Calcul diff´erentiel Equations diff´erentielles ´

Calcul diff´erentiel Equations diff´erentielles ´

Cours 3

Composition

Proposition. Soit f :U ⊂E→F,g:V ⊂F →G,a∈U et f(a)∈V. On suppose quef est diff´erentiable en aetg en f(a).

Alorsg◦f est diff´erentiable en a, et

d(g◦f)(a) =dg(f(a))◦df(a).

En particulier, siB, B⁰, B⁰⁰ sont des bases deE, F etG, on a M at d(g◦f)(a), B, B⁰⁰

=M at dg(f(a)), B⁰, B⁰⁰

M at df(a), B, B⁰ .

Composition

Proposition. Soit f :U ⊂E→F,g:V ⊂F →G,a∈U et f(a)∈V. On suppose quef est diff´erentiable en aetg en f(a).

Alorsg◦f est diff´erentiable en a, et

d(g◦f)(a) =dg(f(a))◦df(a).

En particulier, siB, B⁰, B⁰⁰ sont des bases deE, F etG, on a M at d(g◦f)(a), B, B⁰⁰

=M at dg(f(a)), B⁰, B⁰⁰

M at df(a), B, B⁰ .

Composition

Proposition. Soit f :U ⊂E→F,g:V ⊂F →G,a∈U et f(a)∈V. On suppose quef est diff´erentiable en aetg en f(a).

Alorsg◦f est diff´erentiable en a, et

d(g◦f)(a) =dg(f(a))◦df(a).

En particulier, siB, B⁰, B⁰⁰ sont des bases deE, F etG, on a M at d(g◦f)(a), B, B⁰⁰

=M at dg(f(a)), B⁰, B⁰⁰

M at df(a), B, B⁰ .

D´eriv´ees partielles. Puisque (a_ik)_i,k(b_k,j)_k,j = (

p

X

k=1

a_ikb_kj)i,j

le produit des jacobiennes donne :

∂(g_i◦f)

∂x_j (a) =

p

X

k=1

∂g_i

∂x_k(f(a))∂f_k

∂x_j(a).

D´eriv´ees partielles. Puisque (a_ik)_i,k(b_k,j)_k,j = (

p

X

k=1

a_ikb_kj)i,j

le produit des jacobiennes donne :

∂(g_i◦f)

∂x_j (a) =

p

X

k=1

∂g_i

∂x_k(f(a))∂f_k

∂x_j(a).

Exemple. Sif :R→F etg:F →G, alors (g◦f)⁰(a) =dg(f(a))(f⁰(a))∈G.

En effet,

d(g◦f)(a)(h) =dg(f(a)) df(a)(h) soit (g◦f)⁰(a)h=dg(f(a)) f⁰(a))h et donc le r´esultat.

In´ egalit´ e des accroissement finis

Proposition.Soit f :U ⊂E →F, diff´erentiable surU,x∈U ety∈U, tels que

[x, y] ={tx+ (1−t)y, t∈[0,1]} ⊂U.

Alors

kf(x)−f(y)k_F ≤ sup

z∈[x,y]

kdf(z)kkx−yk_E.

D´emonstration. Soitφ: [0,1]→F,t→f(tx+ (1−t)y).

C’est la compos´ee de f et de g:R→E, g(t) =tx+ (1−t)y,

avecg⁰(t) =x−y, doncφ⁰(t) =df(g(t))(x−y). Par cons´equent, kf(x)−f(y)k_F = kφ(1)−φ(0)k=k

Z 1 0

φ⁰(t)dtk ≤ Z 1

0

kφ⁰(t)kdt

≤ Z 1

0

sup

s∈[0,1]

kdf(g(s))kkx−yk_Edt

= sup

z∈[x,y]

kdf(z)kkx−yk_E.

D´emonstration. Soitφ: [0,1]→F,t→f(tx+ (1−t)y).

C’est la compos´ee de f et de g:R→E, g(t) =tx+ (1−t)y, avecg⁰(t) =

x−y, doncφ⁰(t) =df(g(t))(x−y). Par cons´equent, kf(x)−f(y)k_F = kφ(1)−φ(0)k=k

Z 1 0

φ⁰(t)dtk ≤ Z 1

0

kφ⁰(t)kdt

≤ Z 1

0

sup

s∈[0,1]

kdf(g(s))kkx−yk_Edt

= sup

z∈[x,y]

kdf(z)kkx−yk_E.

D´emonstration. Soitφ: [0,1]→F,t→f(tx+ (1−t)y).

C’est la compos´ee de f et de g:R→E, g(t) =tx+ (1−t)y, avecg⁰(t) =x−y, doncφ⁰(t) =

df(g(t))(x−y). Par cons´equent, kf(x)−f(y)k_F = kφ(1)−φ(0)k=k

Z 1 0

φ⁰(t)dtk ≤ Z 1

0

kφ⁰(t)kdt

≤ Z 1

0

sup

s∈[0,1]

kdf(g(s))kkx−yk_Edt

= sup

z∈[x,y]

kdf(z)kkx−yk_E.

D´emonstration. Soitφ: [0,1]→F,t→f(tx+ (1−t)y).

C’est la compos´ee de f et de g:R→E, g(t) =tx+ (1−t)y, avecg⁰(t) =x−y, doncφ⁰(t) =df(g(t))(x−y).

Par cons´equent, kf(x)−f(y)k_F = kφ(1)−φ(0)k=k

Z 1 0

φ⁰(t)dtk ≤ Z 1

0

kφ⁰(t)kdt

≤ Z 1

0

sup

s∈[0,1]

kdf(g(s))kkx−yk_Edt

= sup

z∈[x,y]

kdf(z)kkx−yk_E.

D´emonstration. Soitφ: [0,1]→F,t→f(tx+ (1−t)y).

C’est la compos´ee de f et de g:R→E, g(t) =tx+ (1−t)y,

avecg⁰(t) =x−y, doncφ⁰(t) =df(g(t))(x−y). Par cons´equent, kf(x)−f(y)k_F = kφ(1)−φ(0)k=k

Z 1 0

φ⁰(t)dtk ≤ Z 1

0

kφ⁰(t)kdt

≤ Z 1

0

sup

s∈[0,1]

kdf(g(s))kkx−yk_Edt

= sup

z∈[x,y]

kdf(z)kkx−yk_E.

D´emonstration. Soitφ: [0,1]→F,t→f(tx+ (1−t)y).

C’est la compos´ee de f et de g:R→E, g(t) =tx+ (1−t)y,

avecg⁰(t) =x−y, doncφ⁰(t) =df(g(t))(x−y). Par cons´equent, kf(x)−f(y)k_F = kφ(1)−φ(0)k=k

Z 1 0

φ⁰(t)dtk ≤ Z 1

0

kφ⁰(t)kdt

≤ Z 1

0

sup

s∈[0,1]

kdf(g(s))kkx−yk_Edt

= sup

z∈[x,y]

kdf(z)kkx−yk_E.

D´emonstration. Soitφ: [0,1]→F,t→f(tx+ (1−t)y).

C’est la compos´ee de f et de g:R→E, g(t) =tx+ (1−t)y,

avecg⁰(t) =x−y, doncφ⁰(t) =df(g(t))(x−y). Par cons´equent, kf(x)−f(y)k_F = kφ(1)−φ(0)k=k

Z 1 0

φ⁰(t)dtk ≤ Z 1

0

kφ⁰(t)kdt

≤ Z 1

0

sup

s∈[0,1]

kdf(g(s))kkx−yk_Edt

= sup

z∈[x,y]

kdf(z)kkx−yk_E.

Proposition.Soit f :U ⊂E →F diff´erentiable, de diff´erentielle nulle. SiU est connexe par arc, alorsf est

constante surU.

D´emonstration. Soientx ety dansU. Si [x, y]∈U, alors f(x) =f(y) par l’IAF. Sinon, soit γ : [0,1]→U ⊂E un arc continu reliantx ety. PuisqueU est ouvert, pour tout

t∈[0,1], ∃r_t>0, B(γ(t), r_t)⊂U. Puisqueγ([0,1]) est compact (image d’un compact par une application continue), l’arc est recouvert par un nombre fini de boulesB(γ(ti), rti),

0 =t1 <· · ·< t_N = 1, si bien que les segments [γ(ti), γ(ti+1)] sont dans la r´eunion des deux boules associ´ees (`a voir !), donc dansU.La r´eunion de ces segments forment un arc continu entrex ety, et par r´ecurrence sur le nombre de segments on obtientf(x) =f(y).

Proposition.Soit f :U ⊂E →F diff´erentiable, de diff´erentielle nulle. SiU est connexe par arc, alorsf est constante surU.

D´emonstration. Soientx ety dansU. Si [x, y]∈U, alors f(x) =f(y) par l’IAF. Sinon, soit γ : [0,1]→U ⊂E un arc continu reliantx ety. PuisqueU est ouvert, pour tout

t∈[0,1], ∃r_t>0, B(γ(t), r_t)⊂U. Puisqueγ([0,1]) est compact (image d’un compact par une application continue), l’arc est recouvert par un nombre fini de boulesB(γ(ti), rti),

0 =t1 <· · ·< t_N = 1, si bien que les segments [γ(ti), γ(ti+1)] sont dans la r´eunion des deux boules associ´ees (`a voir !), donc dansU.La r´eunion de ces segments forment un arc continu entrex ety, et par r´ecurrence sur le nombre de segments on obtientf(x) =f(y).

Proposition.Soit f :U ⊂E →F diff´erentiable, de diff´erentielle nulle. SiU est connexe par arc, alorsf est constante surU.

D´emonstration. Soientx ety dansU. Si [x, y]∈U, alors

f(x) =f(y) par l’IAF. Sinon, soit γ : [0,1]→U ⊂E un arc continu reliantx ety. PuisqueU est ouvert, pour tout

t∈[0,1], ∃r_t>0, B(γ(t), r_t)⊂U. Puisqueγ([0,1]) est compact (image d’un compact par une application continue), l’arc est recouvert par un nombre fini de boulesB(γ(ti), rti),

0 =t1 <· · ·< t_N = 1, si bien que les segments [γ(ti), γ(ti+1)] sont dans la r´eunion des deux boules associ´ees (`a voir !), donc dansU.La r´eunion de ces segments forment un arc continu entrex ety, et par r´ecurrence sur le nombre de segments on obtientf(x) =f(y).

Proposition.Soit f :U ⊂E →F diff´erentiable, de diff´erentielle nulle. SiU est connexe par arc, alorsf est constante surU.

D´emonstration. Soientx ety dansU. Si [x, y]∈U, alors f(x) =f(y) par l’IAF.

Sinon, soitγ : [0,1]→U ⊂E un arc continu reliantx ety. PuisqueU est ouvert, pour tout

t∈[0,1], ∃r_t>0, B(γ(t), r_t)⊂U. Puisqueγ([0,1]) est compact (image d’un compact par une application continue), l’arc est recouvert par un nombre fini de boulesB(γ(ti), rti),

0 =t1 <· · ·< t_N = 1, si bien que les segments [γ(ti), γ(ti+1)] sont dans la r´eunion des deux boules associ´ees (`a voir !), donc dansU.La r´eunion de ces segments forment un arc continu entrex ety, et par r´ecurrence sur le nombre de segments on obtientf(x) =f(y).

Proposition.Soit f :U ⊂E →F diff´erentiable, de diff´erentielle nulle. SiU est connexe par arc, alorsf est constante surU.

D´emonstration. Soientx ety dansU. Si [x, y]∈U, alors f(x) =f(y) par l’IAF. Sinon, soit γ : [0,1]→U ⊂E un arc continu reliantx ety.

PuisqueU est ouvert, pour tout

t∈[0,1], ∃r_t>0, B(γ(t), r_t)⊂U. Puisqueγ([0,1]) est compact (image d’un compact par une application continue), l’arc est recouvert par un nombre fini de boulesB(γ(ti), rti),

0 =t1 <· · ·< t_N = 1, si bien que les segments [γ(ti), γ(ti+1)] sont dans la r´eunion des deux boules associ´ees (`a voir !), donc dansU.La r´eunion de ces segments forment un arc continu entrex ety, et par r´ecurrence sur le nombre de segments on obtientf(x) =f(y).

Proposition.Soit f :U ⊂E →F diff´erentiable, de diff´erentielle nulle. SiU est connexe par arc, alorsf est constante surU.

D´emonstration. Soientx ety dansU. Si [x, y]∈U, alors f(x) =f(y) par l’IAF. Sinon, soit γ : [0,1]→U ⊂E un arc continu reliantx ety. PuisqueU est ouvert, pour tout t∈[0,1], ∃r_t>0, B(γ(t), r_t)⊂U.

Puisqueγ([0,1]) est compact (image d’un compact par une application continue), l’arc est recouvert par un nombre fini de boulesB(γ(ti), rti),

0 =t1 <· · ·< t_N = 1, si bien que les segments [γ(ti), γ(ti+1)] sont dans la r´eunion des deux boules associ´ees (`a voir !), donc dansU.La r´eunion de ces segments forment un arc continu entrex ety, et par r´ecurrence sur le nombre de segments on obtientf(x) =f(y).

Proposition.Soit f :U ⊂E →F diff´erentiable, de diff´erentielle nulle. SiU est connexe par arc, alorsf est constante surU.

D´emonstration. Soientx ety dansU. Si [x, y]∈U, alors f(x) =f(y) par l’IAF. Sinon, soit γ : [0,1]→U ⊂E un arc continu reliantx ety. PuisqueU est ouvert, pour tout

t∈[0,1], ∃r_t>0, B(γ(t), r_t)⊂U. Puisqueγ([0,1]) est compact (image d’un compact par une application continue), l’arc est recouvert par un nombre fini de boulesB(γ(ti), rti),

0 =t₁ <· · ·< t_N = 1,

si bien que les segments [γ(ti), γ(ti+1)] sont dans la r´eunion des deux boules associ´ees (`a voir !), donc dansU.La r´eunion de ces segments forment un arc continu entrex ety, et par r´ecurrence sur le nombre de segments on obtientf(x) =f(y).

Proposition.Soit f :U ⊂E →F diff´erentiable, de diff´erentielle nulle. SiU est connexe par arc, alorsf est constante surU.

D´emonstration. Soientx ety dansU. Si [x, y]∈U, alors f(x) =f(y) par l’IAF. Sinon, soit γ : [0,1]→U ⊂E un arc continu reliantx ety. PuisqueU est ouvert, pour tout

t∈[0,1], ∃r_t>0, B(γ(t), r_t)⊂U. Puisqueγ([0,1]) est compact (image d’un compact par une application continue), l’arc est recouvert par un nombre fini de boulesB(γ(ti), rti),

0 =t₁ <· · ·< t_N = 1, si bien que les segments [γ(t_i), γ(t_i+1)]

sont dans la r´eunion des deux boules associ´ees (`a voir !), donc dansU.

La r´eunion de ces segments forment un arc continu entrex ety, et par r´ecurrence sur le nombre de segments on obtientf(x) =f(y).

Proposition.Soit f :U ⊂E →F diff´erentiable, de diff´erentielle nulle. SiU est connexe par arc, alorsf est constante surU.

D´emonstration. Soientx ety dansU. Si [x, y]∈U, alors f(x) =f(y) par l’IAF. Sinon, soit γ : [0,1]→U ⊂E un arc continu reliantx ety. PuisqueU est ouvert, pour tout

t∈[0,1], ∃r_t>0, B(γ(t), r_t)⊂U. Puisqueγ([0,1]) est compact (image d’un compact par une application continue), l’arc est recouvert par un nombre fini de boulesB(γ(ti), rti),

0 =t₁ <· · ·< t_N = 1, si bien que les segments [γ(t_i), γ(t_i+1)]

sont dans la r´eunion des deux boules associ´ees (`a voir !), donc dansU.La r´eunion de ces segments forment un arc continu entrex ety, et par r´ecurrence sur le nombre de segments on obtientf(x) =f(y).

Diff´ erentielles secondes

D´efinition. Soit f :U ⊂E →F diff´erentiable en tout point de U, et a∈U. On dit quef est deux fois diff´erentiable en asi df :U → L(E, F) est diff´erentiable en a. On note

d²f(a) :=d(df)(a)∈ L E,L(E, F) .

Donc

∀h∈E, d²f(a)(h) ∈ L(E, F)

∀h∈E,∀k∈E, d²f(a)(h)(k) ∈ F.

Exemple. Sif ∈ L(E, F), alors∀x∈U, df(x) =f donc d²f(a) = 0.

Diff´ erentielles secondes

D´efinition. Soit f :U ⊂E →F diff´erentiable en tout point de U, et a∈U. On dit quef est deux fois diff´erentiable en asi df :U → L(E, F) est diff´erentiable en a. On note

d²f(a) :=d(df)(a)∈ L E,L(E, F) . Donc

∀h∈E, d²f(a)(h) ∈ L(E, F)

∀h∈E,∀k∈E, d²f(a)(h)(k) ∈ F.

Exemple. Sif ∈ L(E, F), alors∀x∈U, df(x) =f donc d²f(a) = 0.

Proposition.Si f :U →F est diff´erentiable sur U et deux fois diff´erentiable en a, alors,

I ∀h∈E,φ_h:x∈U 7→df(x)(h) est diff´erentiable en aet dφ_h(a) =d²f(a)(h)∈ L(E, F).

I si une base B de E est choisie, les d´eriv´ees partielles surU sont diff´erentiables ena, donc poss`edent des d´eriv´ees partielles, et on a :

∂

∂x_i

∂f

∂x_j

(a) =d²f(a)(ej)(ei)∈F,

Par lin´earit´e,

d²f(a)(h)(k) =

n

X

i,j=1

∂

∂xi

∂f

∂xj

(a)hjki ∈F.

Proposition.Si f :U →F est diff´erentiable sur U et deux fois diff´erentiable en a, alors,

I ∀h∈E,φ_h:x∈U 7→df(x)(h) est diff´erentiable en aet dφ_h(a) =d²f(a)(h)∈ L(E, F).

I si une base B de E est choisie, les d´eriv´ees partielles surU sont diff´erentiables ena, donc poss`edent des d´eriv´ees partielles, et on a :

∂

∂x_i

∂f

∂x_j

(a) =d²f(a)(ej)(ei)∈F, Par lin´earit´e,

d²f(a)(h)(k) =

n

X

i,j=1

∂

∂xi

∂f

∂xj

(a)hjki ∈F.

D´emonstration.

I Soit h∈E etψh:L(E, F)→F, ψ_h(L) =L(h).

On a donc

φ_h=ψ_h◦df, donc

dφ_h(a) = dψ_h(df(a))◦d(df)(a),

= ψ_h◦d²f(a) =d²f(a)(h).

I On a ∀x∈U,_∂x^∂f

j(x) =df(x)(ej) =φej(x),donc

∂

∂xi

∂f

∂xj

(a) =dφ_ej(a)(e_i) =d²f(a)(e_j)(e_i).

Deux bonnes nouvelles

Proposition.Une application f :U ⊂E →F est C²

(diff´erentiable deux fois et sa diff´erentielle seconde est continue) ssi elle admet des d´eriv´ees partielles secondes continues.

Th´eor`eme de Schwarz. Soit f :U ⊂E→F,B une base de E etf deux fois diff´erentiable surU, alors

∂

∂xi

∂f

∂xj

(a) = ∂

∂xj

∂f

∂xi

(a) := ∂²f

∂x_i∂x_j(a).

Deux bonnes nouvelles

Proposition.Une application f :U ⊂E →F est C²

(diff´erentiable deux fois et sa diff´erentielle seconde est continue) ssi elle admet des d´eriv´ees partielles secondes continues.

Th´eor`eme de Schwarz. Soit f :U ⊂E→F,B une base de E etf deux fois diff´erentiable surU, alors

∂

∂xi

∂f

∂xj

(a) = ∂

∂xj

∂f

∂xi

(a) := ∂²f

∂xi∂xj

(a).

Cons´equence alg´ebrique. Sif :E →R,

d²f(a)(h)(k) =d²f(a)(k)(h)∈R, doncd²f(a) est une forme bilin´eaire sym´etrique.

Si E=R d²f(a)(h)(k) =f⁰⁰(a)hk∈F. Le cas n= 2.

d²f(a)(h)(k) = ∂²f

∂x²(a)h₁k₁+ ∂²f

∂x∂y(a)h₁k₂ + ∂²f

∂y∂x(a)h₂k₁+∂²f

∂y²(a)h₂k₂. En particulier,

d²f(a)(h)(h) =∂²f

∂x²(a)h²₁+ 2 ∂²f

∂x∂y(a)h₁h₂+∂²f

∂y²(a)h²₂.

Cons´equence alg´ebrique. Sif :E →R,

d²f(a)(h)(k) =d²f(a)(k)(h)∈R, doncd²f(a) est une forme bilin´eaire sym´etrique.

SiE =R d²f(a)(h)(k) =

f⁰⁰(a)hk∈F. Le cas n= 2.

d²f(a)(h)(k) = ∂²f

∂x²(a)h₁k₁+ ∂²f

∂x∂y(a)h₁k₂ + ∂²f

∂y∂x(a)h₂k₁+∂²f

∂y²(a)h₂k₂. En particulier,

d²f(a)(h)(h) =∂²f

∂x²(a)h²₁+ 2 ∂²f

∂x∂y(a)h₁h₂+∂²f

∂y²(a)h²₂.

Cons´equence alg´ebrique. Sif :E →R,

d²f(a)(h)(k) =d²f(a)(k)(h)∈R, doncd²f(a) est une forme bilin´eaire sym´etrique.

SiE =R d²f(a)(h)(k) =f⁰⁰(a)hk∈F.

Le cas n= 2.

d²f(a)(h)(k) = ∂²f

∂x²(a)h₁k₁+ ∂²f

∂x∂y(a)h₁k₂ + ∂²f

∂y∂x(a)h₂k₁+∂²f

∂y²(a)h₂k₂. En particulier,

d²f(a)(h)(h) =∂²f

∂x²(a)h²₁+ 2 ∂²f

∂x∂y(a)h₁h₂+∂²f

∂y²(a)h²₂.

Cons´equence alg´ebrique. Sif :E →R,

d²f(a)(h)(k) =d²f(a)(k)(h)∈R, doncd²f(a) est une forme bilin´eaire sym´etrique.

SiE =R d²f(a)(h)(k) =f⁰⁰(a)hk∈F.

Le cas n= 2.

d²f(a)(h)(k) = ∂²f

∂x²(a)h₁k₁+ ∂²f

∂x∂y(a)h₁k₂ + ∂²f

∂y∂x(a)h2k1+∂²f

∂y²(a)h2k2.

En particulier,

d²f(a)(h)(h) =∂²f

∂x²(a)h²₁+ 2 ∂²f

∂x∂y(a)h₁h₂+∂²f

∂y²(a)h²₂.

Cons´equence alg´ebrique. Sif :E →R,

d²f(a)(h)(k) =d²f(a)(k)(h)∈R, doncd²f(a) est une forme bilin´eaire sym´etrique.

SiE =R d²f(a)(h)(k) =f⁰⁰(a)hk∈F.

Le cas n= 2.

d²f(a)(h)(k) = ∂²f

∂x²(a)h₁k₁+ ∂²f

∂x∂y(a)h₁k₂ + ∂²f

∂y∂x(a)h2k1+∂²f

∂y²(a)h2k2. En particulier,

d²f(a)(h)(h) = ∂²f

∂x²(a)h²₁+ 2 ∂²f

∂x∂y(a)h₁h₂+∂²f

∂y²(a)h²₂.

Exemple. f :E=R² →F =R²,f(x, y) = (xsiny, e^2x) dans les bases canoniques. On a

d²f(x, y)(h)(h) =

(0,4e^2x)h²₁+ 2(cosy,0)h₁h₂+ (−xsiny,0)h²₂.

Exemple. f :E=R² →F =R²,f(x, y) = (xsiny, e^2x) dans les bases canoniques. On a

d²f(x, y)(h)(h) = (0,4e^2x)h²₁+ 2(cosy,0)h₁h₂+ (−xsiny,0)h²₂.

Colin Maclaurin (1698-1746) Cailean MacLabhruinn

I Fils de pasteur, vite orphelin de p`ere et de m`ere plus tard

I (son p`ere avait traduit Le livre des Psaumesen ga¨elique)

I Pris en charge par son oncle le pasteur Daniel Maclaurin.

Colin Maclaurin (1698-1746) Cailean MacLabhruinn

I Fils de pasteur, vite orphelin de p`ere et de m`ere plus tard

I (son p`ere avait traduit Le livre des Psaumesen ga¨elique)

I Pris en charge par son oncle le pasteur Daniel Maclaurin.

Colin Maclaurin (1698-1746) Cailean MacLabhruinn

I Fils de pasteur, vite orphelin de p`ere et de m`ere plus tard

I (son p`ere avait traduit Le livre des Psaumesen ga¨elique)

I Pris en charge par son oncle le pasteur Daniel Maclaurin.

Colin Maclaurin (1698-1746) Cailean MacLabhruinn

I Fils de pasteur, vite orphelin de p`ere et de m`ere plus tard

I (son p`ere avait traduit Le livre des Psaumesen ga¨elique)

I Pris en charge par son oncle le pasteur Daniel Maclaurin.

I Entre `a l’universit´e de Glasgow `a...

11 ans

I Master of Arts `a... 14 ans ! On the power of gravity

I Professeur `a l’universit´e d’Aberdeen... `a 19 ans !

I Entre `a l’universit´e de Glasgow `a... 11 ans

I Master of Arts `a... 14 ans ! On the power of gravity

I Professeur `a l’universit´e d’Aberdeen... `a 19 ans !

I Entre `a l’universit´e de Glasgow `a... 11 ans

I Master of Arts `a... 14 ans ! On the power of gravity

I Professeur `a l’universit´e d’Aberdeen... `a 19 ans !

Record battu par Alia Sabur en 2007

I 1719 - : rencontre Newton `a Londres

I Accompagne deux ans le fils du diplomate Lord Polwarth en Europe, sans avertir son universit´e...

I 1724 :Percussion of Bodies (´ecrit en Lorraine)

Record battu par Alia Sabur en 2007

I 1719 - : rencontre Newton `a Londres

I Accompagne deux ans le fils du diplomate Lord Polwarth en Europe, sans avertir son universit´e...

I 1724 :Percussion of Bodies (´ecrit en Lorraine)

Record battu par Alia Sabur en 2007

I 1719 - : rencontre Newton `a Londres

I Accompagne deux ans le fils du diplomate Lord Polwarth en Europe,

sans avertir son universit´e...

I 1724 :Percussion of Bodies (´ecrit en Lorraine)

Record battu par Alia Sabur en 2007

I 1719 - : rencontre Newton `a Londres

I Accompagne deux ans le fils du diplomate Lord Polwarth en Europe, sans avertir son universit´e...

I 1724 :Percussion of Bodies (´ecrit en Lorraine)

Record battu par Alia Sabur en 2007

I 1719 - : rencontre Newton `a Londres

I Accompagne deux ans le fils du diplomate Lord Polwarth en Europe, sans avertir son universit´e...

I 1724 :Percussion of Bodies (´ecrit en Lorraine)

Record battu par Alia Sabur en 2007

I 1719 - : rencontre Newton `a Londres

I Accompagne deux ans le fils du diplomate Lord Polwarth en Europe, sans avertir son universit´e...

I 1724 :Percussion of Bodies (´ecrit en Lorraine)

I 1740 :Th´eorie des mar´eesGrand Prix de l’Acad´emie des sciences

I 1742 :Treatise on Fluxions (763 pages)

I 1745 : Oppos´e `a la r´ebellion Jacobite et organise la d´efense d’Edingburgh.

I Chute de cheval, ´epuis´e, meurt d’oed`emes.

I 1740 :Th´eorie des mar´eesGrand Prix de l’Acad´emie des sciences

I 1742 :Treatise on Fluxions (763 pages)

I 1745 : Oppos´e `a la r´ebellion Jacobite et organise la d´efense d’Edingburgh.

I Chute de cheval, ´epuis´e, meurt d’oed`emes.