GEOMETRIE : Les coniques
Exercices sur les ellipses Formules :
² 1
²
²
²
b
y a
E x Sommets (±a,0) (0, ±b) Foyers (±c,0) avec c² = a² - b²
Tangente en un point (x0,y0) de l’ellipse : )
² (
²
0 0
0 0
) ,
(0 0 x x
y a
x y b
y
t x y
ou 1
²
²
0 0 ) ,
( 0 0
b y y a
x t x y x
Tangente à l’ellipse de direction donnée:
²
²
²m b a
mx y
t
Exercices récapitulatifs
1) Rechercher l’équation de l’ellipse sachant que l’axe focal mesure 12 cm et la distance entre les foyers est 8 cm.
2) Montrer que la conique C 4 x² + 9 y² - 12 x – 6 y – 26 = 0 est une ellipse.
Donner les coordonnées des foyers
3) Quelle est l’équation de l’ellipse de grand axe 26 et de petit axe 10.
Calculer la distance entre les foyers
4) Rechercher les équations des tangentes à l’ellipse E 16 x² + 25 y² = 400 au point d’abscisse 4 situé dans le premier quadrant. Démontrer que les tangentes se coupent sur l’axe OX
5) Une ellipse de grand axe 10 passe par le point (4;-2,4). Calculer la longueur du petit axe et schématiser l’ellipse.
6) Rechercher les équations des tangentes issues du point (-4,3) à l’ellipse E 9x² + 16 y² = 144. Déterminer l’angle qu’elles forment.
7) Rechercher les équations des tangentes à l’ellipse 1 36
² 49
²
x y
E formant un
angle de 30° avec l’axe des X.
8) Rechercher les équations des tangentes à l’ellipse 1 16
² 36
²
x y
E parallèles à la
droite d 4x + 6y – 19 = 0. Déterminer la distance entre ces tangentes.
9) Rechercher les points de contact des tangentes issues du point (5,-1) à l’ellipse 25 1
² 16
²
x y
E et par suite, les équations de ces tangentes.
10) Par le point (3,1), on trace une corde de l’ellipse 1 36
² 64
²
x y
E . Quelle est
l’équation de cette corde si ce point en est le milieu ? 11) On coupe l’ellipse 1
4
² 9
²
x y
E par la droite d y = 2/3 x. En leur point d’intersection P (premier quadrant), on trace la tangente et la normale coupant OX en Q et R. Calculer la distance entre Q et R.
Solutions
1. a = 6, c = 4 d’où b²=20 1 20
² 36
²
x y E
2. C≡(2x – 3)² - 9 + (3y – 1)² - 1 – 26 = 0 ou encore 36 9
1 3)² ( 1
4 1
2)² ( 3
y
x
ou encore 1
4 3)² ( 1
9 2)² ( 3
y
x
qui est l’équation d’une ellipse si on pose
3 ' 1 2 ' 3
y y
x x
)
3 ,1 2 5 3 ( ' 3)
,1 2 5 3
( et F
F
3. 1
25
² 169
²
x y
E FF’ = 24
4. P(4,12/5)
15 100 15
16
) 4 60 (
64 5
12
x y
t
x y
t
5. a = 5
16
²
² 1 76 . 5 25 16
b
b d’où longueur du petit axe = 8
6. Vu l’équation de l’ellipse, a = 4 et b = 3 Nous avons donc t1≡y = 3 et t2≡x = -4 les deux tangentes forment un angle de 90°
7. m = tg 30° = 3
3 36
3 49 3
3
y x t
8. coef dir de d : -2/3 2 3 4
2
y x
t
les tangentes sont parallèles donc coplanaires
Considérons une perpendiculaire d1 ≡ y = 3/2 x et cherchons les points d’intersection de d1 avec les tangentes
41 , 9 62 . 88
13 ) 2 , 36 13
2 ( 24 13 )
2 ,36 13
2 (24
AB
B A
9. (4,5)E d’où on résout le système qui donne l’intersection entre l’ellipse et les tangentes à l’ellipse en (x0,y0) passant par (4,5)
25 1 5 16 4
25 1 16
0 0
2 0 2 0
y x
y x
On obtient les points de contacts C(0,5) et C’(4,0) ainsi que les tangentes t ≡ y = 5 et t’ ≡ x = 4
10. La corde est une segment de droite d ≡ y = ax + b (3,1) d 1 = 3a + b avec
x a y
(1)
P(xp,yp) E 1 36 64
2 2
p
p y
x (2)
R(xr,yr) E 1 36 64
2 2
r
r y
x (3)
(3,1) est milieu de [PR] 1
3 2
2
r p r
p y y
x et
x (4)
(2) – (3) :
36 0
) ).(
( 64
) ).(
(
36 0 64
2 2 2
2
r p r p r
p r p
r r r
p
y y y y x x x x
y x y
x
Vu (4), on peut écrire : 0
36 ) (
2 64
) (
6
r p r
p x y y
x
Vu (1), on obtient : 0 18
1 32
3 a
ce qui donnera comme corde d ≡ 27 16 97 0
16 97 16
27
x ou x y
y
11. Point d’intersection entre E et d : , 2) 2
2 (3
,0)6 2 (5
) 0 2 ,
2 (3
R avec R OX n
Q avec Q OX t
6 2
13 QR
