Début du IX è siècle. Bagdad, al-Khawarizmi (algèbre, équations du 1er et 2è degré à une inconnue). Égypte, Abu Kamil, élargit le champ de l’algèbre (systèmes de plusieurs équations à plusieurs inconnues). Al-Karaji, premier à considérer les quantités irrationnelles comme des nombres. Al-Farisi jette les bases de la théorie élémentaire des nombres. P.J. Hormière
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CENTRE UNIVERSITAIRE D’AIN TEMOUCHENT Institut des Sciences et de la Technologie
Département des Sciences Fondamentales, Appliquées et de la Technologie
1ère Année LMD
Chapitre 1 :
Maths1 (Algèbre 1)
Eléments sur les structures algébriques
C.d.C : T.F.MAMI
Fiche de TD N° 2
Le 03/11/09 Thèmes : sous‐groupes, morphismes de groupes, anneaux, sous‐anneaux, corps.Exercice 1 : Soit , l’ensemble des applications de dans lui‐même. Quel est l’ensemble de ses éléments inversibles ? Exercice 2 : Soit M un ensemble muni d’une l.c.i. associative et admettant un élément neutre noté . En désignant par l’ensemble des éléments symétrisables de M, montrez que la restriction de la l.c.i. induit sur une structure de groupe.
se nomme le groupe des éléments inversibles de M (qui n’est pas, à priori, un groupe) pour cette l.c.i.
Exercice 3 : Démontrer qu’une partie non vide est un sous‐groupe de , ssi , , où est le symétrique de .
Exercice 4 : Considérons un groupe G de loi multiplicative. Soit un élément de G. on lui associe l’application suivante :
: tq : . Montrer que est un automorphisme du groupe G.
Exercice 5* : Soit : un morphisme de groupes. On appelle noyau de , l’ensemble des éléments de qui ont pour
image l’élément neutre de ; On le note ker(f) := . Montrer que le noyau est un sous‐groupe de G
et que est injective si et seulement si ker(f)= où e est l’élément neutre dans .
Exercice 6 : On munit l’ensemble des réels de deux l.c.i. notées ∆ et définies respectivement de la façon suivante :
∆ et . Etudier les propriétés de chacune de ces lois. Etudier la distributivité de chacune par
rapport à l’autre.
Exercice 7 : Mêmes questions pour les deux l.c.i définies dans comme suit : et Exercice 8 : La l.c.i. définie sur par √ est‐elle distributive pour la multiplication ? Étudier l’inverse.
Exercice 9 : Vérifier que les deux l.c.i. et sont distributives l’une par rapport à l’autre dans .
Exercice 10* : Montrer que ( , , ) ,où désigne l’ ensemble des parties de , possède la structure d’ anneau commutatif. On rappelle que : la différence symétrique.
Exercice 11 : Montrer que ⁄ muni des deux l.c.i. et est un anneau commutatif unitaire. Est‐il intègre pour tout ?
Exercice 12* : Soit , , et , , deux anneaux. On définit dans une opération notée (lire plus encadré) et une autre (croix encadrée) par : , , , et , , ,
‐ Montrer que et sont deux l.c.i. définies dans lui conférant la structure d’anneau (dit anneau produit).
‐ Caractériser et pour que soit unitaire ou soit commutatif.
‐ peut‐il être intègre ?
Exercice 13: Montrer que dans un anneau , pour tous éléments , de on a : et . En plus, si est unitaire d’élément neutre 1 pour la deuxième l.c.i., alors : et l’on ne peut avoir . Exercice 14 : Dans , définissons une addition et une multiplication par les relations suivantes :
, , , , , , et , , ,
Prouver que muni de ces deux lois est anneau commutatif unitaire . Quels sont les éléments inversibles de cet anneau ? Est‐il intègre ? Soit , ; , montrer que c’est un sous‐anneau unitaire de . Que remarquez‐vous ?
Exercice 15 : , , désigne l’ensemble applications bijectives de dans muni de l’addition des applications et de la composition d’applications . Est‐il un anneau ? raisons ?
Exercice 16 : Dans , on définit pour tous couples , et , les opérations suivantes :
, , , et , , , .
Montrer que le triplet , , est corps commutatif et que en est un sous‐corps.
Exercice 17* : Dans l’anneau ⁄ , , où l’on suppose que , quel est l’élément symétrique de ⁄ . Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour que ⁄ , , soit un corps ?
