Contrôle des bras articulés et transformations de Möbius

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Contrôle des bras articulés et transformations de Möbius

HAUSMANN, Jean-Claude

Abstract

For a m-tuple a=(a_1,...,a_m) of positive real numbers, the robot arm of type a in R^d is the map f^a:(S^{d-1})^m -> R^d defined by f^a(z_1,...,z_m) to be the sum of the a_jz_j's. Our aim is to attack the inverse problem via the horizontal liftings for the distribution Delta^a orthogonal to the fibers of f^a. One shows that the connected components by horizontal curves are the orbits of an actiion on (S^{d-1})^m by a product of groups of Moebius transformations. In several cases, the holonomy orbits of the distribution Delta^a are also described.

HAUSMANN, Jean-Claude. Contrôle des bras articulés et transformations de Möbius.

Enseignement mathématique, 2005, vol. 51, no. 1/2, p. 87-115

arxiv : math/0210477v1

Available at:

http://archive-ouverte.unige.ch/unige:12196

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arXiv:math/0210477v1 [math.DG] 31 Oct 2002

Contrˆ ole des bras articul´ es et transformations de M¨ obius

Jean-Claude HAUSMANN 31 octobre 2002

R´esum´e

Pour unm-uple a= (a¹, . . . , am) de nombres r´eels positifs, le bras articul´e de typeadansR^d est l’applicationf^a: (S^d−1)^m→R^d d´efinie parf^a(z1, . . . , zm) =Pm

j=1ajzj. On se propose d’attaquer le probl`eme inverse via les relev´es horizontaux pour la distribution ∆^aorthogonale aux fibres def^a. On montre que les composantes connexes par courbes horizontales sont les orbites d’une action sur (S^d−1)^md’un produit de groupes de transformations de M¨obius. On d´etermine ´egalement, dans plusieurs cas, les orbites d’holonomie de la distribution ∆^a.

1 Introduction

Soit f :M →N une application diff´erentiable (C^∞) entre deux vari´et´es M et N. Le probl`eme inverse pour f consiste `a trouver un proc´ed´e pour relever dans M les courbes lisses par morceau dans N. Plus pr´ecis´ement,

´etant donn´e une courbe lisse par morceau c(t) ∈ N et un point q⁰ ∈ f⁻¹(c(0)), on aimerait disposer canoniquement d’une courbe lisse par morceau

˜

c(t)∈M telle que ˜c(0) =q⁰ etf(˜c(t)) =c(t).

Si M est une vari´et´e riemannienne et f est une submersion propre, on peut alors proc´eder comme Ehresmann [Eh, §1]. On consid`ere une distri- bution ∆<sup>f</sup>, c’est-`a-dire un champ de sous-espace vectoriels ∆^f_q ⊂T_qM pour toutq ∈M, en d´efinissant ∆^fq comme le compl´ement orthogonal `a kerT<sub>q</sub>f, o`uT_qf :T_qM →T_f(q)N est l’application tangente `af enq. Une courbe lisse par morceau b(t) ∈ M dont le vecteur vitesse ˙b satisfait `a ˙b(t) ∈ ∆^f_b(t) est appel´ee une ∆^f-courbe, ou courbe horizontale. Le probl`eme inverse pour f est alors r´esolu de la mani`ere suivante : une courbec(t) ∈N d´efinie sur un intervalle au voisinage de 0 admet un unique rel`evement horizontal ˜c(t)∈M partant d’un point ˜c(0)∈f⁻¹(c(0)). En effet, la d´emonstration est la mˆeme

que pour un fibr´e diff´erentiable muni d’une connexion (voir [DNF, lemme 2 p. 212]). Rappelons que c’est le principe de la preuve du th´eor`eme d’Ehres- mann qui dit qu’une submersion propre est un fibr´e diff´erentiable [Eh,§1].

Pour une application diff´erentiable f : M → N quelconque, avec M riemannienne, on peut tout de mˆeme consid´erer la distribution ∆^f o ∆^f_q est le complment orthogonal kerT_qf. L’unicit´e du rel`evement horizontal d’une courbe c(t) ∈ N est alors pr´eserv´ee puisque T<sub>q</sub>f envoie ∆<sup>f</sup>q iso- morphiquement sur l’image de T<sub>q</sub>f. Son existence est garantie en tout cas si c(t) reste dans les valeurs r´eguli`eres de f, au dessus desquelles f est une submersion. Cette solution horizontale du probl`eme inverse est celle qui minimise en chaque instant le coˆut infinit´esimal : ˜c(t) est horizontal si et seulement si ˙˜c(t) est le vecteur au dessus de ˙c(t) de norme mini- male. Observons que ∆^f est une distribution de dimension non-constante : dim ∆^f_q = rang (T_qf). Par exemple, si N = R^p avec la m´etrique standard et que l’on ´ecrit f(q) := (x1(q), . . . , xp(q)), alors ∆^f est la distribution en- gendr´ee par les champs de gradients {gradx_i}i=1,...,p. Plus g´en´eralement, pourf :M →N, la distribution ∆^f est engendr´ee par les champs de gradi- ent des fonctionsφ◦f pour toutes les fonctionsφ:N →R.

Comme distribution sur une vari´et´e riemannienne, ∆^f d´efinit surM une g´eom´etrie sous-riemannienne([Be],[Mo]) oug´eom´etrie de Carnot-Carath´eodory [Gr]. En tant que distribution engendr´ee par des champs de vecteurs, ∆^f d´efinit ´egalement surMun probl`eme deth´eorie du contrˆole[Ju]. Ces th´eories s’accordent sur l’utilit´e du th´eor`eme de Sussmann [Su, Th. 4.1] qui d´ecrit, pour une distribution surM, les composantes connexes par ∆-courbes comme les feuilles d’une distribution int´egrable associ´ee `a ∆. Il s’agit encore d’un feuilletage dont les feuilles ne sont pas toutes de mˆeme dimension, l’exemple standard ´etant donn´e par les orbites d’une action diff´erentiable d’un groupe de Lie sur M. Dans le cas qui nous occupe d’une distribution ∆<sup>f</sup>, obtenir une param´etrisation de ces feuilles peut ˆetre un pas pr´eliminaire important pour la r´esolution du probl`eme inverse car il r´eduit le nombre de variables dans les ´equations diff´erentielles.

Le but de cet article est d’´etudier les questions ci-dessus dans le cas o`u M = (S<sup>d−1</sup>)<sup>m</sup> est le produit de m sph`eres standardS^d−1 de rayon 1 (muni de la m´etrique produit) et f : (S^d−1)^m → R^d est un bras articul´e. Si a:=

(a₁, . . . , a_m) ∈ R^m

≥0, Le bras articul´e (de type a) dans R^d est l’application f^a: (S^d−1)^m→R^d d´efinie par

f^a(z₁, . . . , z_m) :=

m

X

j=1

a_jz_j.

Les points de (S^d−1)^mseront appel´es desconfigurations. On peut s’imaginer un bras de robot dans R^d, partant de l’origine, form´e de m segments de longueurs a1, . . . , am et dont l’extr´emit´e est f^a(z). Notons que certaines longueursa_i peuvent ˆetre nulles, ce qui nous sera techniquement utile dans certaines d´emonstrations.

@

@@

@@@RPP

PPPPq1 0 u

a₁z₁

a₂z₂

a₃z₃ a₄z₄ f^a(z₁, z₂, z₃, z₄)

Dans le cas d’un bras articul´e, le probl`eme inverse prend la signification qu’il a habituellement en robotique : trouver, `a partir d’une configuration initiale ˜c(0) du bras, un mouvement ˜c(t) des diff´erents segments faisant que f^a(˜c(t)) =c(t).

Le lecteur trouvera une ´etude des bras articul´es dans [Ha], par exemple la caract´erisation des points critiques def^aqui sont les configurations align´ees z_i =±z_j ∀i, j (voir aussi la remarque 7.3 plus loin), ainsi qu’une premi`ere classification des pr´eimages M<sub>b</sub> := (f<sup>a</sup>)<sup>−1</sup>({b}) pour une valeur r´eguli`ere b∈R^d. Les espacesM_b sont reli´es aux espaces de polygones. Par exemple, si d= 2 etb6= 0, l’espaceM_b s’identifie `a l’espace des configurations planaires d’un (m+1)-gone de longueurs (a1, . . . , am,|b|) modulo les isom´etries directes de R<sup>2</sup>. La classification de ces espaces a r´ecemment ´et´e pouss´ee jusqu’`a m≤8 dans [HR] (l’espace M_b correspond `a N2^m+1(a₁, . . . , a_m,|b|) pour les notations de [HR]). En g´en´eral, sib6= 0, le groupeSO(d−1) (stabilisateur debpour l’action deSO(d) surR^d) agit surM_b avec quotient hom´eomorphe

`

aN_d^m+1(a₁, . . . , a_m,|b|).

Pour le bras articul´ef^a, notons ∆^a:= ∆^fa la distribution d´etermin´ee sur (S^d−1)^m par f^a. Comme indiqu´e ci-dessus, le premier travail sera d’´etudier les composantes connexes par ∆^a-courbe. Notre th´eor`eme principal ci-dessous les identifie avec les orbites d’une action sur (S^d−1)^m par un groupe de Lie, action que nous allons d´ecrire maintenant.

Soit♯(a) le nombre de valeurs non-nulles de la suitea_i :♯(a) :=♯{a_i |i= 1. . . , m, a_i 6= 0}. Par exemple, ♯(3,3,0,1) = 2. D´esignons par M¨ob_d−1 le groupe des transformations conformes deS^d−1 (groupe des transformations de M¨obius, engendr´e par les compositions d’un nombre pair d’inversions, dansR^d∪ {∞}, par rapport `a des sph`eres perpendiculaires `a S^d−1). Soient b1, . . . , b_♯(a) les valeurs de la suiteai. Pourj∈ {1, . . . , ♯(a)}, soit M¨ob^(j)_d−1une

copie du groupe M¨ob_d−1, que l’on consid`ere comme agissant sur (S<sup>d−1</sup>)<sup>m</sup>de la mani`ere suivante : siR∈M¨ob^(j)_d−1, on d´efinitR·(z₁, . . . , z_m) := (z₁^′, . . . , z_m^′ ) o`u

z_i^′ :=

R·z_i sia_i=b_j z_i sinon.

Si j 6= j^′, les actions de M¨ob^(j)_d−1 et de M¨ob^(j_d−^′)₁ commuttent et d´efinissent ainsi une action diff´erentiable deG(a, d) := M¨ob^♯(a)_d−1sur (S^d−1)^m, qui d´epend de a. Notre th´eor`eme principal est :

Th´eor`eme principal Deux points z etz^′ de (S^d−1)^m sont reli´es par une

∆^a-courbe si et seulement si ils sont dans la mˆeme orbite pour l’action de G(a, d).

Le th´eor`eme principal sugg`ere que l’on peut trouver les rel`evements hor- izontaux par des ´equations diff´erentielles dans le groupeG(a, d). Ceci sera l’objet d’un travail ult´erieur.

La preuve du th´eor`eme principal occupe les paragraphes 2 `a 4. Elle utilise le th´eor`eme de Sussmann cit´e auparavant ainsi que le th´eor`eme de Chow ([Gr, §0.4], [Be, th. 2.4 et §2.5], [Mo, Ch. 2]). Dans le paragraphe 5, on tire quelques cons´equences du th´eor`eme principal, par exemple, le fait que les invariants classiques des transformations de M¨obius, comme le birapport de 4 points, produisent des quantit´es qui sont conserv´ees le long des ∆^a-courbes.

Les paragraphes 6 et 7 sont consacr´es `a l’´etude des groupes d’holonomie de ∆<sup>a</sup>. Si U est un ouvert du plan form´e de valeurs r´eguli`eres du bras f^a : (S^d−1)^m → R^d et si b ∈ U, le groupe d’holonomie Hb(U) est form´e des diff´eomorphismes de M_b := f⁻¹(b) obtenus par transport horizontal au dessus courbes dans U lisses par morceau qui sont des lacets en b. On montre que pour un bras g´en´erique (♯(a) =m), le groupeHb(U) agit tran- sitivement sur chaque composante connexe de M_b. Ceci contraste avec le cas a = (1, . . . ,1) o`u l’on montre que, pour les bras planaires, les orbites de l’action du groupe d’holonomie sont les lignes de gradient d’une certaine fonction de Morse ρ_b : M_b → S¹ dont on d´etermine les points critiques et leur indice.

Cette recherche a b´en´efici´e du soutien du Fonds National Suisse de la Recherche Scientifique. L’auteur tient `a remercier P. de la Harpe et D.

Thurston pour d’utiles conversations.

2 Bras articul´ es planaires

Ce paragraphe pr´esente quelques outils pour la d´emonstration du th´eor`eme principal dans le cas d= 2 (bras planaires). On retrouvera essentiellement les mˆemes ´enonc´es pour les bras dansR^d(§3), dont les d´emonstrations utilis- eront le casd= 2 traˆıt´e ici. De plus, le cas d= 2 a l’avantage d’utiliser des techniques plus ´el´ementaires et des calculs explicites.

Soit a := (a₁, . . . , a_m) ∈ R^m

≥0. Le bras articul´e planaire f^a peut s’ex- primer comme l’application f^a : T^m → C du tore plat T^m = (S¹)^m `a valeurs complexes :

f^a(z₁, . . . , z_m) =

m

X

i=1

a_iz_i.

En param´etrant le cercle S¹ par q 7→ e^iq (q ∈R), et en identifiant C avec R², on regardera aussi f^a comme l’application de R^m → R² donn´ee, pour q:= (q₁, . . . , q_m)∈R^m, par

f^a(q) := (

m

X

i=1

a_icosq_i,

m

X

i=1

a_isinq_i) = (X^a(q), Y^a(q)). (1) Par abus de langage, les points deR^mseront aussi appel´es desconfigurations.

La distribution ∆^a := ∆^fa est donc engendr´ee par les champs gradX^a et gradY^a. On la regarde, soit comme une distribution sur T^m, soit comme une distribution p´eriodique surR^m.

Rappelons que le groupe SU(1,1) est form´e des (2×2)-matrices com- plexes M de d´eterminant 1 telles que M^TJM =J o`u J = (¹₀₋⁰₁). Ce sont exactement les matrices de la forme a b

¯b ¯a

!

aveckak²−kbk² = 1. Le groupe SU(1,1) est le sous-groupe de SL(2,C) dont l’action surC par transforma- tions homographiques pr´eserve l’orientation et le cercle unit´e ; il s’identifie donc `a M¨ob<sub>1</sub>. Son alg`ebre de Lie su(1,1) est form´ee des matrices M telles queJM J¯ =−M^T qui s’´ecrivent donc

iu b

¯b −iu

avec u∈R. Enfin, rap- pelons que les alg`ebres de Lie sl(2,R) et su(1,1) sont isomorphes, en fait conjugu´ees dansGL(2,C) :

P sl(2,R)P⁻¹ =su(1,1) , o`u P :=

1 −i

1 i

.

D´esignons par Vec (M) l’alg`ebre de Lie des champs de vecteurs sur une vari´et´e diff´erentiable M. Soit L<sup>a</sup> la sous-alg`ebre de Lie de Vec (T^m) (ou de

Vec (R^m)) engendr´ee par les champs gradX^a et gradY^a, o`u X^a etY^a sont d´efinis dans l’´equation (1).

Soit αa :su(1,1)^♯(a) →VecT^m l’action infinit´esimale associ´ee `a l’action deG(a,2) =SU(1,1)<sup>♯(a)</sup> surT<sup>m</sup> d´efinie dans l’introduction. Rappelons que α<sub>a</sub> est un anti-homomorphisme d’alg`ebres de Lie.

Proposition 2.1 L’anti-homomorphisme α_a :su(1,1)^♯(a) → Vec (S¹)^m est injectif et son image est L^a.

Le reste de ce paragraphe est consacr´e `a la preuve de la proposition 2.1.

Nous avons tout d’abord besoin d’un certain mat´eriel pr´eliminaire. Prenons les notations de l’´equation (1) et consid´erons les champs S, C ∈ Vec (R^m) donn´es par

S:=



 sinq₁

... sinq_m



 C:=



 cosq₁

... cosq_m



. (2) On v´erifie par calcul direct que

[C, S] =



 1... 1



=:U , [U, C] =−S , [S, U] =−C. (3) Ces relations sont satisfaites par les g´en´erateurs suivants desu(1,1) :

C˜ :=

0 i/2

−i/2 0

, S˜:=

0 1/2

1/2 0

, U˜ :=

i/2 0 0 −i/2

. (4) Les sous-groupes `a un param`etre deSU(1,1) correspondants aux deux pre- miers ´el´ements sont

Exp(tS) =˜

cosh(t/2) sinh(t/2) sinh(t/2) cosh(t/2)

et

Exp(tC) =˜

cosh(t/2) isinh(t/2)

−isinh(t/2) cosh(t/2)

.

En faisant agir ces sous-groupes `a un param`etre surS¹ par transformations homographiques, on obtient les flots Γ¹_t,Γⁱ_t:S¹ →S¹ (t∈R) d´efinis par

Γ¹_t(z) := cosh(t/2)z+ sinh(t/2)

sinh(t/2)z+ cosh(t/2) (5)

et

Γⁱ_t(z) := cosh(t/2)z+isinh(t/2)

−isinh(t/2)z+ cosh(t/2) (6)

(l’exposant 1 ouiindique le point fixe stable du flot). Consid´erons les champs de vecteursS,C, et U de (2) dans le cas m= 1, c’est-`a-dire surS¹.

Lemme 2.2 En tant que flot sur S¹, on a que

(a)Γ¹_t est le flot de −S, le flot du gradient de la projection sur l’axe r´eel.

(b) Γⁱ_t est le flot de C, le flot du gradient de la projection sur l’axe imaginaire.

(c) z7→e^itz (rotation `a vitesse constante) est le flot de U.

Preuve: Le calcul direct sur la formule (5) montre que Γ¹_t, d´efini sur C, est le flot du champ de vecteurs

dΓ_t(z) dt

t=0

= 1−z²

2 . (7)

D’autre part, pourz=e^iθ on a

ke^2iθ−1k² = kcos 2θ+isin 2θ−1k² = (cos 2θ−1)²+ sin²2θ=

= 2(1−cos 2θ) = 2(1−cos²θ+ sin²θ) = 4 sin²θ. (8) Comme Γ¹_t pr´eserve le cercle unit´e S¹, l’´equation (7) d´etermine un champ de vecteurs tangents `a S¹, dont les z´eros sont ±1 et qui est dirig´e vers la droite. Par (8) on d´eduit que

dΓ¹_t(z) dt

t=0

=Dexpi(−sinθ ∂

∂θ).

Ceci d´emontre le point a) du lemme 2.2. Le point b) se d´emontre de la mˆeme mani`ere et le point c) est ´evident.

Plus g´en´eralement, pour s∈S¹, consid´erons le flot sur S¹ Γ^s_t(z) := cosh(t/2)z+ssinh(t/2)

¯

ssinh(t/2)z+ cosh(t/2). (9) Soit g_s : S¹ → R la fonction “s-composante” : g_s(z) = Re (z¯s). Soit Φ^s_t le flot sur S¹ de gradgs. Les points (a) ou (b) du lemme 2.2 sont des cas particuliers du lemme suivant.

Lemme 2.3 Φ^s_t = Γ^s_t (´egalit´e de flots sur S¹).

Preuve: Soit m_s :S¹ → S¹ la multiplication pars etm_¯s celle par ¯s. On ag_s=g₁◦m_¯s et les champs gradg₁ et gradg_s sontm_s¯-reli´es :

T_zm_¯s(grad_zg_s) = grad_z¯sg₁.

On a donc Φ^s_t =m_s◦Φ¹_t◦m_s¯. Par le point (a) du lemme 2.2, on a Φ¹_t = Γ¹_t, d’o`u

Φ^s_t =ms◦Γ¹_t◦ms¯= Γ^s_t. Pour s∈S¹, soit

C_s :=

0 s/2

¯ s/2 0

∈ su(1,1).

Par exemple, C₁ = ˜S et C_i = ˜C. Comme s= e^iθ, on a que C_s =P_θSP˜ _θ⁻¹, o`u = P<sub>θ</sub> ∈ SU(1,1) est la matrice diagonale de coefficients e<sup>iθ/2</sup>, e<sup>−iθ/2</sup>. L’action par transformation homographique deP surS<sup>1</sup> est la rotationm<sub>s</sub>. On a donc que exp(tC<sub>s</sub>) g´en`ere surS¹ le flot Γ^s_t.

Soitα :su(1,1)→ Vec (S¹) l’action infinit´esimale de l’action deSU(1,1) surS¹. Vu ce qui pr´ec`ede, le lemme 2.2 se paraphrase en

Lemme 2.4 α(C_s) = gradg_s.

Remarque 2.5 Comme α est un anti-homomorphisme d’alg`ebres de Lie, on a bien que

α( ˜U) =α([ ˜C,S]) =˜ −[α( ˜C), α( ˜S)]) =−[C,−S] =U.

Preuve de la proposition 2.1. Elle se fait par r´ecurrence sur ♯(a). Le cas♯(a) = 0 est banal car su(1,1)⁰ = 0 (par convention) et L^a= 0 puisque l’applicationf^a est constante. L’injectivit´e deα_a est aussi ´evidente puisque l’action deG(a, d) sur S^d−1 est effective.

Supposons que ♯(a) = 1. Soit b l’unique valeur positive de la suite ai. Les composantes non-nulles de gradX^a sont ´egales `a celles de−bS et celles de gradY<sup>a</sup> sont ´egales `a celles de bC. De plus, gradX^a et gradY^a ont les mˆemes composantes nulles. Il s’en suit que l’alg`ebre de Lie L<sup>a</sup> ne d´epend pas de b et qu’elle est isomorphe `a l’alg`ebre de Lie engendr´ee par par S et C. L’action deG(a,2) =SU(1,1) surT<sup>m</sup> ne d´ependant pas non plus de b, on peut supposer queb= 1. Dans ce cas, pourX∈su(1,1) les composantes non-nulles deα<sub>a</sub>(X) sont ´egales `aα(X). Par les parties (a) et (b) du lemme 2.4, on en d´eduit que α_a( ˜S) = gradX^a etα_a( ˜C) = gradY^a. L’image de α_a contient doncL^a. Comme ˜S et ˜C engendrentsu(1,1) en tant qu’alg`ebre de Lie, l’image deα_aest aussi contenue dansL^a, ce qui d´emontre la proposition 2.1 lorsque♯(a) = 1.

Supposons, par hypoth`ese de r´ecurrence, que la proposition 2.1 soit vraie pour♯(a)≤j−1. Soitatel que♯(a) =j. Pourk∈N, introduisons les champs

de vecteurs suivants surR^m A^k:=



 a^k₁

... a^k_m



 , A^kS :=





a^k₁sinq₁ ... a^k_msinq_m



 , A^kC:=





a^k₁cosq₁ ... a^k_mcosq_m



. (10) L’espace vectoriel engendr´e par les champs

A^2k−1C , A^2k−1S et A^2k (k≥1) (11) est une sous-alg`ebre de Lie de Vec (R^m). En effet, on a

[A^2k−1C, A^2l−1S] =A^2(k+l−1) , [A^2k, A^2l−1C] =−A^2(k+l)−1S [A^2k−1S, A^2l] =−A^2(k+l)−1C , [A^2k, A^2l] = 0.

Cette alg`ebre de Lie est engendr´ee par gradX<sup>a</sup> = −AS et gradY<sup>a</sup> =AC, donc c’est l’alg`ebre de LieL^a.

Supposons que a_m 6= 0 (le raisonnement est analogue si c’est un autre ai). Consid´erons les projecteurs lin´eaires π^′, π^′′ : R^m → R^m d´efinis par π^′(x₁, . . . , x_m) := (x^′₁, . . . , x^′_m) etπ^′′(x₁, . . . , x_m) := (x^′′₁, . . . , x^′′_m) o`u

x^′_i:=

x_i si a_i =a_m

0 sinon , x^′′_i :=

0 si a_i =a_m x_i sinon

On consid´erera aussiπ^′ etπ^′′comme des morphismes du fibr´e tangentTR^m sur lui mˆeme, au dessus de l’identit´e de R^m, en appliquant π^′ ou π^′′ sur chaque fibre. Notons a^′ := π^′(a) et a^′′ := π^′′(a). Par exemple, si m = 5 et a= (2,1,3,1,1), alorsa^′= (0,1,0,1,1) et a^′′= (2,0,3,0,0).

On aπ^′(gradX^a) = gradX^a′,π^′(gradY^a) = gradY^a′, etc, ce qui montre que ∆^a = ∆^a′ ⊕∆^a′′. De plus, la forme particuli`ere des champs de (10) et des actions fait que L<sup>a</sup> = L<sup>a′</sup> ⊕ L<sup>a′′</sup>. Bref, tout se passe composante par composante et il en est de mˆeme des actions : α: Lie (G(a,2))→Vec (T<sup>m</sup>) se d´ecompose en α<sub>a</sub> =α<sub>a</sub>′ ⊕α<sub>a</sub>′′. Comme ♯(a<sup>′</sup>) = 1 et♯(a<sup>′′</sup>) = ♯(a)−1, on aura, par hypoth`ese de r´ecurrence, que l’image deα_a′ estLa^′ et que l’image de α_a′′ est La^′′. On en d´eduit que l’image de α_a est bien L^a, ce qui ach`eve la d´emonstration de la proposition 2.1.

Corollaire 2.6 En tant qu’alg`ebre de Lie, su(1,1)^m est, quelque soit m, engendr´ee par 2 ´el´ements.

Preuve: Soit a = (a1, . . . , am) ∈ R^m avec 0 < a1 < · · · < am (donc

♯(a) = m). Par la proposition 2.1, α_a : su(1,1)^m → L^a est un (anti)- isomorphisme d’alg`ebres de Lie. Or, L<sup>a</sup> est engendr´ee, en tant qu’alg`ebre de Lie, par gradX^a et gradX^a.

Remarque 2.7 Pourm=♯(a), les deux g´en´erateurs desu(1,1)^m du corol- laire 2.6 sont

AC˜ := (a₁C, . . . , a˜ _mC)˜ et AS˜:= (a₁S, . . . , a˜ _mS),˜ avec les ˜C,S˜∈su(1,1) d´efinis en (4).

Example 2.8 Les champsA¹, A². . . A^kde (10) sont lin´eairement d´ependants d`es quek > ♯(a). La relation de d´ependance lin´eaire se r´epercute sur lesA<sup>i</sup>C etA<sup>i</sup>S, donnant une pr´esentation int´eressante de l’alg`ebre de Liesu(1,1)^♯(a). Par exemple, si a = (a₁, a₂) avec a₁ 6=a₂, on obtient une pr´esentation de su(1,1)² engendr´ee comme espace vectoriel par

AC , AS , A², A³C , A³S , A⁴ et les crochets non-nuls sont :

[AC, AS] = A² [A², AC] = −A³S [A², AS] = A³C [AC, A³S] = A⁴

[A², A³C] = [A⁴, AC] =a²₁a²₂AS−(a²₁+a²₂)A³S [A², A³S] = [A⁴, AS] =−a²₁a²₂AC+ (a²₁+a²₂)A³C [A³C, A³S] = −a²₁a²₂A²+ (a²₁+a²₂)A⁴

[A⁴, A³C] = a²₁a²₂(a²₁+a²₂)AS−(a⁴₁+a²₁a²₂+a⁴₂)A³S [A⁴, A³S] = −a²₁a²₂(a²₁+a²₂)AC+ (a⁴₁+a²₁a²₂+a⁴₂)A³C.

Les quatre premi`eres relations montrent quesu(1,1)<sup>2</sup> est, en tant qu’alg`ebre de Lie, engendr´ee parAC etAS.

3 Bras articul´ es dans R

Dans ce paragraphe, nous g´en´eralisons aux bras dans R^d les r´esultats obtenus, dans le paragraphe 2, pour les bras planaires. Les d´emonstrations utilisent les r´esultats du§2.

Soits∈S^d−1. Consid´erons le flot Γ^s_t surS^d−1form´e des transformations de M¨obius d´etermin´ees par la condition suivante : si ϕ est une transfor- mation de M¨obius de R^d∪ {∞} telle que ϕ(−s = 0 et ϕ(s = ∞, alors ϕ◦Γ^s_t◦ϕ⁻¹(x) = e^tx, pour tout x∈ ϕ(S^d−1). En terme d’isom´etries hyper- boliques du disque de Poincar´eD^d, Γ^s_t correspond `a un flot de translations

hyperboliques laissant invariant chaque plan qui contient la g´eod´esique al- lant de−s`a s.

Soit gs :S^d−1 → R la fonction gs(x) = hx, si, o`u h,i d´enote le produit scalaire standard dansR^d. Soit Φ^s_t le flot, sur S^d−1, du gradient de g_s. Lemme 3.1 Γ^s_t = Φ^s_t (´egalit´e de flots sur S^d−1).

Preuve: Les deux flots ayant ±s comme points fixes, il suffit de v´erifier que Γ^s_t(y) = Φ^s_t(y) pour y∈S^d−1 diff´erent de±s.

Soit Π le sous-espace vectoriel deR^d engendr´e pary ets. Soit h:R^d→ R^dla r´eflexion orthogonale par rapport au plan Π. La relation g´en´erale entre grad(gs◦h) et gradgs est

(D_xh)^∗(grad_h(x)g_s) = grad_x(g_s◦h), (12) o`u (D<sub>x</sub>h)<sup>∗</sup> est l’adjoint de D<sub>x</sub>h. Comme h est une isom´etrie lin´eaire, on a (D<sub>x</sub>h)<sup>∗</sup> =h<sup>∗</sup> =h<sup>−1</sup> =h. D’autre part, g<sub>s◦</sub>h =g<sub>s</sub>. Enfin, pour x∈ Π, on a x =h(x) et la formule (12) se r´eduit `a h(grad_xg_s) = grad_xg_s. Cela prouve que, six ∈Π, alors grad_xg_s ∈Π, ce qui implique que grad_xg_s= grad_x(g_s)_|Π. Le flot Φ^s_t pr´eserve donc le plan Π. Comme c’est aussi le cas du flot Γ^s_t, il suffit de montrer leur ´egalit´e sur le cercle Π∩S^d−1. Soitµ :C→ Π une isom´etrie euclidienneR-lin´eaire telle queµ(1) =s(il en existe deux, mais ce choix est sans importance). On a, sur Π∩S^d−1, queµ_◦Γ^s_t◦µ⁻¹= Γ¹_t, o`u Γ¹_t est le flot d´efini dans l’´equation (5). De mˆeme, µ◦Φ^s_t◦µ⁻¹ est le flot sur S¹ du gradient de la projection sur l’axe r´eel. Le fait que Γ^s_t = Φ^s_t sur Π∩S^d−1 est exactement le contenu de la partie (a) du lemme 2.2.

On peut ´evidemment voir Γ^s_t comme un sous-groupe `a un param`etre de M¨ob_d−1. Soit Cs l’´el´ement de Lie (M¨ob_d−1) tel que exp(tCs) = Γ^s_t. Soit α: Lie (M¨ob_d−1)→Vec (S^d−1) l’action infinit´esimale de l’action de M¨ob_d−1 surS^d−1. Le lemme 3.1 se paraphrase en

Lemme 3.2 α(C_s) = gradg_s.

Soit s^′ ∈ S^d−1 avec hs, s^′i = 0. D´esignons par Π(s, s^′) le 2-plan de R^d engendr´e parsets^′ et orient´e par cette base. On appelle rotation d’angle t dans Π(s, s^′) l’´el´ement R∈SO(d) tel que

R(s) = costs+ sints^′ , R(s^′) =−sints+ costs^′ etR(x) =x pour toutx dans le compl´ement orthogonal de Π(s, s^′).

Lemme 3.3 Le sous-groupe `a un param`etre exp(t[C_s, C_s′]) est la rotation d’angle −tdans le plan Π(s, s^′).

Preuve: Soit Π = Π(s, s^′). Comme Γ^s_t et Γ^s_t^′ pr´eservent le plan Π, les champs de vecteursα(C_s) etα(C_s′) sont tangents `a Π. Le crochet [α(C_s), α(C_s′)] =

−α([Cs, C_s^′]) est donc tangent `a Π et le sous-groupe `a un param`etre exp(t[Cs, C_s^′]) pr´eserve le plan Π.

Soitµ:C→Π(s, s^′) l’isom´etrie euclidienneR-lin´eaire telle queµ(1) =s etµ(i) =s^′. On a vu dans la preuve du lemme 3.1 queµconjugueC_s etC_s′

avec, respectivement, les ´el´ements ˜Set ˜Cdesu(1,1) d´efinis par les ´equations (4). L’isom´etrie µconjugue donc [C_s, C_s′] avec [ ˜S,C] =˜ −U˜ dont le flot sur S¹ est la rotation d’angle −t(partie (c) du lemme 2.2). Cela montre que le sous-groupe `a un param`etre exp(t[C_s, C_s^′]) se restreint `a Π en la rotation d’angle−t.

Il reste `a montrer que si x ∈ S<sup>d−1</sup> est orthogonal `a s et `a s<sup>′</sup>, alors exp(t[C<sub>s</sub>, C<sub>s</sub><sup>′</sup>])x = x. Soit S la 2-sph`ere de rayon 1 dans l’espace vectoriel engendr´e pars,s^′ etx. Comme Γ^s_t = exp(tC_s) et Γ^s_t^′ = exp(tC_s′) pr´eservent S, ainsi en est-il de exp(t[C_s, C_s′]). Comme le flot exp(t[C_s, C_s′]) pr´eserve Π, il pr´eserve la famille des (grands) cercles de S qui sont perpendiculaires `a Π. Leur intersection commune{±x}est donc pr´eserv´ee par exp(t[C_s, C_s′]).

Par continuit´e, on en d´eduit que exp(t[C_s, C_s′])x=x.

Lemme 3.4 Les ´el´ements Cs, pour s∈S^d−1, engendrentLie (M¨ob_d−1) en tant qu’alg`ebre de Lie.

Preuve: Soit L la sous-alg`ebre de Lie de Lie (M¨ob_d−1) engendr´ee par les

´el´ements C_s. Il suffit de voir que le groupeG= exp(L) est ´egal `a M¨ob<sub>d−1</sub>. Identifions M¨ob<sub>d−1</sub>avec Iso<sup>+</sup>(D<sup>d</sup>), le groupe des isom´etries hyperboliques du disque de Poincar´eD<sup>d</sup> qui pr´eservent l’orientation. L’orbite de l’origine par exp(tC<sub>s</sub>) est le segment allant de−s`as. On en d´eduit queGagit tran- sitivement sur D^d. Il suffit donc de montrer que G contient le stabilisateur de l’origine qui est SO(d). Mais, par le lemme 3.3, G contient toutes les rotations dans tous les 2-plans deD^det ces rotations engendrentSO(d).

Nous allons maintenant d´emontrer la g´en´eralisation de la proposition 2.1. Soit a = (a₁, . . . , a_m) ∈ (R_≥0)^m. Si f^a est un bras articul´e de type a, on d´esigne parg^a_s : (S^d−1)^m →R la fonction d´efinie parg_s^a(z) =hf^a(z), si. Soit L^a la sous-alg`ebre de Lie de Vec (S<sup>d−1</sup>)<sup>m</sup> engendr´ee par les champs gradg<sup>a</sup><sub>s</sub> pour tout s ∈ S<sup>d−1</sup>. Soit α<sub>a</sub> : Lie (G(a, d)) → Vec (S<sup>d−1</sup>)<sup>m</sup> l’anti- homomorphisme d’alg`ebre de Lie associ´e `a l’action de G(a, d) d´efinie dans l’introduction.

Proposition 3.5 L’anti-homomorphisme α_a: Lie (G(a, d))→Vec (S^d−1)^m est injectif et son image estL^a.

Preuve: Comme pour la proposition 2.1, la d´emonstration se fait par r´ecurrence sur♯(a). Le cas ♯(a) = 0 est banal. L’injectivit´e de α_a est aussi

´evidente puisque l’action de G(a, d) sur S^d−1 est effective.

Supposons que ♯(a) = 1. Soit bl’unique valeur positive de la suite a_i et soit ¯a= ¹_b a. Comme g^a_s(z) = P_m

j=1a_jhz_j, si, on a gradg^a_s =bgradg_s^¯a, d’o`u il r´esulte queL^a=L^¯a. On a aussi queG(¯a, d) =G(a, d) etα_a¯=α_a.

On peut donc supposer queb= 1. Dans ce cas, pourX∈Lie (G(a, d)) = Lie (M¨ob_d−1), les composantes non-nulles deα_a(X) sont ´egales `aα(X). Par le lemme 3.2, α(C<sub>s</sub>) = gradg<sub>s</sub>, donc α<sub>a</sub>(C<sub>s</sub>) = gradg<sup>a</sup><sub>s</sub> et l’image de α<sub>a</sub> contient L<sup>a</sup>. D’autre part, par le lemme 3.4, les ´el´ements C<sub>s</sub> engendrent Lie (M¨ob<sub>d−1</sub>) comme alg`ebre de Lie, ce qui entraˆıne que l’image deα_a est contenue dansL^a. Le cas♯(a) = 1 est ainsi d´emontr´e.

Le pas de r´ecurrence est exactement le mˆeme que pour la proposition 2.1.

Corollaire 3.6 En tant qu’alg`ebre de Lie,Lie (M¨ob_d−1)^m est, quelque soit m, engendr´ee par d´el´ements.

Preuve: Soit a = (a₁, . . . , a_m) ∈ R^m avec 0 < a₁ < · · · < a_m (donc

♯(a) =m). Par la proposition 3.5, α_a : Lie (M¨ob_d−1)^m → L^a est un (anti)- isomorphisme d’alg`ebres de Lie. Or,L<sup>a</sup> est engendr´ee, en tant qu’alg`ebre de Lie, par les dchamps gradg_s^a pour s∈S^d−1 parcourant les ´el´ements d’une base deR^d.

4 Preuve du th´ eor` eme principal

Nous allons tout d’abord rappeler un th´eor`eme de Sussmann [Su, Th. 4.1]

sous la forme simplifi´ee dont nous aurons besoin ici. Soit M une vari´et´e diff´erentiable etD ⊂Vec (M). Soit ∆_D la distribution surM engendr´ee par D, c’est-`a-dire que (∆<sub>D</sub>)<sub>x</sub> est le sous-espace vectoriel deT<sub>x</sub>M engendr´e par Ax pour A ∈ D. Supposons que les champs A ∈ D sont complets, c’est-`a- dire dont leur flot Φ^A_t est d´efini pour tout t ∈R. SoitH le sous-groupe de diff´eomorphismes deM engendr´e par les Φ^A_t pour toutA∈ D ett∈R. Soit P_D la plus petite distribution sur M qui contient ∆_D et qui est invariante par l’action deH.

Soit K une distribution sur M. Rappelons qu’une vari´et´e int´egrale de K est une sous-vari´et´e V de M telle que T_xV = K_x pour tout x ∈ V. La distributionK estint´egrablesi tout point deM appartient `a une vari´et´e int´egrable deK. La relation “ˆetre dans une mˆeme vari´et´e int´egrale” engendre alors une relation d’´equivalence sur M dont les classes d’´equivalence sont

les feuilles d’un feuilletage. Ces feuilles ne sont pas, en g´en´eral, toutes de mˆeme dimension ; l’exemple standard est donn´e par les orbites d’une action d’un groupe de Lie sur une vari´et´e. Le th´eor`eme de Sussmann [Su, Th. 4.1], lorsque les champs deDsont complets (c’est le cas si, par exemple, siM est compacte), prend la forme suivante :

Th´eor`eme 4.1 (Sussmann) Soit D ⊂ Vec (M) form´e de champs com- plets. La distribution P_D est int´egrable et ses feuilles sont les orbites de l’action deH.

Le corollaire suivant est bien connu des sp´ecialistes (voir [Mo, p.230]) mais ne semble pas ˆetre ´enonc´e explicitement dans la litt´erature.

Corollaire 4.2 SoitD ⊂Vec (M)form´e de champs complets. Soientx, y∈ M. Les deux conditions suivantes sont ´equivalentes :

(i) x et y sont joignables par une ∆_D-courbe.

(ii) x ety sont joignables par une courbe qui est une succession de trajec- toires de champs de D.

Preuve: Il est banal que (ii) entraˆıne (i). R´eciproquement, soitcune ∆_D- courbe joignantx `a y. Comme la distribution P<sub>D</sub> contient ∆<sub>D</sub>, la courbe c est aussi uneP<sub>D</sub>-courbe. Elle est donc contenue dans une feuille deP<sub>D</sub>. Par le th´eor`eme de Sussmann, les pointsx ety sont dans la mˆeme orbite deH, ce qui est ´equivalent `a la condition (ii).

Nous pouvons maintenant entreprendre la d´emonstration du th´eor`eme principal. Soit G:= G(a, d). Soient x, y deux points de (S<sup>d−1</sup>)<sup>m</sup> joignables par une ∆<sup>a</sup>-courbe. Rappelons que ∆<sup>a</sup>= ∆<sub>D</sub>pourD={gradg<sub>s</sub><sup>a</sup>|s∈S<sup>d−1</sup>}. Les champs gradg<sub>s</sub><sup>a</sup> sont complets puisque (S<sup>d−1</sup>)<sup>m</sup> est compacte. Par le corollaire 4.2, il existe une courbe reliant x `a y qui est une succession de trajectoires de champs deD. Par la proposition 3.5, les ´el´ements de Dsont des champs fondamentaux de l’action deG sur (S^d−1)^m. Les points x ety sont dans une mˆeme orbite pour l’action deG.

R´eciproquement, soitz∈(S^d−1)^m. Consid´erons l’application diff´erentiable β:G→(S^d−1)^m donn´ee par β(g) :=g z, dont l’image est l’orbite dez.

Soiente₁, . . . , e_d∈S^d−1une base deR^d. Par la proposition 3.5, il existent d ´el´ements C_e^a_i ∈ Lie (G(a, d)) tels que α_a(C_e^a_i) = gradg^a_ei. Ces champs C_e^a_i engendrent Lie (G(a, d)) en tant qu’alg`ebre de Lie (voir la preuve du corollaire 3.6).

La courbe t 7→ exp (tC_e^a_i)g z dans (S^d−1)^m repr´esente donc le vecteur tangent grad_gzg^a_ei. Le champ surGinvariant `a droiteC<sub>e</sub><sup>a</sup><sub>i</sub>correspondant `aC_e^a_i est doncβ-reli´e au champ gradg^a_ei. Comme lesC_e^a_i engendrent Lie (G(a, d))

en tant qu’alg`ebre de Lie, les champs C<sub>e</sub><sup>a</sup><sub>i</sub> engendrent Lie<sup>−</sup>(G), l’alg`ebre de Lie des champs invariants `a droite sur G. Comme les valeurs des champs de Lie<sup>−</sup>(G) engendrent l’espace tangent T<sub>g</sub>G en tout g ∈ G, le th´eor`eme de Chow ([Gr, §0.4], [Be, th. 2.4 et §2.5], [Mo, Ch. 2]) implique queG est connexe par courbes qui sont des successions de trajectoires des champs C_e^a_i. L’image de telles courbes parβ ´etant des ∆^a-courbes, on en d´eduit que l’orbiteG z dez est connexe par ∆^a-courbes.

Remarque 4.3 Changement de la mtrique riemannienne. Le fibr tangent (S^d−1)^m se dcompose en somme directe T(S^d−1)^m = (T S^d−1)^m. Si l’on munit (S^d−1)^m de la mtrique riemanienne pour laquelle k(v₁, . . . , v_m)k = P_m

j=1a_jkv_jk, la distribution ∆^a pour cette nouvelle mtrique est gale celle, dans la mtrique standard, pour le bras de typea= (1, . . . ,1) etG(a, d) est alors isomorphe M¨ob_d−1.

5 Cons´ equences du th´ eor` eme principal

Soit f^a : (S^d−1)^m → R^d un bras articul´e, avec a = (a1, . . . , am). La proposition 5.1 ci-dessous est une cons´equence banale du th´eor`eme principal.

Proposition 5.1 Supposons qu’il existei, javeca_i =a_j. Soitz(t)∈(S^d−1)^m, t ∈ [0,1], une ∆^a-courbe. Si z_i(0) = z_j(0), alors z_i(t) = z_j(t) pour tout t∈[0,1].

Le th´eor`eme principal entraˆıne que les invariants par transformations de M¨obius, appliqu´es auxz<sub>i</sub> correspondants `a des segments de mˆeme longueur, sont invariants par ∆^a-courbes. Cela donne toute une famille d’int´egrales premi`eres (constantes du mouvement) des ∆^a-courbes.

Par exemple, si d= 2, trois points z₁, z₂, z₃ ∈S¹ qui sont deux `a deux distincts d´eterminent une orientation O(z<sub>1</sub>, z<sub>2</sub>, z<sub>3</sub>) de S<sup>1</sup>, d´efinie comme le sens de parcours tel que le chemin allant dez1 `az3passe parz2. Pour quatre z_i ∈S¹ distincts, on a le birapport

b(z_i, z_j, z_k, z_l) = zi−z_k z_i−z_l

zj−z_l z_j−z_k ∈R

(ce birapport est r´eel puisque les quatrez_i sont sur un mˆeme cercle).

Pour d = 3 et quatre z_i ∈ S² distincts, on a le birapport complexe bC(z_i, z_j, z_k, z_l) ∈C d´efini de la fa¸con suivante. On choisit une transforma- tion de M¨obiusσ deR³∪ {∞}qui envoieS² sur le plan horizontal, identifi´e avec C, telle queσ :S² →C pr´eserve l’orientation. On peut alors d´efinir

bC(zi, zj, z_k, z_l) := σ(z_i)−σ(z_k) σ(z_i)−σ(z_l)

σ(zj)−σ(z_l) σ(z_j)−σ(z_k) ∈C.

Enfin, pourd >3, on a lebirapport faible b₊(z_i, z_j, z_k, z_l) := |z_i| − |z_k|

|z_i| − |z_l|

|z_j| − |z_l|

|z_j| − |z_k| ∈R_>0,

qui est un invariant de M¨ob_d−1 (voir [Bn, p. 32]). Ces invariances donnent imm´ediatement la proposition suivante.

Proposition 5.2 Soit f^a: (S^d−1)^m→R^d un bras articul´e.

(a) Supposons que d= 2. Soient i, j, k avec a_i =a_j =a_k. Soient z(t) ∈ T^m, t ∈ [0,1] une ∆^a-courbe. Supposons que et z_i(0) 6= z_j(0) 6= z_k(0) 6= zi(0). Alors, pour tout t, on a zi(t) 6=zj(t) 6= z_k(t) 6= zi(t) et l’orientation O(z_i(t), z_j(t), z_k(t))est constante.

(b) Soienti, j, k, laveca_i =a_j =a_k=a_l. Soientz(t)∈T^m,t∈[0,1]une

∆^a-courbe. Si les quatre points initiaux zi(0), zj(0), etc, sont tous distincts, ils le restent tout au long de la ∆^a-courbe et

1. si d= 2, le birapport b(zi(t), zj(t), z_k(t), z_l(t)) est constant.

2. si d= 3, le birapport complexe bC(z_i(t), z_j(t), z_k(t), z_l(t))est constant.

3. pour tout d≥2, le birapport faible b+(zi(t), zj(t), z_k(t), z_l(t)) est con- stant.

5.3 Dans le cas a = (1, . . . ,1) et d = 2 ou 3, les birapports permettent d’obtenir des invariants complets pour la connexit´e par ∆^a-courbes. La sit- uation est r´esum´ee par le tableau suivant. Un tiret dans la colonne de droite veut dire une condition vide, donc toujours vraie. Soit doncf^a : (S^d−1)^m→ R^dun bras articul´e de typea= (1, . . . ,1). Soientz⁰, z¹∈(S^d−1)^m.

m d Condition ´equivalente `a l’existence d’une

∆^a-courbe joignantz⁰ `az¹

2 ≥2 –

3 2 _O(z⁰1, z⁰2, z⁰3) =O(z¹1, z2¹, z3¹)

3 ≥3 –

4 2 b(z⁰₁, z₂⁰, z₃⁰, z⁰₄) =b(z¹₁, z₂¹, z₃¹, z¹₄) 4 3 bC(z⁰₁, z₂⁰, z₃⁰, z⁰₄) =bC(z₁¹, z¹₂, z₃¹, z₄¹)

≥4 2 ^O(z

0

1, z2⁰, z3⁰) =O(z1¹, z2¹, z3¹)et

b(z⁰1, z⁰2, z⁰3, z⁰_j) =b(z1¹, z2¹, z¹3, z_k¹)pourk= 4. . . , m.

≥4 3 bC(z⁰₁, z₂⁰, z₃⁰, z⁰_j) =bC(z₁¹, z¹₂, z₃¹, z_k¹) pour k= 4. . . , m.