La distance d qui sépare le centre O d’un cercle (Γ) de rayon R et le centre I d’un cercle (γ) de rayon r est telle que d² = R(R – 2r).
Q₁ Démontrer qu’on sait tracer une infinité de triangles ABC qui admettent (Γ) comme cercle circonscrit et (γ) comme cercle inscrit .
Q₂ Soit un triangle ABC admettant (Γ) comme cercle circonscrit et (γ) comme cercle inscrit.
Déterminer le lieu du milieu du segment qui relie le centre du cercle d’Euler au point de Feuerbach quand A se déplace sur la circonférence de (Γ).
Q1 : Pour tout point A du cercle (Γ), d2=OI2=(OA+AI)2 , soit en développant ce produit scalaire, d2=R2+2OA.AI+AI2, donc AI2=2(AO.AI-Rr)
On peut tracer les tangentes au cercle (γ) depuis le point A, qui recoupent (Γ) en B et C ; si J est le centre du cercle inscrit au triangle ABC, J appartient à la bissectrice AI, donc AJ=kAI et le rayon de ce cercle inscrit est kr. La relation d’Euler pour le triangle ABC s’écrit OJ2=R(R-2kr), donc AJ2=2(AO.AJ-kRr), soit k2AI2=2(kAO.AI-kRr) et comme k≠0, kAI2=2(AO.AI-Rr)=AI2. Donc k=1 et J est confondu avec I : il existe donc une infinité de triangles inscrits dans (Γ) et circonscrits à (γ).
Q2 : Le point de Feueurbach F est le point de contact du cercle inscrit et du cercle d’Euler, de centre Ω : le rayon du cercle d’Euler étant R/2, ΩF=R/2, IF=r, donc ΩI=R/2-r, et si P est le milieu de ΩF, IP=r-R/4 (éventuellement en valeur absolue).
Le lieu de P, (comme celui de Ω) est un cercle de centre I.
