Fiche méthode : exploiter un graphique Représentation graphique d’une fonction mathématique

Fiche méthode : exploiter un graphique

Représentation graphique d’une fonction mathématique :

Une fonction mathématique « y=f(x) » permet de connaître la valeur de y pour chaque valeur de x.

A la fonction correspond une courbe qu’on peut tracer dans un graphique ; y est alors l’ordonnée et x l’abscisse du graphique.

On dit que la courbe obtenue lorsqu’on a tracé y en fonction de x est la courbe représentative de la fonction f(x).

Quelques exemples :

Représentation d’une fonction linéaire ( y = a.x) Représentation d’une fonction affine ( y = a.x+b )

Représentation d’une parabole ( y = a.x² ) Représentation de la fonction inverse ( y = a.1/x)

 Laquelle de ces 4 fonctions traduit le fait que y est proportionnel à x ? Quelle est la représentation graphique correspondante ?

 Quel est le coefficient de proportionnalité ?

Détermination du coefficient directeur d’une droite : Voici la représentation d’une fonction y=f(x).

 Par comparaison avec les exemples donnés précédemment, de quelle fonction s’agit-il ?

 Que peut-on dire de la relation entre y et x ?

On cherche à déterminer le coefficient de proportionnalité « a ». On l’appelle aussi coefficient directeur de la droite.

Pour cela, choisir 2 points appartenant à la droite :

A ( ; ) et B ( ; )

Calcul de a : A.N. :

 Ecrire la relation entre y et x :

Application à la physique :

En physique, on cherche à déterminer la relation entre 2 grandeurs physiques qui jouent le rôle de x et y en maths.

On trace souvent la représentation graphique d’une grandeur en fonction de l’autre ; on essaie de trouver la fonction qui correspond alors à la courbe obtenue.

1. Représentation d’une grandeur en fonction d’une autre :

Remplir le tableau suivant, et indiquer sur les axes quelles sont les grandeurs qui doivent y figurer :

Graphe tracé

Grandeur jouant le rôle

de y

Grandeur jouant le rôle

de x

Axes

h en fonction de Δt

h en fonction de Δt²

A B

A B

x x

y a y



 

2. Loi de Képler :

Il s’agit de déterminer la masse de Jupiter en utilisant la 3^ème loi de Képler.

Johannes Kepler, né le 27 décembre 1571 à Weil der Stadt, près de Stuttgart (Allemagne), mort le 15 novembre 1630 à Ratisbonne, a étudié et confirmé l'hypothèse héliocentrique (la Terre tourne autour du Soleil) de Nicolas Copernic. Il a également découvert que les trajectoires des planètes n’étaient pas des cercles parfaits centrés sur le Soleil mais des ellipses. En outre, il a énoncé les lois (dites lois de Kepler) qui régissent les mouvements des planètes sur leurs orbites, dont est donné un énoncé de la 3^ème ci-dessous

3^ème loi de Képler : Le carré de la période des objets en orbite est proportionnel au cube du rayon de leur trajectoire.

Remarque : la période T d’un objet en orbite est la durée d’1 tour.

Voici une liste de quelques objets en orbite autour de Jupiter

Nom

Diamètre Masse Rayon R (milliers de km)

Période T

(km) (kg) (jours)

Léda 20 1,1×10¹⁶ 11 165 240,92

Carpo 3 4,5×10¹³ 16 989 456,1

Euporie 2 1,5×10¹³ 19 304 550,74

Hermippé 4 9,0×10¹³ 21 131 633,9

Eurydomé 3 4,5×10¹³ 22 865 717,33

Coré 2 1,5×10¹³ 24 011 779,18

 Quelle courbe veut-on obtenir pour vérifier la proportionnalité ? Quelle graphique doit –on alors tracer (quoi en fonction de quoi ?)

Quelle sont les grandeurs à calculer ?

 Compléter le tableau et tracer le graphique prévu :

 Commenter le graphique obtenu (peut-on confirmer que la loi de Képler est vérifiée ?) :

 Modéliser la courbe obtenue :

Détermination de la masse de Jupiter

Quelques dizaine d’années après les observations de Képler, Newton établit en utilisant la loi de gravitation que la relation entre T² et R³ s’exprimait de façon suivante :

3 2

2 4

GM R T   

Où M est la masse de l’astre autour duquel gravitent les satellites et G une constante universelle dont la valeur est : G = 6,67×10^-11.

A partir de ces informations calculer la masse de Jupiter.