+= 0TT +≤ 0TT ∆= S0 cycle ∆= S0système mécanique parfait

DEUXIEME PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE 2^e partie : Machines thermiques

A - Le diagramme de Raveau

• Du point de vue de la machine :

1^er principe :

∆ U = W + Q

+ Q

= 0

∆ = S 0

• Pour l’ensemble, formant un système isolé :

total M machine source source

chaude froide

S S S S S

∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆

( )

S

0 système mécanique parfait

∆ =

( )

machine

S 0 cycle

∆ =

source source

chaude froide

source C source F

C C F F

Q Q Q Q

S S

T T T T

∆ = = − ∆ = = −

C source

chaude

F source

froide

Q Q

Q Q

= −

= −

d’où : _total ^{C F}

C F

Q Q

S 0

T T

∆ = − − ≥

C F C F

Q Q Q Q

0 0

T T T T

 

−

+

≥

+ ≤

 

ΣM W

QC

Système mécanique

Machine

ΣF

Σc

QF

Source Froide TF

Source chaude

TC W, QC, QF sont comptés du point de vue de la machine qui décrit le cycle

(fig. 2).

QF

Fig. 2.

C F

C F

Q Q

T + T = 0

2^e principe : ^{C F}

C F

Q Q

T + T ≤ 0

QC

Fig. 1.

QF

W > 0 QC + QF = 0

1^er principe : W + QC + QF = 0 (Fig. 1).

W < 0 QC

Superposition des figures 1 et 2 :

Allure usuelle du cycle de Carnot Cycle de Carnot réversible On peut résumer les propriétés dans le tableau suivant :

Signes ou valeurs Machine

W QC QF

gain dépense

Cas réversible

Moteur < 0 > 0 < 0

C

W Q

−

C

1 T

− T

QF

QC + QF = 0

W < 0 QC

C F

C F

Q Q

T + T = 0

W < 0 I

II

C F

C F

Q Q T + T > 0

:

Zone I : moteur

Zone II : le système reçoit du travail (W>0), reçoit de la chaleur de la source froide (QF>0) et en fournit à la source chaude (QC<0).

Les transformations qui amènent la machine de la température de la source chaude à celle de la source froide et réciproquement se font par l’intermédiaire du système mécanique (réversible si et

seulement si le système mécanique est parfait).

Le cycle décrit par la machine est appelé cycle de Carnot.

P T

V

A B

A

B

C D

Tsup

Tinf

Tsup

Tinf

Smin Smax

D C

S

Réfrigérateur > 0 < 0 > 0

Q

W

F

1 T 1 T −

A chaleur

> 0 < 0 > 0

Q

W

−

F C

1 1 T

− T

• Si la transformation n’est pas quasis- tatique,

les paramètres d’état ne sont pas partout définis, pas de diagramme immédiat.

• Si la transformation est réversible (fig. 1)

réversible

Q T S (aire grise)

δ =

Q

T S aire hachurée.

i d

= ∫ →

Si la transformation est quasistatique non réversible, le diagramme existe, mais :

Q = δ Q ≠ T S

• Cas d’un cycle réversible (fig. 2), on opère comme pour l’étude du travail (ch. 4).

T

S f

i

Fig. 1.

S T

B A

Fig. 2.

T T

S QBA<0

QAB>0

A

B A

B

La quantité de chaleur totale échangée par le système avec l’extérieur, pendant un cycle, sera représentée par l’aire intérieure au cycle et sera négative (⇒ W>0, cycle récepteur) si la partie supérieure est orientée de droite à gauche.

Exercices

Ex. 1. Machines thermiques

AB, CD : isothermes, respectivement Tsup, Tinf (Fig. 1) BC, DA : isentropiques (Fig. 2)

Dans le cas où le cycle est décrit par un gaz parfait de capacité calorifique molaire, à volume constant, Cv, supposée constante :

1. Représenter le cycle de Carnot : - en coordonnées (P,V) ; - en coordonnées (T, S).

2. Construire un tableau donnant :

∆U, ∆S, W, Q

S T

Q<0 Cycle récepteur

T

Q>0 Cycle moteur

S

ΣM W

QC

Système mécanique

Machine

ΣF

Σc

QF

Source froide Tinf

Source chaude Tsup

pour chacune des quatre étrapes du cycle.

3. En déduire en fonction de TF et TC :

a) le rendement d’un cycle de Carnot moteur.

A.N. : Tinf = 273 K ; Tsup = 373 K

b) L’efficacité frigorifique d’un cycle de Carnot récepteur.

A.N. : Tinf = 273 K ; Tsup = 293 K

c) L’efficacité thermique d’un cycle de Carnot fonctionnant en pompe à chaleur.

A.N. : Tinf = 273 K ; Tsup = 293 K

1. Représentation du cycle de Carnot du gaz parfait, Cv constante Calculons d’abord :

2 T

P RT P

V V V

δ

δ

 

= − = −

 

 

S

P P

V V

δ γ

δ

 

 

= −

 

car PV

= constante si S est constant.

En coordonnées (P, V), la pente de l’entropie est

γ

Fig. 1. (sens moteur) Fig. 2.

Sur les figures, ABCD : sens moteur ADCB : sens récepteur.

2. On a le tableau Bilan

Etape

∆U ∆S W Q

AB 0

B A

R n V

n l

V

sup A

RT n V

V

−

Q = − W

( )

sup max min

T S S

= −

P T

V

A B

A

B

C D

Tsup

Tinf

Tsup

Tinf

Smin Smax

D C

S

BC ⁿ

^C

( ^T

^{− T}

)

⁽

⁾

CD 0

D C

R n V

n l

V

inf C

RT n V

V

−

Q = − W

( )

inf min max

T S S

= −

DA ⁿ

^C

( ^T

^{− T}

)

⁽

⁾

Cycle 0 0

− Q

( ^T

^{− T}

)

( S

S

)

⋅ −

3. Rendements et efficacités a) Cycle de Carnot moteur

AB CD

AB

gain W Q Q

rendement

dépense Q Q

= = = +

(noté )

ρ

=

−

−

sup sup

sup sup

sup sup

sup sup

T T

T T

T T

T T T T T T

rendement = 1

rendement = 1

rendement = 1

rendement = 1

T T

T T T T

T T

A.N. : 0.27 gain < dépense

ρ =

CD CD

F

AB CD

gain Q Q

dépense W Q Q

e

= = =

+

1

= −

−

infinfinf F inf

FF

F supsupsupsup infinfinfinf supsupsupsup

inf inf inf inf

T 1

T 1

T 1

T 1

=

=

=

= TTTT

T T

TT TT

T T

T TT T eee

e

(

)

grâce à la source chaude gratuite

A.N. : 13.7 gain > dépense

eF

=

c) Efficacité thermique (pompe à chaleur)

AB AB

C

AB CD

gain Q Q

dépense W Q Q

e

= = =

+

= = ρ =

− −

supsup supsup C

CC

C supsupsupsup infinfinfinf infinfinfinf

sup sup sup sup

T T T

T 1111 1111 T TT T T T

TT TT

T T 1111 T TT T e

ee

e

(

)

grâce à la source froide gratuite

A.N. : 14.7 gain > dépense

eF

=