Prolongement de données à partir de mesures en surface

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Prolongement de données à partir de mesures en surface

Thouraya Baranger, Stéphane Andrieux

To cite this version:

Thouraya Baranger, Stéphane Andrieux. Prolongement de données à partir de mesures en surface. 8e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2007, Giens, France. �hal-01504289�

5HYXH9ROXPH;±Qƒ[DQQpHSDJHVj;

3URORQJHPHQW GH GRQQpHV j SDUWLU GH

PHVXUHVHQVXUIDFH





$SSOLFDWLRQVHQpODVWLFLWpHWHQPpFDQLTXHGHODUXSWXUH





7KRXUD\D1%DUDQJHU ²6WpSKDQH$QGULHX[ 



* LaMCoS, INSA-Lyon, CNRS UMR5259, F69621, France ;Université de

Lyon, Lyon, F-69003, France; Université Lyon 1, Villeurbanne, F-69622,

France

[email protected].

** LaMSID, UMR EDF-CNRS 2832

1, avenue du général de Gaule 92 141 Clamart, France

[email protected]



RÉSUMÉ. On présente une méthode de prolongement de données dans un solide à partir de

mesures surabondantes en surface. Ce problème, dit problème de Cauchy, est un problème inverse mal posée. La méthode est basée sur la minimisation d’une fonctionnelle d’erreur en énergie dépendant des données manquantes. On présente d’abord la formulation du problème, puis deux applications pour illustrer l’efficacité de la méthode. Le premier exemple concerne un problème d’indentation tridimensionnel, le second un problème d’identification du facteur de concentration de contrainte dans une fissure.

$%675$&7In this paper we present a method for expanding data inside a solid by using overspecified ones measured on a part of the solid boundary. This problem, known as Cauchy problem, is ill-posed. The method is based on the minimization of an energy error function depending on the unknown data. First the formulation of the problem is presented, and then two applications are presented to illustrate the robustness of the method. The first example is concerned with three-dimensional indentation problem and the second one is concerned with the identification of stress factor in a crack.

MOTS-CLÉS: Problème de Cauchy, Identification, Elasticité, Mécanique de la rupture,

Prolongement de données.

KEYWORDS: Cauchy problems, identification, Elasticity, Linear fracture mechanics, expanding

data.

5HYXH9ROXPH;±Qƒ[DQQpH ,QWURGXFWLRQ /HSUREOqPHGH&DXFK\UHFRXYUHGHIDoRQJpQpUDOHODTXHVWLRQGXSURORQJHPHQW G¶XQHQVHPEOHGHIRQFWLRQVGHYDQWVDWLVIDLUHjGHVpTXDWLRQVGHFKDPSF¶HVWjGLUH ODQXOOLWpGHO¶DFWLRQG¶XQRSpUDWHXUGLIIpUHQWLHOAHWSRXUOHVTXHOOHVVRQWFRQQXHV VXUXQHYDULpWpVGHGLPHQVLRQLQIpULHXUHjO¶HVSDFHGDQVOHTXHORQVHSODFHFRXUEH HQ'VXUIDFHHQ'OHVGRQQpHVVXUDERQGDQWHVYDOHXUVGXFKDPSHWYDOHXUVGHV FRQGLWLRQV DX[ OLPLWHV QDWXUHOOHV DVVRFLpHV j O¶RSpUDWHXU A 6L OHV SUREOqPHV GH &DXFK\ VRQW ELHQ SRVpV SRXU FHUWDLQV RSpUDWHXUV HW FHUWDLQHV YDULpWpV SUREOqPH j FRQGLWLRQVLQLWLDOHVHQpODVWRG\QDPLTXHRXSRXUO¶pTXDWLRQGHODFKDOHXULOVVRQWHQ JpQpUDOPDOSRVpV WRXW SDUWLFXOLqUHPHQWSRXU OHVRSpUDWHXUVHOOLSWLTXHVpODVWLFLWp pTXDWLRQ GH FRQGXFWLRQ VWDWLRQQDLUH &HV SUREOqPHV IRUPHQW XQH FODVVH GH SUREOqPHV LQYHUVHV LQWpUHVVDQWH SRXU GH QRPEUHXVHV DSSOLFDWLRQV 2Q SHXW DLQVL UHFKHUFKHU j SDUWLU GHV GRQQpHV VXUDERQGDQWHV VXU XQH SDUWLH GX ERUG G¶XQ VROLGH GHVFRQGLWLRQVDX[OLPLWHVVXUGHVERUGVLQDFFHVVLEOHVVXUOHERUGG¶XQHLQFOXVLRQ RXG¶XQHVXUIDFHLQWpULHXUHFRQQXHF¶HVWOHSUREOqPHGHFRPSOpWLRQGHVGRQQpHV 2Q SHXW DXVVL V¶LQWpUHVVHU GLUHFWHPHQW DX FKDPS GDQV OH VROLGH FRQWUDLQWHV j O¶LQWpULHXU G¶XQ VROLGH pODVWLTXH GRQW OHV FRQGLWLRQV DX[ OLPLWHV VRQW LQFRQQXHV RX LPSUpFLVHV $SSURFKHYDULDWLRQQHOOHGXSUREOqPHGHSURORQJHPHQWGHGRQQpHV 2QV¶LQWpUHVVHLFLDX[pTXDWLRQVGHO¶pODVWRVWDWLTXHOHVSUREOqPHVGHFRQGXFWLRQ VWDWLRQQDLUHVVRQWDERUGpVGDQV$QGULHX[et al2QFRQVLGqUHXQVROLGH pODVWLTXHΩ, GRQWOHERUGHVWVpSDUpHQWURLVSDUWLHVVDQVUHFRXYUHPHQW  Ω Γb Γ_i Γm Tm UmN UmT " b Γi 

)LJXUHGéométrie pour les problèmes de Cauchy en élasticité



 6XU OD SUHPLqUH QRWpH _Γm OH YHFWHXU FRQWUDLQWH Tm HW OH FKDPS GH

GpSODFHPHQWUm_{VRQWFRQQXVFHVHURQWOHVGRQQpHVGH&DXFK\O¶LQGLFHm}

UDSSHODQWTXHFHVGRQQpHVVRQWHQJpQpUDOLVVXHVGHPHVXUHV

 6XU OD GHX[LqPH SDUWLH_Γb RQ GLVSRVH GH FRQGLWLRQV DX[ OLPLWHV XVXHOOHV

FRQQXHV GpSODFHPHQW RX YHFWHXU FRQWUDLQWH 6DQV SOXV GH GpWDLO QRXV QRWHURQVFHVFRQGLWLRQVGHIDoRQDEVWUDLWHSDUBu b₌ 

3URORQJHPHQWGHGRQQpHVjSDUWLUGHPHVXUHVHQVXUIDFH

 (QILQVXUODWURLVLqPHSDUWLH_ΓiQLOHVWUDFWLRQVVXUIDFLTXHVQLOHFKDPSGH

GpSODFHPHQWQHVRQWGRQQpV

/H WHQVHXU GH ULJLGLWp pODVWLTXH $ pWDQW VXSSRVp FRQQX GDQV WRXW OH VROLGH OH SUREOqPHGH&DXFK\HVWDORUVOHVXLYDQW

Etant donnés : Les champs de vecteur contrainte (tractions surfaciques) Tm et de déplacement Um sur Γm,et le vecteur b des conditions aux limites sur Γb.

Déterminer les champs de traction surfacique Ti et de déplacement Uisur Γi, tels

qu’il existe un champ de déplacement u dans le solide vérifiant les équations d’équilibre élastique et les conditions sur Γb et Γm

            0 ε ε Γ Γ ε Γ = Ω ­ ° _{= =} ° ® = ° ° _{= =} ¯ A A A u u n T u U u b u n T u U m m m b i i i div dans sur B sur sur    >@ 2QYDFRQVWUXLUHXQHIRUPXODWLRQpQHUJpWLTXHGXSUREOqPHGH&DXFK\$QGULHX[

et al.  VD VROXWLRQ VHUD FKHUFKpH VRXV OD IRUPH GH OD PLQLPLVDWLRQ G¶XQH

IRQFWLRQQHOOH GX FRXSOH Ti_{ U}i_{  3RXU FHOD HW DILQ G¶H[SORLWHU OHV GRQQpHV}

VXUDERQGDQWHV VXUOH ERUG_ΓmRQ LQWURGXLWGHX[FKDPSVGHGpSODFHPHQW u1HWu2

VROXWLRQVGHSUREOqPHVpODVWLTXHVGLUHFWVELHQSRVpV        0 ε Γ Γ ε Γ = Ω ­ ° ₌ ° ® = ° ° ₌ ¯ A A 1 1 1 1 u u U u b u n m m b i div dans sur B sur sur τ         0 ε ε Γ Γ Γ = Ω ­ ° ₌ ° ® = ° ° ₌ ¯ A A 2 2 2 2 u u n T u b u m m b i div dans sur B sur sur υ  >@ /HSUHPLHUHVWVROXWLRQG¶XQSUREOqPHGDQVOHTXHORQXWLOLVHO¶XQHGHVGRQQpHV VXUDERQGDQWHVUm_VXUΓ mHWXQFKDPSGHYHFWHXUFRQWUDLQWHTXHOFRQTXHτVXUΓi 3RXUOHVHFRQGSUREOqPHRQXWLOLVHO¶DXWUHGRQQpHVXUDERQGDQWHTm_VXUΓ mHWXQ

FKDPSGHGpSODFHPHQWTXHOFRQTXH_υVXUΓi/HFKRL[GHFRQGLWLRQVPL[WHVSRXU

FHV GHX[ SUREOqPHV DVVXUH XQH VROXWLRQ XQLTXH j FKDFXQ G¶HX[ ORUVTXH OHV FRQGLWLRQV VXU_Γb QH VXIILVHQW SDV SRXU EORTXHU OHV GpSODFHPHQWV ULJLGLILDQWV 2Q

UHPDUTXH DORUV TXH VL OHV FKDPSV_{υ HWτLQWURGXLWVFRQGXLVHQWDXPrPHFKDPSGH} GpSODFHPHQW v u1 u2 OH SUREOqPH GH &DXFK\ HVW UpVROX 

= , Ti =τ , Ui =υ

u v 2QREWLHQWODIRUPXODWLRQYDULDWLRQQHOOHGXSUREOqPHGH

&DXFK\ HQ LQWURGXLVDQW XQH IRQFWLRQQHOOH G¶pFDUW HQ pQHUJLH D VXU OHV FRXSOHV GH FKDPSVu1u2  T Ui i₌ PLQ   Arg E τ,υ    >@ DYHF       _{ }     _{       }   E D ε ε Ω = =

³

[ ]

+RUPLV OH IDLW TX¶HOOH FRQGXLW GLUHFWHPHQW j XQH PpWKRGH GH UpVROXWLRQ SDU PLQLPLVDWLRQO¶LQWpUrWGHFHWWHIRUPXODWLRQGHSUREOqPHGH&DXFK\UpVLGHGDQVOHV SURSULpWpVVXLYDQWHVGHODIRQFWLRQQHOOHE

5HYXH9ROXPH;±Qƒ[DQQpH a) EHVWXQHIRQFWLRQQHOOHSRVLWLYHFRQYH[HHWTXDGUDWLTXH b)6LXQFRXSOHGHFKDPSV τυDQQXOHEDORUV L u uRRRHVWXQGpSODFHPHQWULJLGLILDQW LL u1HVWODVROXWLRQGX3UREOqPHGH&DXFK\>@ c)(SUHQGXQHIRUPHQHIDLVDQWLQWHUYHQLUTXHGHVWHUPHVGHERUG                        m u m m E ε dΓ ε dΓ Γ Γ =

³

³

&HWWH GHUQLqUH H[SUHVVLRQ GH E HVW LQWpUHVVDQWH j GHX[ WLWUHV 6XU OH SODQ PpFDQLTXH HOOH PRQWUH TXH PHVXUHU O¶pFDUW HQ pQHUJLH F¶HVW pJDOHPHQW PHVXUHU XQ pFDUWHQWHUPHGHWUDYDLOPpFDQLTXHVXUOHERUGGXGRPDLQH6LO¶RQFRPSDUHFHWWH H[SUHVVLRQjFHOOHG¶XQHDSSURFKHDX[PRLQGUHVFDUUpVPL[DQWpFDUWHQFRQWUDLQWHHW pFDUWHQGpSODFHPHQWRQFRQVWDWHTX¶LFLO¶HUUHXUVXUOHVGpSODFHPHQWVHVWSRQGpUpH SDUO¶HUUHXUVXUOHVWUDFWLRQVVXUIDFLTXHVOHVTXDQWLWpVGXDOHVVRQWWUDLWpHVGHIDoRQ V\PpWULTXH HW DXFXQH FRHIILFLHQW G¶DGLPHQVLRQDOLVDWLRQ Q¶DSSDUDvW 6XU OH SODQ SUDWLTXH RQ SUpIpUHUD FHWWH H[SUHVVLRQ TXL QH QpFHVVLWH SDV G¶LQWpJUDWLRQ VXU OH GRPDLQHPDLVXQLTXHPHQWVXUXQHSDUWLHGHVRQERUG3DUDLOOHXUVOHVTXDQWLWpVTXL DSSDUDLVVHQW VRQW DVVH] QDWXUHOOHPHQW GLVSRQLEOHV GDQV XQ FRGH GH FDOFXO DX[ pOpPHQWVILQLVIRUFHVQRGDOHVHWGpSODFHPHQWVQRGDX[6XUOHSODQDOJRULWKPLTXH ODPLQLPLVDWLRQGHEHVWHIIHFWXpHJUkFHjXQHPpWKRGHGHUpJLRQGHFRQILDQFHSRXU SDOOLHUDX PDXYDLVFRQGLWLRQQHPHQWHQJpQpUDOGX+HVVLHQGHEG€DXFDUDFWqUH PDOSRVpGXSUREOqPHGH&DXFK\VHQVLELOLWpDX[GRQQpHV

/D IRUPXODWLRQ SURSRVpH SHUPHW GH GRQQHU XQH LQWHUSUpWDWLRQ pQHUJpWLTXH j OD PpWKRGH GH UpVROXWLRQV DOWHUQpHV GH .R]ORY et al.  7UqV XWLOLVpH GDQV OD OLWWpUDWXUH HOOH V¶DYqUH rWUH XQH PpWKRGH GH PLQLPLVDWLRQ GH E SDU GLUHFWLRQV DOWHUQpHV$QGULHX[et al%DUDQJHUet al. GHFHIDLWRQDFRQYHUJHQFH GHODPpWKRGHXWLOLVpHLFLDYHFGHSOXVGHVSHUIRUPDQFHVWUqVVXSpULHXUHV

. $SSOLFDWLRQV

3RXULOOXVWUHUO¶HIILFDFLWpGHODPpWKRGHGHX[H[HPSOHVVRQWSUpVHQWpV/HSUHPLHU FRQFHUQH O¶LQGHQWDWLRQ G¶XQ VROLGH ILJXUH , /HV VXUIDFHV ODWpUDOHV VRQW OLEUHV GH WRXW HIIRUW HW SDU UDLVRQ GH V\PpWULH RQ PRGpOLVH OH TXDUW GH OD VWUXFWXUH /D IURQWLqUH_ΓL HQJOREH OD VXUIDFH LQIpULHXUH GX PDVVLI HW OD VXUIDFH VXSpULHXUH HQ

H[FOXDQWODVXUIDFHROHVPHVXUHVVRQWSULVHV/HVVXUIDFHVODWpUDOHVFRQVWLWXHQWOD IURQWLqUHΓEVXUODTXHOOHRQDSSOLTXHOHVFRQGLWLRQVDX[OLPLWHVGHV\PpWULHHWFHOOHV

GHIURQWLqUHOLEUH/HVGRQQpHVVXU_ΓPVRQWH[WUDLWHVjSDUWLUGHVUpVXOWDWVREWHQXVSDU

XQH UpVROXWLRQ SDU pOpPHQWV ILQLV GX SUREOqPH GLUHFW G¶LQGHQWDWLRQ /D ILJXUH ,, SUpVHQWH OHSURILOGXGpSODFHPHQW X]UHOHYp VXU OHVERUGV HW2QUHPDUTXHXQH

ERQQH DGpTXDWLRQ HQWUH OHV GpSODFHPHQWV LGHQWLILpV HW OHV YDOHXUV H[DFWHV /HV ILJXUHV,,,HW,9SUpVHQWHQWOHSURILOGHODFRQWUDLQWHσ]]UHOHYpVXUOHVERUGVHW

DLQVLTXHODGLDJRQDOH/HVFRQWUDLQWHVLGHQWLILpHVSUpVHQWHQWXQHERQQHDGpTXDWLRQ DYHFOHVYDOHXUVH[DFWHVREWHQXHVjSDUWLUGXPRGqOHpOpPHQWVILQLV

3URORQJHPHQWGHGRQQpHVjSDUWLUGHPHVXUHVHQVXUIDFH



)LJXUH,Exemple 3D. Géométrie )LJXUH,,Profil de uz exact etLGHQWLILp 

 

)LJXUH,,,Profil de σ]]exact etLGHQWLILp )LJXUH,9. Profil de σzz exact et identifié



/H VHFRQG H[HPSOH FRQFHUQH XQH SODTXH DYHF XQH ILVVXUH YRLU ILJXUH 9 2Q FKHUFKHjLGHQWLILHUOHIDFWHXULQWHQVLWpGHFRQWUDLQWH2QVXSSRVHFRQQXOHVXSSRUW GH OD ILVVXUH HW SDU UDLVRQ   GH V\PpWULH RQ PRGpOLVH OD PRLWLp GH OD SODTXH /HV GRQQpHV VXUDERQGDQWHV VRQW H[WUDLWHV j SDUWLU GHV UpVXOWDWV G¶XQH PRGpOLVDWLRQ SDU pOpPHQWVILQLVGXSUREOqPHGLUHFW

'HX[ PRGqOHV GX SUREOqPH LQYHUVH RQW pWp FRQVLGpUpV OH PRGqOH  FRQVLVWH j FRQVLGpUHUOHGRPDLQHFRQVWLWXpSDUOHVWURLV]RQHVHWjFRPSOpWHUOHVGRQQpHVVXUOD IURQWLqUH_ΓLVXSSRUWGHODILVVXUH/HPRGqOHFRQVLVWHjFRQVLGpUHUOHGRPDLQH

FRQVWLWXpGHV]RQHVHWVHXOHPHQWHWjFRPSOpWHUOHVGRQQpHVVXUODIURQWLqUH_ΓL

/DILJXUH9,SUpVHQWHOHFKDPSGHGpSODFHPHQWVLGHQWLILpXYHWOHFKDPSH[DFW

XHYHGDQVOHFDVGXPRGqOH2QUHPDUTXHXQHERQQHFRUUpODWLRQHQWUHOHVGHX[

FKDPSV/HWDEOHDX,SUpVHQWHOHVIDFWHXUVLQWHQVLWpGHFRQWUDLQWHHQPRGH,pYDOXpV jO¶DLGHGXSUREOqPHGLUHFWHWGHVGHX[SUREOqPHVLQYHUVHVHWVXUWURLVFRQWRXUV GLIIpUHQWV2QUHPDUTXHLFLDXVVLXQHERQQHFRUUpODWLRQDYHFODYDOHXUDQDO\WLTXH

5HYXH9ROXPH;±Qƒ[DQQpH



)LJXUH9Géométrie du modèle )LJXUH9,Champs de déplacements 

._LpYDOXpVXUOHFRQWRXU_L ._03DP_{ .}

03DP .03DP

3UREOqPHGLUHFW0()    3,0RGqOH]RQH    3,0RGqOH]RQHHW    7DEOHDX , Comparaison des facteurs de concentration de contrainte évalue à partir du

problème direct et du problème inverse. La solution analytique donne K=57.6633 MPaP

&RQFOXVLRQ /DPpWKRGHGHSURORQJHPHQWSDUPLQLPLVDWLRQG¶XQHHUUHXUHQpQHUJLHV¶DYqUH WUqVSHUIRUPDQWHVXUGHVDSSOLFDWLRQV'RXSUpVHQWDQWGHVVLQJXODULWpV/¶H[WHQVLRQ jGHVSKpQRPqQHVGpSHQGDQWGXWHPSV(QILQSRXUHQYLVDJHUGHVDSSOLFDWLRQVSOXV UpDOLVWHVLOHVWQpFHVVDLUHGHV¶LQWpUHVVHUjODUREXVWHVVHYLVjYLVGXEUXLWGHPHVXUH HWG¶pWXGLHUOHVFDVjSHWLWQRPEUHGHGRQQpHV %LEOLRJUDSKLH $QGULHX[6%DUDQJHU71DQG%HQ$EGD$©6ROYLQJ&DXFK\SUREOHPVE\PLQLPL]LQJDQ HQHUJ\OLNHIXQFWLRQDOªInverse Problems %DUDQJHU71DQG$QGULHX[6©$QRSWLPL]DWLRQDSSURDFKIRUWKH&DXFK\SUREOHPLQOLQHDU HODVWLFLW\ª-0XOWLGLVFLSOLQDU\2SWLPL]DWLRQWRDSSHDU $QGULHX[671%DUDQJHU71DQG$%HQ$EGD$©'DWDFRPSOHWLRQYLDDQHQHUJ\HUURU IXQFWLRQDOªC.R. Mécanique

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