2.8 ÉQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES

(1)

cours 20

2.8 ÉQUATIONS

TRIGONOMÉTRIQUES

(2)

Une équation trigonométrique est une équation qui fait intervenir des rapports trigonométriques.

(3)

Exemple

(4)

Exemple

3 sin ✓ = cos ✓

(5)

Exemple

3 sin ✓ = cos ✓

4 cos² ✓ cos ✓ = 7

(6)

Exemple

3 sin ✓ = cos ✓

4 cos² ✓ cos ✓ = 7

4 tan ✓ + 2 = tan ✓ 5

(7)

Exemple

3 sin ✓ = cos ✓

4 cos² ✓ cos ✓ = 7

4 tan ✓ + 2 = tan ✓ 5

Sont des équations trigonométriques

(8)

De la même manière que lors des résolutions des équations qu’on a déjà vues, notre objectif est d’isoler la variable.

(9)

Or pour ce faire on devait effectuer les opérations inverses

(10)

Or pour ce faire on devait effectuer les opérations inverses x + 2 = 5 () x + 2 2 = 5 2

(11)

2x = 5 () 2x

2 = 5 2

(12)

2x = 5 () 2x

2 = 5 2 x² = 4 () p

x² = ±p 4

(13)

2x = 5 () 2x

2 = 5 2 x² = 4 () p

x² = ±p 4

On doit donc essayer de comprendre comment inverser le processus nous permettant de trouver les rapports trigonométriques.

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

On note

(24)

On note

arcsin x = ✓

(25)

On note

arcsin x = ✓ () sin ✓ = x

(26)

On note

arcsin x = ✓ arccos x = ✓

() sin ✓ = x

(27)

On note

arcsin x = ✓ arccos x = ✓

() sin ✓ = x () cos ✓ = x

(28)

On note

arcsin x = ✓ arccos x = ✓ arctan x = ✓

() sin ✓ = x () cos ✓ = x

(29)

On note

() sin ✓ = x () cos ✓ = x () tan ✓ = x

(30)

On note

() sin ✓ = x () cos ✓ = x () tan ✓ = x arcsecx = ✓

arccscx = ✓ arccotx = ✓

() sec ✓ = x () csc ✓ = x () cot ✓ = x

(31)

Mais on utilise surtout ceux-là

On note

() sin ✓ = x () cos ✓ = x () tan ✓ = x arcsecx = ✓

arccscx = ✓ arccotx = ✓

() sec ✓ = x () csc ✓ = x () cot ✓ = x

(32)

(33)

(34)

(35)

Les valeurs de arcsin x sont comprises entre ^⇡₂ ^⇡ et 2

(36)

Les valeurs de arcsin x sont comprises entre ^⇡₂ ^⇡ et 2

L’autre valeur ^⇡ ^✓

(37)

(38)

(39)

(40)

Les valeurs de _arccos _x sont comprises entre ₀ et _⇡

(41)

Les valeurs de _arccos _x sont comprises entre ₀ et _⇡

L’autre valeur _✓

(42)

(43)

(44)

(45)

Les valeurs de sont comprises entre ^⇡₂ ^⇡ et 2

arctan x

(46)

Les valeurs de sont comprises entre ^⇡₂ ^⇡ et 2

arctan x

L’autre valeur ^✓ ⁺ ^⇡

(47)

(48)

tan ⇡

3 =

p3 2 1 2

(49)

= p tan ⇡ 3

3 =

p3 2 1 2

(50)

p3

= p tan ⇡ 3

3 =

p3 2 1 2

(51)

p3

tan ⇡

4 =

p2 p2

2 2

= p tan ⇡ 3

3 =

p3 2 1 2

(52)

p3

tan ⇡

4 =

p2 p2

2 2

= 1

= p tan ⇡ 3

3 =

p3 2 1 2

(53)

1 p3

tan ⇡

4 =

p2 p2

2 2

= 1

= p tan ⇡ 3

3 =

p3 2 1 2

(54)

1 p3

tan ⇡

4 =

p2 p2

2 2

= 1

= p tan ⇡ 3

3 =

p3 2 1 2

tan ⇡

6 =

1 p2

3 2

(55)

1 p3

tan ⇡

4 =

p2 p2

2 2

= 1

= p 3

= 1 p3 tan ⇡

3 =

p3 2 1 2

tan ⇡

6 =

1 p2

3 2

(56)

1 p3

tan ⇡

4 =

p2 p2

2 2

= 1

= p 3

= 1 p3 tan ⇡

3 =

p3 2 1 2

tan ⇡

6 =

1 p2

3 2

=

p3 p3p

3

(57)

1 p3

tan ⇡

4 =

p2 p2

2 2

= 1

= p 3

= 1 p3 tan ⇡

3 =

p3 2 1 2

tan ⇡

6 =

1 p2

3 2

=

p3 p3p

3

=

p3 3

(58)

1 p3

p3 3 tan ⇡

4 =

p2 p2

2 2

= 1

= p 3

= 1 p3 tan ⇡

3 =

p3 2 1 2

tan ⇡

6 =

1 p2

3 2

=

p3 p3p

3

=

p3 3

(59)

Faites les exercices suivants

arcsin

p2 2

arccos

p3 arcsin 2

p3 2

!

arccos

✓ 1 2

◆

arctan 1

arcsecp 2 arcsin 0

arccos 1

Évaluer a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

(60)

px² = |x| px² 6= x

Un peu comme mais plutôt

(61)

px² = |x| px² 6= x

on a

(62)

px² = |x|

arcsin(sin ✓) =

(✓ si ^⇡₂  ✓  ^⇡₂ ,

⇡ ✓ si ^⇡₂ < ✓ < ^3⇡₂ . px² 6= x

on a

(63)

px² = |x|

arcsin(sin ✓) =

(✓ si ^⇡₂  ✓  ^⇡₂ ,

⇡ ✓ si ^⇡₂ < ✓ < ^3⇡₂ .

arccos(cos ✓) =

(✓ si 0  ✓  ⇡,

✓ si ⇡ < ✓ < 2⇡.

px² 6= x

on a

(64)

px² = |x|

arcsin(sin ✓) =

(✓ si ^⇡₂  ✓  ^⇡₂ ,

⇡ ✓ si ^⇡₂ < ✓ < ^3⇡₂ .

arctan(tan ✓) =

(✓ si ^⇡₂  ✓  ^⇡₂ ,

✓ + ⇡ si ^⇡₂ < ✓ < ^3⇡₂ . arccos(cos ✓) =

(✓ si 0  ✓  ⇡,

✓ si ⇡ < ✓ < 2⇡.

px² 6= x

on a

(65)

Par contre lorsqu’on cherche les solutions d’une équation on doit trouver toutes valeurs qui rendent cette équation vraie.

(66)

Ajouter un ou des tours à l’angle nous amène au même point sur le cercle et donc au même rapport trigonométrique.

(67)

Ajouter un ou des tours à l’angle nous amène au même point sur le cercle et donc au même rapport trigonométrique.

Donc dès qu’on a une solution, additionner un multiple de ou en soustraire un nous donne aussi une solution. ^2⇡

(68)

Exemple

_{2 sin} _✓ _{+ 1 = 0}

(69)

Exemple

_{2 sin} _✓ _{+ 1 = 0} ₍₎ _{2 sin} _✓ ₌ ₁

_{2 sin} _✓ _{+ 1 = 0} ₍₎ _{2 sin} _✓ ₌ ₁

() sin ✓ = 1 2 () ✓ = arcsin

✓ 1 2

◆

✓ = ⇡ 6

(74)

Exemple

_{2 sin} _✓ _{+ 1 = 0} ₍₎ _{2 sin} _✓ ₌ ₁

() sin ✓ = 1 2 () ✓ = arcsin

✓ 1 2

◆

✓ = ⇡ 6

_{2 sin} _✓ _{+ 1 = 0} ₍₎ _{2 sin} _✓ ₌ ₁

() sin ✓ = 1 2 () ✓ = arcsin

✓ 1 2

◆

✓ = ⇡ et

6 ✓ = 7⇡

6

+ k2⇡, k 2 Z + k2⇡, k 2 Z

(79)

Exemple

_{2 cos}² _✓ _{+ cos} _✓ _{1 = 0}

2x² + x 1 = 0

2 cos² ✓ + cos ✓ 1 = 0 x = 1 ± p

1 + 8

4 = 1 ± 3

4

2x² + x 1 = 0

2 cos² ✓ + cos ✓ 1 = 0 x = 1 ± p

1 + 8

4 = 1 ± 3

4

x = 1 x = 2

4 = 1

= cos ✓ 2

(88)

Exemple

2x² + x 1 = 0

2 cos² ✓ + cos ✓ 1 = 0 x = 1 ± p

1 + 8

4 = 1 ± 3

4

x = 1 x = 2

4 = 1

= cos ✓ 2 = cos ✓

(89)

2x² + x 1 = 0

2 cos² ✓ + cos ✓ 1 = 0 x = 1 ± p

1 + 8

4 = 1 ± 3

4

x = 1 x = 2

4 = 1

= cos ✓ 2 = cos ✓

✓ = ⇡ + k2⇡, k 2 Z

+ k2⇡, k 2 Z

✓ = ⇡ 3

(100)

Exemple

sec ✓ + 4 csc ✓ = 5 csc ✓

sec ✓ + 4 csc ✓ = 5 csc ✓

() sec ✓ = csc ✓ () 1

cos ✓ = 1 sin ✓ () sin ✓ = cos ✓ () sin ✓

cos ✓ = 1

(105)

Exemple

sec ✓ + 4 csc ✓ = 5 csc ✓

() sec ✓ = csc ✓ () 1

cos ✓ = 1 () tan ✓ = 1

(106)

sec ✓ + 4 csc ✓ = 5 csc ✓

() sec ✓ = csc ✓ () 1

cos ✓ = 1 () tan ✓ = 1

✓ = ⇡ 4

✓ = 5⇡

4

(111)

Exemple

sec ✓ + 4 csc ✓ = 5 csc ✓

() sec ✓ = csc ✓ () 1

cos ✓ = 1 () tan ✓ = 1

✓ = ⇡ 4

✓ = 5⇡

4

(112)

Exemple

sec ✓ + 4 csc ✓ = 5 csc ✓

() sec ✓ = csc ✓ () 1

cos ✓ = 1 () tan ✓ = 1

✓ = ⇡ 4

✓ = 5⇡

4

(113)

Exemple

sec ✓ + 4 csc ✓ = 5 csc ✓

() sec ✓ = csc ✓ () 1

cos ✓ = 1 () tan ✓ = 1

✓ = ⇡ 4

✓ = 5⇡

4

+ k2⇡, k 2 Z

(114)

Faites les exercices suivants

p. 517 Ex. 13.10

(115)

Devoir:

p. 521 # 17