2 Automath Droites. Savoir lire graphiquement. Savoir lire graphiquement des équations de parallèles

(1)

2 Automath - Droites.docx, le 16/04/2022 F. de Verclos (Lycée Saint-Marc) 1 sur 14

2 Automath – Droites

Faire la fiche au brouillon en se corrigeant au fur et à mesure (inutile de recopier le corrigé sur le brouillon)...

Apporter ses brouillons en classe.

Dans toute la fiche, le plan est muni d’un repère (𝑂, 𝑖⃗, 𝑗⃗)

Savoir lire graphiquement

 Les coordonnées du vecteur 𝑢⃗⃗

 Un vecteur directeur de chacune des droites 𝐷1, 𝐷2 et 𝐷3

 La pente des droites 𝐷₁, 𝐷₂ et 𝐷₃

 Une équation de chacune des droites

Savoir lire graphiquement des équations de parallèles

Question 1

Sachant que les droites sont parallèles, donner une équation de chacune des droites

Question 2

Sachant que les droites sont parallèles, donner une équation de chacune des droites

(2)

Savoir tester si un point est sur une droite

1) Donner des équations de trois droites passant par 𝐴( −11 ; 7 ) 2) Le point 𝐴(9 ; 3) est-il sur la droite 𝑑: 3𝑥 + 2𝑦 − 33 = 0 ? 3) Le point 𝐴(2 ; 5) est-il sur la droite 𝑑: −8𝑥 + 7𝑦 + 19 = 0 ?

Savoir trouver des points d’une droite

1) Donner les coordonnées de trois points de la droite 𝐷₁: 𝑦 = −3𝑥 + 4 2) Donner les coordonnées de trois points de la droite 𝐷₂: 4𝑥 − 5𝑦 + 20 = 0

3) Donner les coordonnées de trois points de la droite 𝐷₃ passant par 𝐴(−2 ; 5) et de vecteurs directeur 𝑢⃗⃗ ( 3

−4)

Savoir donner un vecteur directeur et la pente

Donner trois vecteurs directeurs et la pente dans les cas suivants : 1) 𝑑₁: 𝑦 =^−7𝑥+3₅

2) 𝑑₂: −2𝑥 + 7𝑦 + 5 = 0 3) 𝑑₃: 𝑦 = −8

4) 𝑑₄: 𝑥 = −4

5) 𝑑₅ a pour vecteur directeur 𝑢⃗⃗ (−3 5 ) 6) 𝑑₆ a pour pente ²₃

7) 𝑑₇ est une parallèle à 𝑑₈: −𝑥 + 4𝑦 − 1 = 0 8) 𝑑₉ est une parallèle à 𝑑₁₀: 𝑦 = √2 𝑥 − 1

Savoir déterminer une équation de droite

0) Soit 𝐷: 2𝑥 + 7𝑦 − 7 = 0 Donner trois autres équations de cette droite 1) Donner une équation de la droite 𝑑 passant par A(5 ; 3) et de pente −⁵₇ 2) Soit D la droite d’équation : 𝑦 = − 2𝑥 + 5

Déterminer, en justifiant, une équation de la droite D’ parallèle à D et passant par le point 𝐴 ( 3 ; 0) 3) A(-2 ; 5) B(3 ; 7) C(-2 ; 13) D(1 ; 5)

a) Donner une équation de (AB) b) Donner une équation de (AC) c) Donner une équation de (AD)

4) Donner des équations de trois droites parallèles à 𝐷1: 𝑦 = 0,2𝑥 − 5

5) Donner une équation de la droite 𝐷 passant par 𝐴(−7 ; 5) et parallèle à 𝐷^′: −9𝑥 + 11𝑦 + 2 = 0 6) Donner des équations de trois droites parallèles à 𝐷: −5𝑥 + 3𝑦 + 7 = 0

7) Donner une équation de 𝐷, la parallèle à l’axe des ordonnées passant par 𝐴(−3 ; 8)

(3)

8) Donner une équation de 𝐷, la droite passant par 𝐴(9 ; −1) et vecteur directeur 𝑢⃗⃗ (−2 11)

9) Donner une équation de 𝐷, la parallèle à l’axe des abscisses passant par 𝐴(−3 ; 8)

Savoir reconnaitre des droites parallèles

1) Parmi les droites suivantes, existe-t-il des parallèles ? Pourquoi ?

𝑑₁: − 3𝑥 + 12𝑦 − 5 = 0 𝑑₂: 𝑥 − 6 = 0 𝑑₃: 𝑦 =¹

4𝑥 + 7

𝑑₄ : x2 𝑑₅ : y6 𝑑₆ : 3𝑦 − 2 = 0

𝑑₇: 5 √2 𝑥 − 20 √2 𝑦 + 2 = 0 𝑑₈: 0,25𝑥 − 𝑦 + 7 = 0 𝑑₉: 𝑦 =^7𝑥−9

28

2) Soit 𝑡 un réel. Existe-t-il des valeurs de 𝑡 pour lesquelles la droite 𝐷₁: 𝑡𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0 soit parallèle avec la droite 𝐷₂: − 2𝑥 + (1 − 𝑡)𝑦 + 2 = 0

Savoir reconnaitre des droites

On considère les ensembles de points, définis ci-dessous, lesquels sont des droites ?

E1 : y3x²7 E2 : 3x2y 4 E3 :

x  9

E4 : y2x E5 : 𝑦 =^3𝑥+1

7 E6 : 2 1



 x y

𝐸₇: 𝑦 = 5 𝐸₈: − 5𝑥 + 7𝑦 + 3 = 0 E9 : 𝑥²+ 2𝑥 + 𝑦²+ 1 = 7

Savoir tracer des droites

1) Représenter graphiquement les droites : d1 : x5 d2 : y1 d3 : −4𝑥 + 2𝑦 − 8 = 0 2) Tracer la droite 𝐷 passant par 𝐴(−6 ; 7) et de pente −0,4.

3) Tracer la droite 𝐷 passant par 𝐴(−6 ; −5) et de vecteur directeur vecteur 𝑢⃗⃗(5 ; 2)

Savoir déterminer des points d’intersection

Soit 𝐷: − 3𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 et 𝑃: 𝑦 = (1 − 3𝑥)(2𝑥 + 5)

1) Déterminer les points d’intersection de 𝐷 avec l’axe des abscisses 2) Déterminer les points d’intersection de 𝐷 avec l’axe des ordonnées 3) Déterminer les points d’intersection de 𝑃 avec l’axe des abscisses 4) Déterminer les points d’intersection de 𝑃 avec l’axe des ordonnées 5) Déterminer les points d’intersection de 𝑃 et de 𝐷

Savoir déterminer le nombre de solutions d’un système linéaires à deux inconnues

1) Donner trois solutions de l’équation 2𝑥 + 3𝑦 = 8

2) Sans résoudre, trouver les systèmes qui n’ont qu’une seule solution : 𝑎) {7𝑥 − 28𝑦 = 49

2𝑥 − 8𝑦 = 14 𝑏) { 6𝑥 − 14𝑦 = 9

−9𝑥 + 21𝑦 = 11 𝑐) {2𝑥 + 8𝑦 = 10

−5𝑥 + 6𝑦 = 1

(4)

Pour se corriger

Savoir lire graphiquement

 Les coordonnées du vecteur 𝑢⃗⃗

𝑢⃗⃗ = 2 𝑖⃗ + 3 𝑗⃗ donc 𝑢⃗⃗ (2 3)

 Droite 𝐷₁

Prenons deux points 𝐴 et 𝐵 sur 𝐷₁, 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3 𝑖⃗ − 1 𝑗⃗

donc un vecteur directeur est 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( 3

−1) D’autres réponses possibles parmi une infinité d’autres :

𝑣⃗ (−3

1 ) 𝑤⃗⃗⃗ (−6

2 ) 𝑡⃗ ( 6

−2) 𝑎⃗ (−9 3 ) 𝑏⃗⃗ (−3 √7

√7 )

et plus généralement tout vecteur non nul colinéaire à 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Comme 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥_𝐵− 𝑥_𝐴

𝑦𝐵− 𝑦𝐴) = ( 3

−1) est un vecteur directeur de 𝐷₁, la pente est 𝑚 =^𝑦^𝐵^−𝑦^𝐴

𝑥_𝐵−𝑥_𝐴 = −¹

3

L’équation réduite 𝐷₁: 𝑦 = −¹

3𝑥 + 4

 Droite 𝐷2

La droite 𝐷₂ est parallèle à l’axe des abscisses. Un vecteur directeur est 𝑖⃗(1 0) . D’autres réponses possibles parmi une infinité d’autres :

𝑣⃗ (2

0) 𝑤⃗⃗⃗ (−6

0 ) 𝑡⃗ (6

0) 𝑎⃗ (9

0) 𝑏⃗⃗ (3 √7

0 ) et plus généralement tout vecteur non nul colinéaire à 𝑖⃗

La pente est : 𝑚 = 0. Tous les points ont la même ordonnée −3. L’équation réduite est 𝑦 = −3

 Droite 𝐷₃

La droite 𝐷₃ est parallèle à l’axe des ordonnées. Un vecteur directeur est 𝑗⃗(0 1) . D’autres réponses possibles parmi une infinité d’autres :

𝑣⃗ (0

2) 𝑤⃗⃗⃗ ( 0

−6) 𝑡⃗ (0

6) 𝑎⃗ (0

9) 𝑏⃗⃗ ( 0

3 √7) et plus généralement tout vecteur non nul colinéaire à 𝑗⃗

La pente n’existe pas ! Tous les points ont la même abscisse −3. L’équation réduite est 𝑥 = −3

Savoir lire graphiquement des équations de parallèles

Question 1

La pente de 𝐷₁ est √2. Toutes les droites parallèles à 𝐷₁ ont le même pente.

Leur équation est de la forme : 𝑦 = √2 𝑥 + 𝑝 Il reste à lire leur ordonnée à l’origine.

Par exemple, le point situé à la fois sur 𝐷₂ et l’axe des ordonnées a pour coordonnées (0 ; −2) Donc 𝐷₂: 𝑦 = √2 𝑥 − 2

𝐷₃: 𝑦 = √2 𝑥 𝐷₄: 𝑦 = √2 𝑥 + 3 𝐷₄: 𝑦 = √2 𝑥 + 5

(5)

Question 2 Attention, l’équation donnée pour 𝐷₁ n’est pas sous la forme réduite.

Première méthode : Un vecteur directeur de 𝐷₁ est 𝑢⃗⃗ (−𝑏

𝑎 ) = (−3 5 )

Les parallèles ont les mêmes vecteurs directeurs donc une de leurs équations est de la forme 3𝑥 + 5𝑦 + 𝑐 = 0

Le point de coordonnées (0 ; −1) est sur 𝐷₂ donc 3 × 0 + 5(−1) + 𝑐 = 0 donc 𝑐 = 5 𝐷₂: 3𝑥 + 5𝑦 + 5 = 0

Le point de coordonnées (0 ; −3) est sur 𝐷₃ donc 3 × 0 + 5(−3) + 𝑐 = 0 donc 𝑐 = 15 𝐷₃: 3𝑥 + 5𝑦 + 15 = 0

Le point de coordonnées (0 ; −6) est sur 𝐷₄ donc 3 × 0 + 5(−6) + 𝑐 = 0 donc 𝑐 = 30 𝐷₄: 3𝑥 + 5𝑦 + 30 = 0

Seconde méthode : 5𝑥 + 3𝑦 = 0 ⇔ 𝑦 = −³

5𝑥 La pente de 𝐷₁ est −⁵

3. Toutes les droites parallèles à 𝐷1 ont la même pente.

Leur équation est de la forme : 𝑦 = −⁵

3 𝑥 + 𝑝 Il reste à lire leur ordonnée à l’origine.

𝐷₂: 𝑦 = −⁵

3 𝑥 − 1 𝐷₃: 𝑦 = −⁵

3 𝑥 − 3 𝐷₄: 𝑦 = −⁵

3𝑥 − 6

Savoir tester si un point est sur une droite

1) Par exemples : 𝐷₁: 𝑥 = −11 qui est la parallèle à l’axe des ordonnées passant par 𝐴 𝐷₂: 𝑦 = 7 qui est la parallèle à l’axe des abscisses passant par 𝐴

Une démarche parmi d’autres … Prenons une pente quelconque 𝑚 = 85.

Trouvons 𝑝 pour que 𝐴 soit sur la droite d’équation 𝑦 = 85𝑥 + 𝑝 85 × (−11) + 𝑝 = 7 donc 𝑝 = 7 + 935 = 942

𝐷₃: 𝑦 = 85𝑥 + 942

2) Pour 𝑥 = 9 et 𝑦 = 3 3𝑥 + 2𝑦 − 33 = 3 × 9 + 2 × 3 − 33 = 27 + 6 − 33 = 0 Les coordonnées de 𝐴 vérifient l’équation de 𝑑 donc 𝐴 ∈ 𝑑

3) Pour 𝑥 = 2 et 𝑦 = 5 −8𝑥 + 7𝑦 + 19 = −8 × 2 + 7 × 5 + 19 = −16 + 35 + 19 = 38 Les coordonnées de 𝐴 ne vérifient pas l’équation de 𝑑 donc 𝐴 ∉ 𝑑

Savoir donner les coordonnées de points d’une droite

1) Pour 𝑥 = 6 (valeur arbitrairement choisie) 𝑦 = −3𝑥 + 4 = −3 × 6 + 4 = −14 𝐴(6 ; −14) ∈ 𝐷₁ Et on recommence avec d’autres valeurs de 𝑥.

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

y 16 13 10 7 4 1 -2 -5 -8 -11 -14

Les points de coordonnées (−4 ; 16) (−3 ; 13) (−2 ; 10) … (5 ; −11) (6 ; −14) sont sur 𝐷₁ 2) Pour 𝑥 = 6 4 × 6 − 5𝑦 + 20 = 0 donc −5𝑦 = −44 donc 𝑦 =⁻⁴⁴

−5 =⁴⁴

5

Le point 𝐴 (6 ;⁴⁴

5) ∈ 𝐷₂

(6)

Au lieu de fixer une valeur de 𝑥, on peut prendre une valeur pour 𝑦 Pour 𝑦 = 5 4𝑥 − 5 × 5 + 20 = 0 donc 4𝑥 = 45 donc 𝑥 =⁴⁵

4

Le point 𝐴 (5 ;⁴⁵₄) ∈ 𝐷₂ Voici d’autres possibilités

x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -3,75 -2,5 -1,25

y 5,6 4,8 4 3,2 2,4 1,6 0,8 0 -0,8 1 2 3

3) Soit 𝐵 l’image de A par la translation de vecteur 𝑢⃗⃗

donc 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑢⃗⃗

donc les vecteurs 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝑢⃗⃗ sont colinéaires donc le point 𝐵 est aussi sur la droite.

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑢⃗⃗ ⇔ {𝑥_𝐵− (−2) = 3

𝑦_𝐵− 5 = −4 ⇔ { 𝑥_𝐵= 3 − 2 = 1 𝑦_𝐵 = −4 + 5 = 1 Donc 𝐵(1 ; 1) est sur la droite.

Soit 𝐶 l’image de A par la translation de vecteur 2 𝑢⃗⃗

donc 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 𝑢⃗⃗

donc les vecteurs 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝑢⃗⃗ sont colinéaires donc le point 𝐶 est aussi sur la droite.

𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 𝑢⃗⃗ ⇔ {𝑥_𝐶− (−2) = 2 × 3

𝑦_𝐶− 5 = 2 × (−4)⇔ { 𝑥_𝐵= 6 − 2 = 4 𝑦_𝐵 = −8 + 5 = −3 Donc 𝐶(4 ; −3) est sur la droite.

En fait, la droite 𝐷3 est l’ensemble des points 𝑀 tels que 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘 𝑢⃗⃗ avec 𝑘 ∈ ℝ

Par exemple, 𝐸 l’image de A par la translation de vecteur √3 𝑢⃗⃗ donc 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = √3 𝑢⃗⃗

donc les vecteurs 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝑢⃗⃗ sont colinéaires donc le point 𝐸 est aussi sur la droite.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = √3 𝑢⃗⃗ ⇔ 𝐴𝐸 {𝑥_𝐸− (−2) = √3 × 3

𝑦𝐸− 5 = √3 × (−4) ⇔ { 𝑥_𝐸= 3 √3 − 2

𝑦_𝐸= −4 √3 + 5 Donc 𝐸(3 √3 − 2 ; −4 √3 + 5) ∈ 𝐷₃

Savoir donner un vecteur directeur et la pente

1) 𝑑₁: 𝑦 =^−7𝑥+3

5 = −⁷

5𝑥 +³

5 La pente de 𝑑₁ est −⁷

5

Un vecteur directeur est: 𝑢⃗⃗ (1

𝑚) = ( 1

−⁷

5

) D’autres vecteurs directeurs sont:

2 𝑢⃗⃗⃗⃗ ( 2

−¹⁴

5

) 3 𝑢⃗⃗ ( 3

−7) 4 𝑢⃗⃗ ( 4

−²⁸

5

) −𝑢⃗⃗ (−1

7 5

) … et plus généralement 𝑘 𝑢⃗⃗ avec 𝑘 ≠ 0

2) 𝑑₂: −2𝑥 + 7𝑦 + 5 = 0 Un vecteur directeur est: 𝑢⃗⃗ (−𝑏

𝑎 ) = (−7

−2). D’autres vecteurs directeurs : 2 𝑢⃗⃗⃗⃗ (−14

−4) 3 𝑢⃗⃗ (−21

−6) −𝑢⃗⃗ (7

2) √85 𝑢⃗⃗⃗⃗ (−7 √85

−2 √85) … et plus généralement 𝑘 𝑢⃗⃗ avec 𝑘 ≠ 0 La pente est : 𝑚 =⁻²₋₇=₋₁₄⁻⁴ =⁻¹²₋₂₁= ⋯ =²₇

−2

−7,₋₁₄⁻⁴ , ⁻¹²₋₂₁, … ,²₇ sont diverses formes du même nombre

(7)

3) 𝑑₃: 𝑦 = −8 = 0𝑥 − 8 La pente de 𝑑₃ est 0 Un vecteur directeur est 𝑖⃗(1

𝑚) = (1

0) La droite 𝐷₃ est parallèle à l’axe des abscisses.

D’autres vecteurs directeurs possibles parmi une infinité d’autres : 𝑣⃗ (2

0) 𝑤⃗⃗⃗ (−6

0 ) 𝑡⃗ (6

0) 𝑎⃗ (9

0) 𝑏⃗⃗ (3 √7

0 ) et plus généralement tout vecteur non nul colinéaire à 𝑖⃗

4) 𝑥 = −4 ⇔ 1𝑥 + 0𝑦 + 4 = 0 Un vecteur directeur est: 𝑗⃗(−𝑏 𝑎 ) = (0

1).

La droite 𝐷₄ est parallèle à l’axe des ordonnées. D’autres vecteurs directeurs parmi une infinité d’autres : 𝑣⃗ (0

2) 𝑤⃗⃗⃗ ( 0

−6) 𝑡⃗ (0

6) 𝑎⃗ (0

9) 𝑏⃗⃗ ( 0

3 √7) et plus généralement tout vecteur non nul colinéaire à 𝑗⃗

La pente n’existe pas !

5) 𝑑₅ a pour vecteur directeur 𝑢⃗⃗ (−3

5 ) D’autres vecteurs directeurs : 2 𝑢⃗⃗⃗⃗ (−6

10) 3 𝑢⃗⃗ (−9

15) −𝑢⃗⃗ ( 3

−5) 2,5 𝑢⃗⃗⃗⃗ (−7,5

12,5) … et plus généralement 𝑘 𝑢⃗⃗ avec 𝑘 ≠ 0 La pente est : 𝑚 =¹⁰

−6= ¹⁵

−9= ^12,5

−7,5= ⋯ = −⁵

3 6) 𝑑₆ a pour pente 𝑚 =²

3 𝑢⃗⃗ (1

𝑚) = (1

2 3

) D’autres vecteurs directeurs : 3 𝑢⃗⃗⃗⃗ (3

2) − 𝑢⃗⃗ (−1

−²

3

) 2𝑢⃗⃗ (2

4 3

) ⁷₃ 𝑢⃗⃗⃗⃗ (−²⁸

3

−⁷₃) … et plus généralement 𝑘 𝑢⃗⃗ avec 𝑘 ≠ 0

7) 𝑑8: −𝑥 + 4𝑦 − 1 = 0 Un vecteur directeur de 𝑑8 est: 𝑢⃗⃗ (−𝑏

𝑎 ) = (−4

−1) Comme 𝑑7 est parallèle à 𝑑8, 𝑢⃗⃗ (−4

−1) est aussi un vecteur directeur de 𝑑7

D’autres vecteurs directeurs : 2 𝑢⃗⃗⃗⃗ (−8

−2) 3 𝑢⃗⃗ (−12

−3) −𝑢⃗⃗ (4 1) ⁷

3 𝑢⃗⃗⃗⃗ (−²⁸

3

−⁷

3

) … et plus généralement 𝑘 𝑢⃗⃗ avec 𝑘 ≠ 0 La pente est : 𝑚 = −₋₈² = −₋₄¹ = ⋯ =¹₄= 0,25

8) 𝑑₁₀: 𝑦 = √2 𝑥 − 1 La pente de 𝑑₁₀ est 𝑚 = √2

Comme les droites 𝑑₉ et 𝑑₁₀ sont parallèles, la pente de 𝑑₁₀ est aussi √2 Un vecteur directeur est: 𝑢⃗⃗ (1

𝑚) = (1

√2) D’autres vecteurs directeurs sont:

2 𝑢⃗⃗⃗⃗ ( 2

2 √2) √2 𝑢⃗⃗ (√2

2) −𝑢⃗⃗ ( −1

−√2) … et plus généralement 𝑘 𝑢⃗⃗ avec 𝑘 ≠ 0

Savoir déterminer une équation de droite

Question 0 𝐷: 2𝑥 + 7𝑦 − 7 = 0

 𝐷 a pour équation réduite 𝑦 = −²

7𝑥 + 1

(8)

 En multipliant à chaque membre par un même nombre non nul, on obtient une autre équation qui a exactement les mêmes solutions (par exemple par 85) : 𝐷: 170𝑥 + 595𝑦 − 595 = 0

 En ajoutant à chaque membre par un même nombre non nul, on obtient une autre équation qui a exactement les mêmes solutions (par exemple par 85) : 𝐷: 2𝑥 + 7𝑦 + 78 = 85

Question 1 La pente de 𝑑 est 𝑚 = −⁵

7 Donc 𝑑: 𝑦 = −⁵

7𝑥 + 𝑝 Comme A est sur 𝑑, −⁵

7× 5 + 𝑝 = 3 donc 𝑝 = 3 +²⁵

7 =⁴⁶

7

Ainsi : 𝑑: 𝑦 = −⁵₇𝑥 +⁴⁶₇ Question 2 La pente de 𝐷 est : −2.

Comme 𝐷′ est parallèle à 𝐷, 𝐷′ a −2 comme pente.

Une équation 𝐷 est donc de la forme : 𝑦 = −2𝑥 + 𝑝

Comme le point 𝐴 ( 3 ; 0) est sur 𝐷′, ses coordonnées vérifient l’équation :

−2 × 3 + 𝑝 = 0 ⇔ −6 + 𝑝 = 0 ⇔ 𝑝 = 6 Donc 𝐷′ : 𝑦 = −2𝑥 + 6

Question 3a

Première rédaction : Comme 𝑥_𝐴≠ 𝑥_𝐵, (𝐴𝐵): 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝 𝑚 =𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑠 𝑜𝑟𝑑𝑜𝑛𝑛é𝑒𝑠

𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑒𝑠 =2 5 Donc (𝐴𝐵): 𝑦 =²

5𝑥 + 𝑝

Comme 𝐴(−2 ; 5) est sur (𝐴𝐵): ²

5× (−2) + 𝑝 = 5 ⇔ −⁴

5+ 𝑝 = 5 ⇔ 𝑝 =²⁹

5

Une équation de (𝐴𝐵) est 𝑦 =²

5𝑥 +²⁹

5

Seconde rédaction : 𝑀(𝑥 ; 𝑦) ∈ (𝐴𝐵) 𝑆𝑆𝐼 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥 − (−2)

𝑦 − 5 ) et 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (5

2) sont colinéaires 𝑆𝑆𝐼 2(𝑥 + 2) − 5(𝑦 − 5) = 0

𝑆𝑆𝐼 2𝑥 − 5𝑦 + 29 = 0 (𝐴𝐵): 2𝑥 − 5𝑦 + 29 = 0

Au brouillon : Pour 𝑥 = −2 ²

5𝑥 +²⁹

5 =²

5× (−2) +²⁹

5 = −⁴

5+²⁹

5 =²⁵

5 = 5 Pour 𝑥 = 3 ²₅𝑥 +²⁹₅ =²₅× 3 +²⁹₅ =⁶₅+²⁹₅ =³⁵₅ = 7 A et B sont bien sur la droite !

Question 3b Comme 𝑥_𝐴 = 𝑥_𝐶 = −2 (𝐴𝐶): 𝑥 = −2 Question 3c Comme 𝑦_𝐴 = 𝑦_𝐷 = 5 (𝐴𝐷): 𝑦 = 5 Question 4 : 𝐷1: 𝑦 = 0,2𝑥 − 5 𝐷1 a pour pente 0,2

Les parallèles à 𝐷₁ ont la même pente et une équation de la forme : 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝 Des parallèles : 𝐷₂: 𝑦 = 0,2𝑥 + 6 𝐷₃: 𝑦 = 0,2𝑥 − 8 𝐷₃: 𝑦 = 0,2𝑥 Question 5 𝐷^′: −9𝑥 + 11𝑦 + 2 = 0 Un vecteur directeur est: 𝑢⃗⃗ (−𝑏

𝑎 ) = (−11

−9).

(9)

𝑀(𝑥 ; 𝑦) ∈ (𝐴𝐵) 𝑆𝑆𝐼 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥 + 7)

𝑦 − 5) et 𝑢⃗⃗ (−11

−9) sont colinéaires 𝑀(𝑥 ; 𝑦) ∈ (𝐴𝐵) 𝑆𝑆𝐼 −9(𝑥 + 7) − (−11)(𝑦 − 5) = 0

𝑆𝑆𝐼 −9𝑥 + 11𝑦 − 118 = 0 Une équation de 𝐷: − 9𝑥 + 11𝑦 − 118 = 0

Question 6 𝐷: −5𝑥 + 3𝑦 + 7 = 0 Un vecteur directeur est: 𝑢⃗⃗ (−𝑏

𝑎 ) = (−3

−5) 𝑢⃗⃗ est aussi un vecteur directeur de toutes les parallèles à 𝐷

Les parallèles ont une équation de la forme −5𝑥 + 3𝑦 + 𝑐 = 0. Par exemples :

𝐷₁: − 5𝑥 + 3𝑦 − 1 = 0 𝐷₂: − 5𝑥 + 3𝑦 + 4 = 0 𝐷₃: − 5𝑥 + 3𝑦 = 0 Question 7 Toutes les parallèles à l’axe des ordonnées ont une équation de la forme : 𝑥 = 𝑝

Les points d’une de ces parallèles ont tous la même abscisse.

Or 𝐴(−3 ; 8) a pour abscisse −3 donc 𝐷: 𝑥 = −3 Question 8 𝑀(𝑥 ; 𝑦) ∈ (𝐴𝐵) 𝑆𝑆𝐼 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑥 − 9

𝑦 + 1) et 𝑢⃗⃗ (−2

11) sont colinéaires 𝑆𝑆𝐼 11(𝑥 − 9) − (−2)(𝑦 + 1) = 0

𝑆𝑆𝐼 11𝑥 + 2𝑦 − 97 = 0 (𝐴𝐵): 11𝑥 + 2𝑦 − 97 = 0

Question 9 Toutes les parallèles à l’axe des abscisses ont une équation de la forme : 𝑦 = 𝑝 Les points d’une de ces parallèles ont tous la même ordonnée.

Or 𝐴(−3 ; 8) a pour ordonnée 8 donc 𝐷: 𝑦 = 8

Savoir reconnaitre des droites parallèles

Question 1 Un vecteur directeur n’est pas unique par contre la pente l’est.



−3𝑥 + 12𝑦 − 5 = 0 ⇔ 12𝑦 = 3𝑥 + 5 ⇔ 𝑦 =

^3𝑥+5

12

=

¹

4

𝑥 +

⁵

12

𝑑

₁

a pour pente

¹

4



𝑥 − 6 = 0 ⇔ 𝑥 = 6

La droite 𝑑

₂

n’a pas de pente, elle est parallèle à l’axe des ordonnées.



𝑑

₃

: 𝑦 =

¹

4

𝑥 + 7 𝑑

₃

a pour pente

¹₄



𝑑

₄

: 𝑥 = 2 La droite 𝑑

₄

n’a pas de pente, elle est parallèle à l’axe des ordonnées.



𝑑

₅

: 𝑦 = 0𝑥 + 6 La droite 𝑑

₅

a pour pente 0



𝑑

₆

: 𝑦 =

²

3

La droite 𝑑

₆

a pour pente 0



5√2 𝑥 − 20 √2 𝑦 + 2 = 0 ⇔ −20√2 𝑦 = −5√2 𝑥 − 2 ⇔ 𝑦 = −

^5√2

−20√2

𝑥 −

²

−20√2

⇔ 𝑦 =

¹

4

𝑥 +

¹

10√2

La droite 𝑑

₇

a pour pente

¹

4

(10)



0,25𝑥 − 𝑦 + 7 = 0 ⇔ −𝑦 = −0,25𝑥 − 7 ⇔ 𝑦 =

¹

4

𝑥 + 7 La droite 𝑑

₈

a pour pente

¹

4



𝑑

₉

: 𝑦 =

^7𝑥−9

28

=

^7𝑥

28

−

⁹

28

=

^7𝑥

4×7

−

⁹

28

=

¹

4

𝑥 −

⁹

28

La droite 𝑑

₉

a pour pente

¹

4

Les droites 𝑑

₁

, 𝑑

₃

, 𝑑

₇

, 𝑑

₈

et 𝑑

₉

sont parallèles car elles ont la même pente

¹

4

Les droites 𝑑

₅

et 𝑑

₆

sont parallèles car elles ont la même pente 0 ( elles sont toutes les deux parallèles à l’axe des abscisses).

Les droites 𝑑

₂

et 𝑑

₄

sont parallèles car elles sont toutes les deux parallèles à l’axe des ordonnées.

Question 2

Un vecteur directeur de 𝐷₁ est 𝑢⃗⃗ (−3

𝑡 ) et un vecteur directeur de 𝐷₂ est 𝑣⃗ (−(1 − 𝑡)

−2 ) 𝐷₁ et 𝐷₂ sont parallèles SSI (−3) × (−2) − (−(1 − 𝑡)) × 𝑡 = 0

SSI 6 + (1 − 𝑡)𝑡 = 0 SSI −𝑡²+ 𝑡 + 6 = 0

On reconnait la forme 𝑎𝑡²+ 𝑏𝑡 + 𝑐 avec 𝑎 = −1 𝑏 = 1 𝑐 = 6 On pose Δ = 𝑏²− 4𝑎𝑐 = 1²− 4 × (−1) × 6 = 25 = 5²

Comme Δ > 0 l’équation a deux solutions 𝑡₁ =^{−𝑏−√Δ}

2𝑎 = ⁻¹⁻⁵

2×(−1)= 3 et 𝑡₂=^{−𝑏+√Δ}

2𝑎 = ⁻¹⁺⁵

2×(−1)= −2 𝐷₁ et 𝐷₂ sont parallèles pour :

 a = −2 𝐷₁: − 2𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0 𝐷₂: − 2𝑥 + 3𝑦 + 2 = 0

 a = 3 𝐷₁: 3𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0 𝐷₂: − 2𝑥 − 2𝑦 + 2 = 0

Savoir reconnaitre des droites,

Hors programme mais pour s’échauffer pour la première, reconnaitre : - des paraboles formes 𝑦 = 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 avec 𝑎 ≠ 0,

- des hyperboles forme 𝑦 =^{𝑎𝑥+𝑏}

𝑐𝑥+𝑑 avec 𝑐 ≠ 0

 On reconnait la forme 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 avec 𝑎 = 1 𝑏 = 0 𝑐 = 7 𝐸₁ est une parabole

 3𝑥 + 2𝑦 = 4 ⇔ 3𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0

On reconnait la forme 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 avec 𝑎 = 3 𝑏 = 2 𝑐 = −4 donc 𝐸₂ est une droite

 E3 : x9 On reconnait la forme 𝑥 = 𝑝

Donc 𝐸₃ est une droite parallèle à l’axe des ordonnées. La pente n’existe pas.

 E4 : y2x On reconnait la forme 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝 avec 𝑚 = 2 et 𝑝 = 0 Donc 𝐸₄ est une droite

 E5 : 𝑦 =^3𝑥+1

7 =³

7𝑥 +¹

7 On reconnait la forme 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝 avec 𝑚 =³

7 et 𝑝 =¹

7 𝐸₅ est une droite

(11)

 ²

𝑥+ 1 =_𝑥²+^𝑥_𝑥=^𝑥+2_𝑥 . On reconnait la forme ^{𝑎𝑥+𝑏}_{𝑐𝑥+𝑑} avec 𝑎 = 1 𝑏 = 2 𝑐 = 1 𝑑 = 0 Donc 𝐸6 est une hyperbole.

 𝑦 = 5 On reconnait la forme 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝 avec 𝑚 = 0 et 𝑝 = 5 Donc 𝐸₇ est une droite de pente 0

 𝐸₈: − 5𝑥 + 7𝑦 + 3 = 0

On reconnait la forme 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 avec 𝑎 = −5 𝑏 = 7 𝑐 = 3 donc 𝐸₈ est une droite

 E9 : 𝑥²+ 2𝑥 + 𝑦²+ 1 = 7 n’est ni une droite, ni une parabole, ni une hyperbole

Savoir tracer des droites

1) Pour tracer une droite, il suffit de connaitre deux points.

d1 passe par les points de coordonnées (5 ; 1) et (5 ; 7) d2 passe par les points de coordonnées (-3 ; -1) et (2 ; -1) d3 passe par les points de coordonnées (0 ; 4) et (2 ; 8)

2)

−0,4 =⁻⁴

10=⁻²

5 =𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑠 𝑜𝑟𝑑𝑜𝑛𝑛é𝑒𝑠 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑒𝑠 On place le point 𝐴 et on construit son image par la translation de vecteur 𝑢⃗⃗(5 ; −2)

Dit autrement, en partant de tout point de la droite, et en appliquant une variation de +5 sur les abscisses et une variation de −2 sur les ordonnées, on obtient un autre point de la droite.

3)

On place le point 𝐴 et on construit son image par la translation de vecteur 𝑢

⃗⃗(5 ; 2)

Dit autrement, en partant de tout point de la droite, et en appliquant une variation de +5 sur les abscisses et une variation de +2 sur les ordonnées, on obtient un autre point de la droite.

(12)

Savoir déterminer des points d’intersection

Question 1 𝑀(𝑥; 𝑦)est sur 𝐷 et sur l’axe des abscisses SSI {−3𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 𝑦 = 0 On résout par substitution (on remplace 𝑦 par 0 dans la première équation)

−3𝑥 − 0 + 1 = 0 donc 𝑥 =¹

3

𝐷 coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées (¹

3 ; 0)

Question 2 𝑀(𝑥; 𝑦)est sur 𝐷 et sur l’axe des ordonnées SSI {−3𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 𝑥 = 0 On résout par substitution (on remplace 𝑥 par 0 dans la première équation)

−3 × 0 − 𝑦 + 1 = 0 donc 𝑦 = 1

𝐷 coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 1)

Question 3 𝑀(𝑥; 𝑦)est sur 𝑃 et sur l’axe des abscisses SSI {𝑦 = (1 − 3𝑥)(2𝑥 + 5) 𝑦 = 0

On résout par substitution (on remplace 𝑦 par 0 dans la première équation) (1 − 3𝑥)(2𝑥 + 5) = 0 ⇔ 1 − 3𝑥 = 0 ou 2𝑥 + 5 = 0 ⇔ 𝑥 =¹

3 ou 𝑥 = −⁵

2

𝐷 coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées (¹

3 ; 0) et (−⁵

2; 0) Question 4 𝑀(𝑥; 𝑦)est sur 𝑃 et sur l’axe des ordonnées SSI {𝑦 = (1 − 3𝑥)(2𝑥 + 5)

𝑥 = 0 D’où 𝑦 = (1 − 3 × 0)(2 × 0 + 5) = 5

𝑃 coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 5) Question 5 𝑀(𝑥; 𝑦)est sur 𝑃 et sur 𝐷 SSI {𝑦 = (1 − 3𝑥)(2𝑥 + 5)

−3𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 {𝑦 = (1 − 3𝑥)(2𝑥 + 5)

−3𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 ⇔ {𝑦 = (1 − 3𝑥)(2𝑥 + 5)

−3𝑥 + 1 = 𝑦

On résout (1 − 3𝑥)(2𝑥 + 5) = −3𝑥 + 1 ⇔ (𝟏 − 𝟑𝒙)(2𝑥 + 5) −(−𝟑𝒙 + 𝟏)= 0

⇔ (𝟏 − 𝟑𝒙)((2𝑥 + 5) − 1)= 0

⇔ (𝟏 − 𝟑𝒙)(2𝑥 + 4) = 0

⇔ 1 − 3𝑥 = 0 𝑜𝑢 2𝑥 + 4 = 0

⇔ 𝑥 =¹

3 𝑜𝑢 𝑥 = −2 Calcul des ordonnées :

 Pour 𝑥 = −2 𝑦 = −3𝑥 + 1 = −3 × (−2) + 1 = 7

 Pour 𝑥 =¹

3 𝑦 = −3𝑥 + 1 = −3 ×¹

3+ 1 = 0 𝑃 et 𝐷 se coupent aux points de coordonnées (−2 ; 7) et (¹

3 ; 0)

Savoir déterminer le nombre de solutions d’un système linéaires à deux inconnues

Question 1 Prenons, pour 𝑥, une valeur quelconque 𝑥 = 5 et reportons là dans l’équation 2 × 5 + 3𝑦 = 8 donc 3𝑦 = 8 − 10 = −2 donc 𝑦 =⁻²

3 (5 ;⁻²

3) est une solution de l’équation On peut prendre une valeur quelconque de 𝑦, par exemple 𝑦 = 5, et reportons là dans l’équation

(13)

2𝑥 + 3 × 5 = 8 donc 2𝑥 = 8 − 15 = −7 donc 𝑥 =⁻⁷

2 (⁻⁷

2 ; 5) est une solution de l’équation Voici d’autres solutions

𝑥 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 7 11 2

4 5 2

1 −1 2

−2 −7 2 𝑦 6 16

3 14

3

4 10 3

8 3

2 4

3 2 3

0 −2

3

-2 -1 0 1 2 3 4 5

Si on considère ces solutions comme des coordonnées de points, on constate que ces points forment une droite.

Les solutions de l’équation 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟖 sont représentées par la droite 𝑫: 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟖

Question 2a {7𝑥 − 28𝑦 = 49 2𝑥 − 8𝑦 = 14

Les solutions de l’équation 7𝑥 − 28𝑦 = 49 sont représentées par la droite d’équation 7𝑥 − 28𝑦 − 49 = 0 et de vecteur directeur 𝑢⃗⃗ (28

7)

Les solutions de l’équation 2𝑥 − 8𝑦 = 14 sont représentées par la droite d’équation 2𝑥 − 8𝑦 = 14 et de vecteur directeur 𝑣⃗ (8

2)

det (𝑢⃗⃗; 𝑣⃗) = 𝑥_𝑢_⃗⃗⃗× 𝑦_𝑣_⃗⃗− 𝑥_𝑣_⃗⃗× 𝑦_𝑢_⃗⃗⃗ = 28 × 2 − 7 × 8 = 0

Les vecteurs directeurs sont colinéaires, donc les droites sont parallèles :

 Soit elles sont confondues donc le système a une infinité de solutions

 Soit elles sont parallèles distinctes (sans point commun) donc le système n’a aucune solution Dans les deux cas, le système n’a pas une unique solution !

On peut en faire un peu plus (non demandé ici) : {7𝑥 − 28𝑦 = 49

2𝑥 − 8𝑦 = 14 ⇔ {−28𝑦 = −7𝑥 + 49

−8𝑦 = −2𝑥 + 14 ⇔ {𝑦 = − ⁷

−28𝑥 −⁴⁹

28

𝑦 = −^2𝑥

−8−¹⁴

8

⇔ {𝑦 =¹

4𝑥 −⁷

4

𝑦 =¹

4𝑥 −⁷

4

En fait, les droites sont confondues … le système a une infinité de solutions.

(14)

𝐐𝐮𝐞𝐬𝐭𝐢𝐨𝐧 𝟐𝐛 { 6𝑥 − 14𝑦 = 9

−9𝑥 + 21𝑦 = 11

Les solutions de l’équation 6𝑥 − 14𝑦 = 9 sont représentées par la droite d’équation −9𝑥 + 21𝑦 − 9 = 0 et de vecteur directeur 𝑢⃗⃗ (14

6)

Les solutions de l’équation −9𝑥 + 21𝑦 = 11 sont représentées par la droite d’équation −9𝑥 + 21𝑦 = 11 et de vecteur directeur 𝑣⃗ (−21

−9)

det(𝑢⃗⃗; 𝑣⃗) = 𝑥_𝑢⃗⃗⃗× 𝑦_𝑣⃗⃗− 𝑥_𝑣⃗⃗× 𝑦_𝑢⃗⃗⃗ = 14 × (−9) − 6 × (−21) = 0 Les vecteurs directeurs sont colinéaires, donc les droites sont parallèles :

 Soit elles sont confondues donc le système a une infinité de solutions

 Soit elles sont parallèles distinctes (sans point commun) donc le système n’a aucune solution Dans les deux cas, le système n’a pas une unique solution !

On peut en faire un peu plus (non demandé ici) : { 6𝑥 − 14𝑦 = 9

−9𝑥 + 21𝑦 = 11 ⇔ {−14𝑦 = −6𝑥 + 9

21𝑦 = 9𝑥 + 11 ⇔ {𝑦 = − ⁻⁶

−14𝑥 + ⁹

−14

𝑦 = ⁹

21𝑥 +¹¹

21

⇔ {𝑦 =³

7𝑥 − ⁹

14

𝑦 =³

7𝑥 +¹¹

21

Les droites sont parallèles distinctes (équations réduites différentes) donc elles n’ont pas de point commun donc le système n’a aucune solution.

𝐐𝐮𝐞𝐬𝐭𝐢𝐨𝐧 𝟐𝐜 {2𝑥 + 8𝑦 = 10

−5𝑥 + 6𝑦 = 1

Les solutions de l’équation 2𝑥 + 8𝑦 = 10 sont représentées par la droite d’équation 2𝑥 + 8𝑦 − 10 = 0 et de vecteur directeur 𝑢⃗⃗ (−8

2 )

Les solutions de l’équation −5𝑥 + 6𝑦 = 1 sont représentées par la droite d’équation −5𝑥 + 6𝑦 = 1 et de vecteur directeur 𝑣⃗ (−6

−5)

det (𝑢⃗⃗; 𝑣⃗) = 𝑥_𝑢_⃗⃗⃗× 𝑦_𝑣_⃗⃗− 𝑥_𝑣_⃗⃗× 𝑦_𝑢_⃗⃗⃗ = −8 × (−5) − 2 × (−6) = 52

Les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires, donc les droites ne sont pas parallèles.

Elles sont sécantes (un seul point commun). Le système a une unique solution !