Programme de colle de maths
Quinzaine 1
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Semaine du 17 au 21 septembre 2012
:Cours nouveau :
Les séries numériques :
ä Dénitions : sommes partielles, série convergente et divergente, somme et reste d'une série convergente.
ä Propriétés : • si la sérieX
unconverge, alors lim
n→+∞un = 0. (Un contre-exemple de la réciproque doit être connu)
• opérations sur les séries convergentes.
ä Séries de références : • la série géométriqueX
n>0
xn et les sériesX
n>0
nxn et X
n>0
n2xn
• la série exponentielleX
n>0
xn n!·
ä Séries à termes positifs :
• Propriété fondamentale :
une série à termes positifs est convergente si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.
• Théorème de comparaison des séries à termes positifs : soientX
un etX
vn deux séries telles que, à partir d'un certain rang, 06un6vn; si la sérieX
vn converge, alors la sérieX
un converge si la sérieX
un diverge, alors la sérieX
vn diverge.
Les casun ∼
n→+∞vn etun= o
n→+∞(vn)sont HP et à redémontrer à chaque utilisation.
ä Toute série absolument convergente est convergente.
