LLEESS FFIILLTTRREESS AACCTTIIFFSS

(1)

L LE ES S F FI I LT L TR RE ES S A AC CT TI IF FS S

IV.1 ASPECTS HISTORIQUES

Les filtres électriques, inventés par Zobel dés 1923 ont permis l'extension considérable des télécommunications. Jusqu'à ces dernières années, ils étaient presque uniquement réalisés à l'aide de composants passifs doués de propriétés résonnantes : inductances, capacités, quartz…etc.

L'avènement du transistor, et plus récemment de l'amplificateur opérationnel intégré, a permis de construire des résonateurs d'un type nouveau, ne mettant en œuvre que des résistances et des condensateurs associés à ces éléments actifs. Les filtres actifs, présentent de nombreux avantages surtout dans le domaine des basses fréquences. Ils sont légers, peu encombrants et d'un coût modique.

IV.2 DEFINITION

La fonction filtrage de fréquence sert à assurer la suppression des signaux de fréquences non désirée et conserver ou même amplifier, les signaux de fréquence désirée.

Pour un signal périodique quelconque considéré comme somme d'une série de Fourier :

 



^







1

0 cos( ) sin( )

) (

n

n n t b n t

a a

t

f  

Filtrer ce signal, c'est choisir, parmi les harmoniques (les termes de la somme), ceux qu'on désire transmettre et éliminer les autres.

Les filtres se présentent sous différentes formes. Lorsqu'il n'y a pas d'amplification de la puissance du signal d'entrée par un élément actif (transistor, ALI), il est passif ; dans le cas contraire il est actif.

IV.3 ACTION DES DIFFERENTS FILTRES

Suivant le domaine de fréquences éliminées, on classe les filtres en quatre catégories : passe-bas, passe-haut, passe-bande et coupe bande.

(2)

IV.4 STRUCTURE DES FILTRES ACTIFS

Il existe un grand nombre de montages pour la réalisation des filtres actifs. Nous allons citer dans cette rubrique quelques structures typiques que l'on rencontre très fréquemment.

IV.4.1 Filtres classiques du premier ordre IV.4.1.1 Filtre passe-bas

La fonction de transfert se met sous la forme :

0

1 ) (



 

j j k

F



 ou k est une constante réelle et

w₀ est la pulsation de coupure.

(3)

IV.4.1.1.1 Diagramme de Bode













































 



















2

) log(

20 4

3 0

) (

) ( 1 log 20 log 20

log 20 )

( 1

0 0

0

2 0 2

0

 



 



 



 



dB dB

dB dB dB

dB

k F

dB k

F

k F

Arctg A

Arg k F

F k F

F

IV.4.1.1.2 Exemples

RCp R R p

F C

R R

V C R V V R

V

e

s 





 









 







1 ) ( ) ( )

//

(

) //

( 0

1 2

2 1

2

1

RCp R R p

F RCpV

V

R V R V R

e s















 





1

) 1 ( ) ( 1

1

1 2 2

1 1

IV.4.1.2 Filtre passe-haut

La fonction de transfert se met sous la forme :

0 0

1 ) (



j j k j F



 ou k est une constante réelle

et w0 est la pulsation de coupure.

w

⁽⁰⁾

–90 –45

0 w₀

Figure IV.1 : Courbes de gain et de phase FdB

w kdB

Bande passante B_p k_{dB –}3_dB

0

–20 dB / decade

w₀

Figure IV.2a : Filtre passe-bas VS

-

V_e +

R₁ C

R₂

V_S -

+ V_e

R₁

R₂

R C

Figure IV.2b : Filtre passe-bas

(4)









 





















































0 log 20

4

3 2

) 2 (

) ( 1 log 20 ) log(

20

log 20 )

( 1

0 0

0

2 0 0

 



 



 



 



dB dB

dB

k k F

dB k

F F

Arctg A

Arg k F

F F

k F















 







 ^



1 ) )(

( ) (

1 1 ) (

et 0

1 1 1 2

2 1

1 2

Cp R

Cp R R p R

F

R Cp R

Cp V R V R V V

s e









 



 

  ^



1 ) )(

1 ( ) (

et 1

1 2 2 1

1

RCp RCp R

p R F

RCpV V RCp

R V R

V R _s _e

IV.4.1.3 Filtre passe tout ou déphaseur

La fonction de transfert d'un filtre déphaseur prend les formes suivantes : p

p p p F

p p

F 









 

1 ) 1 ( ou 1

) 1

( et soit w0 = 1 où w0 est la pulsation de coupure du filtre.

w

⁽⁰⁾

+90 +45

0 w₀

Figure IV.3 : Courbes de gain et de phase F_dB

w k_dB

Bande passante B_p

= f₀ k_{dB –}3_dB

0

+20 dB / decade

w₀

Figure IV.4a : Filtre passe-haut V_S -

V_e +

R₁ C

R₂

Figure IV.4b : Filtre passe-haut -

+ V_e

R₁

R₂

C R V_s

(5)





















 2 ( )

0 1

1 1 ) (

0 0

0



 



 Arctg

F F

j j j

F

dB

Le module de la fonction de transfert ne dépend pas de la fréquence, il est constant, alors ce filtre laisse passer tout signal sans aucun affaiblissement d’où l'appellation filtre passe tout.

Le déphasage de la sortie par rapport à l'entrée varie de 0 à .









 

 











 





 

        

 

 ⁰

2 0

0 0

0

dB dB

dB F F

F

RCp p RCp

V F V V

RCpV V

s e

e



 











 





1 ) 1 ( 2

1 1

RCp p RCp

V F V V

RCpV V RCp

s e

e















 





1 ) 1 ( 2

1

Figure IV.6b : Filtre passe tout V_S -

+ V_e

R

C R

Figure IV.6a : Filtre passe tout V_S -

+ V_e

R

R C

w

⁽⁰⁾

–180 –90

0 w₀

Figure IV.5 : Courbes de gain et de phase F_dB

0 w

w0

(6)

IV.4.2 Filtres classiques du second ordre

IV.4.2.1 Structures de circuits classiques pour la réalisation des filtres IV.4.2.1.1 Structure de Rauch

0 et

or

) / 1 ( ) / 1 ( ) / 1 (

) / ( ) / ( ) / (

0 et ) / 1 ( ) / 1 (

) / ( ) / (

5 3

4 3

1

3 4

1

5 3 5 3

5 3









 









 

 









V V Z V

V Z

Z Z

Z

Z V Z V Z V V

Z V V Z

V V

Z V Z

Z V Z V V

s A

s e

A

s A

) (

) ) (

(

2 1 4 3 5 4 3 2 1

5 4 2

Z Z Z Z Z Z Z Z Z

Z Z Z p

V p p V

F

e s



 



IV.4.2.1.1 Structure de Sallen et Key

k V Z V Z

k V V Z V

V Z

Z Z

Z

Z V Z V Z V V

Z V Z V Z k V V )R (k R V R

s A

s e

A

s s

s

) 1 ( ou d'

et ) 1 ( or

) / 1 ( ) / 1 ( ) / 1 (

) / ( ) / ( ) / (

et 1

4 2 4 2

3 2

1

3 2

1

4 2

4











 

 

 











     



4 3

2 1 4 2 4 1 3

) 1

1 ( 1 1) ) ( (

) ( ) ( 1

Z Z

Z Z Z Z Z Z Z k Z k

p V

p V p

F _s

e

IV.4.2.2 Les différentes fonctions de filtrage

A partir des structures classiques de Rauch et de Sallen et Key, on peut réaliser plusieurs filtres, suite à un choix convenable des différentes impédances.

IV.4.2.2.1 Filtre passe-bas

La fonction de transfert est de type : ₂

0 0 2

2 0

) 2

(  





 

m p p

F

Ou m est coefficient d'amortissement et w₀ est la pulsation de cassure.

Figure IV.7 : Structure de Rauch

 + N -

Z₁

Z₂

Z₃

Z₄ Z₅

V_e V_s

Figure IV.8 : Structure de Sallen et Key +

- A

Z₁ Z₂

Z₄ Z₃

(k-1)R V_e

V_s R

(7)

a) Exemples

1 2 2

1 0

2 2 1 2 2

2 et 3 1

3 1 ) 1

(

C m C

C C R

p C C R p RC V

p V F

e s





 





2 1

1 2 1 2

2 1 0

2 2 1 2 1

2 1 2

1 2

2 2 et 1

) 2

( 1

) 1 ( )

(

C C

R C R C m C

C R

p C C R R p

C R C R

R R V

p V F

e s













 b) Représentation de la fonction de transfert

Figure IV.9a : FPB à Structure de Rauch V_s +

- N

R

C₁

R

R C₂

V_e V_s

R

Z2

Figure IV.9b : FPB à Structure de Sallen et Key C₂

N

- C₁

R

Z2

+

V_e R₂

R₁

(8)

IV.4.2.2.2 Filtre passe-haut

0 0 2

2

) 2

(    

m p p p F

Ou m est coefficient d'amortissement et w0 est la pulsation de cassure.

a) Exemples

2 1 2

1 0

2 2 1 2 1

2 2 1 2

3 et 1 1

3 ) 1

(

R m R

R R C

p R R C Cp R

p R R C V

p V F

e s





 





4 3

1 4 2 3

4 3 0

2 2 4 3 1

4 2 3

2 2 4 3

2 et 1 1

) 2

( 1 )

(

R R

R R R R

m R

R C

p C R R R p

R R R

C

p C R R V

p V F

e s















b) Représentation de la fonction de transfert

V_s

Figure IV.10a : FPH à Structure de Rauch +

N -

C

R₁

R₂

Ve V_s

Figure IV.10b : FPH à Structure de Sallen et Key R₄

R₂ N

R₁ +

C

R₃

Z2 - V_e

C

(9)

IV.4.2.2.3 Filtre passe-bande

0 0 2

0

2 ) 2

(  





 

m p

p p m

F

Ou m est coefficient d'amortissement et w₀ est la pulsation de cassure.

Souvent on introduit à la place du coefficient d'amortissement m, le paramètre q m

2

 1 appelé coefficient de qualité ou de surtension du filtre.

a) Exemples

) 1 2 (

q 1 et 1

2 ) 1 ( )

(

3 1 1

2 2

1 3 1

0

2 2 2 1 1

1 2

3 2

R R R

R R

R C

R R

p C R R Cp R R

R

Cp R R V

p V F

e s











 





1 2

2 1 2

1 0

2 2 1 2 1

2

1

5 , 1 q 2

et 1

) 5 , 1 2 ( ) 1

(

C C

C C C

C R

p C C R p C C

R

p RC V

p V F

e s

 





 





Vs

Figure IV.11a : FPbd à Structure de Rauch +

N -

R₁

C

R₂

R₃

V_e V_s

Figure IV.11b : FPbd à Structure de Sallen et Key 2R

N ⁺

R

Z2

- V_e

C₁

C₂

(10)

IV.4.2.2.4 Filtre coupe-bande

0 0 2

2 2 0

) 2

(  





 

m p p p F

Ou m est coefficient d'amortissement et w₀ est la pulsation de cassure et q m

2

 1 coefficient de qualité ou de surtension du filtre.

a) Exemples

4 q 1 et 1

4 1 ) 1

(

0

2 2 2





 



RC

p C R RCp

p C R V

p V F

e s



V_s

Figure IV.12 : FCbd à Structure de Rauch + -

2C

C

R/2

V_e

C

R R

P

(11)

IV.4.2.3 Filtre universel

Pour simplifier les éléments sont choisit volontairement de valeurs identiques, ce qui n'est pas le cas dans la pratique.

L'ensemble utilise un additionneur soustracteur, un additionneur et deux intégrateurs.

bande - coupe sortie 1

1 )

( ) (

bas - passe sortie 1

1 )

( ) (

bande - passe sortie 1

) (

haut - passe sortie 1

) (

2 2 2

2 2 2 4

2 2 2 3

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 1

p C R RCp

p C R p

E p S

p C R p RCp

E p S

p C R RCp

RCp p

E p S

p C R RCp

p C R p

E p S



 



 



 



 

En général on utilise un circuit intégré "quad" (quatre amplificateurs opérationnels dans un même boîtier).

Un exemple pratique est le filtre universel type AF 150 (NSC).

Figure IV.13 : Filtre universel

S₃ -

+ R

C

-

+ R

C

-

+ R

S₄ -

+ R

R R

R S₂

S₁ e

(12)

Filtre universel type AF 150 (NSC)