1BCPST3 DS#1 - vendredi 17 septembre (1h) Lycée Thiers
Exercice 1: un peu de probas
Une étude a été menée pour estimer les performances diagnostiques d’un test de détection du virus Ebola. La probabilité qu’une personne malade (c’est à dire atteinte par le virus) ait un test positif est 0,9 et la probabilité qu’une personne saine ait un test négatif est 0,95.
On suppose que la proportion d’individus atteint par le virus dans la population est égale àp(oùp∈[0,1]).
On effectue un test sur un individu pris au hasard. On noteT l’événement "le test est positif" et on noteMl’événement
"l’individu est atteint par le virus"
1. En déduireP(T)en fonction dep.
2. En déduirePT(M) = 90p 85p+5
Exercice 2:
Une retenue d’eau artificielle contient 100000 m3d’eau le 1erjuillet 2013 au matin.
La chaleur provoque dans la retenue une évaporation de 4 % du volume total de l’eau par jour. De plus, chaque soir, on doit libérer de la retenue 500 m3pour l’irrigation des cultures aux alentours.
Cette situation peut être modélisée par une suite(un).
Le premier juillet 2013 au matin, le volume d’eau en m3estu0=100000.
Pour tout entier naturelnsupérieur à 0,undésigne le volume d’eau en m3au matin dun-ième jour qui suit le 1erjuillet 2013.
1. Justifier que, pour tout entier natureln, on aun+1=0,96un−500.
2. On considère la suite(vn)définie pour tout entier naturelnparvn=un+12500.
(a) Montrer que la suite(vn)est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
(b) En déduire que, pour tout entier natureln, un=112500×0,96n−12500.
3. Déterminer le sens de variation de la suite(un).
4. Déterminer la limite de la suiteun. Interpréter.
Exercice 3:
On considère f :R→Rdéfinie par f(x) =xe−x2etg:D→Rdéfinie parg(x) =xlnx.
1. Donner sans justifier le domaine maximal de définitionDde la fonctiong.
2. Étudier la parité de f surR.
3. Déterminer le tableau de variation complet (avec limites) de f et deg.
On admettra que lim
x→0+xlnx=0et que lim
x→+∞xe−x2 =0.
4. Justifier que l’équationg(x) =0 admet une unique solution surD.
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dd
.Indications de solution exercice 1
•D’après l’énoncé on aP(M) =petPM(T) =0.9 etPM(T) =0.95 d’où l’on déduitPM(T) =0.05.
D’après la formule des probabilités totales avec le système complet(M,M)on a
P(T) =P(M)×PM(T) +P(M)×PM(T) =p×0.9+ (1−p)×0.05=0.85p+0.05
•D’après la formule des probabilités conditionnelles on a PT(M) =P(M∩T)
P(T) =P(M)×PM(T)
P(T) = p×0.9
0.85p+0.05= 90p 85p+5
.Indications de solution exercice 2
•La quantité d’eau au matin du(n+1)-ième jour est obtenue en prenant 96% de l’eau présente au matin dun-ième jour (à cause de l’évaporation) et en enlevant 500 m3(utilisés pour l’irrigation). D’où la formuleun+1=0.96un−500.
•Soitn∈N. On a
vn+1=un+1+12500=0.96un+12000=0.96×(un+12500) =0.96vn
Conclusion : la suite(vn)est géométriquederaison0.96 et de premier termev0=u0+12500=112500.
•Soitn∈N. D’après le cours sur les suites géométriques on avn=v0(0.96)nd’où l’on tire un=vn−12500=112500×(0.96)n−12500
•Soitn∈N. On a
un+1−un=112500× (0.96)n+1−(0.96)n
=112500×(0.96)n×(0.96−1) =−0.04×112500×(0.96)n<0 Conclusion : la suite(un)est décroissante.
•On a 0<0.96<1 donc lim
n→+∞(0.96)n=0 donc lim
n→+∞un=−12500.
Conclusion : lalimite de(un)est−12500<0 il y aura doncpénurie d’eau au bout d’un certain nombre de jours.
.Indications de solution exercice 3
•L’ensemble de définition de la fonctiongestD=R∗+=]0,+∞[.
•Soitx∈R. On a(−x)∈Ret : f(−x) = (−x)e−(−x)2=−xe−x2 =−f(x) Conclusion : f est impaire sur R.
•La fonction f est dérivable surR(produit de fonctions dérivables) et : ∀x∈R, f0(x) = (1−2x2)e−x2 On en déduit
x f0(x)
f(x)
−∞ −√
2/2 √
2/2 +∞
− 0 + 0 −
0 0
−√1
−√12e 2e
√1 2e
√1 2e
0 0 Remarque : la fonction f étant impaire la limite en−∞est l’opposée de la limite en+∞.
•La fonctiongest dérivable surD(produit de fonctions dérivables) et : ∀x∈D, f0(x) =lnx+1 On en déduit
x f0(x)
f(x)
0 e−1 +∞
− 0 +
0
−e−1
−e−1
+∞
+∞
•La fonctiongest strictement négative sur]0,e−1]donc l’équationg(x) =0 n’y a aucune solution.
La fonctiongest continue et strictement croissante sur[e−1,+∞[donc réalise une bijection de[e−1,+∞[sur[−e−1,+∞[.
Comme 0∈[−e−1,+∞[on en déduit que 0 possède un unique antécédent pargsur l’intervalle[e−1,+∞[, c’est à dire que l’équationg(x) =0 admet une unique solution sur[e−1,+∞[.
Conclusion :l’équationg(x) =0possède une unique solution surD=R∗+.
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