Résoudre un problème par une recherche

(1)

Introduction à l’Intelligence Artificielle et à la Théorie des Jeux

Ahmed Bouajjani

abou@irif.fr

Résoudre un problème par une recherche

Recherche non informée

(2)

Problème —> question de recherche

Exemple : Aller d’un point à un autre dans une ville

(3)

Problème —> question de recherche

Exemple : Aller d’un point à un autre dans une ville - quelle est la donnée du problème ?

- quel type d’agent ?

(4)

Problème —> question de recherche

-

Un point de départ

-

Ensemble de segments (rues, avenues) reliant des points dans la ville

-

Un point d’arriver

(5)

Problème —> question de recherche

-

Un point de départ

-

- Agent basé un modèle avec but

- Phase de résolution du problème + phase d’execution

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Problème —> question de recherche

-

Un point de départ

-

- quelle est une solution ? - quel type d’agent ?

(7)

Problème —> question de recherche

-

Un point de départ

-

- quelle est une solution ?

- Une sequence de segments

(8)

Problème —> question de recherche

-

Un point de départ

-

- Une sequence de segments Environnement statique

(9)

Problème —> question de recherche

-

Un point de départ

-

- Une sequence de segments - Une arbre de segments

Environnement statique

Environnement dynamique

Stratégie contre l’environnement

(10)

Problème —> question de recherche

-

Un point de départ

-

- Une sequence de segments - Une arbre de segments

Environnement statique

Environnement dynamique

Stratégie contre l’environnement

(11)

Description Formelle d’un Problème

-

Etat initial par où l’agent devra commencer

-

Ensemble d’actions possibles (chacune applicable à un ensemble d’états)

-

Fonction de transition : état s, action a —> s’ obtenu en appliquant a à s

-

Fonction de coût : transition s -a-> s’ —> c(s, a, s’) — distance, temps, …

-

Test de l’état but où l’agent devra arriver

(12)

Description Formelle d’un Problème

-

Etat initial par où l’agent devra commencer

-

Ensemble d’actions possibles (chacune applicable à un ensemble d’états)

-

Fonction de transition : état s, action a —> s’ obtenu en appliquant a à s

-

Fonction de coût : transition s -a-> s’ —> c(s, a, s’) — distance, temps, …

-

Test de l’état but où l’agent devra arriver

=> Ensemble des états + transitions = graphe dirigé (étiqueté)

=> Trouver une solution = recherche dans un graphe

(13)

JEUX DU TAKIN

1 3 2

4 6 5

7 8

1 2

4 5 6

7 8

3

Etat initial

suite d'actions

Etat final

-

Etats : description des positions des pièces, ex: (1,3,2,7,B,4,8,5,6); (1,2,3,4,5,6,B,7,8) …

-

Etat initial : peut être n’importe quel état, ex: (1,3,2,7,B,4,8,5,6)

-

Actions : Mouvements de B vers Haut, Bas, Gauche, Droite

-

Transitions : Pour chaque état et action, associe l’effet de l’application de l’action, ex:

-

Coût : chaque transition coûte 1, càd on mesure le nombre d’étapes pour atteindre le but

-

Test de fin : Etat est un but, càd ici = (1,2,3,4,5,6,B,7,8)

(1,3,2,7,B,4,8,5,6) — Droite —> (1,3,2, 7,4,B,8,5,6)

(14)

PROBLÈME DES HUITS DAMES

État initial : échiquier vide / 8 dames dans des positions quelconques Action : ajouter une dame sur une position vide / déplace une dame

Placer 8 Dames sur l’échiquier de manière

à ce qu’aucune ne puisse attaquer l’autre

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Autres Problèmes plus Réalistes

-

Routage dans les réseaux

-

Navigation (trajectoire, itinéraire …), convoi, robot, missile, …

-

Planning (séquence d’actions pour effectuer une tâche)

-

Problèmes de conception de circuits

-

Analyse de programmes

-

^…

(16)

LE PROBLÈME DU COMMIS VOYAGEUR

Faire le tour de toutes les villes en passant par chaque ville une seule fois.

Minimiser la longueur totale du trajet Problème complexe: NP-complet

(17)

Résoudre un problème

-

Recherche dans un graphe, schéma générique

-

Différentes instances

-

Recherche non informée

-

Recherche informée (guidée lors de l’exploration de l’espace d’états)

(18)

INFRASTRUCTURE POUR LE PROBLÈME DE RECHERCHE

• n.état — état du noeud

• n.parent — le parent du noeud

• n.action — l'action qui appliquée au parent donne l'état du noeud

• n.coût le coût du chemin de la racine jusqu'au noeud

fonction créer_noeud(Noeud parent, Action action)

retourne Noeud n = new noeud()

n.état = transition(parent.état, action) n.action = action

n.coût = parent.coût + coût(parent.état,action) n.parent = parent

(19)

INFRASTRUCTURE POUR LE PROBLÈME DE RECHERCHE

fonction créer_noeud_initial(État état)

retourne Noeud n = new noeud()

n.état = état

n.action = null n.coût = 0

n.parent = null

(20)

ALGORITHME GÉNÉRIQUE — TREE-SEARCH

- On déplie le graphe en un arbre, éventuellement infini

- On ne mémorise pas les sommets traités

A

B C

A

C B

A

C B

. . .

(21)

ALGORITHME GÉNÉRIQUE - TREE-SEARCH

fonction tree-search(problème) retourne solution ou échec n = new noeud(état_init); frontière = { n };

loop do

si frontière vide retourner échec

n = élément de la frontière; supprimer n de la frontière;

si n.état est un état but alors retourner solution pour chaque action a faire

nouvel_état = transition(n.état, a) m = new noeud(nouvel_état)

ajouter m dans la frontière fait

end loop

-

On déplie le graphe en un arbre, éventuellement infini

-

On ne mémorise pas les sommets traités

-

On maintient une Frontière : feuilles de l’arbres = noeuds non traités

(22)

ALGORITHME GÉNÉRIQUE — GRAPHE-SEARCH

fonction graph-search(problème) retourne solution ou échec n = créer_noeud_initial(état_init);

FRONTIERE = { n }; FERMES = {};

loop do

si frontière vide retourner échec n = élément de la FRONTIERE

supprimer n de la FRONTIERE

if n.état est un état but alors retourner solution ajouter n dans FERMES

pour chaque action a faire

nouvel_état = transition(n.état, a)

si nouvel_état dans un noeud de FRONTIERE

ou dans un noeud de FERMES alors continue m = new noeud(nouvel_état)

ajouter m dans FRONTIERE fait

end loop

- FRONTIERE = noeuds à traiter

- FERMES = noeuds traités (tous les successeurs ont été découverts)

(23)

IMPLÉMENTER LA FRONTIÈRE COMME UNE FILE

• créer_file() — retourne une file vide

• est_vide(file) — retourne true si la file vide

• premier(file) — retourne le premier élément (celui avec le coût minimal)

• supprimer_premier(file) — supprime le premier élément de la file

• insérer(file, élément) — ajouter un élément dans la file

(24)

QUELLE FILE ?

• FIFO — first in first out, file d’attente habituelle

• LIFO — last in first out, pile

• File avec priorité

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CRITÈRES DE PERFORMANCES

• algorithme complet ? Oui, s'il trouve une solution quand elle existe.

• l'algorithme optimal ? est-ce que la solution trouvée est optimale?

• complexité en temps et espace

(26)

RECHERCHE EN LARGEUR

• coût(état,action) est 1

• la file : FIFO, arrêter dès que la solution est trouvée (tester si noeud =

destination avant de le mettre dans la frontière, pas à la sortie de la frontière)

• Est-ce que l'algorithme est complet ?

• Optimal?

• Complexité ?

(27)

• Est-ce que l'algorithme est complet ? OUI

• Optimal? OUI

• Complexité ?

(28)

• Est-ce que l'algorithme est complet ? OUI

• Optimal? OUI

• Complexité ?

• si chaque sommet possède b fils et la solution se trouve à distance d de la racine alors le nombre de noeuds générés

b+b^2+b^3+…+b^{d-1} = O(b^d)

d

(29)

b = 10 (facteur de branchement)

un million de noeuds par seconde, mémoire par noeud 1000 octets

profondeur noeuds temps mémoire

8 10^8 2 minutes 103 GB

10 10^10 3 heures 10 TB

12 10^12 13 jours 1 petabyte

14 10^14 3.5 année 99 petabytes

16 10^16 350 ans 10 exabytes

(30)

RECHERCHE À COÛT UNIFORME (UNIFORM COST SEARCH)

• File = file avec priorité

• Priorité : g(n) = coût cumulé (courant) de la racine à n

• Généralise la recherche en largeur (cas particulier coût = 1)

(31)

RECHERCHE À COÛT UNIFORME (UNIFORM COST SEARCH)

• File = file avec priorité

• Priorité : g(n) = coût cumulé (courant) de la racine à n

• Généralise la recherche en largeur (cas particulier coût = 1)

• Condition : coût(état,action) doit être toujours positif

• Trouve toujours le plus court chemin, donc complet et optimal.

• Il est important qu'on teste la terminaison quand un noeud sort de la frontière (si on le teste à l'entrée de la frontière l'algorithme n'est

pas optimal).

(32)

RECHERCHE EN PROFONDEUR

• utilise file LIFO (une pile)

• complet ?

• optimal ?

• coût en espace ?

• coût en temps ?

(33)

• complet ? tree search : NON, graph search : OUI

• optimal ?

(34)

• optimal ? tree search : NON, graph search : NON

(35)

• coût en espace ? (m = profondeur max d’un sommet)

- Tree search : b + b + … + b (m fois) = m.b

(36)

- Graph search : b + b^2 + … = O(b^m)

(37)

- Cas favorable : d

d

(38)

- Cas favorable : d

- Cas défavorable : b + b^2 + … = O(b^m)

(39)

Problème —> question de recherche

DEPTH-LIMITED SEARCH

Recherche en profondeur avec une borne sur la profondeur fixée K

-

Termine toujours, même avec Tree search

-

=> Même avantage que Tree Search : complexité en mémoire polynomiale

-

Mais on perd la complétude en général par rapport à Graph search

=> Obtenir le meilleur des deux mondes ?

(40)

ITERATIVE DEEPENING DEPTH-FIRST SEARCH

deepening_depth_first_search() for k=1 to infinity

do

solution = limited_depth_first_search(k) si solution != échec alors

retourner solution done

Iteration de la recherche bornée avec des bornes croissantes

-

^{Complet ?}

-

^{Optimal ?}

-

^{Espace ?}

-

^{Temps ?}

(41)

-

Complet ? OUI

-

Optimal ?

-

^{Espace ?}

-

^{Temps ?}

do

(42)

-

Complet ? OUI

-

Optimal ? OUI pour coût 1, NON en général

-

^{Espace ?}

-

^{Temps ?}

do

(43)

-

Complet ? OUI

-

Optimal ? OUI pour coût 1, NON en général

-

Espace ? O(m.b)

-

Temps ? O(b^m)

do