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---INFORMATION--- Couverture : Classique
[Grand format (170x240)] NB Pages : 196 pages
- Tranche : (nb pages x 0,055 mm)+2 = 11
--- Certificat Mathématiques du Secondaire
Cours & Exercices Hanafi Derfoul
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Hanafi Derfoul
Certificat Mathématiques du Secondaire
Cours & Exercices
Dans cet ouvrage, l’auteur, docteur en sciences à l’université et professeur de mathématiques et sciences physiques en formation initiale et continue, reprend l’essentiel des notions étudiées au cours des années d’étude du secondaire. Le premier chapitre s’attache à une remise à niveau en revenant sur des thèmes simples tels que les équations, les fonctions de référence les plus connues, ou encore le cercle trigonométrique. Puis le chapitre 2 aborde les suites numériques, et ainsi de huit parties différentes et complémentaires - les dérivées des fonctions numériques à une seule variable ou l’étude des fonctions numériques à une seule variable - pour terminer avec l’analyse combinatoire et les probabilités. Avec une pratique tout à fait didactique, chaque chapitre se clôt par toute une série d’exercices et de deux contrôles des connaissances. Enfin, avec toujours le réel souci de favoriser la progression et l’apprentissage de l’élève, et surtout de le préparer au mieux à ses futurs examens et concours, l’auteur propose pas moins de 12 auto-évaluations dont les corrigés peuvent ensuite être consultés en libre accès sur le site de formacours.com.
Hanafi Derfoul est docteur en sciences diplômé de l’université Pierre & Marie Curie et enseig
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A qui s’adresse cet ouvrage ?
Cet ouvrage intitulé Certificat Mathématiques du Secondaire, est destiné aux personnes de la formation initiale et permanente désireuses acquérir le niveau de compétence en mathématiques requis pour bien préparer les contrôles continus et examens du cycle secondaire scientifique et de la formation professionnelle.
Ce livre serait aussi d’utilité aux adultes de la formation permanente désireux préparer l’examen spécial d’entrée à l’université ou suivre une reconversion professionnelle.
En complément de cet ouvrage, ces cours sont disponibles en format vidéo interactif en ligne sur le site internet FORMACOURS ainsi que les corrigés des exercices traités en accès libres.
Nous serons heureux si votre progression est notable car notre objectif visé sera atteint.
HANAFI DERFOUL est docteur en sciences de l’université Pierre & Marie Curie et enseignant de mathématiques et sciences physiques en formation initiale et continue. Depuis avril 2017, il est collaborateur scientifique chez FORMACOURS, site de formation en ligne des Sciences & Informatique.
4 2
2 5
Introduction
Nous avons regroupé et détaillé dans ce livre, sous forme de huit chapitres – Cours & Exercices – l’essentiel des notions de mathématiques traitées pendant le cycle des études secondaires. Les chapitres sont convenablement choisis. Ils sont présentés d’une façon simple et pratique pour permettre à chacun selon son rythme une progression linéaire.
Nous avons réduit volontairement par souci pédagogique la partie théorique des cours à l’essentiel sans pour autant diminuer de sa rigueur. Nous souhaitons rendre ainsi les mathématiques de ce livre accessibles pour un plus large public intéressé des filières de la formation initiale et professionnelle continue.
H. DERFOUL
6 2
2 7 J’ai appris par expérience, que la réussite dépend beaucoup de la volonté et de la motivation de l’individu. La connaissance et la compétence, s’acquierent par un travail méthodique et régulier. Par la persévérence et l’effort, le travail finira toujours par être récompensé.
Continuez et ne jamais baisser les bras…
-_- A Macsen & Harris
8 2
2 9
Chapitre 1
Pré-requis et mise à niveau
I. Equations du premier degré 1. Equation de la droite dans un plan
Par deux points quelconques distincts A et B du plan passe une droite unique.
Son équation générale est pour tout nombre réel x donné, on associe le nombre réel y de la forme :
x y = a x + b,
où le couple (a, b) sont des réels. a désigne le coefficient directeur de la droite et b son ordonnée à l’origine (x=0, y=b).
Nous distinguons deux cas :
Coefficient directeur a > 0
Dans ce cas l’inclinaison de la droite avec l’axe des abscisses Ox forme un angle
,0
2
. On parle de droite de pente positive. Coefficient directeur a < 0
Dans ce cas l’inclinaison de la droite avec l’axe des abscisses Ox forme un angle
, 2
. On parle de droite de pente négative.Remarques :
1. Dans le cas a ≠ 0 et b = 0, la fonction associée à la droite est dite fonction linéaire d’équation : y =ax. Si a et b ≠ 0, la fonction associée à la droite est dite fonction affine d’équation : y = ax + b.
2. L’ensemble des points M (x ; y) ainsi obtenus dans ces deux cas sont alignés.
10 2
1. Détermination du coefficient directeur de la droite
Considérons deux points A et B du plan distincts de coordonnées A (x1 ; y1) et B (x2 ; y2). Le coefficient directeur a de la droite est donné par la tangente de l’angle
, l’angle déterminé par la droite et son axe des abscisses Ox. Soit :1 2
1 2
x x
y ) y ( tg
a
.
2. Droites parallèles et perpendiculaires
Deux droites (D) et (D’) de mêmes coefficients directeurs a sont dites parallèles.
Deux droites (D) et (D’) sont dites perpendiculaires si et seulement si, le produit de leurs coefficients directeurs est égal à –1.
3. Distance et milieux de deux points
Pour deux points du plan distincts de coordonnées A (x1 ; y1) et B (x2 ; y2) on a : 1° Distance AB est donnée par le théorème de Pythagore (Mathématicien Philosophe Grec 580 – 490 avant Jésus Christ) :
1 2 2 2
1
2
x ) ( y y ) x
(
AB
.2° Cordonnées du milieu de deux points A et B :
2 x x x
1 2 et
2
y y y
1 2 .
2. Système d’équations du 1er degré à deux inconnues
Un système d’équations du 1er degré à deux inconnues est de la forme :
' c y ' b x ' a
c by
ax .
Résoudre un tel système, c’est trouver la solution commune aux deux équations. Il existe au moins 4 méthodes de résolution équivalentes : résolution par addition, substitution, graphique et la méthode dite de Cramer (Mathématicien Suisse 1704-1752).
Dans ce qui suit nous allons décrire seul la méthode de Cramer ou méthode dite parfois des déterminants.
2 11 Le déterminant du système précédent est donné par :
a' a
' b
b = ab’- a’b.
Il existe deux cas :
Déterminant
0
Dans ce cas, le système d’équations admet deux solutions :
x
x avec x ' c c
' b
b = cb’- c’b.
y
y
avec y ' a a' c
c = ac’- a’c.
Déterminant
0
Dans ce cas, le système possède une infinité de solutions si les équations sont linéairements dépendantes, c’est-à-dire que les deux équations se déduisent l’une de l’autre. Dans le cas contraire, le système ne possède pas de solutions.
Exemple : Résoudre le système d’équations suivant :
3 y 6 x 4
5 y 3 x
2 .
Le déterminant du système 0 et les équations sont ici indépendantes, la première ou la deuxième équation ne peut pas se déduire de l’autre. Ce système ne possède donc pas de solutions.
Exercice
Une basse cour contient des poules et des lapins. On compte en tout 60 têtes et 168 pattes.
Combien a-t-on de poules et de lapins ? II. Le polynôme du second degré
On appelle polynôme de degré n et de variable x, une somme de (n+1) monômes de degré inférieur ou égal à n, représentée par l’expression :
n i 0
i i
n(x) a x
P
avec (ai0), où les coefficients ai désignent des nombres réels.
12 2
Pour n =1, on obtient un polynôme du premier degré : P1 (x) = a1x + a0. C’est la forme affine de l’équation de la droite.
Pour n =2, on obtient un polynôme du second degré appelé aussi trinôme : P2
(x)= a2x2 + a1x + a0. La forme développée des identités remarquables classiques, (x + a) 2, (x-a) 2 et (x + a)(x-a) font parties des polynômes du second degré.
Théorème
Deux polynômes Pn (x) et Qm (x) de degré n et m respectivement sont dits identiques si et seulement si, ils ont les mêmes coefficients des monômes de même degré.
Exemple
Déterminer les coefficients réels a, b et c pour que : P (x) = x3 + 1 = (x + 1)(ax2 + bx + c).
Solution
Le développement de : (x + 1)(ax2 + bx + c) = ax3 + (a + b) x2 + (c + b) x + c.
D’après le théorème précédent d’égalité de deux polynômes, on doit avoir :
1 c
0 b c
0 b a
1 a
1 c
1 b c
1 a b
1 a
.
Finalement, P (x) s’écrit alors :
P(x)=(x+1)(x2 - x +1)
Dans ce qui suit, nous allons nous intéresser à l’étude et à la factorisation des polynômes du second degré. Rappelons que le principe de la factorisation utilise la propriété de la distribution de la loi multiplicative (.) par rapport à la loi additive (+), soit par exemple :
a. (b + c) = a. b + a. c.
On dit dans ce cas, le terme a.(b + c) est l’expression factorisée du terme a.b + a.c.
1. Factorisation du trinôme du second degré
Soit le polynôme du second degré à coefficients réels a, b et c suivant : P (x) = a x2 + b x + c avec
a 0
.2 13 La forme canonique de ce polynôme s’écrit :
2 2
a ) 4 a 2b x ( a ) x (
P ,
où
b
24 ac
s’appelle le discriminant du polynôme P (x).On distingue trois cas de discriminant :
Discriminant > 0
La racine carrée de existe dans ce cas. Le polynôme P (x) se factorise sous la forme d’un produit de facteurs suivant :
P (x) =
)
a 2 a 2 b x a )(
2 a 2 b x (
a
.Dans ce cas les solutions de l’équation P (x)=0 sont données par deux valeurs distinctes :
a b 2
x
1 oux
2b 2
a
.Graphiquement, la courbe associée à P (x) est une parabole possédant un extremum en x=
2 b a
. La courbe présente dans le cas où a > 0 un minimum et pour a < 0 un maximum.Les racines x1 et x2 représentent les points d’intersections de la courbe associée à P (x) avec l’axe des abscisses ox.
Discriminant = 0
Dans ce cas, l’expression du polynôme P (x) se factorise sous la forme :
)
2a 2 b x ( a ) x (
P
.Les solutions de l’équation P (x) = 0 sont doubles et données par :
a
2 b x
x
1 2 .Contrairement au cas précédent, la courbe associée à P (x) présente un seul point d’intersection avec l’axe des abscisses ox.
Discriminant < 0
P (x) est dans ce cas la somme de deux nombres positifs et donc ne se factorise pas. Soit :
14 2
P (x) =
2
)
2a ( 2 a ) 2 b x (
a
avec (-> 0).P (x) = 0 ne possède donc pas de solutions dans l’ensemble IR.
Graphiquement la courbe associée à P (x) ne possède aucun point d’intersection avec l’axe des abscisses ox.
Exercice : Somme et produit des racines
1. Montrer que dans le cas où
0
, la somme et le produit des racines sont donnés respectivement par :a b
S
etP a c
.2. En déduire que P (x) s’écrit dans ce cas : P (x) = a (x2 –Sx + P).
Solution
Dans le cas où
0
en faisant la somme et le produit des racines on a : S = x1 + x2 =b 2
a
+a b 2
=
a b
.
P = x1 x2 = (
b 2
a
)(a b 2
)=
a c
. En mettant a en facteur dans l’expression de P (x), on obtient :a c ).
a x x b ( a ) x (
P
2 En introduisant S et P, on obtient l’expression demandée, soit : P (x) = a (x2 –Sx + P).
2. Etude du signe du trinôme
Le signe du trinôme P (x) = ax2 + bx + c dépend du signe du discriminant . Dans le cas où est positif, P (x) est du signe de a à l’extérieur des racines et de – a à l’intérieur. Par contre lorsque est négatif ou nul, P (x) est du signe de a.
III. Quelques fonctions de références et leurs graphes
Nous résumons dans le tableau suivant quelques fonctions de références bien connues.
2 15
Graphes des fonctions de références citées
IV. Le cercle trigonométrique
On appelle cercle trigonométrique un cercle orienté de rayon égal à l’unité et dont le sens de parcours des angles est donné par le sens inverse des aiguilles d’une montre.
Considérons le cercle trigonométrique de la figure suivante :
16 2
A un point M quelconque du cercle d’abscisse Q et d’ordonnée P faisant un angle x avec l’axe OX, on associe les fonctions circulaires suivantes :
cos (x) = OQ, sin (x) = OP, tg (x) = AT, cotg (x) = BC.
Les fonctions cosinus et sinus de l’angle x ainsi obtenues représentent respectivement les projections orthogonales du point M sur les axes OX et OY.
Par contre, les fonctions tangente et cotangente de l’angle x représentent respectivement, en raison de la nature semblable des triangles OQM et OAT, les droites (AT) et (BC) tangentes au cercle aux points A et B.
Les fonctions ainsi définies sont périodiques : f (x + T) = f (x), de période
2
T
pour les fonctions cos (x) et sin (x) etT
pour les fonctions tg (x) et cotg (x).Nous déduisons facilement pour ces raisons de périodicité des fonctions circulaires pour un angle
quelconque :2 17
Valeurs particulières de quelques angles remarquables
Relations trigonométriques fondamentales
Des considérations géométriques, de symétries axiales (axes OX, OY) et centrale opérées sur la figure du cercle trigonométrique précédent permettent de définir les relations trigonométriques suivantes :
1 x cos x
sin
2 2 ,x cos sin x tgx
,tgx1 gx cot .
En considérant la symétrie d’un point M par rapport à l’axe OX, on obtient : cos (-x)=cos (x), sin (-x)= – sin (x), tg (-x)= – tg (x), cotg (-x)= – cotg (x).
En considérant la symétrie d’un point M par rapport à l’axe OY, on obtient : )
x cos(
) x
cos( , sin(x)sin(x), tg(x)tg(x), cotg(x)cotg(x). En considérant la symétrie centrale d’un point M par rapport à l’origine O, on obtient :
cotg(x) x)
cotg(π . De la même façon, on obtient :
) x sin(
) 2 x
cos(
,sin( 2
x )
cos( x )
,tg ( 2
x )
cot g ( x )
,cot g ( 2
x )
tg ( x )
. )x sin(
) 2 x
cos( ,
x ) cos( x )
sin(
2
,x ) cot g ( x ) ( 2
tg
, x) tg(x)2
cotg(π .
Fonctions circulaires de la somme et de la différence d’arguments Pour deux angles quelconques a et b, nous avons :
b sin a sin b cos a cos ) b a
cos( et sin(ab)sinacosbcosasinb. )
cos( x cos(x), sin(x)sin(x),
tg(π
x)
tg(x ) ,
18 2
b sin a sin b cos a cos ) b a
cos( et sin(ab)sinacosbcosasinb. On en déduit que :
tgatgb 1
tgb ) tga
b a (
tg
et1 tgatgb tgb ) tga
b a (
tg
.D’autre part, en faisant la somme ou la différence des relations ci-dessus, on obtient :
)) b a cos(
) b a (cos(
2 1 b cos a
cos
.)) b a cos(
) b a (cos(
1 2 b sin a
sin
.)) b a sin(
) b a (sin(
2 1 b cos a
sin
.Si a=b, ces relations deviennent :
a sin a cos ) a 2
cos(
2 2 , sin(2a)2sinacosa,a tg 1
tga ) 2 a 2 (
tg
2 . Nous déduisons de ce qui précède les formules de linéarisation suivantes :
) a 2 cos 1 2 ( a 1
cos
2 etsin
2a
2 1 ( 1
cos 2 a )
. Somme et différence de deux fonctions trigonométriques Posons le changement de variables suivant : a + b = p et a – b = q.
Les relations précédentes donnent : 2
q cosp 2
q cosp 2 q cos p
cos ,
2
q cos p 2
q sin p 2 q sin p
sin
.2 , q sinp 2
q sinp 2 q cos p
cos
2
q sin p 2
q cos p 2 q sin p
sin
.V. Vecteurs et produit scalaire 1. Définition d’un vecteur
Un vecteur est un segment de droite orienté caractérisé par :
un point d’application.
une direction (le support du vecteur).
q cos p cos
) q p tgq sin(
tgp et
q cos p cos
) q p tgq sin(
tgp .
2 19
un sens (une direction possède deux sens).
un module ou une intensité.
Exemples de vecteurs
a) Vecteur lié ou fixe : c’est un vecteur dont le point d’application est fixe. Son origine et son extrémité sont définies par des coordonnées dans le système d’axes choisi.
b) Vecteur libre : c’est un vecteur dont le point d’application est indéterminé dans le plan ou l’espace.
2. Propriétés des vecteurs
Soient trois vecteurs libres quelconques A , B
et
C
. La somme ou la différence de deux vecteurs est un vecteur (Relation de Chasles).
La somme de vecteurs est : commutative : A
+
B
=
B
+ A, associative : (A
+
B
) + C=A + (
B
+ C ).
Le produit d’un vecteur A
par un scalaire m est un vecteur dont le module est multiplié par m et le sens donné par le signe de m.
3. Expression analytique d’un vecteur
Pour simplifier, nous considérons un référentiel plan constitué de deux axes orthogonaux, ox et oy, de base normée (O, i,j)
où
i
et j
désignent ici les vecteurs unitaires de la base.
Soit le vecteur
AB
donné par deux points A et B quelconques du plan de coordonnées : A (xa ; ya) et B (xb ; yb).On appelle les composants du vecteur
AB
, les nombres scalaires algébriques issus des projections orthogonales de chaque point du vecteur sur chacun des axes ox et oy du repère, qu’on note parAB
(xb – xa ; yb – ya).D’après la relation de Chasles (Mathématicien Français 1793-1880), l’expression analytique du vecteur
AB
est donnée par :AB
(xb xa)i (yb ya)j
,
dont la norme est donnée par le théorème de Pythagore :
20 2
a 2 2 b
b
x
a) ( y y ) x
(
AB
.4. Produit scalaire de deux vecteurs
On appelle produit scalaire de deux vecteurs A et B
, le nombre scalaire donné par le produit des modules de ces deux vecteurs et du cos(),
désigne l’angle formé par ces deux vecteurs. Soit :) cos(
B . A B .
A
,où
A
etB
désignent les modules des vecteurs A et Brespectivement.
Il en résulte d’après cette définition :
Le produit scalaire de deux vecteurs est commutatif.
Le produit scalaire est distributif par rapport à l’addition de vecteurs.
Cas particuliers :
Si A
B
alors A.B0 .
Si A.B0
A
0
ouB
0
ou A B .
Si A // B
et de même sens
A
. B
A . B
. ExerciceMontrer que si deux vecteurs A et B
font un angle
entre eux, alors le module de leur vecteur somme, notéR
, est donné par :) cos(
B A 2 B
A
2
2
R
,où
A
etB
désignent les modules des vecteurs A et Brespectivement.
Exercice
Dans un plan P rapporté à un repère orthonormé de base (O, i,j) , on considère deux vecteurs quelconques
V
1( x
1; y
1)
etV
2( x
2; y
2)
formant un angle entre eux. En utilisant la définition du produit scalaire de deux vecteurs, montrer que :
a) .
b) En déduire de ce qui précède que :