Chapitre 12
Fonction exponentielle
Les savoir-faire
240. Transformer une expression en utilisant les propriétés de la fonction exponentielle.
241. Résoudre des équations ou inéquations contenant des exponentielles.
242. Représenter graphiquement les fonctionst7−→e−kt et t7−→ekt (k >0) 243. Modéliser une situation par une croissance, une décroissance exponentielle.
I. La fonction exponentielle
1. Définition et premières propriétés
Soitf une fonction définie et dérivable surRtelle que f(0) = 1 etf′=f. Pour toutx∈R: f(x)×f(−x) = 1 et f(x)6= 0
Propriété
Il existe uneunique fonctionf définie et dérivable sur Rtelle quef′ =f et f(0) = 1.
Théorème
La fonction exponentielle est la fonction notée exp définie sur Rpar : exp’(x) = exp(x) et exp(0) = 1.
Définition
2. Relation fonctionnelle
Pour tout x∈R:
— exp(−x) = 1 exp(x).
— exp(x)>0.
Premières propriétés
Pour tous réelsxety :
— exp(x+y) = exp(x)×exp(y).
— exp(x−y) =exp(x) exp(y).
— Pour toutn∈Z: exp(nx) = (exp(x))n. Relations fonctionnelles
1
3. Notation e
On note e l’image de 1 par la fonction exp. Ainsi, exp(1) = e.
Ce nombre est appelé constante de Neper ou nombre d’Euler.
Définition
Remarque :
Le nombre e est irrationnel et vaut approximativement 2,718.
Pour toutp∈Z, exp(p) = exp(p×1) = (exp(1)p) = ep. En généralisant cette écriture :
Pour toutx∈R, exp(x) = ex.
Par exemple, la propriété exp(x+y) =exp(x)×exp(y) s’écrit :
ex+y= ex×ey Notation
Exemple :
Simplifier les écritures suivantes : A= e4×e4
e5 etB= e5−6
×e3. Vidéo
II. Étude de la fonction exponentielle
1. Variations
La fonction exp est dérivable sur Rdonc continue sur R;
Pour toutx∈R, exp′(x) = exp(x)>0 donc la fonction exp est strictement croissante surR.
Propriété
Conséquences : Pour tous réelsaetb :
ea= eb⇐⇒a=b ; ea<eb⇐⇒a < b
2. Tableau de variations et courbe
x exp’(x)
exp(x)
−∞ +∞
+
0 0
+∞
+∞
0
1
1
e
−3 −2 −1 1 2
2 3 4 5
O
e0= 1
e1=e≃2,718
y= exp(x)
2
Exemples :
1. Dériver les fonctions définies par :
a.f(x) = 4x−3ex b.g(x) = (x−1)ex 3.h(x) =ex
x Vidéo 2. a.Résoudre l’équation ex2−3−e−2x= 0. Vidéo
b.Résoudre l’inéquation e4x−1>1. Vidéo
III. Compléments sur la fonction exponentielle
Soitaet bdeux réels fixés.
La fonction définie parf(x) = eax+b est dérivable surRet admet pour dérivée : f′(x) =aeax+b
Dérivée de eax+b
3
