Që P áK.@

Universit´e Ibn Zohr

ﻣﻌﺟﺎ ﺍﺑﺔ ﺯﻦ ﻫ ـﺮ ﻛﺃ ﺩﺎ ﻳﺮ

UN IVER

SITÉ IBN ZOHR - AGADIR

Që P áK.@

éªÓAg.

Facult´e Polydisciplinaire

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Ouarzazate, Maroc

H.Q ªÖÏ@ , H@ P@ PPð

Correction des

Travaux Dirig´es de Thermodynamique II^∗ Propos´es par : H. Chaib

Fili`ere : SMP,Semestre : 3, Ann´ee : 2018/2019, S´erie : 06

Exercice 1

1. Les ´etats finaux du syst`eme sont :

• la glace seulement si T_f <0^◦C ;

• l’eau liquide avec de la glace si T_f = 0^◦C ;

• l’eau liquide seulement si T_f >0^◦C.

2. Dans le cas o`uT<sub>f</sub> = 0<sup>◦</sup>C, alors le syst`eme contient une quantit´e d’eau liquide dont la massem⁰_eest comprise entre 0 etm_e+m_g et une quantit´e de glace dont la masse m⁰_g est aussi comprise entre 0 et me+mg. Alors :

06m⁰_e =m_e+ ∆m 6m_e+m_g (1)

et

06m⁰_g =m_g −∆m 6m_e+m_g (2)

soit :

−m_e6∆m6m_g (3) 3. Le calorim`etre adiabatique, dont la masse ´equivalente en eau est n´egligeable, contient une masse d’eau liquide ´egale `a me `a la temp´erature Te et une masse de glace ´egale `a m_g `a la temp´erature T_g. Alors, les quantit´es de chaleur ´echang´ees sont :

• celle ´echang´ee par la masse d’eau liquidemequand elle passe de la temp´erature T_e `a la temp´eratureT_f :

Q_e=m_ec_e(T_f−T_e) (4)

• celle ´echang´ee par la masse de glacem_g quand elle passe de la temp´eratureT_g

`

a la temp´erature T_f :

Qg =mgcg(Tf−Tg) (5)

• celle ´echang´ee, sous forme de chaleur latente, par la masse ∆m au cours de la transformation d’´etat `a la temp´eratureT_f :

Q_L = +∆mL (6)

NB : Pour cette transformation, on distingue deux cas :

∗La version ´electronique de ces travaux dirig´es et des ´epreuves relatives `a la mˆeme mati`ere sont disponibles, avec leurs corrections, sur le site Web :http://www.fpo.ma/chaib/teaching/.

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Correction des TD de Thermodynamique II (S´erie 06 : 2018/2019) - SMP-S3 2/4

X Si ∆m > 0, alors c’est de la glace qui se transforme en eau liquide. Ce- pendant, la quantit´e de glace transform´ee re¸coit de la chaleur et par suite Q_L= ∆mL >0.

X Si ∆m <0, alors c’est de l’eau liquide qui se transforme en glace. Cependant, la quantit´e d’eau liquide transform´ee c`ede de la chaleur et par suite Q_L =

∆mL <0.

La quantit´e de chaleur Q´echang´ee par tout le syst`eme s’´ecrit :

Q=Qe+Qg+QL (7) Cette quantit´e de chaleur est nulle car le syst`eme est adiabatique. Il en r´esulte :

m_ec_e(T_f−T_e) +m_gc_g(T_f−T_g) + ∆mL= 0 (8) soit :

∆m=−m_ec_e(T_f −T_e) +m_gc_g(T_f−T_g)

L (9)

ou encore, en tenant compte que Tf = 0 :

∆m = m_ec_eT_e+m_gc_gT_g

L (10)

4. Selon la question 2, la valeur de ∆m est physiquement acceptable si :

−m_e6∆m6m_g (11) soit :

−m_e6 m_ec_eT_e+m_gc_gT_g

L 6m_g (12)

ou, en divisant tout les membres par m_e :

−16 c_eT_e+^m_m^g

ec_gT_g L 6 m_g

m_e (13)

ou encore :

−L6ceTe+m_g

m_ecgTg 6 m_g

m_eL (14)

qui est ´equivalent `a :







−L6c_eT_e+ mg

m_ec_gT_g ceTe+m_g

m_ecgTg 6 m_g m_eL

(15) soit :







−(L+ceTe)6 mg

m_ecgTg

m_g

m_e(c_gT_g −L)6−c_eT_e

(16)

les deux quantit´es c_gT_g et c_gT_g−L sont n´egatives car T_g <0. Alors :











− L+c_eT_e c_gT_g > m_g

m_e m_g

m_e >− c_eT_e c_gT_g −L

(17)

Correction des TD de Thermodynamique II (S´erie 06 : 2018/2019) - SMP-S3 3/4

soit :

− ceTe

c_gT_g−L 6 mg

m_e 6−L+ceTe

c_gT_g (18)

Alors, les valeurs de ^m_m^g

e pour lesquelles la valeur de ∆m trouv´ee est physiquement acceptable sont celles qui se trouvent dans l’intervalleh

ceTe

L−cgTg,^L+c_−c^eTe

gTg

i .

5. Soit m_g la masse du glace qu’il faut ajouter dans une quantit´e de masse m_e de l’eau liquide pour la faire geler compl`etement. Dans ce cas ∆m = −m_e. Selon la question 3, on peut ´ecrire :

−m_e= m_ec_eT_e+m_gc_gT_g

L (19)

soit :

−meL−meceTe=mgcgTg (20) d’o`u :

m_g =−m_eL+m_ec_eT_e

c_gT_g (21)

A.N. : m_g = 18,137 kg.

6. Soientm⁰_eetm⁰_gles masses finales respectives de l’eau liquide et de la glace obtenues.

Ces masses s’´ecrivent, selon les questions 2 et 3, comme suit :







m⁰_e=m_e+ ∆m=m_e+meceTe+mgcgTg

L

m⁰_g =m_g−∆m=m_g −m_ec_eT_e+m_gc_gT_g L

(22)

En posant x= ^m_m^g

e, il vient :











m⁰_e=m_e

1 + c_eT_e+xc_gT_g L

m⁰_g =m_e

x−c_eT_e+xc_gT_g L

(23)

Ces deux expressions montrent alors quem⁰_eetm⁰_g´evoluent lin´eairement en fonction de x. De plus, d’apr`es les expressions obtenues dans la question 4, les valeurs de x pour lesquelles la valeur de ∆m trouv´ee est physiquement acceptable sont celles comprises entre 0,119 et 18,137. Ainsi :

• Pour x = 0,119, on a m_e = 1 kg et m_g = 0,119 kg. Dans ce cas, les masses finales obtenues sont m⁰_e= 1,119 kg etm⁰_g = 0 kg ;

• Pour x = 18,137, on a m_e = 1 kg et m_g = 18,137 kg. Dans ce cas, les masses finales obtenues sont m⁰_e= 0 kg et m⁰_g = 19,137 kg.

Sur la figure ci-dessous sont report´ees les allures des masses finalesm⁰_e etm⁰_g.

Correction des TD de Thermodynamique II (S´erie 06 : 2018/2019) - SMP-S3 4/4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

m⁰_e m⁰_g

mg/me

Massefinale(enkg)