Systèmes de types purs et substitutions explicites

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Romain Kervarc

To cite this version:

Romain Kervarc. Systèmes de types purs et substitutions explicites. Logique en informatique [cs.LO].

École normale supérieure de Lyon, 2007. Français. �tel-01232508�

These

envued'obtenirlegradede

Do teur de l'É olenormalesupérieurede Lyon

danslaspé ialité informatique

préparéeauLaboratoiredel'InformatiqueetduParallélisme

autitredel'é oledo toraledeMathématiquesetInformatiquefondamentale

présentéeetsoutenuepubliquementle15février2007

parRomain CyrilKervar

Syst 

emes de types purs

et substitutions expli ites

sousladire tiondeM.PierreLes anne,

aprèsavisdeM me

DeliaKesner&M.RalphMatthes,rapporteurs,

devantla ommissiond'examenforméede:

M me

DeliaKesner, professeurdesuniversités, rapporteur,

MM.RalphMatthes, hargédere her heshabilité, rapporteur,

MM.RenéDavid, professeurdesuniversités, examinateur(président),

SYSTÈMESDETYPESPURSETSUBSTITUTIONSEXPLICITES

Systèmes de types purs

et substitutions expli ites

Thèse de do torat

Ratioetoratio...

RCM.TulliusCi ero

Ilestd'usagedepla erentêted'unethèsequelqueslignesdestinéesàmanifesteraux

diversespersonnesde sonentouragesa re onnaissan e, sous une forme parfois légère,

parfois ryptique,maissin ère.Voi idon ,dansunsemblantd'ordren'ayantrienàvoir

ave eluidu œur,quelquesdédi a es.

Unenvironnementdetravailplaisantestd'ungrandse oursaulongd'unethèse,etje

souhaite remer ierà eproposledire teurduLaboratoire d'Informatique etdu

Parallé-lisme,Jean-Mi helMuller,toujoursaimableeta essible;lesse rétairessi ompétentes,

souriantes,eÆ a eset ompréhensives,enparti ulierCorinneIafrateetSylvieBoyer.

Ensuiteviennentlesdiérents obureaux,égalementdo torantsaulip,quej'aieuau

oursde es années de thèse, etque je remer ietous pour leur présen eami ale etles

dis ussions variées que nous avons pu avoir ensemble: David Teller,Étienne Lozes,

DamienPous,StéphaneLeRoux,AurélienPardon.

Nombreuxsontlesmembresdulipquimériteraientd'êtrementionnési i,etjelesprie

dem'ex userdenepouvoirtousles iter.Jenommerai ependantlesmembresdel'équipe

de re her he plume,dont je faisais partie, etqui, par leurs ommentaires en groupe de

travailetlesdis ussionsplusinformellesouami alesque nousavonspuavoir,ontbien

gagnémesremer iements:JeanDuprat,TomHirs howitz,etsurtoutDanielHirs hkoff,

àquij'adressetoutemagratitudepoursonsoutienetsagrandegentillesse.

Àproposdel'ouv ertureauxautresdis iplines,toujoursenri hissante,jesouhaite

re-mer ierSa haBourgeois-Girondedem'avoirpermisdesuivresonséminairede

philoso-phieanalytiqueetdemonterunséminaire ommunentrenosdeuxunités.

Pour on lure ettepartiedesremer iements on ernantlare her he,toutema

grati-tudevaégalementauxmembresdemonjurydesoutenan e:RenéDavid,quiabienvoulu

leprésider, PhilippeDeGroote, quia a eptéd'enfaire partie,ettoutparti ulièrement

Delia Kesner et Ralph Matthesqui, ayanta eptéd'être rapporteurs, ont rempli ette

fon tionave une ons ien e professionnelledigned'élogesetunesprit onstru tif;

en-n,lederniermembre demonjury,mondire teur dethèse,PierreLes anne,méritetout

naturellementsapartderemer iementspouravoira eptéd'en adrermathèse.

Mathèseayantéténan éeparuneallo ation ouplée,j'aieuleprivilèged'enseigner

duranttroisansentantquemoniteurnormalienàl'É olenormalesupérieuredeLyon,au

départementdemathématiquesetinformatique.Mespenséesvontdon toutnaturellement

àSimoneDurand,l'indispensablese rétairededépartement,auxpersonnesave quij'ai

travaillépourles oursquimesonté hus,enparti ulierSylvieBoldo,etàtouslesélèv es

despromotions2002à2004del'É oleàquij'aieul'o asiond'enseignerquelque hose,

ave un lind'œilémuàlapromotion2003, elleàquij'aidonnémontoutpremier ours,

travail,ainsiqueleur ontenu,prisdansmesdis iplinesfavorites,enontfaitdesmoments

inoubliablespourmoi,etjeremer iemesélèv espourl'assiduitéetl'intelligen edontils

faisaientmontre(mêmelevendredimatinàhuitheures),pouravoirpubliédanslejournal

desélèv esmonsujetde partielde ré riture( hoseinédite,età l'honneurde laquelle je

suissensible),etpourd'autres hosesen ore–bref,pourleurbonesprit.

Par ailleurs, en tant ette fois- i qu'étudiant, je souhaite remer ier les enseignants

del'ÉNSdont j'aipusuivreles oursaulongde mas olarité etdemathèse,ave une

mentionspé ialepourledépartementdeslanguesdirigéparM me

Ran urel,dontj'aisuivi

ave plaisirles oursdelittératureanglaise;pourlesautres langues,mesremer iements

vont à Pierre Deshusses et Frau Renz pour elle de Goethe, à la SignoraMiliti et au

SignorePinnapour elledeDante,àJenn yJofferpourlesuédois,ettoutparti ulièrement

àTerada-senseietOno-sensei,dontles oursnousontfaitdé ouvrirtantlalanguequela

ulture,toutesdeuxpassionnantes,duPaysduSoleillevant.

Si je n'ai jamais édé à la lassitude qui guette parfois le do torant, 'est sans nul

douteave l'aidede eux quime font lagrâ e de ompterau nombrede mes amis. Je

ommen erai par deux dèles parmi les dèles, que je onnais depuis le ollège et le

ly ée,SimonCaubetetAnneLe a heux,dontlaprésen erégulièreàmes tésmalgré

ladistan equinousséparedepuis desannées estpourmoi inestimable;etpar Vin ent

Langlois,quifutmon olo atairedurantnotres olaritéàl'ÉNSLyon,etquej'aitoujours

grandplaisiràretrouver,ainsiquesasœurAline.

Lalogique estune dis iplineissuede laphilosophie,etj'aieu l'avantage d'avoirà

mes tés,pendanttouteladuréedemathèse,unedèleamiepourreprésenter ettealma

parensave autantd'éruditionque depétillan e:AudeBandini.Parmimes ondis iples

àl'ÉNS, ertains sonttout ommemoi restésàLyonpouryfaireleur do torat,etnotre

petite so iété fut durant es années un havre de ré onfort au milieu des grains que le

do torant ne manque pasd'essuyer, e quifait qu'il serait trop longd'énumérer toutes

les raisons que j'ai de remer ier Jérme Joubert et Nathalie Blan , Vin entMirabet,

FrançoisLux etCarolineGenre (ave une mentionparti ulièrede ettedernière);sans

oublierlarelève:JohannesHagmann.

Ladistan en'ea epasles liens d'amitié,n'empê hepasmêmede dis uter autour

d'une tasse de thé, boisson pour laquelle Jérme H´enin partage ma vénération,ou

en- ore de se retrouverà l'o ation entre an iens lyonnais, omme Olivier Lafon, Alexis

Peau elle etCharlotte Labalette (sans oublierleur petite Sophie), Jill Avazeri, Claire

deBro heDes Combes etAnne Artero. J'ai également une petite pensée pourla

mé-moiredeBrunoReyssat.

Parailleurs,despresques ondis iples,jeunesmaisintrépidesfa eaux aïmans,

mé-ritentleurpartderemer iementspourleuramitiérafraî hissante:DavidLefran ,Étienne

Du hesne,SattisvarTandabany,JulienSein,CélineColson,CamilleHo hedez.

Le passage à Lyon lors de ma soutenan e de Lu a Marsella, que j'avais onnu à

mesamisErasmusde equ'ilsm'ontapporté:SilvioPirandello,KatiaRunser,Ni olas

de Saint-Romain, Anne-LaureChartier,Carole Chomelde Varagnes,Kathrin Pfl¨uger,

ClaudiaSilvestriDemandt,Lu reziaGorini,MariaErlandsson,JorgeGar ´iaOn ins.À

tous,dankes hön,graziemille,thankyou,ta k,gra ias,danku,gratias.

L'ÉNS permet également à ses étudiants de seretrouver dans de nombreux lubs,

dans mon asliés àlamusiqueetau spe ta le, permettantde se hangeragréablement

lesidéesunsoirparsemaine,etj'enremer ieleursmembres,outre euxmentionnésplus

hautpourd'autresraisons.L'Or hestrerassembledesétudiantsdel'ÉNS,deCentraleet

deSupdeCo,etje iteraiplusparti ulièrementAntoninFradin,SylvainLatour,

Anne-LiseRi hard,maisaussiCyrilPeters hmitt,Vin entDu ros,SébastienAeberli,Gaëlle

Guignard,Cé ileLavergne,SéverinTreille.LaFanfaredel'ÉNSpermetégalementde

libérer ertainsinstin ts hezlemusi ien, equerésumesonmotto:«plusdebruit!»,et

jenommeraispé ialementS ooby,Jésus,Simoun,GrandLaurent,Élise,Marge.La

Cho-rale est un plaisirhebdomadaire,partagé ave de nombreusespersonnes,dont son hef

Jean-FrançoisLeMar´e hal,EudesHartemann,Jean-Claude Didelot,Marie-Madeleine

Fiers,JulieVermeille,MarieDevautour.LeClubThéâtre donnel'o asion de monter

surs ènedevantsesélèvesailleursqu'ensallede ours,etjeremer iespé ialementJulie

Denud,MaximeFeyeux,GuillaumeDumazer,CélineBerni,MartinVallon,Sarah

Jas-sionnesse,JorisMithalal,etnosmetteursens ène,NadineDouriaudetSéverinePuel.

Durantlandemathèse,unpré ieuxsoutienmefutapportéparBruno,Jean-Baptiste,

Xavier,JérémyetleP.Mi helCa aud,etjelesassurei idetoutemagratitude.

Enn,je on lurai esremer iementsen onsa rantunparagrapheàmafamille,dont

les membresm'onttoujoursentouréetsoutenu,eten premierlieumes parents,àquije

doistantquejenepeuxdireque esimplemot,multapau is:mer i.

J'adresseégalementmesremer iementsàmes ousinsgermains:Gaëlle,Yann,Pierre,

Thomas,François,ainsiqu'àtousmes on les,tantes,et ousins,etenparti ulierau Dr

Rolf et ChristianaS hmidt-Seyfangpour leurs en ouragements età ma ousineKaren,

dontlavenueàLyonfutunrayondesoleilpendantlandemaréda tiondethèse.

Enn,jeremer ie vivementpour leur soutienmoral mes deuxgrand-mères :Rosa,

ferv enteépistolièredequij'aireçudenombreuseslettresd'en ouragement,etMi heline,

dontlegrand ouragedevantlesépreuvesmefutunexempleàsuivre,etj'adresseave

une pensée émue une dédi a eparti ulière à mes deux grands-pères, qui m'ont quitté

avantl'aboutissementde ettethèse.

Introdu tion 1

Chap. premier – Généralités 7

1. - al ul 9

1.1. Dénition . . . 9

1.2. Expli itationdeméta-opérations . . . 15

1.3. Ordreré ursifde hemin . . . 21

2.  

- al ultypé 22

2.1. TypageàlaCurryouàlaChur h. . . 23

2.2. Le- ube . . . 26

2.3. Typespourles al ulsàsubstitutionsexpli ites . . . 28

3. Systèmesdetypespurs 29

3.1. Dénitionet ara téristiques. . . 30

3.2. Propriétésgénérales . . . 34

3.3. Constru tiondu- ubeensystèmesdetypespurs . . . 36

Chap. ii – Systèmesdetypespursexpli ites 41

1. Dénition 43

1.1. Historique . . . 43

1.2. Syntaxeetrédu tion . . . 44

1.3. Typage . . . 59

2. Parti ularitésremarquables 72

2.1. Lagured'inféren ed'expansion . . . 72

2.2. Leprédi at«pseudo-sorte» . . . 79

3.2. Rédu tiondusujet . . . 95

3.3. Conservationdelanormalisationforte . . . 123

Chap. iii – Systèmesdetypespursetséquents lassiques 129

1. Le ¯ ˜ ¯ ˜ ¯  - al ul˜ 131 1.1. Historique . . . 131 1.2. Syntaxeetrédu tion . . . 132 1.3. Séquentsettypage . . . 134

2. Systèmesdetypespurspourle ¯ ˜ ¯ ˜ ¯ - al ul˜ 137 2.1. Syntaxeetrédu tion . . . 137 2.2. Typage . . . 142

2.3. Corre tiondestypes . . . 145

3. Propriétésremarquables 146

3.1. Lemmesd'inféren edetypes . . . 147

3.2. Rédu tiondusujet . . . 149

3.3. Normalisationforte . . . 151

Con lusion 159

Annexe a – Index 165

Indexdesgures,tablesetdérivations . . . 167

Indexdesdénitions . . . 168

Indexdesénon és . . . 170

Annexe b – Glossaire 173

Annexe – Bibliographie 177

Introdu tion

R

Lathéorie destypes esta tuellement onsidérée ommeun outil

fondamen-tal en informatique, arelle établit unlien entrela logique d'unepart et la

pro-grammationd'autrepart, equipermetdeproduiredeslangagesde

programma-tionparti ulièrementintéressants,quiallientlapuissan ede al uld'unlangage

Turing- ompletàlarigueurdelalogique,laquellepermetvialestypesasso iésà

haqueprogrammed'assurerque elui- ivérie ertainespropriétés.

Ainsi,si l'on onsidèrepar exemple des langagesfon tionnels de la famille

ml,onpeutgarantirgrâ eautypage ertainespropriétés:sil'onaunefon tionu

detypeint!bool,onestassuréquesi ettefon tionestappliquéeàunargument

n de type int, l'évaluation de l'expression u(n) s'a hèvera en un temps ni, et

produiraunevaleurdetypebool.Legrandavantagede etteappro heestque ette

propriétépeutêtrevériéelorsdutypage,don avantd'exé uterleprogramme.

Danstous eslangagesdeprogrammation,ilexisteuneséparationnetteentre

l'univers destermes ( 'estainsique l'onnommelesprogrammes enthéoriedes

types) etl'univers destypes : es derniersformentune atégoriesyntaxique

au-tonome, onstruite à partir de types élémentaires (les entiers, les booléens, les

ottants, et .)etde onstru teurs(typesfon tionnels,typesproduits,listes,et .),

et ils se pla ent au-dessus des termes. Dans es langages, être un type est une

simplepropriétésyntaxique.

En e qui on erne les termes, en revan he, bien que eux- i soient dénis de

manière assez analogue aux types au moyen de termes élémentaires (variables,

onstantes, listevide, et .) etde onstru teurs(abstra tionfon tionnelle, ajoutà

uneliste,appli ation,et .),ainsique,dans ertainssystèmes,detypes,lasimple

orre tionsyntaxiquenesuÆtpas:ilfautégalementunevéri ationdetype,qui

assure que lesdiérents élémentsdu programme respe tentbien les ontraintes

de types qui leur sont asso iées, et qui, en outre, produit également le type du

programme.

Onsetrouvealorsengénéral onfrontéàdeuxproblèmesalgorithmiques

prin- ipaux :la véri ationdetype etl'inféren e detype, quipeuvents'énon er

res-pe tivement ommesuit:

– étantdonnésuntermeMetuntypeT,Ma-t-illetypeT?

– étantdonnéuntermeM,Ma-t-iluntype,et,sioui,quelest-il?

Ces deux problèmessont en général dé idablesdans les langages ee tivement

implantés.Toutefois,ilexistediverssystèmesdetypesoù elan'estpasle as.

Onpeutnaturellementsedemanderpourquoi onsidérerdetelssystèmes,où

permettradon devérierdespropriétésplusnes:eneet,ilestpatentqueplus

lathéorielogiquesous-ja enteàunsystèmedetypesestpuissante,pluslavariété

des propriétés que l'on pourra vérier syntaxiquement au moyen du typage est

grande–et,malheureusement,plusles han esd'indé idabilitéaugmentent.

Pour revenir à l'exemple des langages de la famille ml, ertaines propriétés

nepeuventpas êtrevériéesau moyendetypes. Ainsi,sil'on onsidèreun

pro-grammemanipulantdeslistesd'entiers,ilexisteradesprogrammesbientypésqui

sur ertainesdonnéesproduirontuneerreur: sifestune fon tionquiàune liste

asso ielavaleurdeson12 e

élément,etsis estunelistedetaillei<12,

l'expres-sionf(s)serabientypée,etpourtantsonexé utionaboutiraàuneerreur.Celaest

dûaufaitquelorsquel'ontypes,onsaitquel'onaaaireàuneliste,maisonne

disposed'au uneinformationsursataille.

Uneidéenaturellepourrésoudre eproblèmeestl'adjon tiond'une

informa-tionautypedes:aulieudese ontenterd'indiquerquesestunelisted'entiers,

onindique que s estune liste denentiers, où nest une expression àvaleur

en-tière, et l'on obtient ainsi e que l'on appelle un type dépendant d'un terme. Il

apperttoutdesuiteque,sil'onimposepas, omme 'estle asi i,quensoitune

onstante,labarrière syntaxique entretermesettypes s'eondre,etilest

né es-saired'introduiredanslestypes unevéri ationdetype:êtreun typen'estplus

unesimple propriétésyntaxique, ar ilfaut vérierque haque dépendan ea le

typeadéquat.

Unefois estypesdépendantsintroduits,l'onserend omptequela

onstru -tionfon tionnellehabituelle ! n'estplus suÆsante. Eneet, sil'on dispose de

telstypes,onpeutvouloirquelafon tionkquiànasso ieunelistedenéléments

initialisésà0soitdotéed'untypeindiquantquek(n)estunelistedenentiers, e

qui,à yregarderde plusprès,impose quelavaleur del'argument(etnon

seule-mentsontype)interviennedansletypedurésultat, equenepermetpaslaè he.

Onajoute don une onstru tion appeléeproduitdépendant, sous laforme d'un

quanti ateurquel'onnote.

Intuitivement,sifestdetypea:U:V(a)(oné ritV(a)pourindiquerque ette

expressionpeutdépendredea),etsixestdetypeU,alorsf(x)seradetypeV(x) .La

fon tionk i-dessuspourradon avoirpourtypen:int:(intlist n

).Naturellement,

dansle asoùleproduitdépendantestdelaformex:A:B, ave Bnedépendant

pasde x, on retrouvele type ! habituel. D'unpoint de vue logique,le produit

Comme on l'a mentionné plus haut, il onvient, dans un système de types

dépendants,devérierlabonneformationdestypes,aumoyend'unjugementde

typageanalogueà eluid'unterme. L'idéepeutalorssemblernaturelled'ajouter

une onstantedetypetype:demêmequ'avantuntermeMpouvaitêtreunentier

(«Mestdetypeint»),unelistedeottants(«Mestdetypeoat»),unefon tion

des booléens dans eux-mêmes (« M est de type bool!bool »), un terme peut

maintenant de sur roît être un type (« M est de type type »). En outre, il faut

donneruntypeàtype,etl'onpeutalorsdé réterquetypeestdetypetype.Untel

systèmefutintroduitparP.Martin-L¨ofen1971. Malheureusement,ils'estavéré

que e système était in ohérent (i.e. on pouvait y trouver un programme ayant

pourtypel'absurde 1

), ommel'amontréJ.-Y.Girarddans[45℄.

Pourpallier e problème,quiest liéà la ir ularitédel'assertionque «type

est detype type »,il suÆtenfait d'introduireplusieurs onstantes detypes. En

général,onenintroduitdeux:l'une,,tientlerledetype i-dessus,( 'estletype

destermestypes,i.e.destermesquitypentdestermes)tandisquel'autre,,sertà

typer( 'estletypedestermesquitypentdestermestypes),etestelle-mêmenon

typable.Parlasuite,onpeututiliser es onstantes,quel'onnommesortes,pour

déterminer lesdiérentes dépendan esque l'onsouhaitepermettre entretermes

ettypes,etl'onpeutenintroduireplusdedeux.Lesdiérentssystèmesdetypes

pouvant être ainsi obtenus sont groupés au sein d'un mêmeformalisme sous le

nomgénériquedesystèmesdetypespurs.

L'élégan e et la sobriété desdits formalismes étant grandes, et leur pouvoir

d'expressivité élevé, vient alors naturellement l'idée d'étendre es systèmes à

d'autres al uls que le - al ul usuel. On peut envisager diérents types

d'ex-tensionpossible:uneextensionàunevariantesyntaxiquedu- al ul,lebutétant

alorsd'obtenirunethéoriedestypesidentiqueà elledessystèmesdetypespurs,

i.e.s'interprétantenlogiqueintuitionnisted'ordresupérieur,pourle al ul

onsi-déré; ou en ore une extension à un al ul autre que le - al ul, présentant des

mé anismesdetypagediérents,pourobtenirdessystèmesdetypespursdansun

autre adrelogique,parexemplelalogique lassique.

Cettethèseétudiediérentesextensionsde ettenotiondesystèmesdetypes

purs, prin ipalement à des al uls à substitutions expli ites, et à des al uls de

séquents lassiques, en s'intéressant parti ulièrement à la préservation des

pro-priétésde essystèmes.

1

Le premier hapitre, essentiellement historique, présente tout d'abord le

- al uldanssagénéralité,laquestiondel'expli itationdesméta-opérations,etdes

outilsusuels.Iltraiteensuitedu- al ultypédefaçongénéraleetdesappro hes

usuellesdu- ubeetdestypespourles al ulsàsubstitutionsexpli ites.

Ledeuxième hapitreprésenteun extensiondes systèmes detypespursà un

al ulà substitutions expli ites inspiré du x- al ul. Dans un premier temps,il

présentelesdiérentesappro hesexistantdanslalittératurepourlessystèmesde

typespursave substitutionexpli ite,ainsiquele al ulsurlequelonvasebaser

(quiest uneextensionde xreposant surun al ulintroduit dans[30℄, mais

ré-solvantleproblèmeposépar edernier,quin'estpasunsystèmederé riture)et

dénitlesnouveauxsystèmesfaisantl'objetde ettepartie.Leséléments

remar-quablesde es systèmessont ensuite dis utés, parmi lesquelson peut

essentiel-lement itertrois hoses:unmé anismedere onnaissan edesortes,permettant

de larier la question de la orre tion des types rendue plus omplexe du fait

del'expli itationdelasubstitution;uneguredetypageréalisantuneexpansion

ontrléeissue d'uneappro he du typagedes substitutionsdans une optique de

synthèse de type où la substitution est onsidérée omme une opération

pares-seuse,etenn unordresurlesdérivationspermettantde raisonnerparindu tion

nonplusseulementsurdessous-arbresréelsd'unedérivation,maiségalementsur

despseudo-sous-arbresre onstruitsparl'appli ationd'unlemme(i.e.permettant

de onsidérernonladérivationee tive,maisunedérivationplus ommodeparmi

ellespossibles).Enn,onymontre ertainespropriétésde essystèmes,en

par-ti ulierlarédu tiondu sujet,toujours déli atedansle ontextedes substitutions

expli ites,etd'ailleursnonvériéedansdiverssystèmes,enparti ulierdans[9℄.

Letroisième hapitreprésentetoutd'abordunhistoriquedu ¯

- al ul,˜ dont

les jugements de type s'interprètent omme un al ul des séquents lassiques,

puisétend e al ulàunformalismeinspirédessystèmesdetypespurs,dansune

appro herésolumentsyntaxique.Onydénitdesnotionsde orre tiondestypes

etdebonne formationdes ontextesdetypage, quisont renduesdéli atespar le

fait quel'on a deux ontextes ave desdépendan es imbriquées. On étudie

en-suite ertaines propriétés usuellesdes systèmes de typespurs. Enn, on montre

unrésultatdenormalisationfortepourlestypessimples,pouvantsansdouteêtre

étenduauxtypespolymorphesetautypesd'ordresupérieur,etl'onprésenteune

te hniquepossiblepourobtenirdes résultatsdenormalisationfortepar un

en o-dagedanslesystèmedetypepurintuitionniste,lanon- onuen edu al ulinitial

étant ompenséeparl'apparitionde ontextesautourdestradu tions,laprésen e

parti u-Chapitre premier Généralités — SOMMAIRE — 1.   - al ul 9 1.1. Dénition . . . 9 1.2. Expli itationdeméta-opérations . . . 15

1.3. Ordreré ursifde hemin . . . 21

2. - al ultypé 22

2.1. TypageàlaCurryouàlaChur h. . . 23

2.2. Le- ube . . . 26

2.3. Typespourles al ulsàsubstitutionsexpli ites . . . 28

3. Systèmesdetypespurs 29

3.1. Dénitionet ara téristiques. . . 30

3.2. Propriétésgénérales . . . 34

1.  

- al ul

Dans ette partie, l'on va ee tuer un bref rappelhistorique des on eptset

des problématiques liées au - al ul, et l'on dis utera les diérents aspe tsdes

questionssyntaxiquesouopérationnellesliéesà e al ul.

1.1. Dénition

Le - al ul, inventé par A.Chur h vers 1930 ( f. [18, 17℄), pro ède d'une

volonté d'abolir la distin tion entre objets, fon tions, fon teurs, et ., et de les

onsidérertous ommedesobjetsdepremière lasse.

Syntaxe

Les termes de e al ul 2

sont dénis à partir d'un ensembleinni X de

va-riablesparlagrammairealgébriquesuivante:

M;M 0

::= x (letermeestunevariable)

j (x:M) (letermeestuneabstra tion)

j (MM 0

) (letermeestuneappli ation)

And'éviterlefastidieuxusagesystématiquedesparenthèses,on hoisit

d'adop-terles onventionsd'é rituresuivantes:

– l'appli ationestasso iativeàgau he,

R e.g.:ABCdésigne((AB)C);

– l'appli ationestprioritairesurl'abstra tion,

R e.g.:x:ABdésigne(x:(AB)); – lesabstra tionspeuventêtregroupées,

R e.g.:xyz:Cdésigne(x:(y:(z:C))).

Il existe également une autre onvention de parenthésage des -termes,

in-troduite par J.-L.Krivine ( f. e.g.[65℄), etprésentant prin ipalementl'avantage

d'êtreunivoque: M;M 0 ::= x j x:M j (M)M 0 :

Toutefois,l'autre onventionétantplususuelle,etpluspro hedel'intuition

ou-rante, 'est ellequiseraadoptéei i.

2

On peut naturellement dénir formellement une notion de sous-terme et de

sous-termepropre:

– Mestunsous-termedeM;

– Mestunsous-termepropredex:M,AMetMB;

– siMestunsous-termepropredeN,alors 'estunsous-termedeN.

Onadopteengénérallanotation M  N(respe tivementM  N) pourindiquer

queMestunsous-terme(respe tivementunsous-termepropre)deN.

Le- al ulestunparadigmedeslangagesfon tionnels,etsesdeuxopérations

élémentaires,l'abstra tionetl'appli ation,dont onvadétaillerdans equi vient

lasyntaxeetlasémantique,s'interprètententermesfon tionnels.

L'abstra tion

L'abstra tionparrapportàlavariable xpermetdepasserdel'expression f(x)

àla fon tion f.C'est l'opérationqui permetde onsidérerlesfon tions omme

desobjetsdepremière lasse: onpeutainsié rire f = x:A,oùAestun terme

représentantlavaleurde f(x)entoutegénéralité,aulieudese ontenterdedénir

lesfon tionsenextension(i.e.enlesidentiantàleurgraphe).

Onvoitainsiparexemplequex:xreprésentelafon tionidentité, etilappert

que y:y représente la même fon tion. Une telle variable située sous la portée

d'uneabstra tionestditeliée, equis'opposeauxvariableslibres.Untermesans

variablelibreestdit los.

Lestermesobtenusparrenommaged'unevariableliéesontdits- onvertibles.

La relationd'- onversion est une relation d'équivalen esur l'ensemble des

-termes,etelleestune ongruen epourl'abstra tionetl'appli ation.Ilest

né es-sairedeprendreen ompte ette onversion, equel'onpeutfairepardiérents

moyens,dontlesdeuxplususuelssont:

a. On onsidère omme termes du - al ul non les termes dénis supra,

maisleurs lassesd'équivalen epourl'- onversion,auxquelless'étendent

anoniquement l'abstra tion et l'appli ation, es opérations étant

ompa-tiblesave l'- onversion.

b. On onsidère l'- onversion omme une opération « administrative »,

qu'ilestparfoisné essaired'ee tuer«àlavolée».

Lapremièreappro heprésentel'avantaged'êtreplusformelle,tandisquela

sui-vanteseperçoitpeut-êtredefaçonplusintuitive.Danslesdeux as,l'- onversion

L'appli ation

L'appli ation, omme sonnom l'indique, permet d'appliquerune fon tionà

son argument.Toutefois, l'onpeutremarquerqu'usuellement,enmathématique,

il onvient de distinguer l'appli ation purement syntaxique d'unefon tion à un

argumentetlavaleurdel'imaged'unargumentparunefon tion–e.g.,sil'ona

f :n7!n 2

,un al ulestné essairepourpasserde f(3)à9.Cetypede al ulsera

génériquementappeléunerédu tion.

Cettequestionlatenteenmathématiqueseposenaturellementdefaçon

parti- ulièrement aiguë dansle adre du - al ul, qui,étant un al ulformel, se doit

de traiter ave la plusgrande rigueur lesmé anismes de rédu tion: il n'estpas

questiond'identierdeuxtermesdistin ts(respe tivement,letermeappliquant f

à xet eluireprésentantl'imagedexpar f),etlarelationderédu tionpermettant

depasserl'argumentdanslafon tion,i.e.permettantd'allerdutermeoùl'on

ap-plique f à x–i.e.oùl'oné rit f(x)–autermevalant f(x)–i.e.oùl'ona al ulé

f(x)–doitêtredé rite, equi onféreraau- al ulunesémantiqueopérationnelle

derédu tion.

L'opérationquiee tue epassaged'argumentestla-rédu tion,induitepar

l'axiomesuivant:

(x:M)N

! Mfx Ng

où Mfx Ngdésignele termeMoùtoutesles o urren es libres( f.supra)de x

ontétérempla éesparunsous-termeN.

Cettesubstitutionestuneopérationdénieauniveauduméta-langage

indu -tivement ommesuit:

– xfx Ng=N;

– yfx Ng=y(ave y, x);

– (y:A)fx Ng=y:(Afx Ng)(ave y<fv(N),y, x);

– (AB) fx Ng=(Afx Ng)(Bfx Ng).

Onremarquequ'ilmanqueun asdans ettedénition:le as(x:A)fx Ng.Ce

asestproblématique, arilposelaquestiondela apturedesvariables.Onvoit

fa ilement eproblèmedansunexemple.Sil'on onsidèree.g.K= u:v:u,l'on

voitque etermeestlaversion urryéedelapremièreproje tion anonique,i.e.

qu'ilreprésenteunefon tionprenantsu essivementdeuxarguments,etgardant

lepremier.Sil'onapplique etermeàunevariable,ons'attendà equelerésultat

de etteappli ationsoitunefon tion onstanteégaleàladitevariable.Maissil'on

abstra tion,seretrouvantliéeparlui:elleaété« apturée»par e;etlerésultat

delasubstitutionestl'identitéetnonlafon tion onstanteattendue.Maissil'on

avait onsidéréunterme- onvertibleàu:v:u,parexempleu:w:u,l'onaurait

évité eproblème.

And'éviterles apturesdé ritesi i,l'onemploiediérentsmoyens,suivant

lafaçondonton onsidèrel'- onversion. Sil'onsepla edansle asa. évoqué

supra,on peutsimplementdireque pourtrouverunreprésentantde la lasse du

termeissudelarédu tion,ilfautappliquer elle- iàunreprésentantbien hoisi

dela lassedutermequel'onréduit, etpar«bien hoisi»,onpeutparexemple

entendrequelereprésentantdoitrespe terla onventiondeBarendregt,quiveut

qu'unevariablelibre n'apparaissepas liée, et que deuxvariablesliées aient des

nomsdistin ts.Sil'onsepla edansle asb.,onditengénéralquel'onee tue

impli itement les - onversions requisespour éviter la apture en même temps

quel'onee tuela-rédu tion.Lesproblèmesliésà etteappro heseront

évo-quésinfra.

Propriétésdela -rédu tion

Lorsquel'onétudieunerelation ommela-rédu tion,ilestnaturelde

s'in-téresserà ertainesdesespropriétés,dontlesprin ipalesserépartissenten deux

atégories:

1°) lespropriétésde onuen epermettentde loredesdiagrammes:

– la propriétédu losange : 8x8y8z(x !y ^x !z ) 9t(y !t^z !t))

( equirevientàdirequelarelation ommuteave elle-même),

– la onuen e : 8x8y8z(x  !y ^ x  !z ) 9t(y  !t ^ z  !t)), ou

en- ore( esdeuxénon éssontéquivalents)lapropriétédeChur h-Rosser:

8u8v(u  ! v) 9w(u  !w^v  !w)),

– la onuen elo ale:8x8y8z(x !y^x !z)9t(y 

!t^z 

!t));

2°) lespropriétédenormalisationpermettentd'assureruneterminaison:

– lanormalisationforteassurequ'au untermen'admetdesuiteinniede

rédu tion,

– la normalisation faible assure que tout terme admet une suite nie de

rédu tionseterminantsuruntermeirrédu tible.

Cha unedespropriétésde haque atégorieestplusfortequelasuivante, etl'on

peutmontrerlelemmedeNewman,quiassurequ'unerelationfortement

norma-lisanteestlo alement onuentesi,etseulementsi,elleest onuente.

pro-U

!V = ((y:y)a)((y:y)a) etU

!W = (y:xx)a,maisVnepeutseréduireen

un pas qu'en a((y:y)a)ou (y:y)a)a, tandis que W nepeut se réduire qu'enun

seulterme,quiestaa.

Par ailleurs, la -rédu tion n'est pasnormalisante, ne fût- e quefaiblement,

ommeonlevoitave leterme=(x:xx)(x:xx),quise-réduituniquementà

lui-même.

La 

 - onversion

La -rédu tion induit une relation d'équivalen e, la - onversion, notée  

,

dénie ommela ltureréexive, symétriqueettransitivedela-rédu tion.Du

fait dela onuen ede ette dernière, ette onversionest enfaitidentique àla

-joignabilité#   ,déniepar:A#  

Bs'ilexisteCtelqueA   !CetB   !C.

La - onversion représente uneégalité au sens de l'appro he mathématique

du- al ul:eneet,elleidentieletermeappliquantunefon tionàunargument

et letermereprésentantl'imagede etargumentpar ettefon tion, tout omme,

pourreprendrel'exemplepré édentoù f : x7! x 2

,oné ritenmathématiqueque

f(3)=9.

Dans ette optique, il arrive que l'on onsidère le - al ul non omme un

al ulde pro essus,mais ommeunethéorieéquationnelledontla- onversion

onstituel'égalitédémontrable.

Extensionnalité

Une autre rédu tion, dite -rédu tion, permet de simplier les expressions

fon tionnelles.Elleestinduiteparl'axiomesuivant:

x:Mx



! M si xn'estpaslibredansM

etl'onpeutmontrerqu'ellerendlathéoriedu- al ulextensionnelle,i.e.que:

si 8x(Mx 

Nx), alors M 

N

– equiestfauxave laseule-équivalen e:u:yuetynesontpas- onvertibles,

étant irrédu tibles don injoignables, et ils sont néanmoins extensionnellement

égaux, arpourtoutx,(u:yu)x 

yx.

Onpeutnoterquel'extensionnalitéenquestionn'estquepurementsyntaxique:

le- al ulpeutêtreemployépourimplanterdivers al uls, ommel'arithmétique,

maisdans e as-là, ommetouslestermesnereprésententpasdesentiers,ilpeut

au-Lesindi esdeDeBruijn

L'- onversion est une méta-opération, i.e. une opération dé rite dans une

méta-théorie. Cette parti ularité fait que ette opération é happe au langage, et

s'ee tue d'une façon non ontrlée. En parti ulier, ela inue sur les résultats

quel'onmontre:ainsi,lorsqu'onénon ela onuen e(lo ale)dela-rédu tion,

l'onnemontrepasvraimentlapropriétéquel'onaentête(àgau hesurlagure

infra)maispluttuneautre(àdroitesur ettemêmegure).

00

00

00

00

00

00

11

11

11

11

11

11

00

00

00

00

00

00

00

11

11

11

11

11

11

11

β

β

β

β

*

*

*

*

αβ

αβ

*

_α

_α

*

β

β

*

*

Fig.1–Conuen edeave - onversionimpli iteetexpli ite

Enoutre, dansle - al ul ànoms,seuleune référen e ommune àun même

nom établit une onnexion entre une variable et le  la liant, e qui n'est pas

satisfaisant dans une optique d'implantation du - al ul, où, pour ee tuer les

opérationsdesubstitution,ilestné essairededéterminersiunevariableestliée,

don detrouver,étantdonnéeunevariable,s'ilexisteunlaliant.

And'éviter eproblème,N.DeBruijnaproposé( f.e.g.[27℄)unevariante

du- al ul,oùlesvariablesnesontplusindiquéesparunnom,maisparunsimple

indi eindiquant le rangdu la liantlorsqu'on remonte dansl'arbre syntaxique

duterme.Ainsi,x:(y:z:yz)xsenotera(21)1.

On supprime ainsi les diÆ ultés liées à l'- onversion en supprimant

pure-mentetsimplement ettedernière, aronintroduitunefaçon anoniquede

dési-gnerles variables. Toutefois, leprix àpayer enest élevé. D'unepart, les termes

Eneet,sil'on onsidèreparexemplelarédu tion: w:(y:z:yz)(x:w(wx))  ! w:z:(x:w(wx))z  ! w:z:w(wz)

dont les termes se transposent en al ul à indi es de DeBruijn respe tivement

omme suit(onadopte i iuneprésentationsous formed'arbres, arellepermet

de lireplus aisémentles indi es: poursavoirpar quelils sontliés,il suÆtde

remonterdansl'arbreenpartantdesfeuilles–unefeuilled'indi enétantliéepar

len e

ren ontréenremontantverslara ine):

2

1

1

@

3

1

@

@

1

@

λ

2

λ

λ

λ

λ

@

@

2

@

λ

3

@

2

1

λ

@

λ

λ

2

Onvoitbiensurlaguresupraquel'indi ereprésentantlavariablewdansle

sous-terme w:w(wz)estau départ2,puis,suiteau passagesousun ,est misà

jourà3,puis,suiteàl'éliminationparune-rédu tiondud'unrédexsituéplus

hautdansl'arbre,à2.

Enoutre, laquestiondel'indi eàdonneràdesvariableslibresest

1.2. Expli itationde méta-opérations

Comme on l'a vu pré édemment ave l'- onversion, les méta-opérations

posent problème ar elles é happent au ontrle du langage, tandis qu'il serait

souhaitable–parexempledansuneoptiqued'implantationdu- al ul,laquelle,

est-ilbesoindele rappeler,estd'ungrand intérêt,ne serait- equedansle adre

desassistants automatiques dedémonstration – depouvoir expli iter es

opéra-tions,i.e.lesintroduiredansle al ul.

Lasubstitution

Uneméta-opérationd'uneimportan eprimordialeestlasubstitution.Ilest

in-téressantdenoterque ettequestiondel'expli itationdelasubstitutions'estposée

trèstt, aronpeut déjàliredans l'introdu tiondulivre[22℄delogique

ombi-natoirede1958 deH.CurryetR.Feys quelasubstitutionest unsujet d'intérêt

majeurenlogique,etquele- al ulneletraitepas onvenablement arles

sub-stitutionsn'yfontpaspartiedu al ul.Depuis, ettequestionaétéabondamment

traitée.

L'unedespremièresétudesre ensantlesdiérents al ulsàsubstitutions

ex-pli itesproposésdanslalittératureest elledeP.Les anne,[70℄,datantde1994.

D'autressystèmesontvulejourdepuis,maisonpeuttrouverdans etteréféren e

suÆsammentdediérents al ulspourpouvoirsefaireuneidéedeleurvariété.

Les al ulsàsubstitutionsexpli itessedivisentendeuxfamillesprin ipales,

tout ommele- al ul:les al ulsàindi esdeDeBruijn,danslamouvan ede

[1,2℄ouen ore[96℄,etles al ulsànoms,dans ellede[14℄.

Naturellement, tous es al uls vérient des propriétés diérentes au

détri-ment d'autres, selon la mouvan e dans laquelle ils s'ins rivent. Il est fréquent

qu'ilfaille ainsirenon er à ertainespropriétés pourtantimportantes, omme la

simulation pas à pas de la -rédu tion, la onuen e sur les termes ave

méta-variables,lanormalisationfortedu al uldesubstitutionsetlapréservationdela

normalisation forte. On peut i i noter les travaux de R. David et B. Guillaume,

qui,dans [24, 25℄, fournissent et étudient un al ul ayant toutes es propriétés.

L'ons'intéresserai iplusparti ulièrementaux al uls onservantdespropriétés

liéesàlanormalisationforte,àproposdesquelsonpourrasereporterà[39℄.

Dans tous es al uls, on partdu onstat quela -rédu tion telle qu'elle est

habituellementprésentée:

n'est pas satisfaisante ar d'unepart, d'un pointde vue pratique, la substitution

doit bien être implantée d'une façon ou d'une autre, et d'autre part, d'un point

devuealgorithmique,larèglesupranepeutpasservirdemesureélémentairede

omplexitéd'unerédu tion, arlasubstitutionpeutêtreaussifa ilequediÆ ile,

suivantlenombred'o urren es libresdexdansB.

Ainsisurvient naturellementl'idée de dé omposerla -rédu tion en une

ré-du tion produisantunesubstitution« paresseuse»,devantêtreensuite propagée

dansletermeaumoyend'un ertainnombredepasderédu tion.

Diérents al ulsexistent, dontbeau oupsontàindi esdeDeBruijn–dans

e as, on expli ite également en général la mise à jour des indi es. On pourra

iter,parexemple,s,tet.Unautre al uls'inspirantdesindi esdeDeBruijn

estle al ul,quel'onvaexposerbrièvementi i.

Par ailleurs, il existe des al uls à noms à substitutions expli ites. Le plus

onnu, sur lequel on s'appuiera beau oup dans la suite, est le al ul x, et sa

variantex ,quiferaaprèsl'objetd'uneprésentationdétaillée.

Le- al ul

Ce al ulaétéintroduitparP.Les anne .Ilnes'agitpas d'un al ulànoms,

maisiln'emploiepasexa tementlesindi esdeDeBruijnusuels.L'undesgrands

avantagesde e al ulestlalimpiditédesasyntaxeetdesasémantique.Enoutre,

l'indispensablemiseàjourdesindi esyestee tuéeave unegrandesimpli ité.

Le al ulprésentedesur roîtl'intérêtd'êtreunsystèmederé ritureorthogonal,

e qui,sans rentrer dans des onsidérations de ré riture 3

superuesi i, est une

propriétéintéressantedans e adre.

Lasyntaxedu al ulestlasuivante:

A;B ::= n j A j AB j A[s℄

s ::= A= j *(s) j "

n 2 Nnf0g

Tout ommedansles al ulsàindi esdeDeBruijn,lesvariablessont

représen-téespardesentiers,maisau ontrairedesdits al uls,l'indi e1estliénonparle

premiersetrouvantau-dessusdelui,maisparlepremierdel'arbreenpartant

delara ine.

Lasémantiquedu- al ulestdonnéepar:

(Bêta) (A)B ! A[B=℄

(App) (AB)[s℄ ! A[s℄B[s℄

(Lambda) (A)[s℄ ! A[*(s)℄

(F-Var) 1[A=℄ ! A

(R-Var) n+1[A=℄ ! n

(F-Lift 1[*(s)℄ ! 1

(R-Lift) n+ 1[*(s)℄ ! n[s℄[" ℄

(Shift) n["℄ ! n+1

On voit que le mé anisme de miseà jour des indi es est intégré au al ulsous

laforme de deuxopérations simples, respe tivement le lifting *et leshifting ",

quipermettentde dé alerles rangsd'indi esde manièreque lasubstitution soit

orre tementpropagée.L'onpeut montrerque e systèmeest onuent, et qu'il

simule orre tementla-rédu tion.

Lexxx-etlexxx - al ul

Lex- al uletlex - al uls'appuientsurlamêmesyntaxe, quiétend elle

du- al ulparunenouvelle onstru tion:

M;N ::= x (variable)

j x:N (abstra tion)

j MN (appli ation)

j Mhx Ni (substitution)

Intuitivement, ette nouvelle onstru tion,Mhx Ni, représenteletermeM dans

lequelonsouhaiterempla erleso urren esdexparN,maisoù ettesubstitution

n'apasen oreétéee tuée.

La notion de -rédu tion est rempla ée dans es deux systèmes par la

no-tion de x-rédu tion, qui omprendun premier axiome représentant la

ontra -tiond'un-rédex(ditB),etdiversaxiomestraitantdessubstitutions,formantune

sous-notionderédu tionditex -rédu tion:

(x:A)B B ! Bhx Ai (x:A)hy Ci X ! x:(Ahy Ci ) (AB)hy Ci X ! (Ahy Ci)(B hy Ci ) yhy Ci X ! C xhy Ci X ! x

Lanotionderédu tiondansx omprendunaxiomesupplémentaire:

Mhy Ci

X

! M siyn'estpaslibredansM.

Cet axiomenepeutpasêtresimulé parlesautresaxiomesdelax-rédu tion, ar

il peutarriver qu'unesubstitutionsoitbloquée paruneautre :ainsi,siy

n'appa-raît paslibre dansAhx B i, larédu tion Ahx Bihy C i

x

!Ahx B iestpossible

dans x,mais dans x ,on ne peut paspropager lasubstitution h y C i à

l'inté-rieur du terme Ahx B i. En eet, e i requerrait un axiomede rédu tion dit de

omposition:

Ahx B ihy Ci ! Ahy C ihx Bh y C ii,

mais en général, on é arte etaxiome, aril pose de nombreuxproblèmes, que

l'onvaaborder.

Laquestiondela ompositiondesubstitutions

L'undesproblèmesprin ipauxsoulevéparl'expli itationdessubstitutionsest

eluideleur omposition.Eneet,lessubstitutionsimpli itessont

omposition-nelles,i.e.:

Afx Bgfy Cg= Afy Cgfx Bfy Cgg

e qui est unepropriété parti ulièrementintéressante, arelle permet de hoisir

l'ordredanslequellessubsitutionssontee tuées.

Dansle asdessubstitutionsexpli ites,onn'anaturellementpaségalitéentre

Ahx Bi hy CietAhy Cihx Bhy Cii .Cesdeuxtermessont ertes onvertibles,

maislorsquel'onévaluel'und'eux,onnepeutpas hoisirl'ordredanslequelon

ee tuelessubstitutions,etonnepeutpasdé iderderetarderl'unepourfavoriser

l'autre – e qui peut d'ailleurs sembler ontraire à la per eption intuitive de la

substitutionexpli ite ommeuneopération«paresseuse».

Lesproblèmesposésparl'introdu tiond'unaxiomederédu tion permettant

d'ee tuer ette omposition sont multiples. D'une part, le al ul obtenu serait

fortement divergeant, puisqu'un tel axiome hange un rédex en un autre rédex.

D'autre part, suivant les al uls, il fait apparaîtred'autres diÆ ultés, omme la

non- onuen esurlestermesouverts,oulanon-préservationdelanormalisation.

C'estpourquoiilfautengénéralse ontenterd'unesimple onvertibilitéentre

On peut i i mentionner ertaines variantes de x introduites pour essayer

de traiter un peu mieux e problème de la omposition, à savoir x et x==

( f.[11℄). Lasyntaxedex== estlasuivante:

M;M 1 ;:::;M k ::= x (variable) j x:M (abstra tion) j MM 1 (appli ation) j Mhx 1 ;:::;x k M 1 ;:::;M k i (substitutionparallèle) pourk> 0,lesx i

étantdeuxàdeuxdistin ts.

Sasémantique opérationnellede rédu tion

x==

! onsiste enl'union de

x== ! et de

==

!, respe tivement dénies omme les ltures ontextuelles des axiomes de

rédu tionsuivants: B ! (x:A)B Ahx Bi X== ! (y:A)h ~x ˜ Mi y:(Ah ~x ˜ Mi ) X== ! (AB)hx Ci Ah ~x ˜ MiB h ~x ˜ Mi X== ! x i h ~x ˜ Mi M i X== ! vh ~x ˜ Mi v sipourtouti,v, x i ==C ! Ah ~x ˜ Mih~y ˜ Ni Ah ~x;~y ˜ Mh~y ˜ Ni; ˜ Ni

Quant à x , il s'agit d'une tentative pour débarasser x== de son

parallé-lisme.Sasyntaxeestlamêmeque elledex,etsasémantiqueopérationnellede

rédu tion

x

!estdénie ommel'unionde

x !et

!, ettedernièreétantdénie

ommela lture ontextuelledel'axiomesuivant:

Ahx Xihy Yi

C

! Ahx Xhy Yi i siy<fv(A).

Ces al ulsnepréserventmalheureusementpaslanormalisationforte,puisque

l'axiomede rédu tion==C (respe tivement C)transforme un rédex en unrédex.

C'estpourquoil'onpréféreras'enteniràx,quineprésentepas edéfaut.

Expli itationd'autresopérations

L'unedesautresopérationsquel'onpeutsongeràempli iterestl'-rédu tion,

ande s'attaqueraux problèmes poséspar ette opération, quel'on a présentés

au paragraphe pré édent. Comme l'a indiqué K.H.Rose dans sa thèse [83℄, la

Siles al ulsàindi esdeDeBruijntraitentsymptomatiquementleproblème

de l'- onversion impli ite, ils demeurent imparfaits,du fait d'une part de leur

lisibilité moindre (et 'est làun fa teur qu'ilfaut prendreen ompte, armême

lesassistantsautomatiquesdedémonstrationsupposentuneintera tionave

l'hu-main)etd'autrepartdufaitdulourdformalismequ'ilestné essairedemettreen

œuvrepourlamiseàjourdesindi es–lequel, sil'onveutl'expli iter,né essite

l'introdu tion d'un système de ré riture souvent omplexe, et présente

l'in on-vénient de devoir ee tuer des remises à jour d'indi es lors du pla ementd'un

termeauseind'un ontexte.Unesolutionrésidepeut-êtredansles al uls omme

, que l'on a présenté plus haut, qui sont des al uls à indi es, don sans

- onversionimpli ite,maisrestenttoutefoissimplesetlisibles.

D'autresappro hes, où l'on expli itel'- onversion dansun al ul à noms,

ommen ent àapparaître;on pourraentreautres sereporterprin ipalementaux

travauxdeM.GabbayetA.Pitts , etaussi,plusré emment,deR.Vestergaard.

Ungrandintérêtde es al ulsestqu'ilsdonnentuneidéepluspré isede eque

l'onmontreexa tementdansle adrehabituelave - onversionimpli ite,etl'on

peut ainsise rendre ompteque l'omniprésen ede l'- onversionest tellequ'il

n'est ertespassuperudesepen hersurleproblèmedesonimplantation.

Par ailleurs,on peutégalementsongerà rendreexpli itel'- onversion(que

l'on aintroduite supra). Ceproblèmeaétéétudiépar D.Briauddans[15℄,mais

esthorsdeproposi i.

1.3. Ordreré ursifde hemin

Les ordres ré ursifs de hemin (en anglais, Re ursive Path Order) sont une

lasse d'ordres bien fondés très utiles pour le raisonnement sur la

normalisa-tion forte. Introduitsdans [29℄ par N.Ders howitz et développés dans [59℄par

S.KaminetJ.-J.L´evy, ils se dénissent sur les termes de langages du premier

ordre.

Avantdeles dénir,onrappelledeux lassesd'ordressouventutiliséespour

omparerdessuitesniesd'élémentsd'unmêmeensemble:

Dénition1.1:ordrelexi ographique,ordremulti-ensemble

Soit (E;<) un ensemble partiellement stri tement ordonné. L'on note E 

l'en-semble dessuites niesd'éléments deE, et l'ondésigne par"la suitevide, par

unevirgulela on aténationdedeuxsuites.Enoutre,siw¯ 2E 

,ondénoteparjwj¯

le nombredeses éléments,et, poure 2 E, l'ondénotepar e p

lasuitede taille p

L'ondénitsurE 

deuxordresstri tspartiels, respe tivement,l'ordre

lexi ogra-phique,noté< lex

etdéniindu tivement ommesuit:

¯ w, " "< le x ¯ w a<b a;u¯ < le x b;v¯ ¯ u< lex ¯ v a;u¯< lex a;v¯

etl'ordremulti-ensemble,noté< mult

etdéniindu tivement ommesuit:

a< b p2N ¯ u;a p ;v¯ < mult ¯ u;b;v¯ ¯ u< mult ¯ v  2S j¯uj ;2S j¯vj (u)¯ < mult (v)¯ ¯ u< mult ¯ v v¯< mult ¯ w ¯ u< mult ¯ w oùS n

désignelegroupesymétriqued'ordren.

Proposition1.1:Bonnefondationdesordresdesuitesnies

Soit (E;<) unensemble partiellement stri tement ordonné. Si < est bien fondé,

alors< le x

et< mult

sontbienfondéssurE 

.

Cettepropriétéétantnotoire,onn'endonnepasi idedémonstration.

Dénition1.2:ordreré ursifde hemin

Soit un ensemble(possiblement inni) de symboles de fon tions (d'arités

di-verses)nommésignature.Onsupposequeestmunid'unordrepartiel.nommé

préséan e et d'une appli ation totale & :  ! flex;multg nommée statut. On

noteT 

l'algèbredestermesforméssurlasignature.

Ondénitalorslesrelationsbinaires> rpo

et> rpo

indu tivement ommesuit:

s> rpo s 9i2[[1;m℄℄(s i > rpo t) f(s 1 ;:::;s m )> rpo t f .g 8 j2[[1;n℄℄(f(s 1 ;:::;s m )> rpo t j ) f(s 1 ;:::;s m )> rpo g(t 1 ;:::;t n ) s> rpo t s> rpo t f=g 8 j2[[1;n℄℄(f(s 1 ;:::;s m )> rpo t j ) (s 1 ;:::;s m )> &(f) rpo (t 1 ;:::;t n ) f(s 1 ;:::;s m )> rpo g(t 1 ;:::;t n )

Proposition1.2:Bonnefondationdel'ordreré ursifde hemin

Soientunesignatureet.unepréséan esur.Si.estbienfondé,alors> rpo

est

bienfondésurT 

.

Cettepropriétéétantnotoire,onn'endonnepasi idedémonstration.

2.  

- al ul typé

une sour e de paradoxes – l'un des plus élèbres étant le paradoxe du barbier,

dé ouverten1901parB.Russell.

Uneméthode lassiquepouréviter egenredeparadoxesestl'ajoutdetypes,

théoriequeB.Russellintroduisitdans[84℄en1903,etdéveloppadansles

Prin i-piaMathemati a[85℄,ouvragequ'ilé riviten1910ave A.Whitehead,et

onsi-déré depuis, tant par les logi iens que par les philosophes, omme un ouvrage

majeurdansledéveloppementdelapenséelogique.

Le - al ul a été, au ours de son histoire, muni de nombreux systèmes de

types,quel'onpeutessentiellementdiviserendeuxgrandesfamilles:lessystèmes

àlaCurryetlessystèmesàlaChur h, equiferal'objetdupremierparagraphe.

Ledeuxièmeparagraphetraiterad'unrésultatdethéoriedeladémonstration

fon-damental dans le adre de ladémonstration automatique, qui établit une

orres-pondan eentretypageetdémonstration.Letroisième montreraune présentation

des systèmesàlaChur hlesplus onnus, où eux- isontvus omme membres

d'une hiérar hie ubique ulminantà unsystèmeparti ulièrementri he: le

al- uldes onstru tions( f.[20℄).Lele teurdésireuxdeplusamplesdétailspourra

onsulterlaprésentationgénéraleee tuéeparH.Barendregtdans[6℄àpropos

desdiérentssystèmesdetypesexistantpourle- al ul.

2.1. TypageàlaCurryouà laChur h

Ondistinguehabituellementdeuxfaçonsde donnerdestypesaux-termes :

les systèmes de types à la Curry et les systèmes de types à la Chur h. La

dif-féren e estd'ordresyntaxique:danslessystèmesà laCurry,onse ontentede

donner à un terme un type dans un ontexte assignant des types aux variables

libres,tandisquedanslessystèmesàlaChur h,onmodielasyntaxedu- al ul

enannotantlesvariablesliéesparuneabstra tionave letypeattendu.

Pourillustrer ettediéren e,onvaprésenterlesystèmedetypesleplus

élé-mentairedu- al ul,lestypessimples( f.[16℄),dansleursdeuxversions:

; ::=  j !  [Curry℄ [Chur h℄ M;N ::= x x j x:M x::M j MN MM 0

Les jugements de typages sont ensuite onstruits au moyen de gures

d'in-féren e 4

. Ces gures sont dans haque système au nombre de trois. Deux sont

ommunesauxdeuxsystèmes:

;x:` x:

(variable)

`M:! `N:

`MN:

(appli ation)

tandisquelatroisièmeestspé iqueà ha un:

;x:`M: `x:M:! (abstra tion-Curry) ;x:`M: `x::M : ! (abstra tion-Chur h).

LessystèmesàlaCurryprésententl'avantagedepouvoirdonnerplusdetypes

auxtermesreprésentantdesfon tionspolymorphes, tandisquelessystèmesà la

Chur hontpouratoutquelavéri ationdetypeyestdé idable.

Cependant, si les types simples, du fait de leur grande sobriété, peuvent se

dénirindiéremmentdanslesdeuxfamillesdesystèmes, en'estpasle asen

général,dufaitdesparti ularitésde ertainssystèmes.

SystèmesàlaCurry

Le plus usuel des systèmes n'existant a priori qu'en version de Curry est

le système des types à interse tion, dont la prin ipale diéren e ave les types

simples onsisteenl'adjon tiond'un onne teurbinairedanslelangagedestypes:

; ::=  j !  j ^,

ledit onne teurs'interprétant ommeune onjon tion 5

aumoyendesguresde

typagesuivantes: `M: `M: `M:^ (^-I) `M:^ `M: (^-É-1) `M:^ `M: (^-É-2)

Puisqu'ilestpossiblededonnerplusieurstypesàunterme–parexemple,onpeut

dériver `x:x : ( ! )^( ! ) – et que 'est là l'intérêt de e système

parrapport auxtypes simples,il appertqu'il seraitdépourvu d'intérêt, sinon de

sens,d'annoter lesabstra tionsparle typedela variableabstraite,réduisantpar

là-mêmelesystèmeàunsystèmedégénéréetpro hedestypessimples(où

sim-plementlesvariablespourraientavoirplusieurstypes).

4

Onn'utiliserapasi ilevo abulaireplususuelderèglesd'inféren epouréviterla onfusion

ave uneautrea eptionde eterme,quiseraintroduitparlasuitepourdésignerl'undeséléments

ara téristiquesdessystèmesdetypespurs.CenomdeguresestinspirédeG.Gentzen,qui,dans

sestravaux,emploieà etusagelemotS hlußguren,quel'ontraduitainsi.

SystèmesàlaChur h

LessystèmesnepouvantêtredénisquedanslaversiondeChur hsont

typi-quementdessystèmesin luantdestypesditsdépendants–i.e.destypespouvant

dépendredetermes– equiestenparti ulierle asdu al uldes onstru tions.

Dans essystèmes, ilestimpossibledetenirtermeset typesséparés:ils

ap-partiennent à unmême monde, et l'onajoute à lasyntaxe une onstru tion

per-mettantde onstruiredestypesproduits(quisontunegénéralisationdelaè he

etd'uneformedequanti ation).Ainsi,lestermessontdénisparlagrammaire

algébriquesuivante:

A;M;N ::= x

j x:A:M

j MN

j x:A:M

etletypex:A:BreprésenteletypedestermesquiàuntermeNdetypeA

asso- ient untermedetypeBfx Ng. Naturellement,si x nesurvientpasdansB, e i

équivautau type fon tionnel A!B. Par ailleurs, suivant la forme de B, on voit

bienqu'uneformedequanti ationsurxpeutseproduire.

Cessystèmesserontabordésplusparti ulièrementau§2.2,lequelsera

onsa- réau- ube.

Correspondan edeCurry-Howard(-DeBruijn)

La orrespondan edeCurry-Howard-(DeBruijn)estunrésultatfondamental

dethéoriedestypes, arelleétablitlelienentretypageetdémonstration:lestypes

sont identiésàdesformules logiques, tandis qu'untermeest onsidéré omme

unedémonstrationdesontype.

Ainsi,sil'on onsidèrelesguresdetypagedonnéesdans equipré ède,on

peut,enomettantlestermes,re onnaîtredesrèglesdelogique.

On peut ainsi établir un parallèle entre le typage d'une variable et l'emploi

d'unaxiome:

ainsiqu'entrelestypesè hesetlesappli ations: ;x:`M : `M:! ℄ ;` ;! `M:! `N: `MN: ℄ `! ` ` .

Quantau onne teur^destypesàinterse tion,ils'interprèteenpremière

ap-proximation ommeune onjon tionlogique.Toutefois, etteinterprétationn'est

pastotalementexa te, ommel'amontréentreautresJ.Hindleydans[57℄.

2.2. Le 

 - ube

Le- ube,représentésurlaguresuivante:

λ

2

λ

F

λ

P 2

λ ω

λ

F

ω

λ

P

ω λ

C

=

=

=

λ

λ

P

λ ω

λ

P

ω

Fig.2–Le- ubedeBARENDREGT

est une appro he du al ul des onstru tions où elui- i n'est plus vu omme

uneentitéindivisible,mais ommeunempilementdediérentessortesde

dépen-dan es,organisantdiérentssous-systèmesremarquablesdu al uldes

onstru -tions dans une hiérar hie tridimensionnelle formant un ube ayant à sa base le

- al ul simplement typé et à son sommet le al ul des onstru tions, que l'on

va don i iprésenter à travers le - ube,et non ommeon peut le voir souvent

ommeun al ulmonolithique.

Comme on le disait, à la basede e ube se trouvent les types simples, qui

Selon equel'onajoute,onobtientlessous-systèmesremarquablessuivants:

– lesystème2,appelé- al ulàtypesduse ondordreouen ore- al ulà

typespolymorphes, n'estenfaitautrequelesystèmeFdeJ.-Y.Girard ,et

lesystème!sonsystèmeF!,tousdeuxdatantde1972( f.[45,47℄);

– le système P peut être vu àpeu près omme l'un des systèmes de la

fa-milledeslangagesautomathdeN.DeBruijn ,datantde1980,ou ommele

systèmeLFdeR.Harper,F.HonselletG.Plotkin( f.[52℄)en1987;

– lesystèmeP2aétéétudiésous enomen1988parG.LongoetE.Moggi

dans[71℄;

– le système P! s'apparenteà un système introduit dans [82℄ en 1991par

G.R.RenardeldeLavalette;

– lesystème!n'aguèredepré édenthistorique.

et ausommetde tous essystèmes ulmine le al ul omplet, ombinantles

di-verses onstru tionsde ha un : le al uldes onstru tions,étudié en 1988par

T.CoquandetG.Huetdans[20℄.

Lessystèmes!et2peuventaussiêtredonnésenleurversionàlaCurry,et

ilexistedans[44℄uneversionàlaCurryparP.GianninietS.Ron hiDellaRo a

de !,datantde 1988.S'ilsembleégalement possiblededonner desversionsà

la Curryde !,enrevan he, il paraîtné essaired'avoir untypageà laChur h

dèsl'instantoùl'onaletypededépendan esintroduitdansPet,naturellement,

dansles al ulsle ontenant,i.e.P2,P!,etle al uldes onstru tions.

Lesquatreespè esdedépendan esdontonvientdeparlersontlessuivantes:

– lestermesdépendantdetermes;

– lestermesdépendantdetypes;

– lestypesdépendantdetypes;

– lestypesdépendantdetermes.

Les termes dépendantde termes sont à la base du systèmede typage; 'est

l'unique espè e de dépendan e existant dans !, et on la trouve dans tous les

systèmes. Ainsi, lorsque l'on déduit de F : ! et M :  que FM : , on a

onstruituntermedépendantd'unterme:letermeFMdépenddutermeM.

Lestermesdépendantde typessetrouventdansle systèmeF(ou2): ainsi,

dans esystème,onpeut onstruiredestermesdelasorte:G:8().Cestermes

vérientquelorsqu'onlesappliqueàuntypeA,letermeobtenuestGA:f Ag,

etl'onpeutainsi onstruiredestermesdépendantdetypes:letermeGAdépend

dutypeA.

obser-semblent être l'image par une même fon tion de, respe tivement,  et . Pour

pouvoirformaliser etypededépendan e,ilsuÆtd'introduiredesfon tions

pou-vant abstrairenonplusdes variables determesmaisaussi desvariabledetypes,

equefaitlesystème!.Dansdetelssystèmes,lestypesnesontplusdesimples

onstru tions d'unméta-langageinformel, maisbelet biendes onstru tions du

systèmelui-même,etl'ondisposed'untypespé ial(quel'onappeleraparlasuite

unesorte), noté,pour lesre onnaître.Les fon tionsmanipulant estypes sont

appelées onstru teurs,etl'onpeutleurdonnerdes«types»induitsparla

gram-maireK::=jK!K,quisontidentiésdanslesystèmeaumoyend'unnouveau

symbole de onstante, noté . Pour revenir au petit exemple supra, la fon tion

serait f = ::!,et fseraituntypedépendantdutype.

Enn, les types dépendant de termes sont en fait intuitivement assez fa iles

àsaisir,maissonttoutefoisdiÆ ilesàformaliser.Unexemple simple estletype

A N

!B,oùAetBsontdestypesetNestuntermereprésentantunentiernaturel.

Onintroduit ettepossibilitéenétendantlagrammairevuesuprapourles«types»

de onstru teursparK ::= jK!K jN!K,oùNestunterme.Sil'onaensuite

F : A!, et N : A un terme de type A, on obtient don en FN :  un type

dépendant du terme N. Cette dépendan e est liée à l'idée de produit artésien

pourlestypes :eneet, sipour touttermea : Aon peutformerun typeB a

,on

peutvouloir réerlafon tiona:A:B a

.Cettefon tiondevraitavoirpourtype le

produit artésien de tous les B a

.Cette notion permet d'étendre le as des types

! des termesdépendant de termes : en eet, on peutles onsidérer omme un

produit artésien où B ne dépendrait pas de a. Cette présentation intuitive des

typesdépendantsayant déjàété abordéedansl'introdu tion,l'on nes'y étendra

pasdavantage.

2.3. Typespour les al uls àsubstitutions expli ites

Une fois le al ul étendu par les substitutions expli ites, il est intéressant

d'étendreégalement lesystème detypes pour traiterlesdites substitutions. Pour

donneri iune idéede lamanièredont elaestfait,l'onvaemployerla syntaxe

dux- al ulpourluiétendrelestypessimples.

Pour des raisons de ohéren e, ons'attend à e que le terme Ahx Bi ait le

mêmetypequeletermex-équivalent(x:A)B.Or, etermesetype ommesuit:

;x:`A: `x:A:! (abs) R `B: (app)

etilsemblenatureld'introduireen onséquen elaguredetypagesuivantepour

typerlestermes ommençantparunesubstitutionexpli ite:

;x:`A: `B:

`(x:A)B :

(substitution).

Si l'on essaye de voir à quoi e typage est asso ié via la orrespondan e

de Curry-Howard(-De Bruijn), on peutobserver qu'entant la dé oration

syn-taxique,ilserévèleêtreessentiellementlarègledelogiquesuivante:

;` `

`

enlaquelleonre onnaîtune oupureendédu tionnaturelle.

De nombreux travaux sont présents dans la littérature à propos de

l'adjon -tion de la oupure aux systèmes de types du - al ul en relation à l'adjon tion

à lasyntaxe dela substitution expli ite. Onpourraentre au iter prin ipalement

lesarti les[31℄deR.DiCosmoetD.Kesneret[32℄deR.DiCosmo, D.Kesner

etE.Polonovski,ainsiquelestravauxdeR.VerstergaardetJ.Wellsdans[96℄

ou en ore de H.Herbelindans [54℄. Ces appro hes onsidèrent toutes des

par-ties du - ube,et, pour laplupart, se pla entdans le adre des al uls àindi es

deDeBruijn.Onpeutégalement iter[77,78,7℄,C.Mu˜nozetN.Bjrner

intro-duisentlesystème L

,quiétendlestypesdépendantsàun al uldesubstitutions

expli itesàindi esdeDeBruijn.Parailleurs,dans[30℄,S.Lengrand,P.Les anne,

D.Dougherty,M.Dezani-Cian aglinietS.VanBakelétendentlestypesà

inter-se tionàunevariantedux- al ul.

Onpeut par ailleursmentionner que la oupure n'est passeulement une

ad-jon tionque l'onsouhaitefaireadho aux systèmesdetypespurspour prendre

en harge la substitution expli ite, elle présente un intérêt per se, et l'on peut

d'ailleurs iter à et eet [50℄, où F.Guti´errezetB. Ruiz proposent un al ul

ave oupuredansle adredessystèmesdetypespurs,maisleurpointdevueest

i iquelquepeuéloignéduntre, arleur al uln'estpasàsubstitutionsexpli ites,

maisun al uldeséquents.

3. Systèmes de types purs

S.BerardietJ.Terlouw ont, indépendamment l'un de l'autre, fourni dans

leurstravauxen1989desméthodesgénéralespermettantd'engendrerdemanière

systématique dessystèmesde typesàla Chur hpour le- al ul.Ces méthodes

ontaboutiaux systèmesde typespurs,qui sontun formalismesimpleet élégant

permettantdedé riredenombreuxsystèmesdetypes, parmilesquelsen

parti u-lier euxditsdu- ube, ettedé ompositionhiérar hiquedu al uldes

onstru -tionsquel'onvientdeprésenter.Commeonl'amentionné, ettedé ompositiona

étéintroduiteparH.Barendregt,lequeladonnéultérieurementdans[6℄une

pré-sentationformelleetsystématiquedessystèmesdetypespurs, ainsiquedeleurs

prin ipalespropriétés.

Dans ettepartie,lele teurtrouveraunedénitiondessystèmesdetypespurs,

ainsiquela manièred'y onstruirele - ube,et enn,les propriétéslesplus

re-marquablesde essystèmes.

3.1. Dénitionet ara téristiques

Demanièreformelle,lessystèmesdetypespurssontdénis ommesuit:

Dénition1.3:systèmedetypespur;sorte,axiome,règle

Parsystèmedetypespur,onentenduntripletT=(S; A; R )vériantqueA S 2

etRS 3

.LesélémentsdeS,AetRsontrespe tivementappeléssortes,axiomes

etrèglesdusystèmedetypespurT.

Lessortes d'unsystèmedetypes pursonten faitsestypes «élémentaires»,

tandisquelesaxiomesindiquentlesrelationsexistantentre essortes. Ainsi,on

peutdistinguerdeux atégoriesdesortes:

Dénition1.4:sortestypables/terminales

SoitT=(S; A; R )unsystèmedetypespur.SoitunesortedeT.Cettesorteest

diteterminalesifgS\A= ;.Dansle as ontraire(i.e.siapparaît omme

sujetdansunaxiome),elleestditetypable.

Ladénition 1.3 ara tériseun systèmedetypes parses typesélémentaires,

lessortes,lesrelationsexistantentre estypes,lesaxiomes,etenndesrèglesqui

prendrontleur sens plus tard puisqu'elles intéressent le al ul, en imposant des

ontraintessurlesdépendan esautoriséesdanslestypes omposés.

Naturellement,à ettedénitionformelle, qui onstitue enquelquesorte une

Dénition1.5:T-expressions

Soient T = (S; A; R ) unsystème de typespur,et U un ensembleinni de

va-riables. Ondénitalorsl'ensembleE(T)desT-expressionsparlagrammaire

al-gébriquesuivante,oùlessymbolesetxdé riventrespe tivementlesensembles

dessortesetdesvariables( 2S;x 2 U):

E ::=  (sorte)

j x (variable)

j EE (appli ation)

j x:E:E (abstra tion)

j x:E:E (quanti ation)

Sur estermes,ondénitusuellementlesnotionsdevariableslibresetliées:

Dénition1.6:variableslibres/liéespourlessystèmesdetypespursimpli ites

SoitTunsystèmedetypespur.SoitMuneT-expression.

Ondénitl'ensemblefv(M)desvariableslibresdeMindu tivement ommesuit:

– fv()= ;;

– fv(x)= fxg;

– fv(x:L:M)=(fv(M)nfxg)[fv(L);

– fv(x:L:M)= (fv(M)nfxg)[fv(L);

– fv(MN)= fv(M)[fv(N).

Defaçonanalogue,ondénitl'ensemblebv(M)desvariablesliéesdeM:

– bv()= ;;

– bv(x)= ;;

– bv(x:L:M)=fxg[bv(L)[bv(M);

– bv(x:L:M)=fxg[bv(L)[bv(M);

– bv(MN)= bv(M)[bv(N).

Ondénitégalementla lassique- onversion:

Dénition1.7:- onversion

SoitTunsystèmedetypespur.L'- onversion 

estdéniesur(E(T)) 2 par: – siM= x 2 U,M  NsiN= x; – siM= 2 S,M  NsiN=; – si M=x:A:P,M  NsiN=y:B:R, ave A  BetPfx zg  Rfy zg

pourtoutzsaufunnombreni;

– siM=x: A:P,M  NsiN=y:B:R ,ave A  BetPfx zg  Rfy zg

pourtoutzsaufunnombreni;

– siM=PQ,M  NsiN=RSave P  RetQ  S .

L'- onversion étant une ongruen e, on peut onsidérer les expressions à

- onversion près – on prend en eet e parti plutt que elui de la onsidérer

informellement omme une opération administrative à ee tuer à la volée. On

raisonnealorsnon plussurles expressions,mais surleurs lassesd'équivalen e

modulo- onversion,quel'onappellelestermesdu al ul:

Dénition1.8:T- al ul

On onsidèrel'ensemblequotientT =E(T)= 

,dontlesélémentssontappelés

termesduT- al ul.L'- onversion 

étant une ongruen e,les opérationsde

E(T)(i.e.l'abstra tion,l'appli ation,laquanti ation)s'étendent anoniquement

auxtermesdeT.

Danslasuite,onadopterapourle hoixdesreprésentantsdestermesdu al ul

la onventiondeBarendregt,quistipulequ'unevariableliée–dontonpeut

tou-jourslibrement hangerle nompar- onversion–doitavoir unnomdistin t de

touteautre variable. (Enparti ulier, ela interditdefaire apparaîtreunevariable

à la fois libre et liée dans un terme, et oblige de donner à deux variables liées

distin tesdesnomsdistin ts.)

On dote ensuite le al ul sous-ja ent à un système de types pur ainsi déni

d'unesémantiqueopérationnelleparl'adjon tiondelarelationde-rédu tiondu

- al ultypéàlaChur h:

Dénition1.9:-rédu tion,- onversion

SoitTunsystèmedetypespur.La-rédu tion

!estlarelationderédu tionsur

lesT-expressionsinduiteparlarègle:

() (x:A:B)C ! Bfx Cg

où fx Cg est une substitution impli ite – i.e. Bfx Cg désigne l'expression B

où haque o urren e libre de x est rempla ée par une sous-expression C. La

- onversion,notée 

,estla ltureréexive,symétriqueettransitivede

 !.

Lesnotionssupra onstituentl'aspe t al ulatoiredessystèmesdetypespurs.

Sur ela vientse greerun aspe t logique,parle biaisde jugementsde typage,

quipeuventêtreinterprétésviala orrespondan edeCurry-Howard(-DeBruijn)

ommedesassertionslogiques.Letypages'ee tueparlemoyensuivant:

Dénition1.10:assertion, ontexte,jugement(valide)detypage

SoitTunsystèmedetypespur.