Références
Présentation de la thèse
Approximation numérique de lois de conservation
hyperboliques stochastiques scalaires
dirigée par Thierry Gallouët et Julien Vovelle
Sylvain Dotti
Laboratoire de Physique et d’Ingénierie Mathématique PIMENT, La Réunion
25 Avril 2018
Lois de conservation scalaires
Les lois de conservation étudiées dans cette thèse s’écrivent sous la forme d’une équation aux dérivées partielles d’ordre 1 :
∂tu (x , t) + divx(A(u(x , t))) = G (x , u (x , t)) , t ∈ [0, +∞), x ∈ Rd.
u : Rd× R+→ R est l’inconnue, appelée quantité.
A : R → Rd est appelée fonction flux.
G : Rd× R → R est appelée terme source.
L’équation est à mettre en relation avec la loi de conservation parabolique ∂tu (x , t) + divx(A(u(x , t)) − ε∇u(x , t)) = G (x , u (x , t)) ,
t ∈ [0, +∞), x ∈ Rd, ε ∈ R+∗
où un terme de diffusion est ajouté.
Ecrites telles quelles, la quantité u et le terme source G ne dépendent pas du hasard, les lois de conservation sont dites déterministes.
Forme intégrale des lois de conservation scalaires
En supposant A et u suffisamment régulières, elles peuvent aussi s’écrire sous leur forme intégrale, grâce à un sous-ensemble ouvert borné régulier D ⊂ Rd de frontière ∂D : Z D u (x , t2) dx = Z D u (x , t1) dx − Z t2 t1 Z ∂D A (u(x , t)) .n (x ) d Hd −1(x ) dt+ Z t2 t1 Z D G (x , u (x , t)) dxdt
où n (x ) est le vecteur normal extérieur à l’ouvert D, A (u(x , t)) .n (x ) le produit scalaire euclidien entre A (u(x , t)) et n (x ), Hd −1la mesure de Hausdorff de dimension d − 1.
Un terme source stochastique
Si le terme source dépend du hasard, on remplace G (x , u(x , t)) par Φ (x , u(x , t, ω))dW
dt (t, ω)
où ω est la variable qui représente le hasard. Plus précisemment, ω appartient à l’espace probabilisé (Ω, F , P) muni de la filtration (Ft)t∈[0,T ]. W est un processus de Wiener cylindrique, autrement dit
W (t, ω) = X
k∈N∗
βk(t, ω)ek,
les βk étant des mouvements browniens réels mutuellement indépendants,
(ek) étant une base d’un espace vectoriel de Hilbert H. Chaque
Φ (x , u(x , t, ω)) : H → R est linéaire, continue avec Φ (x , u(x , t, ω)) W (t, ω) = X
k∈N∗
Les problèmes de Cauchy
Si la quantité u est connue au temps t = 0, on cherche à résoudre le problème de Cauchy
∂tu (x , t) + divx(A (u (x , t))) = G (x , u (x , t)) , ∀ (x , t) ∈ Rd× R+∗
u (x , 0) = u0(x ) , ∀x ∈ Rd
c’est à dire à prouver l’existence et l’unicité d’une solution u(x , t) qui donnera l’évolution au cours du temps, dans n’importe quel domaine D ⊂ Rd de la quantité
Z
D
u(x , t)dx .
Lorsque le terme source est stochastique, le problème de Cauchy s’écrit du (x , t, ω) + divx(A (u (x , t, ω))) dt = Φ (x , u(x , t, ω)) dW (t, ω), ∀ (x , t) ∈ Rd× R+ ∗ u (x , 0) = u0(x ) , ∀x ∈ Rd
Solution au sens faible en déterministe
La notion de solution faible fut introduite par Jean Leray dans son article [Ler33] de 1933. On dira que u ∈ L1
loc Rd× R+ est solution faible du
problème de Cauchy ∂tu (x , t) + divx(A (u (x , t))) = G (x , u (x , t)) , ∀ (x , t) ∈ Rd× R+∗ u (x , 0) = u0(x ) , ∀x ∈ Rd si ∀ϕ ∈ C∞ c Rd× R+, Z Rd×R+ (u (x , t) ∂tϕ (x , t) + A (u (x , t)) .∇xϕ (x , t)) dxdt + Z Rd u0(x ) ϕ (x , 0) dx = − Z Rd×R+ G (x , u (x , t)) ϕ (x , t) dxdt Grâce à des intégrations par partie par rapport aux variables d’espace et de temps, le problème de la dérivabilité de l’inconnue u est transféré aux fonctions test ϕ(x , t). La condition initiale est alors incorporée dans l’équation à résoudre.
Solution faible entropique en déterministe
L’unicité (et l’existence) d’une solution faible au problème de Cauchy sont résolues par Kruzhkov [Kru70] (cf aussi Gallouët, Herbin [GH94]) grâce à l’introduction d’une condition supplémentaire d’entropie. Une fonction u bornée est dite solution faible entropique si pour toute fonction convexe η ∈ C1 (R), ∀ϕ ∈ Cc∞ Rd× R+; R+ Z Rd×R+ η (u(x , t)) ∂tϕ (x , t)+ Z u(x ,t) 0 η0(r ) A0(r ) dr .∇xϕ (x , t) ! dxdt + Z Rd η (u0(x )) ϕ (x , 0) dx − Z Rd×R+ η0(u (x , t)) G (x , u (x , t)) ϕ (x , t) dxdt ≥ 0. Lorsque la condition initiale u0 est bornée, il existe une unique solution
faible entropique u ∈ C R+; L1
loc R
Formulation cinétique en déterministe
Lions, Perthame et Tadmor [LPT94] introduisent une variable
supplémentaire ξ ∈ R dite cinétique, et une mesure m positive et finie sur Rd× R+× Rξ afin d’écrire l’inégalité entropique sous la forme d’une
égalité. Dans le cas où G ≡ 0, elle s’écrit ∀ϕ ∈ Cc∞(Rd× R+× R
ξ) : Z Rd×(0,+∞)×R ∂tϕ (x , t, ξ) 1u(x ,t)>ξdxdtd ξ + Z Rd×(0,+∞)×R ∇xϕ (x , t, ξ) .A0(ξ) 1u(x ,t)>ξdxdtd ξ + Z Rd +1 ϕ (x , 0, ξ) 1u0(x )>ξdxd ξ = Z Rd×(0,+∞)×R ∂ξϕ (x , t, ξ) m (dx , dt, d ξ)
On retrouve la solution u grâce à la formule Z
R
Solution cinétique stochastique A)
Nous prouvons existence et unicité d’une solution cinétique u au problème de Cauchy du (x , t, ω) + divx(A (u (x , t, ω))) dt = Φ (x , u(x , t, ω)) dW (t, ω), ∀ (x , t) ∈ Td× [0, T ] u (x , 0) = u0(x ) , ∀x ∈ Td lorsque I A ∈ C2
(R; Rd) et a ses dérivées à croissance au plus polynomiale.
I (x , ξ) ∈ Td× R 7→ Φ (x, ξ) est Lipschitzienne en x,1
2-Höldérienne
en ξ, à croissance au plus affine en ξ, à support compact.
I u0est bornée I ∀p ∈ [1; +∞), E Z T 0 Z Td |u (x , t, ω)|pdxdt < +∞ I ∀ϕ ∈ C1 c Td× Rξ, presque sûrement, t 7→R Td×Rξϕ (x , ξ) 1u(x ,t,ω)>ξdxd ξ est càdlàg
Solution cinétique stochastique B)
c’est à dire l’existence et l’unicité d’un tel processus stochastique u et d’une mesure aléatoire m : Ω → M+b Td× [0, T ] × R telle que Emω Td× [0, T ] × R < +∞, qui vérifient ∀ϕ ∈ C1 c Td× Rξ , ∀t ∈ [0, T ], presque sûrement, Z Td×Rξ ϕ (x , ξ) 1u(x ,t)>ξdxd ξ − Z Td×Rξ ϕ (x , ξ) 1u0(x )>ξdxd ξ = Z t 0 Z Td×Rξ A0(ξ) .∇x(ϕ (x , ξ)) 1u(x ,t)>ξ dxd ξdr + Z t 0 Z Td×Rξ ϕ (x , ξ) Φ (x , ξ) δu(x ,r )(d ξ) dxdW (r ) +1 2 Z t 0 Z Td×Rξ ∂ξϕ (x , ξ) kΦ (x , ξ) k2L2(H,R)δu(x ,r )(d ξ) dxdr − Z t 0 Z Td×Rξ ∂ξϕ (x , ξ) m (dx , dr , d ξ) .
Le maillage espace/temps du schéma Volumes Finis
I Le maillage Th de Td de taille h ∈ R+∗ est constitué de polyèdres K
disjoints dont la réunion est égale à Td.
I ∀K ∈ Th, diam(K ) ≤ h où diam(K ) est la distance maximale entre
deux élément du polyèdre K ,
I Si K , L sont deux polyèdres voisins du maillage Th, on note nK ,Lle
vecteur unitaire normal à leur face commune dirigé de K vers L.
I Le maillage Tk de [0, T ] est constitué de NT intervalles [tn, tn+1[ de
longueur ∆tn. Sa taille s ∈ [0, 1] est définie par s = sup
0≤n≤NT−1
∆tn
I La condition CFL utilisée sera s ≤ Cste|K |, ∀K ∈ Th,
Le schéma numérique des Volumes Finis
Pour obtenir le schéma, on écrit la différentielle stochastique d (u (x , t)) + divx(A (u (x , t))) dt = Φ (x , u (x , t)) dW (t)
sous sa forme intégrale pour t ∈ [tn, tn+1), on intègre l’équation sur la
cellule K , on approche la solution sur [tn, tn+1) × K par la constante uKn :
Z K u(x , tn+1) − u(x , tn)dx + Z tn+1 tn Z K divx(A (u(x , t))) dxdt = |K | uKn+1− un K + Z tn+1 tn Z ∂K A (u(x , t)) .nK(x )d Hd −1(x )dt ≈ |K | un+1 K − u n K + ∆tn X L∈N (K ) AK →L(uKn, u n L) . On obtient donc |K | uKn+1− un K+∆tn X L∈N (K ) AK →L(unK, unL) = Z tn+1 tn Z K Φ (x , uKn) dxdW (s)
La solution approchée donnée par le schéma
La famille de flux numériquesAK →L, K ∈ Th, L ∈ N (K ) choisie sera
monotone :
(u, v ) ∈ R27→ AK →L(u, v ) ∈ R
est croissante en u, décroissante en v .
Avec la donnée initiale u0K =|K |1 Z
K
u0(x )dx , ∀K ∈ Th, la solution
approchée uh,s est définie pour presque tout x ∈ Td par :
La convergence de la solution du schéma Volumes Finis
vers la solution cinétique stochastique
Sous les nombreuses hypothèses précédentes, la solution uh,k du schéma
Volumes Finis explicite en temps converge vers la solution cinétique u de la loi de conservation hyperbolique avec terme source stochastique de la manière suivante : lim h→0E Z Td×[0,T ] |uh,s(x , t, ω) − u(x , t, ω)| p dxdt = 0, ∀p ∈ [1, +∞)
Conclusion A)
Les preuves d’existence et d’unicité de solutions de lois de conservation ne donnent pas la forme de la solution u. Les schémas Volumes Finis donnent des approximations numériques de u par des fonctions
constantes par morceaux. Ces approximations seront utilisables dès que les fonctions A, G , Φ, u0 seront connues.
Conclusion B)
Plus précisémment :
1. Dans le cas déterministe, (x , t) 7→ uh,s(x , t) est constante par
morceaux.
2. Dans le cas stochastique, à ω ∈ Ω fixé, chaque réalisation (x , t) 7→ uh,s(x , t, ω) est constante par morceaux. Chaque
réalisation est calculée grâce à la formule de récurrence
uKn+1(ω) = uKn(ω) − ∆tn |K | X L∈N (K ) AK →L(unK(ω), u n L(ω)) + √ ∆tn |K | X k∈N∗ Xkn(ω) Z K Φ(x , uKn(ω))ekdx où (Xn
k)k,n∈N∗ est une suite de variables aléatoires indépendantes,
Les perspectives à court terme
I Réécrire la convergence d’une solution approchée donnée par l’équation parabolique vers la solution cinétique.
I Réécrire l’équivalence solution cinétique/solution entropique.
I Prouver la convergence du schéma Volumes Finis explicite en temps avec kΦ(x , ξ)k2L2(H,R)≤ D0au lieu de Φ à support compact, avec
une CFL du type ∆t ≤ Cste|ln h|h p, p ∈ [1, +∞).
I Prouver la convergence du schéma Volumes Finis implicite en temps
I Réécrire la définition de solution cinétique d’un problème de Dirichlet faite par Kobayasi et Noboriguchi [KN16], en lui demandant d’être càdlàg ou continue en temps, prouver l’unicité afin d’étudier la convergence du schéma Volumes Finis explicite en temps et peut-être améliorer le récent résultat de [BCG17].
Les perspectives à plus long terme
I Etudier la loi de conservation hyperbolique scalaire avec terme source, mais cette fois avec un flux stochastique
I Etudier la loi de conservation hyperbolique scalaire avec terme source, et une condition initiale, un terme source ou un flux perturbés par un bruit de Lévy
I Etudier un système de lois de conservation avec termes sources stochastiques
Bibliographie I
Caroline Bauzet, Julia Charrier et Thierry Gallouët.« Numerical approximation of stochastic conservation laws on bounded domains ». In : ESAIM : Mathematical Modelling and Numerical Analysis 51.1 (2017), p. 225–278 (cf. p.17).
Constantine M Dafermos.Hyperbolic conservation laws in continuum physics, volume 325 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences].
Springer-Verlag, Berlin, 2010.
Thierry Gallouët et Raphaele Herbin.« A uniqueness result for measure valued solutions of a nonlinear hyperbolic equations ». In : Differential and Integral Equations 6.6 (1994), p. 1383–1394 (cf. p.7).
Kazuo Kobayasi et Dai Noboriguchi.« A stochastic conservation law with nonhomogeneous Dirichlet boundary conditions ». In : Acta Mathematica Vietnamica 41.4 (2016), p. 607–632 (cf. p.17).
Stanislav N Kružkov.« First order quasilinear equations in several independent variables ». In : Mathematics of the USSR-Sbornik 10.2 (1970), p. 217 (cf. p.7).
Jean Leray.« Etude de diverses équations intégrales non linéaires et de quelques problèmes que pose l’hydrodynamique ». In : Thèses françaises de l’entre-deux-guerres 142 (1933), p. 1–82 (cf. p.6).
P-L Lions, Benoît Perthame et Eitan Tadmor.« A kinetic formulation of multidimensional scalar conservation laws and related equations ». In : Journal of the American Mathematical Society 7.1 (1994), p. 169–191 (cf. p.8).