Résumé - Fonctions exponentielle et logarithme
La fonction ln définie sur ] 0 ; +∞ [ et la fonction exp définie sur sont toutes les deux continues et strictement croissantes.
Leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.
On peut noter expx=ex pour tout x réel, avec e≃2,718 .
Les fonctions exp et ln sont réciproques, c'est-à-dire que :
✗ Pour x réel, lnex=x ,
✗ Pour a0 , elna=a,
✗ y=lnx ssi x=ey .
Propriété Fonction exponentielle Fonction logarithme
Valeurs particulières e0=1
e1=e
ln 1=0 lne =1 ln 2≃0,69
Équations ea=eb ⇔ a=b ln(a)=ln(b)⇔a=b attention domaine !
Inéquations eaeb ⇔ ab ln(a)<ln(b)⇔a<b attention domaine ! Signe
ex0 quel que soit x.
lnx0 ⇔ 0x1
lnx0 ⇔ x1
Propriétés
calculatoires eab=ea×eb
eab=eab ea−b=ea
eb e−b=1
eb
lnab=lnalnb lnan=nlna lna
b=lna−lnb ln1
b=−lnb 1
2lna=ln
aLimites lim
x −∞ex=0
x ∞lim ex=∞
lim
x0 x0
lnx=−∞
x∞lim lnx=∞
Asymptotes L'axe des abscisses en −∞. L'axe des ordonnées.
Dérivée ex'=ex
eu'=u ' eu
lnx'=1 x
lnu'=u '
u avec u > 0.
Fonctions composées eu a les mêmes variations que u lnu a les mêmes variations que u, avec u > 0.
y = exp(x)
y = x
y = ln(x)