Examen LM390, session de l’ann´ee 2008–2009, sans document, ni calculatrice.
• (I) Soient Y0, Y1, Y2, . . . , Yn, . . . des variables al´eatoires sur un espace filtr´e probabilis´e (Ω,F, P). Elles sont ind´ependantes, de mˆeme loi absolument continue par rapport `a la mesure de Lebesgue, de densit´e 2x1{x∈[0,1]}. (1) Donner leur fonction de r´epartition, leur esp´erance, leur variance.
(2) SoitU0= lnY0. Donner la loi de U0.
Soita∈]0,1[. Pour toutω∈Ω on poseSa(ω) = min{i≥0 :Yi(ω)>√
a}. (Autrement dit, siY0(ω)>√ a, alors Sa(ω) = 0, siY0(ω)≤√
a, mais Y1(ω)>√
a, alorsSa(ω) = 1, siY0(ω)≤√
a, Y1(ω)≤√
a, maisY2(ω)>√ a, alorsSa(ω) = 2 etc)
(3) Prouver queSa est une variables al´eatoire `a valeurs dans{0,1,2, . . . ,∞}. Donner la loi deSa.
(4) Donner la fonction caract´eristiqueφSa(t) deSa, puis celleφ(1−a)Sa(t) de la variable al´eatoire (1−a)Sa. (5) Soit la suite (an)n≥0de nombresan∈]0,1[ est telle que limn→∞an= 1. Etudier la convergence en loi de la suite
de variables al´eatoires ((1−an)San)n≥0,n→ ∞en utilisant le r´esultat de la question (4).
(6) Donner les limites suivantes et argumentez vos r´eponses : Pour un >0 limn→∞P(Y1+· · ·+Yn>(2/3)n+n).
limn→∞P(Y1+· · ·+Yn)>(1/2)n).
limn→∞P(3(Y1+· · ·+Yn)≤2n+ 3√ n).
(7) On consid`ere une variable al´eatoire
Rn = min(nαY0, nαY1, . . . , nαYn−1) dontα∈]0,+∞[ est un param`etre,n= 0,1,2, . . ..
CalculerP(Rn > x) pour toutxr´eel. Donner ensuite la fonction de r´epartition de la variableRn.
(8) Soitα∈]0,1/2[. Etudier la convergence en loi de la suite de variables al´eatoires (Rn)n≥0en fonction de param`etre α. Donner la loi limite quand elle existe.
Que pouvez-vous dire de la convergence en probabilit´e de (Rn)n≥0 pour cesα?
(9) Soit α= [1/2,∞[. Etudier la convergence en loi en fonction de param`etreαet donner la loi limite quand elle existe.
(II)On consid`ere des variables al´eatoires Z0, Z1, . . . , Zn, . . . de mˆeme loi, d’esp´erance 1 et de variance b >0.
On construit une suite de variablesSn=Z0+ (1/2)Z1+· · ·+ (1/2)nZn, n= 0,1,2, . . ..
(10) Supposons de plus que les variablesZ0, Z1, Z2, . . .sont ind´ependantes.
DonnerESn etV arSn.
Que pouvez-vous dire de la convergence dansL2 de la suite (Sn)n≥0?
(11) Quelles autres modes de convergence pouvez-vous d´eduire de votre r´eponse `a la question (10) ?
(12) Supposons par la suite dans (12) – (15) que les variablesZ0, Z1, . . . , Zn, . . .ne sont pas forc´ement ind´ependantes.
En utilisant une in´egalit´e c´el`ebre du cours, prouver l’une des in´egalit´es :
P(|Sn−Sn−1|>(2/3)n)≤(3/4)n, P(|Sn−Sn−1|<(2/3)n)≤(3/4)n, P(|Sn−Sn−1|>(2/3)n)≥(3/4)n. En d´eduire la nature de la s´erie : P∞
n=1P(|Sn−Sn−1|>(2/3)n).
(13) Certaines ´egalit´es parmi quatre ci-dessous ont lieu. Dire lesquelles et argumentez votre r´eponse.
P [
n0≥0
\
n≥n0
(ω:|Sn(ω)−Sn−1(ω)|<(2/3)n)
= 1, (1)
P [
n0≥0
\
n≥n0
(ω:|Sn(ω)−Sn−1(ω)|>(2/3)n)
= 1, (2)
1
P \
n0≥0
[
n≥n0
(ω:|Sn(ω)−Sn−1(ω)|<(2/3)n)
= 0, (3)
P \
n0≥0
[
n≥n0
(ω:|Sn(ω)−Sn−1(ω)|>(2/3)n)
= 0. (4).
En d´eduire les valeurs de ces deux probabilit´es :
P [
n0≥0
\
n≥n0,m≥0
(ω:|Sn+m(ω)−Sn−1(ω)|<3(2/3)n)
, P \
n0≥0
[
n≥n0,m≥0
(ω:|Sn+m(ω)−Sn−1(ω)|>3(2/3)n) .
(14) D´eduire la valeur de
P \
>0
[
n0≥0
\
n≥n0,m≥0
(ω:|Sn+m(ω)−Sn−1(ω)|< ) .
Que pouvez-vous en dire sur la convergence/divergence de la s´erieP∞
n=0(1/2)nZn presque sˆure? en probabilit´e?
(III)SoitZ~ = (X, Y) un vecteur Gaussien d’esp´erance (0,0) et de matrice de covariances C dont les ´el´ements sontc11, c12, c21, c22.
(15) Que pouvez-vous en d´eduire sur les ´el´ements deC ?
Quelle condition n´ecessaire et suffisante faut-il imposer sur les ´el´ements de C pour que le vecteur Z~ ait une densit´e par rapport `a la mesure de Lebesgue ?
Ecrire la densit´e sous cette condition.
(16) SoiD une matrice 2×2 dont les ´el´ements v´erifient les conditions : d12=d21, d11>0,d11d22−d212>0. Donner la valeur de l’int´egrale double :
Z Z
R2
exp(−(d1,1x2+ 2d1,2xy+d2,2y2)/2)dxdy (∗) en terme d’´el´ements deD.
SoitB une matrice sym´etrique avecb1,1 >0, et detB >0. Est-ce que Eexp(−(b11X2+b22Y2+ 2b12XY)/2) est finie (on rappelle queZ~ = (X, Y) est un vecteur Gaussien d’esp´erance (0,0) et de matrice de covariances C)? Si oui, donner la valeur de cette esp´erance en terme d’´el´ements de matrices B et C. (Utiliser votre calcul de l’int´egrale (*)).
(17) Soit
C=
9 2 2 6
.
Trouver un exemple dea, b, c, dr´eels pour que les variables al´eatoires (aX+bY) et (cX+dY) soient ind´ependantes.
Donner les variances deaX+bY et decX+dY pour cesa, b, c, d.
(IV)SoientX1, X2, . . . , Xn, . . .une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de densit´e (1/2)1{x∈[−1,1]}. Soit Z~n= (Xn, Xn3) pour toutn≥0.
(18) Formulez le th´eor`eme de la limite centralepour la suite Z~1, ~Z2, ~Z3, ~Z4, . . ..
(19) SoitVn= (X1+· · ·+Xn)/n,Wn= (X13+· · ·+Xn3)/n. SoitB =
525 210 210 105
.
Donner la limite limn→∞Eexp(−(b1,1Vn2+b2,2Wn2+ 2b1,2VnWn)/2) en utilisant le r´esultat de (16).
(20) (V)SoitY une variable al´eatoire de fonction caract´eristiqueφY(t). Soit pour unµ >0φY(µ) = 1.
DonnerE(cos (µY)−1).
Que pouvez-vous en d´eduire de la loi de Y : est-elle une loi discr`ete ou continu par rapport `a la mesure de Lebesgue ?
Dans le premier cas dire quelles sont les valeurs queY peut prendre avec probabilit´es positives. Dans le deuxi`eme cas donner sa densit´e.
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