Lavoisier - PC 2020-2021
Table des matières
1 Les trous d’Young 2
1.1 Description du dispositif . . . 2
1.2 Différence de marche à grande distance. . . 2
1.3 Différence de marche à l’infini . . . 5
1.4 Figure d’interférence . . . 7
1.5 Observations expérimentales : influence de la diffraction . . . 9
2 Influence de la largeur physique de la source 9 2.1 Source étendue dans une direction parallèle aux franges . . . 9
2.2 Source étendue dans une direction perpendiculaire aux franges . . . 10
2.3 Fentes d’Young . . . 12
3 Influence de la largeur spectrale de la source 13 3.1 Fentes d’Young éclairées par un doublet spectral . . . 13
3.2 Source à spectre continu . . . 14
3.3 Lumière blanche . . . 15
4 Interférences à N ondes 17 4.1 Principe . . . 17
4.2 Formule des réseaux . . . 17
4.3 Construction de Fresnel et largeur des pics centraux . . . 20
1 Les trous d’Young
On va décrire ici le dispositif des trous d’Young qui permet de créer deux sources cohérentes entre elles, c’est-à-dire susceptibles de créer des interférences.
1.1 Description du dispositif
On a vu que la seule façon d’obtenir deux sources cohérentes et de séparer une source primaire en deux sources secondaires. Ici on utilise deux trous appeléstrous d’Young pour séparer l’onde venant d’une source primaire S en deux ondes secondaires semblant venir de S1 etS2.
On étudie en un point M d’un écran de projection la figure d’interférence obtenue.
Figure 1 : Dispositif des trous d’Young
La lumière peut parcourir deux chemins entreS etM,(SS1M) ou(SS2M). C’est la différence de marche des deux rayons lumineux entre ces deux chemins optiques qui va être responsable de l’apparition d’interférences.
On appelle champ d’interférences la zone de l’espace dans laquelle les ondes cohérentes se recouvrent, c’est-à-dire la zone dans laquelle on peut observer des interférences.
Figure 2 : Représentation du champ d’interférence des trous d’Young
A priori pour les trous d’Young le champ d’interférence est infini, les interférences peuvent être observées en tout point de l’espace. On dit que les interférences sont non localisées.
1.2 Différence de marche à grande distance
On va de plus regarder les interférences à proximité du centre de l’écran donc : d, D ≫x, y
Le milieu de propagation de la lumière est un milieu LTHI donc les rayons lumineux se propagent en ligne droite.
Figure 3 : Schéma du montage
Par définition la différence de marche est la différence de chemin optique suivi par les rayons lumineux passant par les trousS1 etS2 :
δ = (SM)2−(SM)1 = (SS2M)−(SS1M) = (SS2) + (S2M)−(SS1)−(S1M)
Or par symétrie (SS1) = (SS2) donc :
δ = (S2M)−(S1M) - Exprimer le vecteur−−−→
S1M dans la base cartésienne et en déduire que : S1M2 =D2+x2−ax+a2
4 +y2
-Factoriser l’expression précédente parDet compte tenu des ordres de grandeur montrer que :
S1M ≃D (
1 +x2−ax+a42 +y2 2D2
)
- Justifier sans calcul que :
S2M ≃D (
1 +x2+ax+a42 +y2 2D2
)
- En déduire l’expression de la différence de marche :
δ(M) = (S2M)−(S1M) = nax D
On remarque que la différence de marche est indépendante dey, les franges sont donc invariantes par translation selon l’axe (Oy), elles sont rectilignes. Ceci est en accord avec la discussion qualitative du chapitre précédent.
- Exprimer l’ordre d’interférencep(M) et le déphasage ∆φ(M) au point M.
Remarque : Pour accélérer un peu le calcul, on peut d’abord justifier physiquement que la différence de chemin optique ne dépend pas de y pour ensuite faire le calcul avecy= 0.
1.3 Différence de marche à l’infini
Dans les exercices il est courant de rencontrer des cas où les sources secondaires sont à l’infini comme par exemple dans le cas d’observations astronomiques. Bien que les interférences soient à priori visibles en tout point de l’espace, il est courant de projeter la figure d’interférence sur un écran. Nous allons voir ici comment calculer la différence de marche dans ce cas.
Figure 4 : Observation des interférences sur un écran - Compléter la course des rayons après la lentille
On utilise le principe duretour inverse de la lumièrepour déterminer la différence de marche.
La lentille transformant une onde plane en onde sphérique et inversement, si on imagine la lumière provenant du point d’observation M, la lumière qu’émettrait le pointM se déplacerait sous forme d’une onde sphérique puis une fois la lentille passée sous la forme d’une onde plane.
Ainsi les pointS1 etH(le projeté deS1 sur le rayon passant parS2) appartiendraient à la même surface d’onde et donc seraient en phase.
Il vient de ce raisonnement que les chemins optiques (S1M) et(HM) sont équivalents.
Ainsi :
δ(M) = (SS2M)−(SS2M) = (SS2) + (S2H) + (HM)−(SS1)−(S1M) = (S2H)
- En donnant deux expressions de α, l’angle entre S1S2 et le front d’onde imaginaire S1H, l’une en fonction de a et S2H et l’autre en fonction de x et f′, déterminer l’expression de la différence de marche δ(M). On supposera α très petit et y = 0 d’après le raisonnement de la partie précédente.
« Attention :S1 etH ne sont pas réellement en phase, ils ne le seraient que si la lumière venait de M. Dans la cas où la lumière vient deS,S1 est un phase avec S2!
• Montage de Fraunhoffer
Un montage classique dans lequel on observe les interférences à l’infini est le montage suivant, nommé montage de Fraunhoffer. On envoie sur les trous d’Young une onde plane et on observe les interférences à l’infini, c’est-à-dire en pratique dans le plan focal d’une lentille convergente.
Ce montage permet de gagner en luminosité.
Figure5 : Montage Fraunhoffer
On retrouve dans ce montage la même différence de chemin optique que précédemment à savoir δ =naxf′.
• Calcul de la différence de marche à grande distance par le retour inverse
La méthode précédente de retour inverse peut être utilisée aussi dans le cas où les sources ne sont pas à l’infini pour retrouver δ(M)
Figure 6 : Méthode du retour inverse à grande distance
Si la lumière provenait deM les pointsS1 etH seraient en phase car sur la même surface d’onde sphérique. On a vu que lorsque M est loin des sources les surfaces d’onde sphériques peuvent être approximées par leur tangente et on peut supposer l’onde plane. Dans ce cas de figure cela revient à dire que H etH′ sont presque confondus.
On a alors :
δ(M) = (SS2M)−(SS2M) = (SS2) + (S2H) + (HM)−(SS1)−(S1M) = (S2H)≃(S2H′) L’angle α étant petit :
α≃ S2H′ a ≃ x
D d’où δ(M) = nax D
1.4 Figure d’interférence
• Éclairement
Les deux trous sont supposés éclairer de la même façon donc d’après la formule de Fresnel : E(M) = 2E0
[ 1 + cos
(2π λδ
)]
= 2E0
[ 1 + cos
(2π λ
nax D
)]
• Allure des franges
L’éclairement est périodique enxet indépendant de la coordonnéeyenM, les franges sont donc rectilignes dans la direction(Oy).
• Interfrange
Définition de l’interfrange
On appelleinterfrangeila période spatiale de la figure d’interférences.
L’interfrange correspond à la distance entre deux franges sombres ou deux franges brillantes consécutives.
∆φ(x+i) = ∆φ(x) + 2π p(x+i) =p(x) + 1 δ(x+i) =δ(x) +λ
Figure7 : Interfrange dans le cas des trous d’Young - En raisonnant à partir de l’ordre d’interférence montrer que i= λDna.
Interfrange dans le cas des trous d’Young Dans le cas des trous d’Young l’interfrange esti= λD
na.
- Que devient l’interfrange dans le cas du montage de Fraunhoffer ?
1.5 Observations expérimentales : influence de la diffraction
On observe les interférences dans un plan parallèle à celui des trous d’Young, on s’attend donc d’après les modélisation du chapitre précédent, à observer des franges rectilignes. Expérimenta- lement ce n’est pas tout à fait le cas.
Figure 8 : Observation expérimentale de la figure d’interférence pour deux trous d’Young On voit que l’éclairement est modulé par un halo circulaire. Ce halo est la figure de diffraction d’un trou.
Figure9 : Observation expérimentale de la figure de diffraction d’un trou
On voit que la figure d’interférence est modulée par la figure de diffraction d’un trou, nous en verrons l’explication dans le prochain chapitre.
2 Influence de la largeur physique de la source
Que se passe-t-il lorsque le point source primaire S n’est plus sur l’axe optique ?
On néglige pour l’instant l’effet de la figure de diffraction, c’est à dire on sintéresse seulement à l’effet des interférences. La figure d’interférence des trous d’Young est donc une succession de franges rectilignes alignées selon l’axe(Oy).
2.1 Source étendue dans une direction parallèle aux franges
• Translation de la source selon l’axe (Oy)
Dans le cas d’une translation de la source selon l’axe des franges, les chemins optiques (SS1) et (SS2)restent égaux donc la différence de marche totale n’est pas changée, le système de franges non plus.
• Deux sources primaires ponctuelles réparties sur l’axe (Oy)
On considère deux sourcesSetS′réparties sur l’axe(Oy)c’est à dire dans une direction parallèle aux franges.
La lumière provenant deSne peut pas interférer avec la lumière provenant deS′ car ces sources sont différentes, la lumière émise par chaque source provient d’atomes ou de molécules différents.
−→ Les deux sources sont donc incohérentes.
Chaque source créé sont propre système de franges et les deux système se superposent sur l’écran.
Comme nous venons de montrer que le système de franges provenant d’un point décalé sur l’axe (Oy) est le même que celui provenant d’un point en y = 0, les deux systèmes de franges se superposent parfaitement, on a plus de luminosité.
Extension spatiale de la source selon l’axe des franges
On peut remplacer le point source primaire par une fente source étendue dans la direction des franges. Chaque point de la fente créé un système de franges rectilignes identique à son voisin, les éclairements s’ajoutent et la figure d’interférence gagne en luminosité.
2.2 Source étendue dans une direction perpendiculaire aux franges 2.2.1 Translation de la source selon l’axe (Ox)
La source est maintenant placée en x=Xs,0 sur l’axe(Ox).
Figure 10 : Translation de la source dans la direction perpendiculaire aux franges - Calculer la nouvelle différence de marche par analogie avec le résultat du1.2.
- En déduire la position de la frange centrale d’ordrep= 0, c’est-à-dire la frange pour laquelle la différence de chemin optique est nulle.
Déplacement de la source primaire perpendiculairement aux franges
Lorsque que la source primaire est déplacée dans la direction perpendiculaire aux franges d’interférence, le système de franges est décalé dans la directionopposée.
2.2.2 Deux sources primaires ponctuelles réparties sur l’axe (Ox)
On supposes deux sources primaires incohérentesréparties sur l’axe (Ox).
Chaque source va donner son système de franges, identiques mais décalés l’un par rapport à l’autre.
• Cas extremes : Dans le cas ou les deux systèmes de franges sont décalés de i, les deux systèmes de franges se superposent à nouveaux et l’éclairement est doublé. Dans le cas ou les deux systèmes de franges sont décalé de 2i les deux systèmes de franges se compensent et l’éclairement est uniforme.
Figure 11 : Simulation des éclairements obtenus par superposition des éclairements provenant de deux sources incohérentes réparties sur l’axe perpendiculaire aux franges.A gauche: décalage de i.A droite : décalage de 2i
• Cas quelconques : Dans le cas général, les systèmes de franges se recouvrent partiellement et le contraste diminue.
Figure 12 : Cas de sources décalées de 4i Extension de la source perpendiculairement aux franges
Lorsque la source primaire est étendue dans la direction perpendiculaire aux franges, chaque point de la source émet son propre système de franges décalé par rapport à celui créé par son voisin. Si la source est trop étendue on obtient un brouillage de la figure d’interférence.
Critère semi-quantitatif de brouillage
On dit qu’il y abrouillagede la figure d’interférence à partir du moment ou la différence d’ordre d’interférence entre le système de franges issus d’un point source au centre de la source primaire et celui issu d’une extrémité de la source primaire est supérieur à 12.
∆p=pext(M)−pcentre(M)> 1 2
La largeur de la source à partir de laquelle il y a brouillage est appelée largeur de cohérence spatialede la source.
2.3 Fentes d’Young
Fentes d’Young
Utiliser des fentes d’Young parallèles aux franges permet d’augmenter la luminosité de la figure d’interférence.
Figure 13 : Comparaison entre les figures d’interférence issues des fentes d’Young et des trous d’Young
On voit qu’il existe tout de même une différence sur la figure finale, celle-ci n’est pas due au phénomène d’interférence mais au phénomène de diffraction. En effet la figure de diffraction d’une fente est différente de celle d’un point donc la modulation des interférences par la figure de diffraction est différente.
« Attention : Si la fente est trop large, la figure de diffraction devient trop petite pour permettre de voir les interférences.
3 Influence de la largeur spectrale de la source
On a jusqu’à présent considéré que la source primaireS était parfaitement monochromatique, or vous savez d’après le modèle du train d’onde que ce n’est jamais le cas. Comment sont modifiées les interférences lorsqu’on prend en compte l’extension fréquentielle de la source ?
On rappelle que pour une source ponctuelle et monochromatique l’interfrange au point M est i= λDa
Influence de la longueur d’onde
Lorsque que la longueur d’onde augmente, l’interfrage augmente aussi. Le figure d’inter- férence dépend de la longueur d’onde de la source.
3.1 Fentes d’Young éclairées par un doublet spectral
On considère une source possédant dans son spectre un doublet de longueurs d’ondes λ1 et λ2
assez proches, c’est le cas des lampes à sodium par exemple.
Les ondes issues du même point source mais de longueurs d’onde différentes (donc de pulsations différentes) sont incohérentes donc leurs éclairements se superposent.
Figure 14 : Simulation du système de franges obtenues dans la cas d’un doublet spectral Les interfranges ne sont pas égaux donc par endroit les franges brillantes d’un système de franges se superposent aux franges sombres de l’autre système de franges. On observe une figure de battements de l’éclairement. Le contraste évolue de manière sinusoïdal.
« Attention : l’élargissement spatial de la source entraîne une brouillage uniforme sur l’écran alors que l’extension spectrale entraîne un brouillage seulement en certains points.
3.2 Source à spectre continu
On considère maintenant le cas d’une source dont le spectre d’émission est continu et de largeur
∆λ, c’est à dire restreint à l’intervalle [λ0−∆λ/2;λ0+ ∆λ/2].
Critère semi-quantitatif de brouillage
La figure d’interférences formée par une source ponctuelle à spectre continue centré en λ0 et de largeur∆λest considérée brouillée si la différence d’ordre d’interférence entre le système de franges provenant de la longueur d’ondeλ0 et celui provenant deλ0±λ/2est supérieur à 1/2
∆p(M) =pλ0(M)−pλ0±λ/2(M)> 1 2
La figure d’interférence obtenue est de la forme suivante :
Figure 15 : Simulation du système de franges obtenue dans la cas d’une source à spectre continu. On a pris pour cette simulationλ0= 600nmet∆λ= 40nm. Les traits verticaux bleus matérialisent l’abscisse à partir de laquelle le critère de brouillage est vérifié.
• Lien avec le modèle du train d’onde
Physiquement, ∆λest relié à la longueur de cohérence temporelle et au temps de cohérence du train d’onde par les relations :
τc= λ20
c∆λ et ℓc= λ20
∆λ Le critère de brouillage s’écrit :
∆p= δ
λ0 − δ λ0+∆λ
2
> 1
2 soit δ×
∆λ 2 λ0
(
λ0+∆λ 2
) > 1 2
En supposant la raie étroite en fréquence λ0 (
λ0+∆λ 2
)
≃λ20, et ainsi le critère de brouillage s’écrit :
δ∆λ 2λ20 > 1
2 soit δ > λ20
∆λ =ℓc
Critère de brouillage et longueur de cohérence temporelle
Il y a brouillage à partir du moment ou la différence de marche est trop grande pour qu’un train d’onde puisse sur superposer à lui même.
Pour éviter toute confusion avec la longueur de cohérence spatiale, on appelle ℓc la longueur de cohérence temporelle de la source.
3.3 Lumière blanche
Dans la cas de la lumière blanche le spectre de la source est très large, il s’étend de 400nm à 800nm.
Chaque longueur d’onde va donner son système de frange avec un interfrange i(λ) différent. Le figure d’interférence est donc la superposition de toutes ces figures
Figure 16 : Figure d’interférence obtenue dans le cas des fentes d’Young observées en lumière blanche
• Observations :
— Au centre la différence de marche est nulle donc indépendante de la longueur d’onde, tous les systèmes de franges ont donc une frange brillante au centre. On observe donc la superposition de toutes les couleurs au centre ce qui recrée la lumière blanche. Cette frange est appelée frange brillante d’ordre 0.
— De part et d’autre de cette frange brillante centrale les franges se décalent et se recouvrent, on observe des irisations
— On finit par avoir un brouillage complet avec un "blanc d’ordre supérieur" constitué d’un spectre cannelé(cf figure17). Pour une position, il y a suffisamment de longueur d’ondes pour lesquelles la position correspond à une frange brillante pour recréer du blanc.
Cependant pour cette position certaines longueurs d’onde donnent des franges sombres, ce sont les cannelures. On peut observer les cannelures mettant en sortie du blanc d’ordre supérieur un prisme ou un spectroscope, les raies manquantes sont celle correspondant à une frange sombre.
4 Interférences à N ondes
4.1 Principe
Que se passe-t-il lorsque nous remplaçons les deux fentes d’Young par une grande quantité de fentes ?
• Observation expérimentale
Plus il y a de fentes au travers desquelles peut passer la lumière, plus celle-ci est concentrée en sortie en certains points lumineux. Ces points coincident avec la position des franges brillantes lors du passage au travers de deux fentes
Figure 18 : Figure obtenue par passage d’un laser à travers de 1 à 6 fentes.
Réseau optique
On appelle réseau optique un instrument constitué d’une série de motifs identiques, répétés périodiquement, permettant la réflexion ou la transmission d’ondes lumineuses.
La répétition est caractérisées par la période spatiale du réseaua, appeléepas du réseau, ou la fréquence spatialen= a1, usuellement nomméenombre de traits par millimètre.
On étudiera seulement les réseaux en transmission par soucis de simplicité.
4.2 Formule des réseaux
4.2.1 Différence de marche entre motifs consécutifs
On considère un réseau éclairé par une onde plane. On observe les interférences à l’infini avec par exemple le montage de Fraunhoffer.
Calculons la différence de marche entre deux motifs consécutifs notés Sj etSj+1 :
δ= (SSj+1M)−(SSjM)
La source primaireS est située à l’infini, donc d’après la loi de Malus K etSj+1 appartiennent au même plan d’onde. Ainsi :
(SK) = (SSj+1)
L’observation se fait à l’infini donc d’après la loi de retour inverse de la lumière et la loi de MalusHetSjappartiendraient au même plan d’onde venant de l’infini. Ainsi :
(SjM) = (HM) On a donc finalement :
δ = [(SSj+1) + (Sj+1H) + (HM)]−[(SK) + (KSj) + (SjM)]
δ = (Sj+1H)−(KSj) - Montrer queδ=a(sinθt−sinθi).
4.2.2 Position des franges brillantes
Pour un grand nombre de traits éclairés, les maxima sont très concentrés : on ne s’interesse donc qu’à la position des franges brillantes. Comme les motifs sont répartis régulièrement, alors la différence de marche entre deux motifs consécutifs est partout la même.
−→ Si les ondes issues des motifs j etj+ 1sont en phase, alors celle issue du motifs j+ 2 est en phase avec j+ 1et donc également avec celle dej, et ainsi de suite.
Condition d’interférences des réseaux
Si les ondes issues de deux motifs consécutifs du réseau sont en phase au point d’obser-
Notation spécifique aux réseaux : L’angle de transmission dans la direction donnant un order d’interférencesp est notéθp plutôt queθt. De plus si l’angle d’incidence est égale à l’angle de transmission alors on trouve directement p= 0 soitθ0 =θp=0 =θi. Ainsi, l’angle d’incidence est traditionnellement noté θ0.
Formule des réseaux
Les raies brillantes en sortie d’un réseau apparaissent dans les directions telles que : sinθp−sinθ0=pλ
a avec p∈Z pest appelé ordre de la raie.
4.2.3 Intensité en sortie du réseau
On peut montrer (cf complément 4) que l’éclairement en sortie du réseau I s’écrit en fonction de l’éclairement de l’onde incidente I0 :
I(M) =I0
sin2(N∆φ2 ) sin2(∆φ2 )
Pour la raie d’ordre 0 (∆φ = 0), les angles en jeu étant petits, on trouve I ≃ N2I0. Ainsi les raies paraîtront d’autant plus brillantes que le nombre de traits du réseau est élevé.
On représente ci dessous l’intensité absolue en sortie du réseau :
Figure 19 : Intensité en sortie d’un réseau. La courbe du bas est normalisée parN2
On remarque également sur ce graphique que plus le nombre de traits du réseau est grand, plus le pic est étroit. Nous allons essayer de le montrer à l’aide de la construction de Fresnel.
Influence de N sur l’éclairement
Les raies brillantes (ordre entier) sont d’autant plus lumineuses et d’autant plus étroites que le réseau compte de motifs.
4.3 Construction de Fresnel et largeur des pics centraux 4.3.1 Rappel sur la construction de Fresnel
La construction de Fresnel permet d’appréhender simplement la somme de fonctions sinusoïdales sans passer directement par l’écriture complexe. Elle est adaptée aux problèmes d’électricité, d’ondes et particulièrement d’optique.
• Construction
La construction de Fresnel consiste à représenter une fonction sinusoïdale s(t) =S0cos(ωt+φ), correspondant par exemple à une onde, dans le plan par un vecteur. La norme de ce vecteur correspond à l’amplitude de l’onde et l’angle entre le vecteur et l’axe des abscisses est la phase de l’onde.
Figure 20 : Représentation de Fresnel d’une fonction sinusoïdale
• Somme
Dans le cas de la somme de deux fonctions sinusoïdales de même fréquence, on représente souvent les vecteurs de Fresnel àt= 0 pour s’affranchir de la dépendance en temps. Dans ce cas l’angle entre le vecteur et l’axe des abscisses correspond à φ.
4.3.2 Somme de N ondes cohérentes dans la construction de Fresnel
Les ondes issues d’un réseau sont cohérentes donc de même fréquence, on prendra donc t = 0 dans la représentation de Fresnel pour plus de simplicité. De plus entre deux ondes consécutives (issues de Sj etSj+1 par exemple) le déphasage est noté∆φ.
On note −→sj le vecteur de Fresnel représentant l’onde issue du trouSj et −→stot le vecteur obtenu par somme de tous les −→sj.
−
→stot =
∑N
j
−
→sj
• Interférences totalement constructives
Lorsque tous les vecteurs de Fresnel sont alignés (∆φ= 2pπavecp∈Z) alors−→stotest maximum, c’est la somme des normes de tous les−→sj. La vibration lumineuse associée est maximale et donc l’éclairement aussi.
Figure 22 : Interférences totalement constructives dans la construction de Fresnel
• Interférences totalement destructives :
Lorsque −→stot est de norme nulle, c’est à dire lorsque les−→sj effectuent un nombre entier de tours comme sur la figure suivante, alors la vibration lumineuse est nulle et l’éclairement aussi. Dans cette situation on a forcément N∆φ= 2qπ où q ∈ Z avec q différent de 0 ou de tout multiple de N pour éviter de retomber sur une condition d’interférence constructive.
Figure 23 : Interférences totalement destructives dans la construction de Fresnel
• Largeur du pic central
Entre deux maxima principaux repérés parp= 0(∆φ= 0) etp= 1(∆φ= 2π), on trouveN−1 annulations d’éclairement (cf animation "femtophysique") correspondant à 1≤q≤N −1.
Figure 24 : Norme du vecteurstot directement reliée à l’intensité en sortie du réseau On note δφla largeur d’un pic principal comme étant la variation de∆φentre les deux annu- lations de l’éclairement qui bordent ce pic. On lit directement sur la figure précédente :
δφ= 4π N
On observe bien que plus le réseau comporte de traits, plus les pics dans lesquels la lumière se concentre sont fins.
