1.1. Notion d’ensemble Exemples

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Ch.1. Langage des ensembles et applications

MP1

Les notes qui suivent sont très largement inspirées du site :

http ://uel.unisciel.fr/mathematiques/logique1/logique1/co/logique1.html.

MP1 Ch.1. Langage des ensembles et applications 1 / 27

1. Langage des ensembles

1.1. Notion d’ensemble Exemples

• {¹,7,√

2} désigne l’ensemble qui contient 3 éléments : 1, 7 et √

2. On utilise les accolades pour délimiter la liste de ses éléments. À l’intérieur des

accolades, peu importe l’ordre dans lequel on écrit les éléments. On peut donner un nom à cet ensemble, par exemple écrire E ={¹,7,√

2}^.

• [0,₁] désigne l’ensemble des réels compris entre 0 et 1. Ici, vue l’orientation des crochets, 0 et 1 sont des éléments de cet ensemble. On écrit ]0,₁] pour exclure 0, mais pas 1, ou [0,1[ pour exclure 1, mais pas 0, ou encore ]0,1[ pour exclure 0 et 1. Cet ensemble contient une infinité d’éléments. On peut aussi noter cet ensemble {x ∈ R|0≤ x ≤ 1} qui se lit « l’ensemble des x dans R ^{tels que} ⁰ ≤x ≤ ¹^».

Exemples

• N ensemble des entiers naturels, {⁰,1,2,3,· · · }^.

• Z ensemble des entiers relatifs, {⁰,₁,−¹,₂,−²,· · · }^.

• D ensemble des décimaux, c’est-à dire des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme n ·¹⁰^p^, n et p entiers relatifs.

• Q ensemble des rationnels, c’est-à-dire des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme m

n ^, m et n entiers relatifs avec n 6=0.

• R ensemble des nombres réels.

• C ensemble des nombres complexes, c’est-à-dire qui peuvent s’écrire a+ib, avec a et b réels (ensemble présenté et étudié au chapitre suivant).

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1.2. Notion d’appartenance

• x ∈E : x est élément de l’ensemble E ou encore x appartient à l’ensembleE.

• x ∈/ E : est la négation de x ∈ E, c’est-à dire que x n’est pas élément de l’ensemble E ou encore que x n’appartient pas à l’ensemble E.

Exemples

• ³ ∈ {²,₃,−⁵,⁷₂}

• ¹ ∈ {/ ²,3,−⁵,⁷₂}

• ⁰ ∈[0,₁]

• 0 ∈/]0,₁] Ensemble vide

Il y a un unique ensemble, appelé vide, qui ne contient aucun élément, et qui est noté ∅. Si on considère un élément x quelconque, on a forcément x ∈ ∅/ ^.

1.3. Inclusion

L’ensemble F est inclus dans l’ensemble E si tout élément de F appartient à E.

• F ⊂ E signifie que F est inclus dans l’ensemble E, ou encore que F est contenu dans E, ou encore que F est un sous-ensemble de l’ensemble E. On dit aussi que F est une partie de E.

• F 6⊂ E est la négation de F ⊂E. Cela signifie que F n’est pas inclus dans l’ensemble E ou encore qu’il existe au moins un élément de F n’appartenant pas à E.

L’inclusion est une inclusion large : tout ensemble est inclus dans lui même.

L’inclusion est transitive. Cette propriété permet d’écrire une série d’inclusions comme par exemple :

∅ ⊂ N⊂ Z⊂ D⊂ Q⊂ R⊂ C

Exemples

• [0,1] ⊂ [−¹,3] : tout réel compris entre 0 et 1 est également compris entre -1 et 3.

• {⁰,1,3} 6⊂ {−¹,0,3,5} : 1 est élément du premier ensemble, mais pas du deuxième.

• N ⊂Z : les entiers naturels sont des entiers relatifs.

1.4. Egalité d’ensembles

Deux ensembles E et F sont égaux s’ils ont exactement les mêmes éléments.

On peut donc écrire :

E = F si et seulement si (E ⊂ F et F ⊂ E) .

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Inclusion et implication, égalité et équivalence

Soient A et B deux sous-ensembles d’un ensemble E, dire que A est inclus dans B, c’est dire que pour tout élément de E, si c’est un élément de A alors c’est un élément de B.

A ⊂B est donc synonyme de « Pour tout x de E, si x appartient à A alors x appartient à B ».

Ou dans un langage symbolique : ∀x ∈ E,x ∈A =⇒ x ∈B.

A =B est alors synonyme de « Pour tout x de E, x appartient à A si et seulement si x appartient à B ».

Ou dans un langage symbolique : ∀x ∈ E,x ∈A ⇐⇒ x ∈ B.

(l’égalité est une double inclusion, elle se traduit par une équivalence qui est une double implication).

1.5. Produit d’ensembles

Lorsque E et F sont deux ensembles on définit leur produit par E ×F ={(x,y) | x ∈ E et y ∈F}

Exemples

• {1,₃} × {0,₁,₇} ={(1,₀),(1,₁),(1,₇),(3,₀),(3,₁),(3,₇)}. (attention, dans un couple, l’ordre compte ! (0,1)6= (1,0)).

• A = [0,₂]×[0,₂], B = [1,₄]×[1,₃], C ={¹} ×[1,₃] :

Exercice.

1 Dessiner les sous-ensembles de R² ^{suivants :}

A = [0,2]×[0,2], B = [1,4]×[1,3], A∩B, C = {¹} ×[1,2], D = [1,₂]× {¹}

2 Soit A ={1,₂,₃}, B ={1,₃} et C ={1,₄}. Expliciter les produits cartésiens A×B et C ×A.

3 Soit E ={a,b,c,d} un ensemble.

1 En utilisant les symboles∈,⊂ que peut-on écrire entre :

1)â êt Ê^, 2)∅êt E, 3) {a}êt E, 4) {a,b}êt E?

2 Donner P(E)l’ensemble des parties deE_.

3 Donner {a} ×E,E × {a}^et E ×E.

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1.6. Réunion d’ensembles

Si E et F sont des ensembles, E ∪F est l’ensemble constitué des éléments qui appartiennent (au moins) à l’un des deux ensembles E ou F :

x ∈E ∪F ⇐⇒ (x ∈ E ou x ∈ F) . Le "ou" est non-exclusif, c’est-à-dire qu’il regroupe trois cas :

x ∈E ∪F ⇐⇒ (x ∈E et x ∈F) ou (x ∈/ E et x ∈F) ou (x ∈E et x ∈/ F)

On a alors : x ∈/ E ∪F ⇐⇒ (x ∈/ E et x ∈/ F)

1.7. Intersection d’ensembles

Si E et F sont des ensembles, E ∩F est l’ensemble constitué des éléments qui appartiennent à la fois à E et à F. On a donc :

E ∩F ={x | x ∈E et x ∈ F} On déduit donc : x ∈/ E ∩F ⇐⇒ (x ∈/ E ou x ∈/ F)

Distributivité entre réunion et intersection

• L’intersection est distributive par rapport à la réunion : E ∩(F ∪G) = (E ∩F)∪(E ∩G)

• La réunion est distributive par rapport à l’intersection : E ∪(F ∩G) = (E ∪F)∩(E ∪G)

Exercice

Identifier les ensembles suivants et démontrer les égalités d’ensembles proposées : [

i∈N

]−i; +i[, \

i∈N

]− ¹i; +¹ i[

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1.8. Complémentaire

Le complémentaire de F dans E, noté F^c est constitué des éléments qui ne sont pas dans F. On a donc :

F^c ={x ∈ E | x ∈/ F} On peut donc écrire : x ∈F^c ⇐⇒ x ∈/ F.

Complémentaire, réunion et intersection

On a :

x ∈(E ∩F)^c ⇐⇒ x ∈/ E ∩F ⇐⇒ (x ∈/ E ou x ∈/ F) ⇐⇒ x ∈E^c ∪F^c et : x ∈(E ∪F)^c ⇐⇒ x ∈/ E ∪F ⇐⇒ (x ∈/ E et x ∈/ F) ⇐⇒ x ∈ E^c∩F^c C’est-à-dire :

• (E ∩F)^c = E^c ∪F^c

• (E ∪F)^c = E^c ∩F^c

2. Applications

2.1 Le cas des fonctions réelles 1. Généralités

Une fonction réelle f d’une variable réelle fait correspondre à tout élément x de R soit un unique élément f(x) de R, soit rien du tout.

Quand il existe, f(x) est appelé image de x par f.

L’ensemble Df des éléments de R qui ont une image par f est le domaine de définition de f.

L’ensemble f(Df) = {f(x) | x ∈Df} des éléments de R ^{qui ont un} ^antécédent par f est l’image de f.

Le graphe, appellé aussi la courbe représentative de l’application f est la partie Γ = {(x,f(x)) |x ∈Df} ⊂ R×R^.

2. Propriétés remarquables des fonctions

Soit D ⊂ R ^et f :D −→R^. Monotonie

On dit que f est croissante (resp. décroissante) si :

pour tous x,y ∈ D tels que x ≤y on a f(x) ≤f(y) (resp. f(x) ≥f(y)).

On dit que f est strictement croissante (resp. strictement décroissante) si : pour tous x,y ∈ D tels que x <y on a f(x)< f(y) (resp. f(x) >f(y)).

On dit que f est monotone (resp. strictement monotone) si elle est croissante ou décroissante (resp. strictement croissante ou strictement décroissante).

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Parité

On dit que f est paire si :

pour tout x ∈D, on a −x ∈ D et f(−x) = f(x). On dit que f est impaire si :

pour tout x ∈D, on a −x ∈D et f(−x) = −f(x). Périodicité Pour T ∈ R\ {⁰}^.

On dit que f est périodique de période T si :

pour tout x ∈D, on a x +T ∈D et x −T ∈D et f(x +T) = f(x).

2.1 Applications - Généralités

1. Vocabulaire

Une application f d’un ensemble E dans un ensemble F se défini par son graphe Gf qui est un sous-ensemble de E ×F possédant la propriété suivante :

pour tout x de E il existe un unique y de F tel que (x,y) appartient à Gf. On désigne alors y par f(x) et on note l’application

f :E → F, x 7→ f(x)

L’ensemble de départ (ou de définition) de f est E et F est l’ensemble d’arrivée.

Si y = f(x), y est l’image par f de l’élément x de E et x est un antécédent pour f de l’élément y de F.

2. Composition d’applications

La composée de deux applications f : E → F et g : F → G est une application notée g ◦f et défini par :

g ◦f : E → G, x 7→ (g ◦f)(x) =g(f(x))

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Exercice

I. Ecrire chacune des fonctions ci-dessous comme composée de fonctions usuelles et donner son ensemble de définition. Préciser les fonctions qui sont paires, impaires, périodiques.

1 p

ln(x)

2 1

q

sin²(x) +1

II. Calculer f ◦g et g ◦f dans les cas suivants et vérifier que f ◦g 6=g ◦f. Préciser les fonctions qui sont paires, impaires, périodiques.

1 f(x) =x²+1, g(x) = x³−³x²+2.

2 f(x) =e^x, g(x) =x²+4.

3. Image directe et image réciproque d’un ensemble

On se donne une application f :E → F, x 7→ f(x).

Si A est un sous-ensemble de E, l’image de A par f est le sous-ensemble noté f(A) de F défini par :

f(A) = {f(x) | x ∈A} ={y ∈F | ∃x ∈A, f(x) = y} Si B est un sous-ensemble de F, l’image réciproque de B par f est le sous-ensemble noté f⁻¹(B) de E défini par :

f⁻¹(B) ={x ∈ E | f(x)∈ B}

Exercice

1. Notons f la fonction carré.

Déterminer f([−¹,₁]), f(R),f(R⁺),f(R⁻), f([0,₃[), f⁻¹({¹}). Puis comparer f([−²,₀]∩[0,₂]) et f([−²,₀])∩f([0,₂]).

2. Notons g la fonction sinus.

Déterminer g([0,₂π]),g(R),g([0,₁₀]),g([0, π/₂[),g⁻¹([0,₁]).

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4. Injections, surjections, bijections Définition

Une application f :E → F est injective si tout élément de l’ensemble d’arrivée a au plus un antécédent par f :

(finjective) ⇐⇒ ∀(x, x⁰) ∈E ×E,(x 6=x⁰ ⇒ f(x)6= f(x⁰))

⇐⇒ ∀(x, x⁰) ∈E ×E,(f(x) = f(x⁰) ⇒ x =x⁰)

Définition

Une application f :E → F est surjective si tout élément de l’ensemble d’arrivée a au moins un antécédent par f :

(fsurjective) ⇐⇒ ∀y ∈F,∃x ∈E, y = f(x)

⇐⇒ (f(E) =F)

Exercice

Soit A ={⁰,1,2} ^et B ={⁰,1}. Donner toutes les applications de A dans B puis de B dans A en précisant celles qui sont injectives ou surjectives.

Définition

Une application f :E → F est bijective si elle est à la fois injective et surjective, donc si tout élément de l’ensemble d’arrivée admet un et un seul antécédent par f.

L’application f : E → F est bijective si et seulement si l’on peut définir une application de F dans E, que l’on appelle application réciproque de f et que l’on note f⁻¹ qui vérifie les propriétés équivalentes suivantes :

• ^{Pour tout} x dans E et y dans F on a l’équivalence y =f(x) ⇐⇒ x = f⁻¹(y)

• f⁻¹◦f =IdE et f ◦f⁻¹ = IdF

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Exercice

1 Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives ?

1 L’application f deR ^dans R définie parf(x) =x⁵, où x ∈R^;

2 L’application k deR² ^dans R définie park(x,y) =y−x².

2 Soient f et g les fonctions de R⁺ ^dans R⁺ définies par :

I Pour tout x ∈R⁺ f(x) =x+1

I Pour tout x ∈[0,1] g(x) =0 et pour tout x ∈]1,+∞[ g(x) =x −1

1 Montrer que f est injective mais non surjective.

2 Etudier l’injectivité et la surjectivité de g.

3 Calculer g◦f et f ◦g

Injectivité, surjectivité, bijectivité des fonctions réelles Soit f :D → R une fonction de domaine de définition D.

Propriétés

La fonction f est injective si et seulement si l’intersection de son graphe avec toute droite horizontale est au plus égale à un point.

La fonction f est surjective si et seulement si l’intersection de son graphe avec toute droite horizontale est au moins égale à un point.

La fonction f est bijective si et seulement si l’intersection de son graphe avec toute droite horizontale est exactement égale à un point.

Si la fonction f est injective alors l’application fe: D → f(D), x 7→ f(x) est bijective. Sa bijection réciproque est la fonction f⁻¹ : f(D)→ D qui

satisfait : «f⁻¹(y) est l’unique x de D tel que f(x) = y ». Le graphe de f⁻¹ est le symétrique du graphe de f par rapport à la droite d’équation y =x.

Proposition

Soit f :D → R une fonction de domaine de définition D.

Si f est strictement monotone, f est une bijection de D sur f(D) et sa bijection réciproque est également strictement monotone (de même sens de variation que f).

! ! ! Attention : Il existe des fonctions bijectives qui ne sont pas strictement

monotones !