1S1 Devoir n° 6 maison vendredi 15 novembre 2013 Exercice 1:
Exercice 9 page 190
EFG est un triangle quelconque.
Le point I est tel que−−→
GI = 1 3
−−→GF . Le point H est l’image de E par la translation de vecteur −−→
FE . Le point O est le milieu de [EG].
a) Faire une figure.
b) En se plaçant dans le repère ( F ; −−→
FG ; −−→
FE ), démontrer que les points I, O et H sont alignés.
Exercice 2:
Exercice 12 page 190
ABCD est un carré de côtéa(a >0)
On considère les deux triangles équilatéraux DCE et DAF.
Démontrer que les droites (AC) et (EF) sont parallèles en vous plaçant dans le repère orthonormé ( A ; −−→
AB ;−−−→
AD ).
A B
D
C E
F
/ / /
/
/
/
Exercice 3:
Un artisan fabrique des objets. Il ne peut pas en produire plus de 70 par semaine. On suppose que tout objet fabriqué est vendu.
Le coût de production dexdizaines d’objets, en milliers d’euros, est modélisé par la fonctionf , définie sur l’intervalle [0 ; 7]. Sa courbe représentative est donnée en annexe.
1. a. Par lecture graphique, donner le coût de production de 50 objets.
b. Par lecture graphique, donner le nombre d’objets produits pour un coût de 3 000 euros.
2. Chaque objet est vendu 120 euros. On noteg(x) la recette obtenue par la vente dexdizaines d’objets, en milliers d’euros.
a. Justifier queg(x) = 1,2x.
b. Tracer dans le repère de l’annexe la droiteDd’équationy= 1,2x.
c. Par lecture graphique, déterminer à quel intervalle doit appartenirxpour que l’artisan réalise un bénéfice.
3. On admet que la fonctionf est définie, pourxappartenant à l’intervalle [0 ; 7], par f(x) = 0,15x2+ 0,4x+ 0,6.
Le bénéfice réalisé par la production et la vente dexdizaines d’objets en milliers d’euros, est modélisé par une fonctionBdéfinie sur l’intervalle [0 ; 7].
a. Montrer queB(x) =−0,15x2+ 0,8x−0,6.
b. Dresser, en le justifiant, le tableau de variation de la fonctionB.
c. Pour quel nombre d’objets fabriqués et vendus le bénéfice est-il maximum ?
1
ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8
O
C
2
1S1 Devoir n° 6 correction vendredi 15 novembre 2013
Exercice 1: ( 9 page 190 ) EFG est un triangle quelconque.
Le point I est tel que−−→
GI =1 3
−−→GF . Le point H est l’image de E par la translation de vecteur−−→
FE . Le point O est le milieu de [EG].
a) Faire une figure.
b) En se plaçant dans le repère ( F ;−−→
FG ;−−→
FE ), démontrer que les points I, O et H sont alignés.
F G
E
I
H
O
Dans le repère ( F ;−−→
FG ; −−→
FE , nous avons immédiatement les coordonnées des points F, G et E : F ( 0 ; 0), G ( 1 ; 0) et E ( 0 ; 1).
Calculons les coordonnées des points I, H et O :
−−→GI = 1 3
−−→GE ⇔−→
FI =2 3
−−→FG donc les coordonnées de I sont 2
3; 0
. Le point H est l’image de E par la translation de vecteur−−→
FE . donc −−→
EH =−−→
FE ou encore −−→
FH = 2−−→
FE . Les coordonnées de H sont donc (0; 2).
Le point O est le milieu de [EG] donc ses coordonnées sont :xO=xE+xG
2 =1
2 etyO=yE+yG
2 =1
2. Calculons les coordonnées des vecteurs −−→
IO et−−−→
OH pour conclure.
−−→IO 1 2−2
3=−1 1 6 2−0 =1
2
−−−→OH 0−1 2=−1
2 2−1
2=3 2
Nous constatons que−−−→
OH = 3−−→
IO . Les vecteurs−−−→
OH et −−→
IO sont colinéaires donc les points I, O et H sont alignés.
3
Exercice 2: ( 12 page 190 ) ABCD est un carré de côtéa(a >0)
On considère les deux triangles équilatéraux DCE et DAF.
Démontrer que les droites (AC) et (EF) sont parallèles en vous plaçant dans le repère orthonormé ( A ; −−→
AB ;−−−→
AD ).
A B
D
C E
F
/ / /
/
/
/
Dans le repère ( A ;−−→
AB ; −−−→
AD , nous avons immédiatement les coordonnées des points A, B, C et D : A ( 0 ; 0), B ( 1 ; 0), C (1 ; 1) et D ( 0 ; 1).
Calculons les coordonnées des points E et F :
Le triangle DCE est équilatéral donc l’abscisse de E est1 2. L’angle (−−−→
DC,−−→
DE ) est égal àπ
3 donc la hauteur EH du triangle DCE est égale à cos π
3
=
√3 2 Nous en déduisons que l’ordonnée de E est 1 +
√3 2 .
De même, Le triangle DFA est équilatéral donc l’ordonnée de F est 1 2. L’angle (−−−→
AD,−−→
AF ) est égal à π
3 donc la hauteur FK du triangle DFA est égale à cos π
3
=
√3 2 Nous en déduisons que l’abscisse de F est−
√3 2 . Calculons les coordonnées des vecteurs−−→
AC et −−→
FE pour conclure.
−−→AC 1 1
−−→FE 1
2+
√3 2 1 +
√3 2 −1
2=1 2+
√3 2
Nous constatons que−−→
FE = 1 2+
√3 2
!−−→
AC . Les vecteurs−−→
FE et −−→
AC sont colinéaires donc les droites (AC) et (EF) sont parallèles.
4
1S1 Devoir n° 6 correction vendredi 15 novembre 2013 Exercice 3:
1. a. Le coût de production de 50 objets est de 62 euros.
b. Pour un coût de 3 000 euros on produit 29 objets.
2. a. Chaque objet est vendu 120 euros doncxdizaines d’objets sont vendus 120×10x= 1200xeuros, c’est à dire 1200x
1000 = 1,2xmilliers d’euros.
b. DroiteDd’équationy= 1,2xsur la feuille annexe.
c. Pour que l’artisan réalise un bénéficexdoit appartenir à l’intervalle [9 ; 43].
3. a. Le bénéfice est égal au prix de vente desxobjets 1,2x, auquel on retranche le coût de productionf(x).
B(x) = 1,2x−0,15x2−0,4x−0,6 =−0,15x2+ 0,8x−0,6
b. Pour dresser, en le justifiant, le tableau de variation de la fonctionB, on détermine la forme canonique : B(x) =−0,15x2+ 0,8x−0,6 =−0,15(x2− 0,8
0,15x+ 0,6
0,15 =−0,15(x2−16
3x+ 4) =−0,15
"
x−8 3
2
−64 9 +36
9
# . d’oùB(x) =−0,15
"
x−8 3
2
−28 9
#
=−0,15
x−8 3
2
+ 7 15
Comme le coefficient dex2est négatif la courbe est dirigée vers le bas et admet un maximum égal à 7 15 lorsquex=8
3.
x −∞ 8
3 +∞
f ✒
7 15❅
❅❅❘
c. 8
3×10≃27 donc le bénéfice est maximum pour 27 objets fabriqués.
0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6 7 8
O
