Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
I NJECTIONS , SURJECTIONS , BIJECTIONS
( JE SAIS FAIRE )
1 V OCABULAIRE USUEL DES APPLICATIONS
Je sais écrire avec des quantificateurs la définition de l’image f(A) d’une partieApar une application f et me représenter cette définition sur des figures.
1 Préciser l’image des fonctions usuelles suivantes : x7−→lnx, x7−→Arcsinx, x7−→chx x7−→1
x, et x7−→thx.
2 Déterminer l’image par la fonction tangente des ensemblesh 0,π
4 h
etπ 3 +πZ.
Je sais écrire avec des quantificateurs la définition de l’image réciproque f←(B)/ f−1(B)d’une partieB par une application f et me représenter cette définition sur des figures.
3 Déterminer l’image réciproque par la fonction tangente des ensembles suivants : [1, 4[ et
§ 1 p3
ª .
2 I NJECTIONS
Je sais définir la notion d’injectivité et l’expliquer sur des figures.
4 Soientf :E−→F une application etAune partie deE. Sif est injective, sa restrictionf Al’est-elle forcément ?
5 Les fonctions suivantes sont-elles injectives sur leur ensemble de définition ? Sur quels intervalles de longueur maximale le sont-elles chacune ? On attend ici seulement une justification graphique.
x7−→xn (n∈N∗), x7−→ |x|, x7−→sinx, x7−→thx, x7−→Arccosx et x7−→ch(2x−4).
6 Pour toute partieX deN, on pose 2X =
2x| x∈X . L’applicationX 7−→X∪2X est-elle injective surP(N)?
Lorsqueg◦f est injective, laquelle des deux applications f etgl’est aussi ? Je n’ai pas appris par cœur le résultat, je le retrouve chaque fois parce que je le comprends.
Je sais quelle implication lie les notions d’injectivité et de stricte monotonie.
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3 S URJECTIONS
Je sais définir la notion de surjectivité et l’expliquer sur des figures. Je sais différencier les propositions : « f est à valeurs dansF» et « f est surjective deEsurF». Je sais enfin qu’une application est toujours surjective de son ensemble de définition sur son image.
7 Soientf :E−→Fune application etAune partie deE. Si f est surjective deEsurF, sa restrictionf Al’est-elle deAsurF?
Lorsqueg◦f est surjective, laquelle des deux applications f etgl’est aussi ? Je n’ai pas appris par cœur le résultat, je le retrouve chaque fois parce que je le comprends.
4 B IJECTIONS
Je sais définir et relier les notions de réciproque et de bijectivité.
8 Donner l’exemple de deux ensemblesEetF et de deux applications f :E−→F etg:F −→Epour lesquelles g◦ f =IdE maisf ◦g6=IdF.
Je sais calculer la réciproque d’une composée.
9 Justifier de tête que la fonctionx7−→f p
ex−1 est bijective deR+surR+et calculer de tête sa réciproque.
Je sais décrire les trois situations du tableau de synthèse qui explique comment on doit s’y prendre concrètement pour montrer qu’une application est bijective.
10 Montrer que l’applicationX 7−→X est bijective deP(E)sur lui-même.
11 Montrer que l’application(x,y)7−→ |x|+y,x
est bijective deR2surR2.
12 Montrer que l’application qui associe à toute fonctionf :R−→Rla fonctionx7−→f(2x)est bijective deRRsur lui-même.
Je sais qu’on ne peut pas parler de l’application f−1si f n’est pas bijective, mais je sais qu’on peut en revanche toujours noterf−1(B)l’image réciproque deBpar f.
13 Soient f :E−→F une application,Aune partie deE etBune partie de F. Comparer en toute généralitéAet f−1 f(A) ainsi queBet f f−1(B)
.
Je sais expliquer par étapes comment on passe des propositions : « f est continue sur[a,b]» et « f est strictement croissante sur[a,b]» à la proposition : « f est bijective de[a,b]sur
f(a),f(b)
».
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5 C ORRECTION DES EXERCICES
1 Image dex7−→lnx: R∗
+. Image dex7−→Arcsinx: h
−π 2,π
2 i
. Image dex7−→chx: [1,+∞[.
Image dex7−→ 1
x : R∗. Image dex7−→thx : ]−1, 1[.
2 tanh 0,π
4 h
= [0, 1[ et tanπ 3+πZ
=¦p 3©
.
3 tan−1 [1, 4[
=hπ
4, Arctan 4h
+πZ et tan−1
§ 1 p3
ª
=π 6 +πZ.
4 Qui peut le plus peut le moins, donc oui, f Aest injective. Si : ∀x,x′∈E, f(x) = f(x′) =⇒ x=x′, il est tout à fait clair que : ∀x,x′∈A, f(x) =f(x′) =⇒ x=x′.
5 Dans chacune des situations suivantes, les intervalles de longueur maximale sur lesquels la fonction considérée est injective sont simplement les intervalles de longueur maximale sur lesquels elle est strictement monotone.
La fonctionx7−→xnest injective surRpournimpair, mais pas pournpair. Dans ce cas, tout de même,x7−→xnest injective surR+ etR
−.
La fonctionx7−→ |x|n’est pas injective surR, mais elle l’est surR+etR
−. La fonctionx7−→sinxn’est pas injective surR, mais elle l’est surh
−π
2+kπ,π 2 +kπ
i
pour toutk∈Z. La fonctionx7−→thxest injective surRtout entier.
La fontionx7−→Arccosx est injective sur[−1, 1]tout entier.
La fonctionx7−→chx n’est pas injective surRtout entier, mais elle l’est sur]−∞, 2]et[2,+∞[.
6 En notant f l’application étudiée : f(N) =N∪2N=N et : f
N\ 2
= N\
2
∪2 N\
2
= N\
2
∪ 2N\
4
=N, donc f n’est pas injective.
7 Non, f An’est pas forcément surjective deAsurF. La surjectivité def signifie que tout élément deF possède un antécédent parf DANSE, mais rien ne garantit qu’il en existe toujours unDANSA.
8 Penser aux fonctionsn7−→f n+1 etn7−→g
§ 0 sin=0
n−1 sin∈N∗ deNdansN.
9 La fonctionx 7−→ex est bijective deR+ sur[1,+∞[, la fonctionx7−→x−1 de[1,+∞[surR+et la fonctionp
·deR+ surR+, donc f l’est deR+surR+et sa réciproque, qui défait pas à pas le travail des trois fonctions dont f est la composée esty7−→ln y2+1
.
10 L’applicationX7−→f X est sa propre réciproque car f ◦f =IdP(N).
11 En notant f l’application étudiée, le plus simple consiste à trouver une réciproque à f. Or pour tous(x,y),(a,b)∈R2: (a,b) = f(x,y) ⇐⇒
§ |x|+y=a
x=b ⇐⇒
§ x=b y=a− |b|. Ce raisonnement montre quef est bijective deR2surR2et que l’application(a,b)7−→ b,a− |b|
en est la réciproque.
12 L’application qui associe à toute fonction f :R−→Rla fonctionx7−→f x
2
est réciproque de l’application étudiée, qui se trouve par conséquent bijective deRRsur lui-même.
13 Montrons queA ⊂ f−1 f(A)
. Tout simplement, pour tout a ∈ A: f(a) ∈ f(A), donc par définition d’une image réciproque : a∈f−1 f(A)
. Montrons quef f−1(B)
⊂B. Tout simplement, pour touty∈f f−1(B)
: y=f(x) pour un certainx∈f−1(B), ce qui signifie que f(x)∈B, et ainsi : y∈B.
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