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Academic year: 2022

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E682. Les nombres japonais

****

E6. Autres casse-tête

Problème proposé par Michel Lafond en hommage au cinéaste japonais Takeshi Kitano.

On dit qu’un entier naturel N est de type Jn si N peut être écrit en utilisant une fois et une fois seulement chacun des nombres 1, 2, 3…, n dans l’ordre, ces nombres étant utilisés comme opérandes avec les opérateurs +, -, ×, /, racine carrée, exponentiation, factorielle (notée !), et les parenthèses ( et ). La concaténation est interdite.

Ainsi, 2011 est de type J6 puisque 2011 = (1 + 2)!! x 3 - 4! - √56 = 720 x 3 - 24 - 125

Démontrer que 2017 est de type Jn pour tout entier naturel n ≥ 5.

Solution proposée par Jean Nicot

J

5 =

1 + (2^3)!/4/5

= 1 + 8!/4/5 = 2017

J

6

= 1 + (-2 + 3!)^√𝟒)*(5! +6)

= 1+ 16*126 = 2017

Ces deux relations fournissent les suivantes J7= J5 *(-6+7) et J8 = J6 *(-7+8) et donc tous les J5+2n et J6+2n

Références

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