4. Groupes, anneaux, corps, arithmétique

(1)

4. Groupes, anneaux, corps, arithm´ etique

4.1. Exercices 1 ` a 14 : Lois de composition 4.2. Exercices 1 ` a 28 :

Groupes et sous-groupes 4.3. Exercices 1 ` a 7 :

Anneaux, sous-anneaux, corps 4.4. Exercices 1 ` a 20 :

Arithm´ etique dans l’anneau ZZ 4.5. Exercices 1 ` a 9 :

Le groupe sym´ etrique

(2)

4.1. Lois de compositions

Exercice 4.1.1

Soit E un ensemble muni de deux lois ?et •

On suppose que e est neutre pour la loi? et que f est neutre pour la loi• On suppose enfin que : ∀(x, y, u, v)∈E⁴, (x ? y)•(u ? v) = (x•u)?(y•v)

1. Montrer que e=f.

2. Prouver que les lois ?et • sont identiques.

3. Montrer que cette loi est commutative et associative.

Exercice 4.1.2

Sur IR on définit la loi ?par : x ? y =kxy+k⁰(x+y), où k et k⁰ sont deux réels.

A quelle condition sur k et k⁰ cette loi est-elle associative?

Exercice 4.1.3

Etudier la loi ?, d´efinie sur P(E) par

( Si A∩B =∅, alorsA ? B =A∪B Si A∩B 6=∅, alorsA ? B =E

Exercice 4.1.4

Etudier la loi ?d´efinie sur P(E) par : A ? B = (A∩B)∪(A∩B).

Exercice 4.1.5

Soit E un ensemble fini muni d’une loi de composition associative notée ? On suppose également que E possède un neutre epour la loi ?

1. Montrer que si un élément a deE est régulier (simplifiable) alors il est inversible.

2. V´erifier sur un exemple que ce n’est plus vrai si on ne suppose pas que E est fini.

Exercice 4.1.6

Soit E un ensemble muni d’une loi associative not´ee multiplicativement.

Pour tout a deE, on note aEa ={axa, x∈E}.

On suppose qu’il existe un ´el´ement a deE tel que aEa=E.

Montrer que E possède un élément neutre.

(3)

Exercice 4.1.7

Soit E un ensemble fini muni d’une loi de composition ?

On suppose qu’il existe deux éléments a etb dans E tels que, pour tous x, y : a ? x=a ? y ⇒ x=y (on dit que a est régulier à gauche)

x ? b=y ? b ⇒ x=y (on dit que b est r´egulier `a droite)

1. Montrer qu’il existe e etf dans E tels que a ? e=a etf ? b=b.

2. Montrer que pour tout x deE, e ? x=x etx ? f =x.

3. Montrer que e=f, et que cet ´el´ement est neutre pour la loi?.

Exercice 4.1.8

Sur l’ensemble de toutes les relations binaires sur E on d´efinit la loi? par : Pour toutes relations R etS, la relationT =R?S est telle que

∀x, y ∈E, xTy ⇔ ∃z ∈E, xRz etzSy Montrer que la loi ? est associative.

Exercice 4.1.9

On d´efinit sur IR la loi x ? y =x+y+ sin(xy).

1. Cette loi est-elle commutative? Existe-t-il un ´el´ement neutre?

2. Montrer qu’il existe des ´el´ements de IR admettant plusieurs inverses.

3. En d´eduire que ? n’est pas associative.

Exercice 4.1.10

Combien y-a-t-il de lois de composition sur un ensemble àn éléments ? Combien de ces lois sont-elles commutatives ?

Exercice 4.1.11

Soit E un ensemble muni d’une loi de composition ?, associative et commutative.

On suppose de plus que pour tout x deE, x ? x=x.

1. Donner des exemples d’une telle situation.

2. Montrer que xRy ⇔ x ? y =y d´efinit une relation d’ordre sur E.

3. Montrer alors que pour tous ´el´ements x, y deE, sup{x, y}=x ? y.

(4)

Exercice 4.1.12

Soit (E,≤) un ensemble ordonn´e muni d’une loi ?telle que :

∀(a, b, x)∈E³,

a ? b ≤a, a ? b ≤b

(x≤a) et (x≤b) ⇒ x≤a ? b 1. Montrer que la loi ?est commutative.

2. Prouver que pour tout a deE, a ? a=a.

3. V´erifier que

a≤b ⇒ a ? c≤b ? c

(a≤b) et (c≤d) ⇒ a ? c≤b ? d 4. Montrer que la loi ?est associative.

Exercice 4.1.13

SoitE un ensemble muni d’une loi?associative. Pour toutadeE, on d´efinit les applications g_a etd_a deE dans E : ∀x∈E,d_a(x) =x ? a et g_a(x) = a ? x.

1. Montrer que s’il existe a dans E tel que g_a etd_a soient surjectives, alors E poss`ede un

´el´ement neutre pour la loi ?.

2. Montrer que si pour tout a de E les applications g_a et d_a sont surjectives, alors tout

élément de E possède un inverse pour la loi ?.

Exercice 4.1.14

Soit E un ensemble fini muni d’une loi associative, not´ee multiplicativement.

Montrer que pour touta deE, il existe un entiermtel que x=a^m soit idempotent (x² =x).

(5)

4.2. Groupes et sous-groupes

Exercice 4.2.1

Soient x, y deux ´el´ements d’un groupe G tels que : (xy)⁻¹ =x⁻¹y et (yx)⁻¹ =y⁻¹x.

Montrer que (x²)⁻¹ =y² etx⁴ =y⁴ =e.

Exercice 4.2.2

Soit Gun groupe. Montrer que l’application x7→x⁻¹ est un morphisme si et seulement si la loi de G est commutative.

Exercice 4.2.3

Soit (G, ?) un groupe ab´elien (on note e le neutre et a⁰ le sym´etrique dea).

Soit α un élément de G, différent de e.

On d´efinit une loi T en posant : ∀a, b∈G, aTb=a ? b ? α.

Montrer que (G, T ) est un groupe ab´elien.

Exercice 4.2.4

Montrer que IR, muni de la loi x ? y = (x³ +y³)^1/3 est un groupe.

Exercice 4.2.5

SoitGun ensemble non vide muni d’une loi associative (not´ee multiplicativement) telle que :

∀(a, b)∈G², ∃(x, y)∈G²,b =ax =ya.

Montrer que G est un groupe.

Exercice 4.2.6

Soit G un groupe. Pour tout a deG on pose ϕ_a(x) =axa⁻¹.

Montrer que l’application a 7→ ϕ_a est un morphisme de groupe de G dans le groupe des automorphismes de G. Quel en est le noyau?

Exercice 4.2.7

Soit G un groupe fini d’ordre n. Soitk un entier premier avecn.

Montrer que l’application x → x^k est une bijection de Gsur lui-mˆeme.

Exercice 4.2.8

Montrer que tout groupe d’ordre 4 est commutatif.

(6)

Exercice 4.2.9

La table suivante d´efinit-elle un groupe ?

? e x y z t e e x y z t x x e t y z y y z e t x z z t x e y t t y z x e

Exercice 4.2.10

Soient a et b deux éléments d’un groupe G vérifiant : a⁵ =e etab=ba³. Montrer que a²b =ba et que ab³ =b³a².

Exercice 4.2.11

Soit E un ensemble non vide muni d’une loi multiplicative telle que :

∀a, b, c : a² =b², ab² =a, a²(bc) =cb, (ac)(bc) =ab.

Montrer que E est un groupe pour la loi ? d´efinie par : a ? b =ab³. Enoncer et prouver une r´eciproque.

Exercice 4.2.12

On d´efinit la loi ? sur IR en posant : x ? y =x+y−xy.

1. Etudier la loi ?. (IR, ?) est-il un groupe ?

2. Montrer que (IR− {1}, ?) est un groupe ab´elien isomorphe `a (IR^∗,×).

3. Pour tout x de IR et tout n de IN, calculerx⁽ⁿ⁾ =x ? x ?· · ·? x(n fois).

Exercice 4.2.13

Montrer que ]−1,1[, muni de la loi x ? y= x+y

1 +xy, est un groupe ab´elien.

Exercice 4.2.14

Soient a et b deux éléments d’un groupe G vérifiant : b⁶ =e, ab=b⁴a.

Montrer que b³ =e et que ab=ba.

Exercice 4.2.15

Soit G un groupe. On suppose que x7→xⁿ est un morphisme de G (avecn ∈IN).

Montrer que pour tout xde G,xⁿ⁻¹ commute avec tous les ´el´ements de G.

(7)

Exercice 4.2.16

Soit G un ensemble fini non vide muni d’une loi ?associative.

On suppose que tout élément deG est régulier (simplifiable).

Exercice 4.2.17

Montrer qu’un groupe fini d’ordre premier est cyclique.

Exercice 4.2.18

Montrer qu’un groupe Gdans lequel tout x v´erifie x² =e est commutatif.

Exercice 4.2.19

Montrer qu’un groupe Gdans lequel on a toujours (xy)² =x²y² est commutatif.

Exercice 4.2.20

Soit G un groupe fini dans lequel tout élément vérifie x² =e.

1. Montrer que le groupe G est ab´elien

2. On fixe un ´el´ement a deG, distinct du neutre e.

Pour toutx de G, on note x={x, ax}.

On d´efinit ensuite une relation R surG en posant xRy ⇔ y∈x.

Montrer que R est une relation d’´equivalence.

3. On note H l’ensemble des diff´erentes classes d’´equivalences x, quand xparcourt G.

Quel est le cardinal deH?

4. Montrer qu’on d´efinit une loi de groupe sur H en posant x ? y =xy.

Vérifier queH satisfait à la même hypothèse que le groupe G.

5. Montrer que le cardinal de G est une puissance de 2.

Exercice 4.2.21

Soit G un ensemble muni d’une loi associative (notée multiplicativement) telle que : ( Il existe un élément e de E tel que pour tout x, xe=x

Pour toutx deE, il existe un ´el´ement x⁰ tel que xx⁰ =e.

(8)

Exercice 4.2.22

Soit G un groupe. On suppose qu’il existe un entier naturelk tel que :

∀i∈ {k, k+ 1, k+ 2},∀a, b∈G, (ab)ⁱ =aⁱbⁱ. Montrer que G est un groupe ab´elien.

Exercice 4.2.23

Soit G un groupe et H une partie non vide de G, finie et stable.

Montrer que H est un sous-groupe deG.

Exercice 4.2.24

On considère les applications de IR− {0,1} dans lui-même, définies par :







f₁(x) =x f₂(x) = 1

1−x f₃(x) = x−1 x f₄(x) = 1

x f₅(x) = 1−x f₆(x) = x x−1

1. Montrer que ces six applications forment un groupe G pour la loi ◦.

2. Quels sont les sous-groupes de G ? Exercice 4.2.25

Soient H et K deux sous-groupes d’un groupeG.

Montrer que H∪K est un sous-groupe deG si et seulement si H⊂K ou K ⊂H.

Exercice 4.2.26

Soient H et K deux sous-groupes d’un groupeG.

On note HK ={hk, h∈H, k∈K}et pareillement KH ={kh, k∈K, h∈H}.

Montrer que HK est un sous-groupe de Gsi et seulement si HK =KH. Exercice 4.2.27

Soit (Hi)i∈I une famille non vide de sous-groupes d’un groupe G.

On suppose que pour tous indices i et j il existe un indice k tel que H_i∪H_j ⊂H_k. Montrer que H =S

H_i est un sous-groupe deG.

Exercice 4.2.28

Soit G un groupe fini d’ordre 2n, avec n≥2.

On suppose qu’il existe deux sous-groupes H etK d’ordre n, tels que H∩K ={e}.

Montrer que n = 2 et donner la table du groupe G.

(9)

4.3. Anneaux, sous-anneaux, corps

Exercice 4.3.1

Soit A un anneau et C={x∈A,∀y∈A, xy=yx} (on dit que C est le centre de A).

Montrer que C est un sous-anneau de A.

Exercice 4.3.2

Dans l’anneau A, on suppose que : ∀(a, b)∈A², (a²−a)b =b(a²−a).

1. Montrer que ∀(x, y, z)∈A³,(xy+yx)z =z(xy+yx).

2. Montrer que A est un anneau commutatif.

Exercice 4.3.3

Soit A un anneau sans ´el´ement nilpotent (autre que 0).

Soit a un élément idempotent de A (c’est-à-dire tel quea² =a).

Montrer que a commute avec tout ´el´ement de A.

Exercice 4.3.4

Soit A un anneau dans lequel, pour tout ´el´ement x,x² =x. (Anneau de Boole) 1. Donner des exemples d’une telle situation.

2. Montrer que pour tout a de A, 2a = 0. En d´eduire que A est commutatif.

3. Montrer que A ne peut pas se réduire à trois éléments.

4. On suppose que A est fini et de cardinal sup´erieur `a 2.

Montrer que A possède des diviseurs de zéro (Considérer xy(x+y)).

5. Montrer que si card(A) = 4, alors A est unique `a un isomorphisme pr`es.

6. Montrer que si A est fini, alors son cardinal est une puissance de 2.

Exercice 4.3.5

Montrer qu’un anneau int`egre et fini est un corps.

Exercice 4.3.6

Soit x un ´el´ement nilpotent d’un anneau A.

Montrer que 1−x est inversible et donner son inverse en fonction de x.

(10)

Exercice 4.3.7 Soit A={a+b√

2, a∈ZZ, b∈ZZ}.

1. Montrer que A est un sous-anneau int`egre de IR.

Pour toutx=a+b√

2 de A, on pose N(x) =a²−2b². 2. Montrer que pour tous x, y de A, N(xy) = N(x)N(y).

3. En d´eduire que x est inversible dans A si et seulement si N(x) = ±1.

4. Montrer que les ´el´ements ±(1 +√

2)ⁿ deA sont inversibles.

5. Réciproquement, on veut montrer que tout inversiblex deAest de la forme précédente (a) Montrer qu’on peut se ramener à supposer x=a+b√

2, avec a∈IN^∗ etb ∈IN.

(b) Montrer alors que xest de la forme (1 +√

2)ⁿ avec n∈IN et conclure.

Indication : sib ≥1, consid´erer x₁ = x 1 +√

2.

(11)

4.4. Arithm´ etique dans l’anneau ZZ

Exercice 4.4.1

1. Trouver l’exposant dans la d´ecomposition de 1000! en produits de facteurs premiers.

2. Mˆeme question avec l’exposant de 3.

3. Généraliser avec l’exposant d’un entier premier p dans la décomposition de n!.

Exercice 4.4.2

Soient m et n deux entiers naturels, avec m < n, et tels que mⁿ=n^m. Montrer que n´ecessairement m= 2 et n= 4.

Exercice 4.4.3

Trouver tous les entiers 0 ≤n ≤m tels que :

pgcd (m, n) =m−n ppcm (m, n) = 300 Exercice 4.4.4

Montrer que pour tous entiers m et n :

m² +n² est divisible par 7 si et seulement sim et n sont divisibles par 7.

Exercice 4.4.5

Quel est le plus petit entier naturel admettant exactement 15 diviseurs positifs?

Exercice 4.4.6

1. Soient m et n deux entiers premiers entre eux. Soient a etb deux entiers.

Montrer que le syst`eme

x≡a (mod m)

x≡b (mod n) poss`ede des solutions et que celles-ci forment une classe d’entiers modulo mn.

2. R´esoudre le syst`eme

x≡3 (mod 12) x≡5 (mod 9) Exercice 4.4.7

Montrer qu’il existe une infinit´e de nombres premiers de la forme N = 4k+ 3.

(Consid´erer N_n= 4p₁p₂. . . p_n+ 3, avec p₁ = 7, p₂ = 11, etc.)

(12)

Exercice 4.4.8

R´esoudre dans ZZ l’´equation 2520x−3960y= 6480.

Exercice 4.4.9

Dans ZZ, on d´efinit la loi T parxTy=αx+βy (α, β ∈ZZ^∗).

1. Montrer que l’application ϕ: (x, y)→xTy est un morphisme de (ZZ²,+) dans (ZZ,+).

2. Quel en est le noyau?

3. On se donne un entier n strictement positif.

Montrer qu’on d´efinit une loi sur ZZ/nZZ en posant: x ? y =xTy.

4. Montrer ? est associative si et seulement si n divise α(α−1) et β(β−1).

5. Montrer que ?est commutative si et seulement si n divise α−β.

6. Montrer qu’il existe un neutre si et seulement si n diviseα−1 et β−1.

7. En d´eduire `a quelle condition (ZZ/nZZ, ?) est un groupe commutatif.

Exercice 4.4.10

Soit p un nombre premier.

1. Montrer que pour tout entier k compris entre 1 et p−1,

C

^k_p est divisible par p.

2. En d´eduire que pour tous entiers a et b, (a+b)^p ≡a^p+b^p (mod p).

3. Montrer que pour tout entier n, n^p ≡n (mod p) (c’est le petit th´eor`eme de Fermat.) 4. Qu’obtient-on si p ne divise pas n?

Exercice 4.4.11

Montrer que pour tous entiers m et n, N =mn(m⁶⁰−n⁶⁰) est divisible par 56786730.

Exercice 4.4.12

Montrer que a∧b = 1 si et seulement si (ab)∧(a+b) = 1.

Exercice 4.4.13

On se donne un entier premier pstrictement sup´erieur `a 2.

1. Dans l’anneau ZZ/pZZ, quels sont les ´el´ements qui sont leur propre inverse?

2. En d´eduire que p divise (p−1)! + 1.

3. ´Etablir la r´eciproque.

(13)

Exercice 4.4.14

R´esoudre les ´equations 2^x−5^y ≡3 (mod 24) et 2^x−5^y ≡5 (mod 24) dans IN.

Exercice 4.4.15

R´esoudre dans IN et dans ZZ l’´equation 10x+ 15y+ 6z = 73.

Exercice 4.4.16

R´esoudre dans ZZ le syst`eme

x−2y+z = 0 x+ 2y−2z = 1 Exercice 4.4.17

R´esoudre l’´equation x²+ 2x= 3 dans ZZ/97ZZ puis dans ZZ/91ZZ.

Exercice 4.4.18

On munit IK = (ZZ/5ZZ)² des lois :

(a, b) + (a⁰, b⁰) = (a+a⁰, b+b⁰) (a, b)?(a⁰, b⁰) = (aa⁰+ 2bb⁰, ab⁰+ba⁰) Montrer que IK est un corps.

Exercice 4.4.19

Calculer le reste dans la division de 1999¹⁹⁹⁹ par 7.

Exercice 4.4.20

Calculer le reste dans la division de N = 1999¹⁹⁹⁹¹⁹⁹⁹ par 11.

(14)

4.5. Le groupe sym´ etrique

Notations :

• S_n d´esigne le groupe des permutations de l’ensemble {1,2, . . . , n} (legroupe sym´etrique)

• On note (i, j) la transposition qui échange deux éléments i, j de{1,2, . . . , n}.

• Plus généralement, (a₁, a₂, . . . , a_n) désigne le cycle σ défini par : σ(a₁) = a₂, σ(a₂) =a₃, . . . , σ(an−1) = a_n, σ(a_n) = a₁

Exercice 4.5.1

On consid`ere la permutation σ=

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

6 12 1 10 9 11 4 3 2 7 8 5

de S12. 1. D´ecomposer σ en produits de cycles `a supports disjoints.

2. D´ecomposer σ en produits de transpositions.

3. Quelle est la parit´e de σ?

4. Calculer l’entier minimum n tel que σⁿ= Id.

5. Calculer σ¹⁹⁹⁹. Exercice 4.5.2

1. A quelle condition une permutation σ commute-t-elle avec une tranpositionτ = (i, j) ? 2. En déduire que si n ≥3, seule Id commute avec tous les éléments de Sn.

3. Montrer que si n ≥4, seule Id commute avec toutes les permutations paires.

Indication : utiliser les cycles de longueur 3.

Exercice 4.5.3

1. Montrer que le groupe sym´etrique S_n (avec n ≥ 2) est engendr´e par les transpositions τ_j = (j, j + 1) avec 1≤j ≤n−1.

2. D´ecomposer σ=

1 2 3 4 5

4 5 2 1 3

en produit de telles transpositions.

NB: on utilisera la d´ecomposition de σ en produit de cycles `a supports disjoints.

3. Passer du mot M ERCI au mot CRIM E par des échanges de lettres contigües : (a) Par une méthode s’appuyant sur la question précédente.

(b) Par une méthode directe. En déduire une nouvelle réponse à la question (2).

(15)

Exercice 4.5.4

1. On suppose n ≥3 et on note cla permutation circulaire c=

1 2 · · · n−1 n 2 3 · · · n 1

Montrer que le groupeS_n est engendr´e par c et par la transposition τ = (1,2).

Indication : on utilisera le résultat de la question (1) de l’exercice précédent.

2. Application : on veut passer du mot M ERCI au mot CRIM E uniquement par des rotations du mot vers la droite ou des ´echanges des deux premi`eres lettres.

(a) Donner une solution utilisant le résultat la question (2) de l’exercice précédent.

(b) Imaginer une solution directe, n´ecessitant beaucoup moins d’´etapes. Commenter.

Exercice 4.5.5

1. Montrer que Sn (n≥2) est engendr´e par les transpositions τj = (1, j) avec 2≤j ≤n.

2. D´ecomposer σ=

1 2 3 4 5

4 5 2 1 3

en produit de telles transpositions.

NB: on utilisera la d´ecomposition de σ en produit de cycles `a supports disjoints.

3. Passer de M ERCI à CRIM E par des échanges de deux lettres dont la première.

Exercice 4.5.6

On se donne un entier n ≥2.

1. Montrer que si deux cycles commutent, alors leurs supports sont identiques ou disjoints.

2. Inversement former deux cyclesσetσ⁰ ayant mˆeme support, mais tels queσ◦σ⁰ 6=σ⁰◦σ.

Exercice 4.5.7

Dans Sn, soit cla permutation circulaire (1,2, . . . , n−1, n).

Montrer que les permutations qui commutent avec csont les puissances de c.

Exercice 4.5.8

1. Montrer que dans le groupe sym´etrique S_n (avec n ≥ 3), toute permutation paire est un produit de cycles de longueur 3.

2. Effectuer une telle d´ecomposition pourσ =

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 1

Exercice 4.5.9

On se place dans le groupe sym´etrique S_n, avecn ≥3. Montrer que toute permutation paire est un produit de cycles du type c_k = (1,2, k) avec 3≤k ≤n.

(16)

Corrig´ e des exercices

Corrig´e de l’exercice 4.1.1

1. Dans (H), on pose x=v =e et y=u=f.

On obtient donc (e ? f)•(f ? e) = (e•f)?(f•e).

Avec les d´efinitions de e etf, on trouve f•f =e ? e, puis f =e.

2. Dans (H), on pose y=u=e, et on laissex et v quelconques.

∀(x, v)∈E²,(x ? e)•(e ? v) = (x•e)?(e•v).

Sachant que e est neutre pour les deux lois, on en d´eduit :

∀(x, v)∈E², x•v =x ? v : Les lois? et• sont donc identiques.

3. On a maintenant : ∀(x, y, u, v)∈E⁴, (x ? y)?(u ? v) = (x ? u)?(y ? v) (K).

Dans cette égalité, on choisit y =e, les trois autres étant quelconques.

On en d´eduit : ∀(x, u, v)∈E³, (x ? e)?(u ? v) = (x ? u)?(e ? v), c’est-`a-dire :

∀(x, u, v)∈E³, x ?(u ? v) = (x ? u)? v : la loi ?est associative.

Enfin, dans (K), on pose x=v =e, les deux autres ´etant quelconques.

On en d´eduit : ∀(y, u)∈E², (e ? y)?(u ? e) = (e ? u)?(y ? e), c’est-`a-dire :

∀(y, u)∈E², y ? u=u ? y : la loi? est commutative.

Corrig´e de l’exercice 4.1.2 Pour tous r´eels x, y, z, on a :

(x ? y)? z = [kxy+k⁰(x+y)]? z

=k[kxy+k⁰(x+y)]z+k⁰[kxy+k⁰(x+y) +z]

=k²xyz+kk⁰(xy+xz+yz) +k⁰[k⁰(x+y) +z]

On remarque que la loi? est commutative.

On peut donc ´ecrire x ?(y ? z) = (y ? z)? x= (z ? y)? x.

On obtient donc x ?(y ? z) en ´echangeant xet z dans l’expression de (x ? y)? z.

Ainsi x ?(y ? z) =k²zyx+kk⁰(zy+zx+yx) +k⁰[k⁰(z+y) +x].

On en d´eduit : (x ? y)? z−x ?(y ? z) =k⁰(k⁰−1)(x−z).

La loi ? est associative ⇔ cette derni`ere quantit´e est nulle pour tous x, z.

Conclusion : la loi ?est associative ⇔ k⁰ ∈ {0,1}.

(17)

1. La sym´etrie de la d´efinition prouve que la loi? est commutative.

2. Pour toute partie A deE, on a : A∩ ∅=∅ ⇒ A ?∅=A∪ ∅=A.

Autrement dit, ∅ est neutre pour la loi?.

3. On remarque que pour toutes parties A, B de E, on aA ? B ⊃A∪B.

On ne peut donc avoirA ? B =∅ que si A=B =∅.

∅ est donc le seul élément de P(E) à avoir un inverse (il est son propre inverse.) 4. Soient A, B, C trois parties quelconques de E.

Si A, B, C sont deux `a deux disjointes, alors A ?(B ? C) = A ?(B∪C) =A∪(B∪C)

= (A∪B)∪C = (A ? B)∪C = (A ? B)? C Si A∩B 6=∅ alors A∩(B ? C)6=∅ car B ? C ⊃B.

On en d´eduit : A ?(B ? C) =E et (A ? B)? C =E ? C =E.

De mˆeme, si A∩C 6=∅ ou si B∩C 6=∅ alors A ?(B ? C) = (A ? B)? C =E.

Dans tous les cas, on a donc A ?(B ? C) = (A ? B)? C : la loi ?est associative.

1. La sym´etrie de la d´efinition prouve que la loi? est commutative.

2. Pour tout A ⊂E, on a : A ? E = (A∩E)∪(A∩E) = A∪(A∩ ∅) =A∪ ∅=A.

Autrement dit, E est neutre pour la loi?.

3. Soit A une partie de E. On constate que A ? A= (A∩A)∪(A∩A) =A∪A=E.

Tout élément deA est donc son propre symétrique pour la loi?.

4. On remarque que pour toutes parties X, Y deE, on a :

X ? Y = (X∩Y)∪(X∩Y) = (X∪X)∩(X∪Y)∩(Y ∪X)∩(Y ∪Y)

=E∩(X∪Y)∩(Y ∪X)∩E = (X∪Y)∩(Y ∪X) Soient A, B, C trois parties quelconques de E.

On utilise les deux d´efinitions possibles de ? pour ´evaluer (A ? B)? C. On trouve : (A ? B)? C =

(A∪B)∩(A∪B)

∪C

∩h

(A∩B)∪(A∩B)∪Ci

= (A∪B∪C)∩(A∪B∪C)∩

(A∪B)∩(A∪B)

∪C

= (A∪B∪C)∩(A∪B∪C)∩(A∪B∪C)∩(A∪B∪C) Puisque la loi ?est commutative, on a A ?(B ? C) = A ?(C ? B) = (C ? B)? A.

Pour obtenirA?(B ?C), il suffit donc d’´echangerAetCdans l’expression de (A?B)?C. Or on voit que cette expression est invariante dans cet ´echange.

On en d´eduit A ?(B ? C) = (A ? B)? C : la loi ? est associative.

(18)

Corrigé de l’exercice 4.1.5 1. Soit a un élément régulier de E.

Par d´efinition, pour tous x, y deE, on a :

x ? a=y ? a ⇒ x=y a ? x=a ? y ⇒ x=y Les applications

d_a :x7→x ? a

g_a:x7→a ? x sont donc injectives de E dans E.

Or E est un ensemble fini.

Ces deux applications sont donc bijectives.

En particulier, il existe a⁰ dans E tel que d_a(a⁰) = e, c’est-`a-dire tel quea⁰? a=e.

De mˆeme, il existe a⁰⁰ dans E tel que g_a(a⁰⁰) =e, c’est-`a-dire tel que a ? a⁰⁰ =e.

On peut alors ´ecrire, en utilisant l’associativit´e : a⁰?(a ? a⁰⁰) =a⁰ ? e=a⁰

a⁰?(a ? a⁰⁰) = (a⁰? a)? a⁰⁰ =e ? a⁰⁰=a⁰⁰ Ainsia⁰ =a⁰⁰ donc a⁰? a=a ? a⁰ =e.

Conclusion : a⁰ est l’inverse dea pour la loi ?.

2. On se place par exemple dans ZZ muni de la multiplication.

Cette loi est associative et tout élément non nul est régulier (simplifiable).

Pourtant seuls 1 et−1 poss`edent un inverse dans ZZ pour cette loi.

L’hypoth`ese sur a signifie : ∀x∈E,∃y∈E, aya=x.

En particulier, il existe un ´el´ement b deE tel que aba=a.

Soit x un ´el´ement quelconque de E.

Toujours par hypoth`ese, il existe y dans E tel que aya=x.

En utilisant l’associativit´e de la loi, on constate alors que :

x(ba) = (aya)(ba) = (ay)(aba) = (ay)a=x (ab)x= (ab)(aya) = (aba)(ya) = a(ya) = x Autrement dit, ab est neutre “`a gauche” et ba est neutre “`a droite”.

En particulier (ab)(ba) = abet (ab)(ba) =ba.

Conclusion : l’´el´ement e=ab=ba est neutre dans E.

(19)

1. Par hypoth`ese, les applications

g_a:x7→a ? x

d_b :x7→x ? b sont injectives.

Or E est un ensemble fini.

Ces deux applications sont donc bijectives.

En particulier, il existe e dans E tel que g_a(e) =a.

De mˆeme, il existe f dans E tel que db(f) =b.

Avec ces notations, on a donc a ? e=a et f ? b=b.

2. Pour tout x de E, en utilisant l’associativit´e de la loi ?, on a : a ?(e ? x) = (a ? e)? x=a ? x On en d´eduit e ? x=x.

De la mˆeme mani`ere :

(x ? f)? b=x ?(f ? b) = x ? b Doncx ? f =x.

3. Ce qui précède montre que e est neutre “à gauche” et f est neutre “à droite”.

En particuliere ? f =f (e neutre `a gauche.)

De la même manière : e ? f =e (f neutre à droite.)

Conclusion : l’´el´ement e=f est neutre dans E pour la loi ?.

Soient R, S et T trois relations sur E.

On pose U =R?S etV =S?T.

Il faut montrer (R?S)?T =R?(S?T), c’est-à-dire U ?T =R?V. Soient a, b deux éléments quelconques de E.

Il faut prouver l’´equivalence a(U ?T)b ⇔ a(R?V)b. Or : a(U ?T)b ⇔ ∃x∈E, aUx etxTb

⇔ ∃x∈E,∃y ∈E, aRy, ySx, xTb

⇔ ∃y∈E, aRy, yVb

⇔ a(R?V)b

Conclusion : la loi ?est associative.

Remarque : la relation “´egalit´e” est neutre pour la loi ?.

(20)

1. Par symétrie de la définition, la loi ? est évidemment commutative.

D’autre part, il est clair que 0 est neutre : ∀x∈E, x ?0 = x.

2. Chercher les inverses éventuels d’un réel a, c’est résoudre l’équation a ? x= 0.

Maisa ? x= 0 ⇔ a+x+ sin(ax) = 0.

Posons par exemplea= 4, et soit f l’application d´efinie par f(x) = 4 +x+ sin(4x).

Voici la courbe repr´esentative de f :

Graphiquement, on voit que f poss`ede trois racines distinctes α < β < γ.

Cela signifie que α, β, γ sont trois inverses de a= 4. Plus pr´ecis´ement :

• f(−³₂π) = 4− ³₂π ≈0−.712388981<0

• f(−⁴₃π) = 4− ⁴₃π+¹₂√

3≈0.6772352000>0

• f(−⁷₆π) = 4− ⁷₆π− ¹₂√

3≈ −0.5312168350<0

• f(−π) = 4−π ≈0.858407346>0.

On en d´eduit −³₂π < α <−⁴₃π < β <−⁷₆π < γ <−π.

On montre que : α ≈ −4.562912597, β ≈ −3.902602873 et γ ≈ −3.326370012.

3. On sait que si une loi sur E est associative et s’il y a un élément neutre, alors l’inverse d’un élément a, s’il existe, est unique.

Rappelons la d´emonstration. Sia⁰ eta⁰⁰ sont deux inverses dea, on a : a⁰?(a ? a⁰⁰) = (a⁰? a)? a⁰⁰ donc a⁰? e=e ? a⁰⁰ donc a⁰ =a⁰⁰.

Dans notre exemple, le fait que a = 4 ait plusieurs inverses montre que ? n’est pas associative, mais cette “méthode” est évidemment une farce. Il est en effet bien plus rapide d’exhiber trois éléments x, y, z tels que x ?(y ? z)6= (x ? y)? z.

Posons par exemplex= 2, y =π etz = 1. On constate que : x ?(y ? z) = 2?(π ?1) = 2?(π+ 1)

= 3 +π+ sin(2(π+ 1)) = 3 +π+ sin 2 D’autre part :

(x ? y)? z = (2? π)?1 = (2 +π)?1

= 3 +π+ sin((2 +π)1) = 3 +π−sin 26=x ?(y ? z)

(21)

1. Soit E un ensemble fini de cardinal n≥1.

Une loi sur E est une application de E×E surE.

Or card(E×E) = n². Il y a donc nⁿ² possibilit´es.

Par exemple il y a 5²⁵= 298023223876953125 lois sur un ensemble à 5 éléments.

2. Posons E ={x₁, x₂, . . . , x_n}. On d´efinit une loi ?commutative sur E en se donnant les x_i? x_j dans E avec 1≤i≤j ≤n.

Comme il y a ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ tels couples (i, j), il y a nⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾² lois commutatives sur E.

Il y a par exemple 5¹⁵ = 30517578125 lois commutatives sur un ensemble à 5 éléments.

1. On peut citer E =P(F) muni de la loi “r´eunion” ou de la loi “intersection”.

On peut ´egalement citer E = ZZ muni de la loi “pgcd” ou de la loi “ppcm”

2. • Pour tout x deE on a x ? x=xc’est-`a-dire xRx : la relation R est r´eflexive.

• Soient x, y dans E tels que xRy etyRx. Alors x ? y=y et y ? x=x.

Or la loi ?est commutative.

On en d´eduit x=y : la relation R est antisym´etrique.

• Soient x, y, z dans E tels que xRy et yRz.

On a donc x ? y =y ety ? z =z.

La loi ?´etant associative, on en d´eduit

x ? z=x ?(y ? z) = (x ? y)? z =y ? z =z Autrement dit xRz : la relation R est transitive.

• Conclusion : R est une relation d’ordre sur E

3. On montre tout d’abord que x ? y est un majorant de {x, y}.

Par sym´etrie, il suffit de v´erifier quexR(x ? y).

Cela r´esulte de x ? x=x. En effet : x ?(x ? y) = (x ? x)? y =x ? y.

Enfin soit z un majorant de x et dey, c’est-`a-dire tel que x ? z =z et y ? z =z.

Il reste `a montrer que z est un majorant de x ? y.

En effet (x ? y)? z =x ?(y ? z) = x ? z=z.

Conclusion :

Pour tous x, y dans E,x ? y est la borne sup´erieure de {x, y} pour la relationR.

(22)

1. Soient a, bdeux ´el´ements quelconques de E.

La premi`ere partie de l’hypoth`ese donne b ? a≤b et b ? a≤a.

Avecx=b ? a, la deuxi`eme hypoth`ese donne alors b ? a ≤a ? b.

En ´echangeant les rˆoles de a et b, on a alors a ? b≤b ? a donc a ? b =b ? a.

Conclusion : la loi? est commutative.

2. Soit a un ´el´ement de E.

La premi`ere partie de l’hypoth`ese donne a ? a≤a.

Avecx=a=b, la deuxi`eme hypoth`ese donne alors a≤a ? a.

Conclusion : pour tout a deE, on a : a ? a=a.

3. Soient a, b, c trois ´el´ements quelconques de E, avec a≤b.

On sait que a ? c≤a ≤b.

D’autre part a ? c≤c.

Les in´egalit´es

a ? c≤b

a ? c≤c donnent alorsa ? c≤b ? c.

Soient a, b, c, d quatre ´el´ements quelconques de E, avec

a ≤b c≤d D’après ce qui précède, on a

a ? c≤b ? c c ? b≤d ? b

On en d´eduit a ? c≤b ? d, ce qu’il fallait d´emontrer.

4. Soient a, b, c trois ´el´ements quelconques de E.

On a (a ? b)? c≤a ? b≤a.

De même on a les inégalités (a ? b)? c ≤b.

On a aussi (a ? b)? c≤c.

Ainsi

(a ? b)? c≤b

(a ? b)? c≤c ⇒ (a ? b)? c ≤b ? c . Les in´egalit´es

(a ? b)? c≤a

(a ? b)? c≤b ? c donnent finalement (a ? b)? c≤a ?(b ? c).

En utilisant ce résultat et la commutativité de la loi ?, on peut alors écrire : a ?(b ? c) = (b ? c)? a= (c ? b)? a≤c ?(b ? a) = (a ? b)? c Finalement on voit que a ?(b ? c) = (a ? b)? c : la loi ?est associative.

(23)

1. Soit a un ´el´ement de E pour lequel les applications g_a etd_a sont surjectives.

Il existe donce dans E tel que d_a(e) =a, c’est-`a-dire e ? a=a.

De mˆeme, il existe f dans E tel que g_a(f) = a, c’est-`a-direa ? f =a.

Soit x un ´el´ement quelconque de E.

Par hypoth`ese, il existe y, z dans E tels que

da(y) =x

g_a(z) =x c’est-`a-dire

ny ? a=x a ? z =x On en d´eduit : x ? f = (y ? a)? f =y ?(a ? f) =y ? a=x.

De mˆeme : e ? x=e ?(a ? z) = (e ? a)? z=a ? z =x.

Ainsi, pour tout xde E, on a x ? f =xet e ? x=x.

En particulier avec x=e puis x=f on trouve e ? f =e puis e ? f =f.

On a donc e=f, et x ? e=e ? x=x pour toutx de E.

L’´el´ement e est donc le neutre.

2. On sait qu’il existe un ´el´ement neutre e dans E pour la loi ?.

Soit a un ´el´ement quelconque de E.

Puisque d_a est surjective, il existe a⁰ dans E tel que d_a(a⁰) = e c’est-`a-dire a⁰? a=e.

Puisque g_a est surjective, il existe a⁰⁰ dans E tel que g_a(a⁰⁰) =e c’est-`a-dire a ? a⁰⁰ =e.

On a alors

a⁰ ?(a ? a⁰⁰) =a⁰? e=a⁰

a⁰ ?(a ? a⁰⁰) = (a⁰ ? a)? a⁰⁰ =e ? a⁰⁰=a⁰⁰

Ainsi l’élément a⁰ =a⁰⁰ vérifie a⁰? a=a ? a⁰ =e : il est l’inverse de a.

Conclusion : tout élément de E possède un inverse pour la loi ?.

Corrigé de l’exercice 4.1.14 Soit a un élément de E.

La suite de terme général aⁿ est à valeurs dans l’ensemble fini E.

Il existe donc n´ecessairement deux entiers pet q > p tels a^q =a^p. Posons r=q−p >0. On a a^p =a^p+r.

On en d´eduit∀m ≥p, a^m=a^m+r (on a multipli´e par a^m−p).

Autrement dit, la suite des aⁿ est r-périodique, à partir de a^p. On peut donc écrire : ∀m ≥p,∀n ≥0, a^m+nr =a^m.

Si on choisit n tel que nr≥p puis m =nr, on en déduit : a^2m =a^m. On a ainsi trouvé un élément x=a^m tel que x² =x.

(24)

1. L’hypoth`ese (yx)⁻¹ =y⁻¹x s’´ecrit x⁻¹y⁻¹ =y⁻¹x.

On obtient yx⁻¹ =xy en multipliant par y `a droite et `a gauche.

On en d´eduit : x²y² =x(xy)y=x(yx⁻¹)y= (xy)(x⁻¹y) = (xy)(xy)⁻¹ =e.

Mais l’´egalit´e x²y² =e signifie que (x²)⁻¹ =y², ce qu’il fallait prouver.

2. On trouve successivement :

x⁴ =x²x² = (y²)⁻¹x² =y⁻¹(y⁻¹x)x=y⁻¹(x⁻¹y⁻¹)x

= (y⁻¹x⁻¹)(y⁻¹x) = (xy)⁻¹(y⁻¹x) = (x⁻¹y)(y⁻¹x) = e

On a donc obtenu x⁴ =e. Il en d´ecoule y⁴ = (y²)² = (x²)⁻² = (x⁴)⁻¹ =e.

Dire que l’application x → x⁻¹ est un morphisme, c’est dire que :

∀(x, y)∈G², x⁻¹y⁻¹ = (xy)⁻¹ =y⁻¹x⁻¹

Mais pour tout a de G, l’application a7→a⁻¹ est une permutation du groupeG.

On obtient donc une proposition ´equivalente si on remplacex⁻¹ par x ety⁻¹ par y :

∀(x, y)∈G², xy =yx

Ainsi l’application x → x⁻¹ est un morphisme ⇔ la loi de G est commutative.

• Puisque la loi ?est commutative, il en est de mˆeme de la loiT. En effet, pour tousa, b deG : aTb=a ? b ? α =b ? a ? α =bTa.

• Pour tousa, b, c de E, on a : aT(bTc) =aT(b ? c ? α) =a ? b ? c ? α ? α.

De mˆeme : (aTb)Tc= (a ? b ? α)Tc=a ? b ? α ? c ? α=a ? b ? c ? α ? α.

La loi ?est donc asscociative.

• On constate que α⁰ est neutre pour la loi T.

En effet, pour touta de E : aTα⁰ =a ? α ? α⁰ =a ? e=a.

• Soit a un ´el´ement quelconque de G.

On constate que b=a⁰? α⁰ ? α⁰ est inverse de a pour la loi T. En effet aTb =a ? a⁰? α⁰? α⁰? α=e ? α⁰? e=α⁰.

• Conclusion : muni de la loi ?, l’ensemble G est un groupe ab´elien.

(25)

Consid´erons l’applicationϕ d´efini sur IR par ϕ(x) =x^1/3.

Pour tous r´eels x, y on a : (x+y)^1/3 =x^1/3? y^1/3 c’est-`a-dire ϕ(x+y) =ϕ(x)? ϕ(y).

L’application ϕ, qui est bijective, est donc un isomorphisme de (IR,+) sur (IR, ?).

On en d´eduit que (IR, ?) est muni d’une structure de groupe commutatif.

Plus précisément, le neutre de (IR, ?) est 0 et le symétrique dex pour la loi ? est−x.

• Soit a fix´e dans G: il existe α, β dans G tels que a=aα =βa.

Soit b quelconque dans G : il existex, y dans G tels que b=ax=ya.

On en d´eduit :

bα= (ya)α=y(aα) =ya =b βb=β(ax) = (βa)x=ax=b

En particulier, en choisissantb =β puis b=α : βα =β =α.

Ainsi l’élément e=α =β vérifie ∀b ∈G, eb=be=b : e est élément neutre.

• Soit a un ´el´ement deG. On sait qu’il existe u, v dans G tels que e=ua=av.

On a alors u(av) =ue=u etu(av) = (ua)v =ev=v. Donc u=v. L’élément u=v vérifie donc ua=au=e : u est l’inverse de a.

• Conclusion : l’ensemble Gest donc muni d’une structure de groupe.

• Soit a dans G. Pour tous,x, y deG, on a : y=ϕ_a(x) = axa⁻¹ ⇔ x=a⁻¹ya=ϕ_a⁻¹(y).

Ainsiϕ_a est une bijection de Get la bijection r´eciproque estϕ_a⁻¹.

• Soit a dans G. Pour tousx, y de G, ϕ_a(xy) = a(xy)a⁻¹ = (axa⁻¹)(aya⁻¹) =ϕ_a(x)ϕ_b(x).

Ainsiϕa est un automorphisme du groupe G.

• Soient a, bdeux ´el´ements de G.

Pour toutx de G, (ϕ_b◦ϕ_a)(x) = ϕ_b(axa⁻¹) =b(axa⁻¹)b⁻¹ = (ba)x(ba)⁻¹ =ϕ_ba(x).

Autrement ditϕ_b◦ϕ_a=ϕ_ba : l’applicationϕ :a 7→ ϕ_a est donc un morphisme du groupe Gdans le groupe Aut(G) des automorphismes de G.

• Le noyau de ϕ est formé des éléments a de Gtels que ϕ_a= id_G. Or ϕa= idG ⇔ ∀x∈G, x=axa⁻¹ ⇔ ∀x∈G, xa=ax.

Le noyau deϕest donc l’ensemble des éléments deGqui commutent avec tous les éléments deG (on parle ducentre deG.)

Remarque : les automorphismesϕ_a sont appel´es automorphismes int´erieurs de G.

(26)

Rappelons que dans un groupe d’ordre n, on a xⁿ=e pour toutx deG.

Par hypothèse, il existe deux entiers u etv tels que un+vk = 1 (identité de Bezout.) Pour tout y deG, on a donc y=yûn+vk = (yⁿ)û(y^v)^k = (y^v)^k =x^k avecx=y^v. Ainsi l’application x→x^k est surjective de G dans lui-même.

CommeG est un ensemble fini, c’est une permutation de G.

Soit G={e, a, b, c}un groupe d’ordre 4, de neutre e.

Si on montre par exemple ab=ba, on aura prouv´e que G est commutatif.

L’´egalit´e ab=b est impossible car elle impliquerait a=e par simplification.

Il en est de même de l’égalité ab=a.

On a donc ab∈ {e, c}, et de mˆeme ba∈ {e, c}.

• Siab=e ou si ba=e, alors b est l’inverse de a. Il en d´ecoule ba=ab=e.

• Le seul cas restant est doncab=ba=c.

Conclusion : Gest un groupe ab´elien.

Remarque : `a un isomorphisme pr`es, il n’y a que deux groupes d’ordre 4, qu’on note ZZ/4ZZ et (ZZ/2ZZ)×(ZZ/2ZZ) avec des notations classiques.

La r´eponse est n´egative car la loi ?n’est pas associative.

En effet : x ?(y ? z) = x ? t=z et (x ? y)? z =t ? z =x.

On vérifie cependant queeest élément neutre, et que tout élément de l’ensemble est inversible (car égal à son propre inverse.)

On a a²b =a(ab) = a(ba³) = (ab)a³ = (ba³)a³ =b(a⁵)a=ba.

De même, on a les égalités :

ab³ = (ab)b² = (ba³)b² =ba(a²b)b =ba(ba)b =b(ab)ab

=b(ba³)ab=b²a²(a²b) =b²a²(ba) = b²(a²b)a

=b²(ba)a=b³a²

(27)

Remarque : Les parenthèses dans les hypothèses de l’énoncé sont rendues nécessaires par le fait qu’on ne sait pas si la loi multiplicative de E est associative.

En particulier, b²b signifie (bb)b, qui peut ˆetre diff´erent de b(bb).

• La premi`ere hypoth`ese indique que l’applicationa7→a² est constante.

Notons e cette constante et montrons quee est neutre pour la loi?.

Remarquons que la loi ?s’´ecrit maintenant : a ? b =a(eb).

Les hypoth`eses deviennent donc : ∀(a, b, c)∈E³,







ae=a (1)

e(bc) =cb (2) (ac)(bc) =ab (3) . On constate tout d’abord que e²e=e² =e

Pour tout ´el´ement a de G, on a donc : a ? e=a(e²e) = ae=a.

De mˆeme, avec l’hypoth`ese (2) : e ? a=e(ea) = ae=a.

• Montrons que? est associative. Soient a, b, c trois ´el´ements deG. On a : a ?(b ? c) =a ?(b(ec)) =a(e(b(ec)))

=a((ec)b) (hypoth`ese 2) De mˆeme :

(a ? b)? c) = (a(eb)) (ec) = (a(eb)) ((ec)e) (hypoth`ese 1)

= (a(eb)) (((ec)b) (eb)) (hypoth`ese 3)

=a((ec)b) (hypoth`ese 3)

• Montrons que l’inverse d’un ´el´ement a de Gpour la loi ?est ea.

On a en effet :

a ?(ea) = a(e(ea)) =a(ae) =a(a) = e (ea)? a= (ea)(ea) = (ea)² =e

• La loi ? est donc associative, il existe un neutre et tout élément possède un inverse : l’ensembleE muni de la loi ?est donc un groupe.

• Inversement, soit (G, ?) un groupe de neutre e (on note z⁻¹ l’inverse de z.) On d´efinit une loi surG en posant : ∀(x, y)∈G, xy=x ? y⁻¹.

On constate que, pour tous ´el´ements a, b, c deG : a² =a ? a⁻¹ =e=b²

a(b²) = ae=a ? e⁻¹ =a ? e=a

a²(bc) = e(bc) =e ?(bc)⁻¹ = (bc)⁻¹ = (b ? c⁻¹)⁻¹ =c ? b⁻¹ =cb (ac)(bc) = (a ? c⁻¹)?(b ? c⁻¹)⁻¹ = (a ? c⁻¹)?(c ? b⁻¹)

=a ?(c⁻¹? c)? b⁻¹ =a ? e ? b⁻¹ =a ? b⁻¹ =ab

Enfin, on a bien : ∀(a, b)∈G², a(b²b) =a(eb) =a(e ? b⁻¹) =a(b⁻¹) =a ?(b⁻¹)⁻¹ =a ? b.

(28)

1. La loi ?est visiblement commutative.

Pour tous r´eels x, y, z, on a :

(x ? y)? z = (x+y−xy) +z−(x+y−xy)z =x+y+z−xy−xz−yz+xyz De mˆeme, en utilisant la commutativit´e :

x ?(y ? z) = (z ? y)? x=z+y+x−zy−zx−yx+zyx= (x ? y)? z La loi ?est donc associative. De plus il est clair que 0 est ´el´ement neutre.

Soit x etx⁰ deux r´eels. x⁰ est inverse de xsi et seulement si x⁰? x= 0.

Or x⁰? x= 0 ⇔ x⁰(x−1) =x, qui ne poss`ede pas de solutionx⁰ si x= 1.

On en d´eduit que (IR, ?) n’est pas un groupe (1 n’a pas d’inverse.)

2. Remarquons que pour tous r´eelsxety, on a : 1−x ? y = 1−x−y+xy= (1−x)(1−y).

Il en d´ecoule que si x6= 1 et y6= 1 alors x ? y 6= 1.

Autrement dit IR− {1} est stable pour la loi ?.

On note encore ?la restriction de cette loi `a IR− {1}.

Cette restriction est toujours associative et commutative, et 0 est encore ´el´ement neutre.

Un calcul précédent montre que pour tout x6= 1 : x⁰? x= 0 ⇔ x⁰ = x x−1. Cet élément x⁰, qui est distinct de 1, est donc l’inverse de x dans (IR− {1}, ?).

Conclusion : (IR− {1}, ?) est un groupe ab´elien.

Remarque :

On obtient une démonstration plus rapide en notant que l’égalité

∀x, y ∈IR, 1−x ? y = 1−x−y+xy= (1−x)(1−y) s’´ecrit (remplacerx par 1−x ety par 1−y)

∀x, y ∈IR, 1−(1−x)?(1−y) = (1−(1−x)) (1−(1−y)) =xy ou encore ϕ(xy) = ϕ(x)? ϕ(y) avec ϕ :t7→1−t.

L’application ϕ, qui est bijective de IR − {1} sur IR^∗ est donc un isomorphisme de (IR^∗,×) sur (IR− {1}, ?). Ainsi (IR− {1}, ?) est un groupe ab´elien.

3. On sait qu’on a l’égalité 1−x ? y = (1−x)(1−y) c’est-à-direϕ(x ? y) =ϕ(x)ϕ(y).

On en déduit ϕ(x⁽ⁿ⁾) = (ϕ(x))ⁿ (récurrence évidente).

Autrement dit : ∀x∈IR,∀n∈IN,1−x⁽ⁿ⁾ = (1−x)ⁿ. Conclusion : ∀x∈IR,∀n∈IN, x⁽ⁿ⁾ = 1−(1−x)ⁿ.

(29)

Remarquons que x ? y est d´efini pour tous x, y de ]−1,1[, car 1 +xy >0.

Il faut cependant vérifier quex ? y est encore un élément de ]−1,1[. Or :











1−x ? y = 1 +xy−x−y

1 +xy = (1−x)(1−y) 1 +xy >0 1 +x ? y = 1 +xy+x+y

1 +xy = (1 +x)(1 +y) 1 +xy >0 En en d´eduit l’encadrement : −1< x ? y <1.

Il est clair que la loi ? est commutative et que 0 est ´el´ement neutre.

Soient x, y, z trois ´el´ements de ]−1,1[.

On a : x ?(y ? z) = x+y ? z 1 +x(y ? z) =

x+ y+z 1 +yz 1 +x y+z 1 +yz

= x+y+z+xyz 1 +xy+xz+yz. En utilisant la commutativit´e, (x ? y)? z=z ?(y ? x).

or l’expression donnant x ?(y ? z) est inchang´ee quand on permute xet z.

On en d´eduit quex ?(y ? z) = (x ? y)? z : la loi ?est associative.

Enfin, il est clair que l’inverse de tout x de ]−1,1[ est −x.

Conclusion : (]−1,1[, ?) est un groupe ab´elien.

Remarque :

On peut connaˆıtre l’application th (tangente hyperbolique), bijective de IR sur ]−1,1[.

On sait que pour tous r´eels x, y on a : th (x+y) = th (x) + th (y)

1 + th (x)th (y) = th (x)?th (y).

L’application th est donc un isomorphisme du groupe (IR,+) sur le groupe (]−1,1[, ?).

Soient x et y deux ´el´ements quelconques de G.

Il s’agit de prouver xⁿ⁻¹y=yxⁿ⁻¹.

Par hypothèse, il existe un élément z de G tel que y=zⁿ. On a alors les égalités :

xⁿ⁻¹y =x⁻¹xⁿy =x⁻¹xⁿzⁿ

=x⁻¹(xz)ⁿ (en utilisant le morphismet7→tⁿ)

=x⁻¹x(zx)ⁿ⁻¹z = (zx)ⁿ⁻¹z = (zx)ⁿx⁻¹

=zⁿxⁿx⁻¹ (en utilisant encore le morphisme t7→tⁿ)

=zⁿxⁿ⁻¹ =yxⁿ⁻¹

Ce qui établit le résultat demandé.

(30)

Corrigé de l’exercice 4.2.15 On a les égalités :

ab³ = (ab)b² = (b⁴a)b² =b⁴(ab)b=b⁴(b⁴a)b=b²b⁶(ab) = b²(b⁴a) =b⁶a=a.

On en déduitb³ =e après simplification par a (on est dans un groupe.) Il en découle ab=b⁴a=b³(ba) =ba.

Autre méthode : l’hypothèseab=b⁴a s’écrit b=a⁻¹b⁴a et donne b³ = (a⁻¹b⁴a)³ =a⁻¹(b⁴)³a=a⁻¹(b³)⁴a=a⁻¹ea=a⁻¹a=e Corrigé de l’exercice 4.2.16

Remarque : cet énoncé est très proche de l’exercice 4.2.5.

L’hypoth`ese dit que pour touta deG, les applicationsx7→x ? aetx7→a ? xsont injectives.

Puisque G est fini ces applications sont donc bijectives.

On peut alors terminer la d´emonstration comme dans 4.2.5.

Cet exercice peut être considéré comme une question de cours.

Soit a un ´el´ement de G, distinct du neutre e (card(G)≥2).

L’ensemble (a) ={aⁿ, n∈ZZ} des puissances enti`eres de a est un sous-groupe de G.

On sait que l’ordre (le cardinal) d’un sous-groupe d’un groupe fini divise l’ordre de ce groupe.

On en déduit que l’ordre de (a) (qui est au moins égal à 2, car il contient e =a⁰ et a=a¹) divise l’ordre p (premier) deG et est donc égal àp.

Ainsi (a) =G, ce qui signifie effectivement queGest cyclique (et qu’il est d’ailleurs engendré par chacun de ses éléments différent du neutre.)

Soient x, y deux ´el´ements de G. On ae= (xy)² =xyxy.

On multiplie cette égalité à gauche parx puis à droite par y.

On en d´eduitx=x²yxy=yxy, puis xy =yxy² =yx : le groupe Gest donc commutatif.

Soient x, y deux ´el´ements de G. On a (xy)² =x²y² donc xyxy=xxyy.

On simplifie par x `a gauche et on obtient : yxy=xyy.

On simplifie par y `a droite et on obtient : yx=xy : le groupe G est donc commutatif.

(31)

1. Cette question a d´ej`a fait l’objet de l’exercice 4.2.18.

2. Il est clair que tout x deG appartient `a x : la relationR est r´eflexive.

Soient x, y dans G tel que yRx c’est-`a-dire y=xou y=ax.

Siy=ax alors ay =a²x=x. Dans tous les cas, on a donc x=y oux=ay.

AinsiyRx ⇔ xRy : la relationR est sym´etrique.

Soient x, y, z trois ´el´ements de G tels que xRy etyRz.

On a donc (x=y oux=ay) et (y =z ouy =az).

Dans tous les cas, sachant quea² =e, on trouvex=z oux=az c’est-`a-dire xRz.

On en d´eduit que R est transitive. C’est donc une relation d’´equivalence.

3. On sait que les diff´erentes classes d’´equivalence xforment une partition de G.

Or chacune de ces classes est de cardinal 2 : en effet a6=e ⇒ x6=ax.

Il s’ensuit que Card(G) est pair et que Card(H) = 1

2Card(G).

4. Soient α et β deux ´el´ements de H.

Il existe doncx, y dans G tels que α=x=x⁰ et β =y=y⁰ avec x⁰ =ax ety⁰ =ay.

On constate que les ´el´ements xy, x⁰y,xy⁰ etx⁰y⁰ sont en relation par R.

En effet chacun d’eux vaut xy ouaxy (conséquence de la commutativité et dea² =e.) La définition α ? β =xy ne dépend donc pas du choix de x dans α et y dans β.

L’applicationϕ :x7→xest une surjection de G surH.

De plus elle v´erifie : ∀(x, y)∈G², ϕ(xy) =ϕ(x)? ϕ(y).

ϕ est donc un morphisme surjectif du groupe (G,·) sur (H, ?).

Il en d´ecoule que (H, ?) est un groupe commutatif (r´esultat classique).

Plus précisément, le neutre est e={e, a}et le symétrique de x estx⁻¹. Enfin on contaste que : ∀x∈G, x ? x =x² =e (le neutre deH).

Le groupeH satisfait donc aux mêmes hypothèses que G(tout élément estinvolutif).

5. Si G est réduit à son neutre {e}, alors son cardinal est 1 = 2⁰. Sinon, avec les notations précédentes, Card(G) = 2Card(H).

SiH se r´eduit `a son neutre, alors Card(G) = 2.

Sinon on construit un groupe K `a partir deH comme on a construit H `a partir de G.

Ce proc´ed´e peut continuer tant que le groupe obtenu est de cardinal ≥2.

Puisque les cardinaux diminuent de moitié à chaque étape, le procédé est fini.

On forme donc une suite finie de groupesG₀ =G,G₁, G₂, . . ., Gn−1, G_n avec `a chaque

´etape Card(Gk) = 2Card(Gk+1) et finalement Card(Gn) = 1.

Il en d´ecoule Card(G_n) = 2ⁿ.

Le cardinal de G est donc bien une puissance de 2.

(32)

Corrig´e de l’exercice 4.2.21 Montrons que e est neutre dans G.

Pour cela, soit x dans G. Il faut prouver ex=x.

On sait qu’il existe x⁰ tel que xx⁰ =e.

De mˆeme, il existe x⁰⁰ tel x⁰x⁰⁰=e.

On peut alors ´ecrire : ex= (ex)(x⁰x⁰⁰

|{z}=e

) =e(xx⁰

|{z}=e

)x⁰⁰ =ex⁰⁰.

On en d´eduit : x⁰(ex) = x⁰(ex⁰⁰) puis (x⁰e)x= (x⁰e)x⁰⁰ ou encore x⁰x=x⁰x⁰⁰ =e.

Il en d´ecoule x(x⁰x) =xe =e puis (xx⁰)x=e c’est-`a-dire ex=e.

On voit donc que e est neutre dans G, et que x⁰ est l’inverse de x car x⁰x=xx⁰ =e.

Conclusion : Gest muni d’une structure de groupe.

Soient x, y deux ´el´ements quelconques de G.

Par hypothèse, on a l’égalité (xy)^k+1 =x^k+1y^k+1. Mais cette égalité s’écrit aussi x(yx)^ky=x(x^ky^k)y.

On simplifie par x à gauche et pary à droite : (yx)^k =x^ky^k donc (yx)^k= (xy)^k. Le même raisonnement (remplacer k par k−1) conduit à (yx)^k−1 = (xy)^k−1. Par passage aux inverses, on en déduit (yx)^1−k= (xy)^1−k.

Par produit terme à terme les égalités

(yx)^k = (xy)^k

(yx)^1−k= (xy)^1−k donnent yx=xy.

Le groupe Gest donc ab´elien.

Il suffit de montrer que l’inverse d’un ´el´ement x deH est encore dans H.

Puisque H est stable, la suite des puissances (xⁿ)n≥0 est incluse dans H.

Mais puisque H est fini, l’application n 7→xⁿ ne peut pas ˆetre injective.

Il existe donc deux entiers n, p, avec p > n, tels que xⁿ =x^p. On simplifie par xⁿ (dans le groupe G) et on trouve x^p−n=e.

Il en d´ecoule que e est dansH et que x^p−n−1 (qui est lui aussi dansH) est l’inverse de x.

Conclusion : H est un sous-groupe de G.

(33)

1. Il est clair que chacune des applicationsf_kest une bijection de (IR−{0,1}) sur lui-mˆeme.

On forme la table des f_i◦f_j. La plupart des r´esultats ci-dessous sont ´evidents.

◦ f₁ f₂ f₃ f₄ f₅ f₆ f1 f1 f2 f3 f4 f5 f6

f₂ f₂ f₃ f₁ f₆ f₄ f₅ f₃ f₃ f₁ f₂ f₅ f₆ f₄ f4 f4 f5 f6 f1 f2 f3

f₅ f₅ f₆ f₄ f₃ f₁ f₂ f₆ f₆ f₄ f₅ f₂ f₃ f₁

On constate que G est stable pour la loi◦.

Enfin tout élément de Ga un symétrique dansG. Plus précisément, les applications f₁, f₄, f₅ etf₆ sont involutives et sont donc leur propre inverse, alors que les applications f2 et f3 sont inverses l’une de l’autre.

Gest donc un sous-groupe du groupe des bijections de IR− {0,1} dans lui-mˆeme.

2. Les sous-groupes de G sont n´ecessairement d’ordre 1, 2, 3 ou 6.

Le seul sous-groupe d’ordre 1 est{f1}.

Le seul sous-groupe d’ordre 6 estG lui-mˆeme.

Les sous-groupes d’ordre 2 sont{f₁, f₄},{f₁, f₅}et {f₁, f₆}.

Le seul sous-groupe d’ordre 3 est{f₁, f₂, f₃ =f₂²}.

Il est ´evident que siH ⊂K ou K ⊂H, alors H∪K est un sous-groupe de G.

R´eciproquement, on suppose que H∪K est un sous-groupe de G.

Supposons de plus H 6⊂K. Alors on doit montrer K ⊂H.

Par hypothèse il existe un élément a tel que a∈H, a /∈K.

Soit x un ´el´ement quelconque de K.

Puisque x et a sont dans le sous-groupeH∪K, il en est de mˆeme de xa.

Or xa ∈K impliquerait a=x⁻¹(xa)∈K, ce qui n’est pas.

Ainsi xa∈H, ce qui prouvex= (xa)a⁻¹ ∈H.

On a donc l’inclusion K ⊂H, ce qui ach`eve la d´emonstration.