Atelier : raisonnement en géométrie.
1) Introduction.
Cet atelier se place dans le cadre des journées pédagogiques dont l’objet est la mise en œuvre des nouveaux programmes de 6ème. Son introduction générale inscrit clairement
l’apprentissage de la géométrie déductive dans un processus qui englobe tous les niveaux du collège à commencer par la sixième.
L’enseignement de la démonstration, du raisonnement déductif à des élèves reste une tâche délicate à mener au collège. La connaissance des différentes géométries présentes à
l’articulation école collège et des compétences enjeux dans une démonstration peuvent y aider. L'objectif de l’atelier est d'identifier ces compétences (à travers l’étude de quelques exercices issus pour la plupart de manuel scolaire) et de donner quelques pistes pour organiser cet apprentissage.
Plan de ce document : 1) Introduction.
2) Les différentes géométries.
3) L'apprentissage de la démonstration.
3.1) Les différentes tâches associées à la démonstration.
3.2) Activité de figures téléphonées.
3.3) Activité de création d'énoncé.
3.4) Associer les propriétés à des figures et des figures clés (un exemple).
3.5) Activité pour aider les élèves à appréhender un théorème de façon opératoire.
4) En conclusion.
5) Autres documents utilisés dans l'atelier.
2) Les différentes géométries.
Quelles sont les géométries mises en œuvre à l’articulation CM2-6ème ?
Deux extraits de l’introduction du manuel « Travaux géométrique en 6ème » de A.Kuzniak et C.Taveau. (disponible à l'IREM de Strasbourg) peuvent nous éclairer :
« En ce qui concerne l’enseignement de la géométrie, les programmes de 6ème ont été mis en cohérence avec les programmes du cycle 3 de l’école élémentaire. La continuité se met en place autour des objets étudiés qui restent inchangés , mais c’est le rapport à ces objets qui évolue et qui provoque une rupture de contrat.
L’enseignant de 6è va devoir assurer le passage d’une vision de la géométrie expérimentale à la géométrie de démonstration qui sera à la base de l’enseignement des mathématiques dans les classes suivantes du second degré »
« L’enseignement de la géométrie en classe de sixième constitue donc une charnière entre celui d’une géométrie surtout perceptive, dans les classes antérieures et celui d’une géométrie déductive où la démonstration joue un rôle essentiel, dans la suite du cursus scolaire.
Il s’agit donc, entre autres, de favoriser progressivement l’accès à la compréhension d’une des activités spécifiques des mathématiques que constitue la démonstration. »
On peut considérer qu'il y a trois types de géométrie :
Niveau Type de géométrie Type de validation / boite à outil géométrique
Ecole maternelle,
cycle 2 Géométrie de la perception Est vrai ce que je vois ? / L’œil Fin de cycle 2,
cycle 3 Géométrie instrumentée
Est vrai ce qui est contrôlé à l’aide d’instruments / Règle, compas, équerre, gabarit …
6ème Géométrie déductive Est vrai ce que je démontre (figure distingué du dessin) / Théorème, définition, axiomes.
(Tableau issu de l’intervention de André Pressiat à Nancy le 10 décembre 2004)
3) L'apprentissage de la démonstration.
Raisonner sur une figure, élaborer une démonstration nécessite d’accomplir des tâches cognitives variées et d’articuler différents registres de représentation. On peut envisager comme démarche d'enseignement de la démonstration au collège de donner aux élèves des activités ciblant chacune de ces compétences : c'est la démarche présentée dans cet atelier.
3.1) Les différentes tâches associées à la démonstration.
Démontrer demande plusieurs compétences liées d’une part à l’Heuristique : - Prendre en compte des éléments de la figure qui ne sont pas visibles ; - Rechercher le théorème à appliquer ;
- Analyser une figure en sous figure.
et d’autre part lié au raisonnement déductif : Comprendre le statut des propositions :
- Différencier le contenu et le statut d’une proposition ;
- Prendre conscience du changement de statut d’une proposition.
Comprendre l’organisation d’un pas de déduction : - Savoir ce qu’est un théorème ;
- Appréhender un théorème de façon opératoire ; - Enchaîner plusieurs pas.
- Rédiger.
Début 3.2) Activité de figures téléphonées.
Il y a des compétences qui doivent se travailler en 6ème et qui contribuent à l’apprentissage de la démonstration.
- Développer le langage : on ne peut pas faire de démonstration si on ne sait pas décrire une figure. En 6ème, le langage en géométrie possédé par les élèves est encore rudimentaire. La lecture des énoncés dans ce domaine est tout aussi problématique.
- Appréhension séquentielle des figures. Il y a différentes façons de construire une figure.
En 6ème la vision des figures est très attachée encore à l’observation. Ils sont encore loin de l’analyse d’une figure qu’on peut attendre d’eux en démonstration.
Les figures téléphonées sont un moyen de faire progresser les élèves au niveau du langage, mais elles contribuent aussi à faire évoluer leur vision des figures.
Les pages suivantes montrent un exemple de figures téléphonées.
Début
FIGURE TELEPHONE 1A
Observe bien la figure ci-dessous.
Rédige ensuite un message qui doit permettre à ton correspondant de construire la même figure sans la voir.
___________________________________________________________________________
découper en suivant la droite avant de donner le message au facteur (le professeur)
MESSAGE 1A DATE :
EXPEDITEUR : DESTINATAIRE :
Le message : La figure :
Le destinataire a le droit de poser des questions par écrit à l'expéditeur qui lui répondra aussi par écrit. C'est le professeur qui fait le facteur.
QUESTIONS, REPONSES :
Début
FIGURE TELEPHONE 1B
Observe bien la figure ci-dessous.
Rédige ensuite un message qui doit permettre à ton correspondant de construire la même figure sans la voir.
___________________________________________________________________________
découper en suivant la droite avant de donner le message au facteur (le professeur)
MESSAGE 1B DATE :
EXPEDITEUR : DESTINATAIRE :
Le message : La figure :
Le destinataire a le droit de poser des questions par écrit à l'expéditeur qui lui répondra aussi par écrit. C'est le professeur qui fait le facteur.
QUESTIONS, REPONSES :
Début
3.3) Activité de création d'énoncé.
L'objectif de cette activité est de maîtriser la différence entre le contenu et le statut d'une proposition.
Il existe un article complet décrivant cette activité dans le suivi scientifique 4ème, 1987 ouvrage disponible à l'IREM de Strasbourg.
Début Voici une figure et certain nombre de ses propriétés :
1- C est le milieu du segment BD.
2- Le triangle BAD est rectangle en A.
3- Le triangle ABC est équilatéral.
4- Le triangle ACD est isocèle en C.
5- ABC = 60°.
6- ACB = 60°.
7- ADC = 30°.
a) Ecrire un programme de construction permettant de réaliser une figure possédant les mêmes propriétés.
b) Tester ce programme en le réalisant vous-même et en le faisant réaliser par votre voisin.
c) Reprendre les instructions de votre programme et noter la série de propriétés dont vous vous êtes servis.
d) Comparer avec les propriétés utilisées par votre voisin ? Ecrire vos remarques.
B C D
A
3.4) Associer les propriétés géométriques à des figures et des figures clés (un exemple).
DEMONTRER QU’UN POINT EST LE MILIEU D’UN SEGMENT
Début
Si alors
Si une droite passe par un sommet et le point d’intersection de deux médianes d’un triangle alors elle coupe le côté opposé à ce sommet en son milieu.
Si alors
Si un quadrilatère est un parallèlogramme alors ses diagonales ont le même milieu.
Si alors
Si une droite passe par le milieu d’un côté d’un triangle et est parallèle à un deuxième côté alors cette droite passe par le milieu du troisième côté du triangle.
Définition de médiatrice :
La médiatrice d’un segment est une droite perpendiculaire au segment et passant par son milieu
Voir l'article du repère IREM n° 59 "Les figures-Clés : une idée pour le début de
l'apprentissage de la démonstration en quatrième" de Jean Houdebine, Marie-Paule Kerboeuf de l'IREM de Rennes. Revue disponible à la bibliothèque de l'IREM de Strasbourg.
3.5) Activité pour aider les élèves à appréhender un théorème de façon opératoire.
ABC est un triangle. Les points B’ et C’ sont les milieux respectifs des côtés [AC] et [AB].
M est un point quelconque du côté [BC]. La droite (AM) coupe la droite (B’C’) au point N.
1. faire une figure.
2. Citer au moins 6 triangles de cette figure.
3. Voici un théorème : « Si, dans un triangle, une droite passe par les milieux de deux côtés alors cette droite est parallèle au troisième côté. »
¾ Parmi les triangles cités au 2, indiquer un triangle pour lequel ce théorème peut s’utiliser. Explique pourquoi tu peux utiliser ce théorème et dire ce qu’il permet d’affirmer.
¾ Parmi les triangles cités au 2, indiquer un triangle pour lequel tu ne peux pas utiliser ce théorème dans le triangle que tu as choisi.
4) En conclusion.
Une démarche possible de l’apprentissage de la géométrie déductive 6ème :
- donner aux élèves des activités ciblant chacune des compétences liées à la démonstration.
- "donner du sens" aux propriétés démontrées par le professeur. Par exemple après les propriétés du losange, on peut demander aux élèves de construire une droite parallèle à une droite donnée et passant par un point en utilisant uniquement le compas et la règle non graduée. La justification de la construction amène une propriété du losange. On peut
demander également aux élèves de faire repérer les données utilisées pour cette construction et celles qui se déduisent ;
- faire expliciter par l’élève chaque fois que c’est possible le type de validation qu’il a choisit, et le différencier avec les autres types de validation (Sur quoi t’appuis-tu pour dire que c’est vrai ? Parce que « ça se voit » ? Quel type de preuve utilise t-on en mathématique ?
…) ;
- replacer le plus souvent possible la géométrie déductive comme un des enjeux importants du collège. Montrer des démonstrations aux élèves.
- tenir compte du fait que les élèves sont ancrés dans une géométrie perceptive en arrivant en 6ème : apprentissage progressif de la géométrie déductive, nombreux aller-retour entre
perceptif et déductif, passage du dessin à la figure.
Début
5) Autres documents utilisés dans l'atelier.
Document n°1
On se place au niveau 6ème. Pour chaque situation géométrique répondez à deux questions : 1) Qu’est-ce que l’élève « travaille » lorsqu’il est dans cette situation ?
2) A quelles difficultés peut-il être confronté ?
Enoncé 1 Enoncé 2
Enoncé 3 Enoncé 4
Enoncé 5 (Extrait du manuel « nouveau décimale Math 6ème » édition BELIN 2000, page 179)
Début A
d ∆
A’
Voici une droite ∆. On sait que A’
est le symétrique de A par rapport à
∆. A est sur la droite d.
Peut-on construire la droite symétrique de d par rapport à ∆ à l’aide de la règle uniquement ? Explique comment, et fait le.
Ecris le programme de construction de la figure ci-dessous.
1) En utilisant uniquement le compas et la règle non
graduée, construis deux droites parallèles.
2) Justifie ta construction.
Géométrie déductive ?
(Extrait du manuel cinq sur cinq 6ème , Hachette 2000, page 201)
Document n°2
Début
D O
M
C I B
O,B,C sont trois points non alignés.
I est le milieu de [BC] et D le point tel que ODIB soit un parallélogramme. Pourquoi M, milieu de [ID] est-il le milieu de [OC] ?
