≻ 0) par rapport au référentiel terrestre

R

(O, x, y, z) supposé galiléen.

Soit le référentiel relatif

R

’ (O’, x’, y’, z’) lié au véhicule dont les axes restent constamment parallèles aux axes de

R

^.

Le point matériel M de masse m est attaché au toit du véhicule par un fil inextensible de longueur l.

1. Exprimer dans la base polaire, les forces P, T, F et F . _{ic ie}

2. En appliquant le PFD dans

R

’, trouver l’équation différentielle vérifiée par θ. Exprimer θe la valeur de θ à l’équilibre relatif stable dans

R

^’.

Y.CHAIR Page 23 3. Trouver l’équation différentielle qui décrit les petites oscillations autour de la position d’équilibre

relatif.

Application :

Soit une tige OX tournant dans le plan horizontal xOy avec un vecteur rotation vertical. Le référentiel

R

de repère d’espace ( , , )i j k est galiléen. Un point matériel M de masse m glisse sans frottement sur OX. A l’instant initial, il est en X(t = 0) = X0 avec X t( 0) 0

• = = dans le référentiel lié à la tige OX.

Le point passe de la position M0(X0) à la position M1(X1=2X0) sur l’axe OX.

1. Calculer l’énergie cinétique de la masse, dans le référentiel lié à la tige OX en M1.

2. Calculer le travail de la force de réaction Rdans

R

pour le déplacement considéré. Conclure.