Exercice 2 Le plan est muni d’un repère

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Exercices sur Les complexes 2éme Bac SM

EXERCICE 1

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct



^{O u v}^{; ;}



^.

I/1) a - Calculer :



²^ⁱ



²

b - Résoudre dans C l’équation : iz²+ 2i 2 8 8 0z  i 2) On considère le point A :z_A  2 2 2 i 2

a - Mettre sous forme exponentiellez . _A b - Placer le point A

3) On considère le nombre complexe : a 2 2 i 2 2 a- Mettre a puis ² a sous forme exponentielle

b- Déterminer les valeurs de :cos ³ 8

  

 

 et sin ³ 8

  

 

  4) On considère le nombre complexe : b 4 z_A. Déterminer le module et un argument de b

II/ Soient les points I , J et K d’affixes respectives 1;i et 1.

A tout pont M d’affixe z i; on associe le point Md’affixe z tel que : z i

z z i

  

 1) Montrer que les vecteurs KM et JM sont colinéaires

2) Montrer que les vecteurs IM et JM sont orthogonaux

3) Construire alors le point Mimage d’un point M donné distinct de J Exercice 2

Le plan est muni d’un repère orthonormé



^{O u v}^{; ;}



^.

On considère les points A, B et C d’affixes respectives :a2i ; b  3i et b  3i 1) Ecrire a, b et c sous forme exponentielle.

Placer A, B et C sur une figure.

2) Soit a b

Z c b

 



a) Ecrire Z sous forme algébrique et puis exponentielle.

b) En déduire la nature du triangle ABC.

Exercice 3

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé direct



^{O u v}^{; ;}



On donne les points A et B d'affixes respectives1eti.

Pour tout point^{M z}

 

du plan P différent du point B ;on associe le point^M^{ }

 

^z ^{tel que :}^z ^z

  z i

 1) On pose z x iy et z x iy où x y x; ; et ysont des réels.

(2)

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a) Montrer que :

 

2 2

1

x y y

x

x y

y x

x y

    

  



  

  



b) En déduire alors les ensembles suivants : ^E^



^{M z}

 

^^{P z}^/ ^^IR



^et^E^



^{M z}

 

^^{P z}^/ ^^ⁱ^IR



2) a) Soit ^z^{  }^C

 

ⁱ ; vérifier que : 1 i z   z i



b) En déduire que si le point^{M z}

 

varie sur le cerclede centre B et de rayon 1 alors le point ^M^{ }

 

^z varie sur un cercleque l'on précisera.

Exercice 4

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct



^{O u v}^{; ;}



^.

On considère les points A ;B ; C et D d’affixes respectives ai ; be^ⁱ^ ; c 2i eⁱ^ et d 2cosi

avec ;

2 2

 ^  

 

  .

1) a) Vérifier que b a  c a . En déduire que AB = AC . b) Montrer que le quadrilatère ABDC est un losange.

2) a) Montrer que : 2 cos ^{2 4}

2 4

i

c a e

  ^^_ ^ ^^_

 

    

  .

b) En déduire la valeur de  pour laquelle ABDC soit un carré.

c) Construire le carré ABDC pour la valeur de  trouvée Exercice 5

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct



^{O u v}^{; ;}



^.

On appelle J le point d'affixei .

On considère les points A, B, C et H d'affixes respectives a  3 i;b  2 4i; c 3 iet h 2. 1) Placer ces points sur une graphique, qui sera complétée au fur et à mesure de l'exercice.

2) Montrer que J est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Préciser le rayon du cercle .

3) Calculer, sous forme algébrique, le nombre complexe :b c h a



 . En déduire que les droites



^AH



^et

 

^BC sont perpendiculaires.

Dans la suite de l'exercice, on n’admet que H est l’orthocentre du triangle ABC, c’est-à-dire le point d'intersection des hauteurs du triangle ABC.

4) On note G le centre de gravité du triangle ABC. Déterminer l'affixeg du point G Placer G sur la figure .

5) Montrer que les points : G ; J et H sont alignés.

6) On noteAle milieu de

 

^BC et K le milieu de

 

^AH ^.

Le point Aa pour affixe 1 3 2 2 a   i . a) Déterminer l'affixe du point K.

b) Démontrer que le quadrilatère KHA J est un parallélogramme.