Fonction $\zeta $ de Carlitz et automates

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

V

ALÉRIE

B

ERTHÉ

Fonction ζ de Carlitz et automates

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

5, n

o

_{1 (1993),}

p. 53-77

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1993__5_1_53_0>

© Université Bordeaux 1, 1993, tous droits réservés.

L’accès aux archives de la revue « Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux » (http://jtnb.cedram.org/) implique l’accord avec les condi-tions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute uti-lisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte-nir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

Fonction 03B6

de

Carlitz

et automates

par

VALÉRIE

BERTHÉ

ABSTRACT. Carlitz a défini sur _Fq une _{fonction 03B6} et une série formelle II, analogues respectivement à la _{fonction (} de Riemann et au réel 03C0. Yu a

montré, en utilisant les modules de Drinfeld, que

03B6(s) / IIs

est transcendant

pour tout s non divisible par q 2014 1. Nous donnons ici une preuve

"automa-tique" de la transcendance de _{03B6(s)/IIs pour 1 ~ s ~ q - 2, en} utilisant le théorème de _{Christol, Kamae,} Mendès France et _Rauzy.

Introduction

Soient p un nombre

premier, q

une

puissance

entière strictement

_positive

de _{p et}

_Fq

_{le corps à q} éléments. On note l’anneau des

_polynômes

à

une indéterminée sur

_IFq

et le _corps des fractions rationnelles en x.

On définit sur

IE’q(x)

une valeur absolue

_{ultramétrique}

_{par :}

La valuation associée est

_{v(E) _}

-d°E. Le

_complété

de

_lE’q(x),

_{pour cette}

valuation,

est le _corps des séries formelles de

_Laurent,

c’est-à-dire

On définit la

_{fonction (}

de

_Carlitz,

à valeurs dans _{par :}

La

_{fonction (}

de Carlitz est

_l’analogue

en

_{caractéristique}

finie de la fonction

(

de Riemann. Carlitz a ainsi établi dans

[2]

_{que, pour} s divisible _par

(q- 1),

Manuscrit _reçu le 15 décembre 1991.

Les résultats contenus dans cet article ont été _exposés au _{colloque "Thémate",}

Cette

_propriété

est

_{l’équivalent}

du résultat d’Euler sur les valeurs

paires

de

la

_{fonction (}

de

_Riemann,

à savoir

_{«2n)/7r 2n}

est rationnel _pour n non nul.

En

_1941,

Wade _prouve dans

_[9]

la transcendance de II sur

lFq(x).

On en

déduit la transcendance de

_~(s)

_pour s - 0

(q - 1).

En

_1986-87,

Thakur

établit dans

_[8]

des résultats d’irrationalité _pour 1 s

q2

alors _que

Damamme montre l’irrationalité de

_{(( s)}

_{pour 1} s _q,

([4]).

En

_1988,

Damamme et

_Hellegouarch

_prouvent

la transcendance de

_{(( s)}

_{pour 1}

s

q2

_par la méthode de

Wade,

([6]).

Enfin,

en

_1989,

Damamme établit

dans

_[5],

voir aussi

_[7],

la _preuve de la transcendance de

_((s)

pour tout s.

Parallèlement,

Yu prouve en

_1988,

_par une méthode utilisant les modules

de

_Drinfeld,

_{que pour tout} entier s non

_nul,

(( s)

est

_{transcendant,}

_{et que} pour tout entier s non divisible _{par q -}

_1,

((s)/TIs

est

_{transcendant,}

_(la

preuve est parue dans

[10]).

Par

_ailleurs,

en

1989,

Allouche donne dans

[1]

une _preuve élémentaire

de la transcendance de II _par les

automates,

c’est-à-dire en utilisant le

théorème de

_{Christol, Kamae,}

Mendès France et

_Rauzy,

_{(voir [3]),}

énoncé ci-dessous :

THÉORÈME

1

_(Christol,

_Kamae,

Mendès France et

_Rauzy).

Soit

une suite à valeurs dans

_1F9.

Il _y a

_équivalence

entre les deux conditions

suivantes :

1)

la série formelle

_{u(n)x -n}

est

_algébrique

sur

2)

l’ensemble E des sous-suites de la suite

_{(u( n) )nEN}

défini _par

est fini.

Allouche

_étudie,

en

fait,

le

quotient

a /fl,

avec

Notons _que a est

_algébrique

sur

Fq(x),

il suffit de considérer rxq _pour s’en

convaincre.

M’inspirant

de l’article

_{d’Allouche,}

_je

donne ici une _preuve

"automa-tique"

de la transcendance de

_((s)/Ils

_pour

_{1 s q -}

2. Il

_est,

en

effet,

intéressant de

_multiplier

_«s)IH’

par as. On obtient ainsi une

L’étude des sous-suites de la forme

_{(u( qkn}

+ 1 +

_s(q

+

_q2

+ ... +

_{qk-1 »)nCN,}

avec

(u(n))neN

définie _par

montre

_qu’il

existe un nombre infini de telles suites. On déduit alors du

théorème de

_Christol,

_Kamae,

Mendès France et

_Rauzy,

les transcendances de et de a étant

algébrique

sur

fq(x).

Je vais dans une

première

partie

de cet article me restreindre au cas où

s =

1, puis je

généraliserai

la méthode

employée

au cas où 1 G s

_{q - 2.}

2. Preuve de la transcendance de

L’ob jet

de ce

paragraphe

est de démontrer le théorème suivant :

THÉORÈME

2. Pour

_{q ~ 2,}

est transcendant sur

Fq(X)-Thakur a établi dans

[8]

_{que, pour 1} s _q,

On _a, en

particulier,

_pour s = 1 :

Il en résulte _que

On a

Multiplions

((1)

par

a/II :

2.1

_{Développements}

en série formelle de et de

_{fl(((1) -}

₁₎

Pour

_appliquer

le théorème de

_{Christol, Kamae,}

Mendès France et

Rau-zy, nous avons besoin du

développement

en série formelle de

fi-((1).

Con-sidérons,

pour commencer, le

développement

de

a/H.

On note que, si n

s’êcrit sous la forme

)

_{pour k}

assez

grand,

une telle

décomposition

est

_unique.

On _a, en effet :

Il suffit alors de _comparer les indices des

_plus

_grands

termes non nuls de

chacune de deux telles

_{décompositions.}

Ils sont nécessairement

_égaux.

On

en

déduit,

_par une récurrence

simple,

le résultat souhaité.

Il en résulte la

_proposition

suivante :

PROPOSITION 1. Soit suite définie _par

Si n s’écrit n =

ek(Qk -

1)

avec _{ek =} 0 ou

1, Ek ==

0

pour k

assez

grand,

alors

_{a(n) _}

(-1)~~~

_k,

sinon

_a(n)

= 0.

Nous allons en déduire la

_proposition

2 :

On a

b(n) ~

0 si et seulement si n s’écrit sous la forme

avec i &#x3E; = 0 ou

_1,

et _Cj = 0

_{pour j}

_assez

grand.

Preuve de la

_{proposition 2 :}

soit k E N*. On définit par

Si n s’écrit _{avec ci} = 0 ou

_{1, Ci}

= 0

pour i

assez

_grand,

alors sinon

_ak(n)

= 0.

On _{a, par} ailleurs :

Par

_conséquent,

La

_proposition

2 découle alors du lemme suivant :

LEMME 1. Si n s’écrit sous la forme

avec i &#x3E;

_1,

_Ej = 0 _ou

_1,

Cj = 0

_{pour j}

_assez

grand,

alors _une telle

décomposition

est

_unique.

Les indices des

_{plus grands}

termes non nuls en

"qj -1"

de chacune de deux

telles

_{décompositions,}

s’ils

_existent,

sont donc nécessairement

_égaux.

On

est alors ramené au cas où :

avec i &#x3E;

l, l &#x3E;

1,

bt -

0 ou

_1,

0

_{pour t}

assez

_grand.

L’indice du

plus

grand

coefficient non nul de

(8t )tEN,

s’il

existe,

est nécessairement i et donc

bi

= 1. On obtient alors _que 1 = i et ’d t &#x3E; l ₊

1, bt

= 0. On _en déduit

l’unicité de la

_{décomposition}

de n sous

forme (1).

2.2 Schéma de la _preuve du théorème 2

Soit

_{(c( n) )nEN}

définie _par

On a

Nous allons considérer les sous-suites

_(c(qkn

+ 1 + q + ... +

pour k &#x3E;

3 et démontrer la

_proposition

suivante :

PROPOSITION 3. Soitk &#x3E; 3.

_{Soit f(k)}

=

qk-1-(1+q-i-..·-~qk 1)·

L’indice

du

_premier

terme non nul de la sous-suite + 1 + .q + ... +

Pour

_cela,

nous allons successivement

étudier,

aux

paragraphes

2.3 et

2.4,

les sous-suites

_{(a(qkn+1+q+...+qk-1 ))nEN}

et

puis

établir les lemmes 2 et

_3,

énoncés ci-dessous :

LEMME 2. Soit k &#x3E; 2. Soit

_f(k)

_{= qk -}

1 -

₍₁

-f- q + ... +

qk-1).

L’indice

du

_premier

terme non nul de la sous-suite

(a(qkn

+ 1 + q + ... +

LEMME 3. Soit k &#x3E; 3. Soit

_{g(k) = qk -}

2 -

_(q2

+ ... + L’indice du

premier

terme non nul de la sous-suite

(b(qkn

+ 1 ~- q + ... +

qk-1) )nEN

est

n-q+q2-E-...-~-q9~k~.

On a

g(k),

3. On

rappelle,

de

plus,

_que la suite est

définie comme la somme des suites

(a( n) )nEN

et La

proposition

2,

la suite

_{( f (k~~k~3}

est strictement

_croissante,

ce

_qui

_implique

que les sous-suites

(c(qkn

+ 1 + q + ... +

qk-1 »ncN

diffèrent par l’indice de

leur

_premier

terme non nul. Elles sont donc distinctes et l’ensemble

est infini. L’ensemble

l’est a fortiori aussi. Selon le théorème de

Christol, Kamae,

Mendès France

et

_Rauzy,

on en déduit la transcendance sur

pour q #

2 _et,

par

conséquent,

celle de

ri

ce

qui

achève la _preuve du théorème 2.

Remarque :

notons _que les lemmes 2 et 3

_permettent,

de

_même,

d’établir les transcendances

_{de fl}

et

₁₎

_pour

_{q fl 2.}

Nous sommes alors

confrontés à une somme de deux transcendants. Le fait de considérer les

sous-suites,

par le biais du théorème de

Christol, Kamae,

Mendès France et

_Rauzy,

_permet

néanmoins de lever cet obstacle.

2.3 Preuve du lemme 2

On note la suite définie _{par :}

Soit k &#x3E; 2. Soit n E N tel _que

_{ak(n) =1}

0. Selon la

_{proposition 1, 3}

_(£j)jEN

avec Ej = 0 _ou

_1,

c j = 0

_{pour j}

_assez

_grand,

tels

que

On pose (7 =

£)£§J

Ej. On a

Par

_conséquent,

3A &#x3E; 1 tel _que u =

Aqk

₊

1)qj -

1. On _en

Autrement

_dit,

avec

Réciproquement,

soit n

_pouvant

s’écrire sous la forme

(2).

On a

Selon la

_proposition

_1,

on obtient bien 0.

On

_vérifie,

de

_plus,

_que

avec

Par

_conséquent,

la différence entre deux valeurs de S

_{correspondant}

res-pectivement

à A + 1 et A est

_supérieure

_{à qk -}

_{1 - q -}

... -

qk-1.

On

en déduit alors _que le

plus

_petit

n

_pouvant

s’écrire sous la forme

(2)

est

nécessairement obtenu _pour A = 1.

Soit

_m(k)

le

_{plus petit}

m tel _que

ak(m) #

_0,

c’est-à-dire le

plus petit

m

pouvant

s’écrire sous la forme

(2).

On a vu

que A

= 1. On vérifie alors

que

m(k)

est obtenu _pour

On a alors

m(k~

_{= q} + ... + avec

f (k)

= qk -

1 -

(1

+ ... +

qk-1)

ce

qui

achève la _preuve du lemme 2.

Remarque :

on a vu _{que, pour}

q #

_2,

le lemme 2

_permet

d’établir _que

a /fl

et donc II sont transcendants.

_Mais,

_{pour q} =

2,

f (k)

est stationnaire. Dans

ce _cas, il suffit de

reprendre

les sous-suites de la forme

avec k &#x3E;

_2,

considérées _par Allouche dans

_[1].

La méthode

_employée

ci-dessus _permet de retrouver le résultat suivant énoncé _par Allouche dans le

même article :

PROPOSITION 4. Soit k &#x3E; 2. L’indice du

_premier

terme non nul de la suite

1 1 1- 1- -11 1- 1

Il

_n’y

a

plus

_risque

de stationnarité _{pour q} = 2. Cet ensemble de

sous-suites

_permet

donc

_{d’établir,}

aussi bien _{pour q} = 2 que pour _toute

_puissance

entière strictement

_positive

de _p

_premier,

la transcendance de II sur

Fg(a?).

2.4 Preuve du lemme 3

On note la suite définie _{par :}

Soit k &#x3E; 3. Soit n E N tel _que

_{(3k( n) =1}

0. Selon la

_proposition

_{2, 3}

i &#x3E;

_1,

3 _{avec Ej} = 0 ou

_1,

_Ej = 0

pour j

assez

_grand,

tels _que

On pose _j&#x3E;i+i

Nous,

allons

_distinguer

trois cas suivant la

_position

de i _par

_rapport

à k.

Autrement

_dit,

On vérifie

_{réciproquement qu’un}

tel n convient.

On

_vérifie,

comme au

_{paragraphe précédent,}

_que le

_plus

_petit

entier

de cette forme est obtenu _pour À =

1,

puis

_pour

Par

_{conséquent, 3A &#x3E;}

1 tel

_{que a == -1}

+ On en déduit _que

On vérifie

_{réciproquement qu’un}

tel n convient.

Par

_conséquent,

en déduit _que

avec

On vérifie

_{réciproquement qu’un}

tel n convient.

Le

_plus

_petit

entier

_n3(k~

de cette forme est obtenu _pour

’-’ " v , u -

B1 1... 1 ï y.

On a alors

n3(k)

_{= q + ... +}

qg3(k)

avec

g3(k) =

qk -

2 -

(q2

+ ... + Or

_n3(k)

_n2(k)

Par

_conséquent,

le

_plus

_petit

n tel _que

f3k(n) =1

0 est

_n3(k),

ce

qui

achève la _preuve du lemme 3.

3. Preuve de la transcendance de

_«s)lhs

THÉORÈME 3. Pour

_{q ~ 2 et 1 s q - 2, «s)llls}

est transcendant sur

F’q (x)

-Nous allons

_{reprendre point}

_par

_point

la _preuve faite ci-dessus _pour la

généraliser

au cas

_{où 1 s q - 2.}

On a vu _{que, pour 1} s _q,

Nous allons _supposer s fixé dans l’intervalle

~l, q -

2]

_pour la suite de cet

article. Pour s =

q- l,

on sait _que est

_rationnel,

_{(voir [2]).}

Les résultats des

_paragraphes

3.1 et 3.3 ci-dessous sont néanmoins encore valables _pour

s =

q -1.

En

revanche,

les sous-suites _que

nous introduisons au

paragraphe

_3.2,

ne commencent

_plus

_par une

plage

de

0 dont la

_longueur

tend vers _+00.

3.1

_{Développements}

en série formelle de et de

_{n$ ~~~s) -}

₁₎

Considérons,

dans un

_premier

_temps,

le

développement

en série

formelle,

PROPOSITION 5. Soit la suite définie _par

sinon

_Ak(n)

= 0.

(On

~~; ~ la

valeur modulo p

_(J.).

où _{p est} la

_{caractéristique}

de

_Fq).

Nous aurons besoin du lemme suivant dans la _preuve de la

_proposition

5:

une telle

_{décomposition}

est

_unique.

Preuve du considérons une

_{décomposition}

de n sous forme

(3).

Si n est

_nul,

on a nécessairement : = 0.

Supposons

alors n non nul.

Soit M

_{telqueMM540etVi}

&#x3E;

_M,pj

= 0. On a

D’où

Par

_conséquent,

si n admet deux telles

_{décompositions,}

les indices des

plus grands

termes non nuls seront

_{égaux. Supposons}

alors

_qu’il

existe

coefficients dans

_{0,1,

_{.... s 1}

tels _que

Supposons,

de

_plus,

_{que p M} et _{que, par}

_exemple,

_{p M} &#x3E;

_~.

On a

alors

ce

_qui

est

_impossible.

Par

_{conséquent 8 M}

=

Mm. On montre

ainsi,

par

récurrence, qu’une

décomposition

de n sous la forme

(3)

est

_unique.

Preuve de la

_proposition

5 : on

rappelle

_que

avec définie _par,

si n s’écrit _pour i assez

grand,

alors

On a

-

~ · - u==1 .

/

Soit n E N. Soient _{nl , ..., ns} des entiers

_positifs

ou nuls tels _que n =

..._c:./ , ’" , - - ... - ./ , - _

pour j

assez

grand,

tels _que

Nécessairement, n

s’écrit sous la forme

(3) :

Réciproquement,

soit n .un entier

_pouvant

s’écrire sous cette forme. Il existe

_nj=~+1

_{( s.)}

_s-uplets

_{(ni , ... ,}

_ns)

d’entiers

_positifs

ou nuls vérifiant

les relations

_2::=1

ni = n et

_{ak( ni) =1}

0. En

_effet,

_pour chacun de ces

s-uplets, 3

avec = 0 ou

_1,

_Vi,

= 0

pour j

assez

_grand,

tels

que

Pour achever la _preuve de la

_{proposition 5,}

il suffit

_d’ajouter

les deux

remarques suivantes :

+00

0 n se

_décompose

de manière

_unique

sous la forme n

= E

j = k+1

1)

avec _J.Lj E

_{{O, 1,}

...,

sl,

pj = 0

pour j

assez

grand,

([lemme 4]).

On en

_déduit,

d’une

_part,

le

développement

en série formelle de

2013

obtenu

pour k

= 0. On

a, en

effet, l’expression

= d’où la

proposition 6 :

PROPOSITION 6. Soit

_{(A(n))nEN la}

suite définie _par

Si n s’écrit n =

avec pj e

_{{O, 1,}

...,

sl,

pj = 0

pour j

assez

gran d,

alors

sinon

_A(n)

= 0.

On _a, d’autre

_part,

la

_proposition

suivante :

PROPOSITION 7. Soit suite définie _par

sinon

_B(n)

= 0.

En

_effet,

Par

_conséquent,

LEMME 5.

_{Il y}

a unicité de la

_{décomposition}

sous la forme :

avec i &#x3E;

_1,

_{flj E} = 0

pour j

_assez

grand.

La preuve de ce lemme se fait sur le modèle des _preuves des lemmes 1

et 4.

3.2 Schéma de la _preuve du théorème 3

Soit définie _par

Bien sûr :

On _a, de même

_qu’à

la section

_2.2,

les

_propositions

et lemmes suivants :

PROPOSITION 8. 3. Soit

_F(k)

=

ljk -

1 -

8(j

_{+ (j +} ... +

qk-1).

Soient

_u(k)

et

_v(k)

les reste et

_quotient

de la division euclidienne de

_F(k)

par s. Soit

On a:

LEMME 6. Soit k &#x3E; 2. Soit

_F(k)

_{= q~ -}

_{1 - s(1}

_{+ q}

-~- ... +

qk-1).

Soient

u(k)

et

_v(k)

les reste et

_quotient

de la

division

euclidienne de

_F(k)

_par s.

LEMMME 7. Soit k &#x3E; 3. Soit

_{G(k) = q~ -}

1 - s -

_{s(q2 -f- ... ~- qk-1).}

Soient

x(k)

et

_y(k)

les reste et

_quotient

de la division euclidienne de

_G(k)

_par s.

Soit

On a:

Par

_ailleurs,

Vk &#x3E;

_3,

_F(k)

_G(k).

La

_proposition

8 résulte donc

immédiatement des lemmes 6 et 7.

On sait

_{ainsi, grâce}

à la

_proposition

_8,

_que chacune des sous-suites

(C(qkn

+ 1 +

_s(q

+ ... +

qk-1

débute _par au moins

M(k)

zéros. Pour s

_{G q -}

2 et

_{q # 2,}

la suite

_{(M(k))k&#x3E;2}

est de

_plus

strictement croissante. Il suffit alors _que les suites

_(C(qkn

+ 1 +

_s(q

+ ... + soient toutes

non nulles _pour former un ensemble infini. Or on a la

proposition suivante,

que nous démontrerons au

_paragraphe

3.5 :

PROPOSITION 9.

_Supposons

_{s ~}

0

_(modp).

Soit k un entier &#x3E; 3. Soit

On a

Par

_conséquent,

_{si s 0}

0

_(p),

l’ensemble

est infini. On déduit alors du théorème de

_{Christol, Kamae,}

Mendès France

et

_Rauzy,

les transcendances de et de

çn

sur

_lFQ(x),

et

1sq-2.

Il reste alors à traiter le cas où s - 0

(p).

Considérons le

_morphisme

de Frobénius défini

_{par X : z}

H xP. Soit t la

plus grande

_puissance

de _p

qui

divise s. Il existe r entier non nul tel _que s =

Ptr.

On a

r ~

0

_(p)

et

1 G r q -

2. On sait alors _que est transcendant sur Par

.~ étant un

morphisme

additif et

_{multiplicatif,}

on a

Par

_conséquent

On a donc montré le théorème

_3,

à savoir :

_«s)111-’

est transcendant sur

pour tout s tel _que

_!~g20132et

_pour

_{q 0 2.}

Notons

_{qu’en appliquant}

le

_morphisme

de Frobénius à

_~(1)/II,

on obtient

que

t

est transcendant sur _pour

_{q #}

2 _{et pour tout t} &#x3E; 0.

On _a, en

particulier,

_que

(( qt) /nqt

est transcendant _{pour tout t &#x3E;} 0. 3.3 Preuve du lemme 6

On note la suite définie _{par :}

Soit k &#x3E; 2. Soit n E N tel _que 0. Selon la

_{proposition 6, 3}

avec _iij E

_{{O, 1, ...,}

_s~

et _J1j = 0

_{pour j}

_assez

_grand,

_tels

que :

c’est-à-dire,

Autrement

_dit,

avec

Réciproquement,

soit n

_pouvant

s’écrire sous cette forme. On vérifie

alors _que

_qkn

+ 1

_{~- s(q}

+ ... +

qk-l)

peut se

décomposer

comme

1

_{pour j}

assez

_{grand .}

Néanmoins,

on ne _{connaît pas} la valeur modulo _p de

(s uj),

valeur

_qui

j=l Mi

peut

être éventuellement

_nulle,

donc on ne connaît _pas la valeur de

Ak( n)

pour n de la forme

(4).

Plus

exactement,

on a montré _que si n n’est _pas de

la forme

_(4),

alors

_{Ak( n)}

= 0.

Soit

_M(k)

le

_plus

_petit

entier

_pouvant

s’écrire sous la forme

(4).

On a :

On vérifie que

M(k)

est obtenu _pour

Soient

_u(k)

et

_v(k)

les reste et

_quotient

de la division euclidienne de ,- - " - L 1 ~ ,

-Par

_conséquent

_u(k)

&#x3E; 1 et

_M(k)

= s - 1 ₊ +

ce

qui

achève la _preuve du lemme 6.

3.4 Preuve du lemme 7

On note la suite définie _{par :}

Soit k &#x3E; 3. Soit n E N tel _que 0. Selon la

_proposition

_{7, 3}

i &#x3E;

_1,

3(J1j )jEN

avec p; E

_s}

et _~,~ = 0

pour j

assez

_grand,

tels _{que :}

On _pose 7 =

E" 1

Nous allons

_distinguer

trois cas suivant la

position

de i _par

_rapport

à k.

Cas 1 : sii&#x3E;k,ona

Par

_conséquent,

3A &#x3E; 1 tel _que u _ -1 ₊ On en déduit _que

Autrement

_dit,

On vérifie

_{réciproquement qu’un}

tel n convient.

Soient

_xl(k)

et

_{yi (k)}

les reste et

_quotient

de la division euclidienne de

_qk-1

par s. On a

J

Par

_{conséquent, 3A &#x3E;}

1 tel

_{que u = -1 +}

On en déduit _que

On vérifie

_{réciproquement}

_qu’un

tel n convient.

Le

_{plus petit}

entier

_N2(k)

de cette forme est obtenu _pour

Soient

_x2(k)

et les reste et

_quotient

de la division euclidienne de

Par

_conséquent,

en déduit _que

avec

On vérifie

_{réciproquement qu’un}

tel n convient.

Le

_{plus petit}

entier

_N3(k)

de cette forme est obtenu _pour

Soient

_x3(k)

et

_y3(k)

les reste et

_quotient

de la division euclidienne de

On a

Par

_conséquent,

N3(k)

est donc le

_premier

entier n tel _que 1 +

_s(q+

... +

qk-1)

_puisse

s’écrire sous la forme

avec i &#x3E;

_1,

_/lj E

_{to, 1,}

...,

81,

tLj = 0

pour j

assez

grand.

On en

déduit,

selon la

_proposition

_7,

_{que :}

3.5 Preuve de la

_proposition

9

Montrons le lemme

_{préliminaire :}

LEMME 8. Soit n tel _que

A( n) =1

0,

alors

B(n)

= 0.

Soit n tel _que 0. Selon la

proposition 6, 3

avec _Jlj E

{0,1,...,

et _Jlj = 0

pour j

assez

_grand,

tels _que

Supposons

B(n) #

0. Selon la

_{proposition 7, ~ i}

&#x3E;

_{1, 3}

_(6j)jeN

_{avec 6j}

E

{0,1, ..., s} et 6j

= 0

_{pour j}

_assez

grand,

tels

que

Nécessairement

_{n =1=}

0. Soient L =

sup{l,

_MI

~

01

et J =

sup{j, 6j =1 01.

On a vu _{que :}

1

Par

_conséquent,

L = J et _JlL =

bj.

On obtient

ainsi,

_par

récurrence,

que

s(q-+-... ~-q2~ _

~i=1

J.ll( ql -

1),

ce

qui

est

impossible.

On a donc

B(n)

= 0.

Revenons à la _preuve de la

_proposition

9.

_Supposons

_{s Q}

0

_(p).

Soit

On a

D’où,

selon la

_{proposition 5,}

On a donc montré _{que, pour}

s 1:

0

(p),

0. Il résulte alors du

lemme 8 _que

_Cik(Qk)

= 0. Par

conséquent,

0.

Il reste à étendre la _preuve

_exposée

ici au cas

plus

général

où

s 1:

0

(q

-1),

c’est-à-dire montrer _que

_((s)/TIs

est transcendant sur _{pour tout} s non divisible _{par q -} 1. La

plus

grande complexité

de

l’expression

de

pour s _{&#x3E; q pose} alors des

problèmes

combinatoires

_apparemment

difficilement surmontables.

BIBLIOGRAPHIE

[1]

J.-P. ALLOUCHE, Sur la transcendance de la série formelle II, Sém. de Théorie des Nombres de _Bordeaux, Série 2 2 _(1990), 103-117.

[2]

L. _CARLITZ, On certain _functions connected with polynomials in a Galois _field, Duke Math. _J., 1

_(1935),

137-168.

[3]

G. _CHRISTOL, T. _KAMAE, M. MENDÈS FRANCE et G. _RAUZY, Suites

algébri-ques, automates et substitutions, Bull. Soc. math. France 108

(1980),

401-419.

[4] G. _DAMAMME, Irrationalité de _{03B6(s) dans le corps des séries formelles}

_Fq((1/t)),

C. R. Math. _Rep. Acad. Sci. Canada 9 _(1987), 207-212.

[5] G. _DAMAMME, Transcendance de la _fonction zéta de Carlitz par la méthode de

Wade, Thèse, Université de _Caen, 1990.

[6] G. DAMAMME et Y. _{HELLEGOUARCH, Propriétés} de transcendance des valeurs

de la _fonction zéta de Carlitz, C. R. Acad. Sci. _Paris, Série 1 307 _(1988), 635-637.

[7]

G. DAMAMME et Y. _{HELLEGOUARCH,} Transcendance _of the values of the Car-litz zeta _{function by} Wade’s _method, J. Number _Theory 39 _(1991), 257-278.

[8] D. S. _THAKUR, Gauss _functions and Gauss sums _{for function fields} and _periods

[9] L. J. _WADE, Certain _quantities transcendental over _{GF(pn , x),} Duke Math. J. 8

(1941), 701-720.

[10]

J. _YU, Transcendence and _Special Zeta Values in Characteristic p, Annals of Math.

134 _(1991), 1-23.

Valérie Berthé

C. N. R. _S., Laboratoire de Mathématiques Discrètes

Luminy, case 930