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Fonction exponentielle - Résumé 1 pdf

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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Résumé - Fonctions exponentielle et logarithme

La fonction ln définie sur ] 0 ; +∞ [ et la fonction exp définie sur  sont toutes les deux continues et strictement croissantes.

Leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.

On peut noter expx=ex pour tout x réel, avec e≃2,718 .

Les fonctions exp et ln sont réciproques, c'est-à-dire que :

Pour x réel, lnex=x ,

Pour a0 , elna=a,

y=lnx ssi x=ey .

Propriété Fonction exponentielle Fonction logarithme

Valeurs particulières e0=1

e1=e

ln 1=0 lne =1 ln 2≃0,69

Équations ea=eba=b ln(a)=ln(b)⇔a=b attention domaine !

Inéquations eaebab ln(a)<ln(b)⇔a<b attention domaine ! Signe

ex0 quel que soit x.

lnx0 ⇔ 0x1

lnx0x1

Propriétés

calculatoires eab=ea×eb

eab=eab ea−b=ea

eb e−b=1

eb

lnab=lnalnb lnan=nlna lna

b=lna−lnb ln1

b=−lnb 1

2lna=ln

a

Limites lim

x −∞ex=0

x ∞lim ex=∞

lim

x0 x0

lnx=−∞

x∞lim lnx=∞

Asymptotes L'axe des abscisses en −∞. L'axe des ordonnées.

Dérivée ex'=ex

eu'=u ' eu

lnx'=1 x

lnu'=u '

u avec u > 0.

Fonctions composées eu a les mêmes variations que u lnu a les mêmes variations que u, avec u > 0.

y = exp(x)

y = x

y = ln(x)

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