Oscillateurs quasi-sinusoidaux. Conditions de démarrage des oscillations, stabilisation de l’amplitude et distorsion.
JULIENFLAMANT–julien.flamant@ens-cachan.fr
Motivation
L’étude présentée dans cette leçon est motivée par l’omniprésence des oscillateurs dans le monde physique et technologique. En électronique par exemple, les oscillateurs quasi-sinusoidaux sont à la base de nombreux composants : horloges internes de processeurs, oscillateurs contrôlés en tension dans la boucle à verrouillage de phase, ... S’agissant d’une première leçon sur les oscillateurs, il est important de bien détailler pas à pas là démarche d’étude. Une manière possible est d’effectuer en permanence des aller-retours sur la manipulation, en montrant à chaque fois expérimentalement le phénomène présenté : démarrage des oscillations, stabilisation de l’amplitude, mesure du THD à l’ana- lyseur de spectre. On peut aussi montrer la stabilité en fréquence à l’aide du fréquencemètre.
1 Généralités
1.1 Définition d’un oscillateur
Un oscillateur est un dispositif générant un signals(t), de forme connue, en l’absence de toute excitation extérieure. On distingue notamment les oscillateurs quasi-sinusoïdaux, qui délivrent une tension de sortie sous la formes(t) =Smcos(2πf t), oùSmest appelée l’amplitude de l’oscillation etf la fréquence.
Dans ce cours, on s’intéressera principalement à la réalisation d’oscillateurs électroniques : la grandeur de sorties(t)sera alors bien souvent une tension. Il faut toutefois garder à l’esprit que la réalisation d’oscillateurs ne se limite pas à ce simple domaine : le LASER par exemple est un oscillateur optique quasi-sinusoidal, la grandeur de sortie étant alors un champ électromagnétique.
Il convient de plus d’insister sur la natureinstabledes oscillateurs, et sur le fait qu’aucun signal (a priori) ne vient exciter le système : l’obtention d’oscillations est du à l’instabilitéintrinsèquedu système, et la seule source d’énergie dont il dispose consiste en l’alimentation du dispositif.
1.2 Caractéristiques et performances
En théorie, si l’oscillateur est parfait, le signal de sortie de l’oscillateurs(t)s’écrit tout simplement :
s(t) =Smcos(2πf t) (1)
oùSm et f sont des constantes. On constate en pratique qu’il est impossible d’obtenir un tel signal, et que plusieurs défauts peuvent apparaître. Il convient donc de décrire ces phénomènes, et de les quantifier précisément si possible. On distinguera donc :
(a) Ladistorsion: ce phénomène est caractérisé par la présence d’autres fréquences multiples de la fréquence f d’oscillation, que l’on nommera harmoniques. Il est alors possible d’écrire la sortie s(t)sous la forme
s(t) =Smcos(2πf t) +X
i>2
Sicos(2πif t+φ) (2)
qui est finalement la décomposition en série de Fourier du signals(t). Un indicateur de la pureté spectrale du signal est alors le Taux Harmonique de Distorsion (THD), que l’on définit par :
THDdB= 10 log P
i>2Si2 Sm2
!
(3) On mesure généralement cet indicateur à l’aide d’un analyseur de spectre.
1
Oscillateurs quasi-sinusoïdaux
(b) Lastabilité en fréquence: on constate bien souvent que la fréquencef du fondamental du signal évolue au cours du temps. De plus, une analyse plus fine nous montre que cette fréquence varie autour d’une fréquence centrale f0, et ce dans un intervalle de largeur δf : on définit alors la stabilité en fréquenceσpar :
σ= f0
δf (4)
Il convient toutefois de différencier la stabilité àlong terme(à l’échelle d’une année par exemple) de la stabilité àcourt terme. En pratique, les valeurs deσ sont exprimées en parties par million (p.p.m), ce qui correspond à σ = 10−6. Une remarque s’impose néanmoins : la mesure de la stabilité d’un oscillateur nécessitant un oscillateur de référence, comment peut-on s’assurer de la stabilité de ce même oscillateur de référence ? Un problème qui s’apparente à celui de l’oeuf et de la poule... Il faut toutefois noter qu’on obtient une bonne stabilité fréquentielle avec des oscillateurs à quartz thermostatés (10−3 p.p.m) voire avec des horloges atomiques si le besoin s’en ressent.
1.3 Structure générale et démarche d’analyse
Pour obtenir la structure générale d’un oscillateur quasi-sinusoidal, on peut raisonner en deux temps.
Tout d’abord, afin d’obtenir un signal sinusoidal avec le moins de distorsion possible, on pressent bien qu’il va falloir faire « passer » le signal dans une circuit résonnant et très sélectif : cela peut être réalisé par une celluleL−Cpar exemple. On sait de plus que tout circuit présentant des pertes, il va falloir redonner de l’énergie au signal filtré afin de garantir la pérennité des oscillations. On vient donc de donner la structure del’oscillateur à réaction, constitué d’unamplificateurdans la chaine directe et d’un circuit résonant dans la boucle de rétroaction.
Circuit résonant Amplificateur
On va dans la suite s’intéresser au fonctionnement de l’oscillateur. On fera apparaître deux phases bien distinctes, qui reposent chacune sur des hypothèses d’études bien différentes :
(a) Tout d’abord il s’agit de s’assurer que dès la mise sous tension de l’oscillateur apparaissent des oscillations : il s’agit de la phase dedémarrage des oscillations. Les signaux étant nécessairement d’amplitude limitée, on peutlinéariserles caractéristiques de tous les composants au voisinage du point de polarisation. L’étude se résume alors à l’étude d’un système bouclé linéaire, et à vérifier que celui-ci est bien instable.
(b) A un moment donné peuvent apparaître des non-linéarités dans le système : saturation de l’am- plificateur par exemple. Cette phase est appeléestabilisation de l’amplitude.Il faut alors revoir les hypothèses de travail, et une étude non-linéaire s’impose1.
2 Etude d’un oscillateur basique : le pont de Wien
2.1 Présentation
On va à présent mettre en évidence les deux régimes de fonctionnement d’un oscillateur simple, le pont de Wien. Cet exemple présente l’avantage indéniable d’être très simple à mettre en oeuvre, et un choix pédagogique intéressant. Comme on le verra plus, loin ce montage paye sa simplicité par un nombre de défauts importants qui empêchent son utilisation dans le monde réel.
1. Propos à modérer tout de fois : si l’on dispose d’un contrôle automatique de gain qui permet de stabiliser l’amplitude de l’oscillation, on peut alors conserver le formalisme de l’étude linéaire précédemment introduite.
2
Oscillateurs quasi-sinusoïdaux
− + R1
C
R
R C
R2
cellule de réaction amplificateur
FIGURE1 –Schéma du pont de Wien à amplificateur opérationnel. On identifie clairement la cellule amplificatrice (AO non inverseur) et la cellule de réactionR−Csérie –R−Cparallèle. Pour refaire ce montage, on propose la valeur des composantsR=,C=,R1= 3.3kΩetR2un potentiomètre10kΩ.
2.2 Etude linéaire : démarrage des oscillations
Dans cette partie, comme on se trouve en régime petits signaux, on peut linéariser le système et dès lors utiliser le formalisme de fonctions de transfert. On peut alors mettre le système linéarisé sous la forme d’un schéma bloc, comme suit :
+− E= 0
A(p)
B(p)
où A(p) est la fonction de transfert de l’amplificateur linéarisé, et B(p) la fonction de transfert de la cellule de réaction. On rappelle alors un résultat vu dans le cours d’automatique sur les systèmes linéaires. Un système bouclé est instable si et seulement si au moins un des pôles de la fonction de transfert en boucle fermée est à partie réelle positive, ce qui conduit à l’analyse des racines de l’équation
A(p)B(p) =−1 (5)
Plutôt que de résoudre une équation algébrique, on peut aussi utiliser une méthode géométrique, basée sur le critère de Nyquist. C’est la méthode que l’on appliquera ici. Tout d’abord exprimonsA(p)etB(p): de manière immédiate, on aA(p) = 1 + RR2
1 etB(p)s’obtient par un pont diviseur de tension : B(p) = ZR//C
ZR,C+ZR//C =
R 1+RCp
R+Cp1 +1+RCpR =
1 3
1 +Q
p
ω0 +ωp0 (6)
où l’on a poséQ=13 etω0= RC1 . On constate queA(p)se résume à un gain pur : c’est sur lui que l’on va agir pour faire apparaître les oscillations. En effet, si l’on trace le lieu deT(jω) = AB(jω)dans le plan complexe, on observe un cercle de centre−A/6et passant par−A/3enω=ω0. En appliquant le critère de Nyquist, on obtient la condition de démarrage des oscillations : le point critique -1 est entouré par le lieu deT(jω)si le gainAest supérieur à 3.
3
Oscillateurs quasi-sinusoïdaux
Remarque A priori, le système bouclé pourrait rester à ce point d’équilibre d’instable et ne jamais osciller. En pratique, les imperfections du montage (tension de décalage de l’AO, bruit de fond, ...) assurent le démarrage des oscillations.
2.3 Le régime établi
A partir du moment où le démarrage des oscillations a eu lieu et que le gain de l’amplificateur reste le même, les amplitudes des oscillations vont croitre jusqu’à l’apparition d’une non-linéarité, typiquement une saturation de l’amplificateur. Il faut alors remettre en cause l’hypothèse de linéarité faite jusqu’à présent, et une étude non-linéaire s’impose. On peut toutefois utiliser une approximation courante dans l’étude des systèmes non linéaires, l’approximation du premier harmonique.2
Stabilisation de l’amplitude Dans le cas de la non linéarité, la stabilisation de l’amplitude est de fait automatique de par la présence de la saturation. Cependant, cette saturation a le mauvais goût de nuire à la pureté spectrale, en introduisant des harmoniques. Pour palier ce défaut, il est possible d’utiliser une structure de contrôle automatique de gain, qui va en permanence adapter le gain de l’amplificateur afin de maintenir l’amplitude désirée en sortie. Ce système permet alors de conserver le formalisme de l’étude linéaire pour le régime établi.
3 Conclusion
Au travers de l’exemple du pont de Wien, nous avons abordé la démarche d’étude d’un oscillateur. Ce montage, comme on l’a vu, présente des caractéristiques peu intéressantes en pratique : il y a une forte distorsion du signal de sortie et la fréquence de sortie est peu stable. Ces deux phénomènes s’expliquent principalement par le piètre facteur de qualité Q de la cellule de réaction. Ainsi, pour améliorer la pureté spectrale, il faudra s’orienter vers des cellules composées uniquement de composants réactifsL etC, qui permettront d’obtenir des valeursQplus élevées, voire l’utilisation de quartz pour des valeurs deQtrès grandesQ∼10000
Références
[1] MORE, C. Transmission de signaux : cours et exercices d’électronique. Technique & Documentation, 1999.
2. L’idée n’est pas ici de dérouler le calcul, mais plutôt d’expliquer avec les mains (et un schéma clair) le principe de la méthode. On pourra représenter l’évolution des signaux en sortie de l’amplificateur et en sortie de la cellule de réaction.
4
