D E B O R D
Démonstrations droites
A retenir
Un point M(x ;y) appartient à une droite (AB) si et seulement si ses coordonnées vérifient une équation de la forme ax+by+c= 0
Le principe
On utilise le fait que −→
AB et−−→
AM sont colinéaires puis la formule du déterminant .
La démonstration
Soit M(x ;y) un point de (AB) . Alors−→
AB et−−→
AM sont colinéaires
−→AB(xB−xA;yB−yA)
−−→
AM(x−xA;y−yA) det(−→
AB;−−→ AM) =
xB−xA x−xA yB−yA y−yA
= 0
⇐⇒ (xB−xA)(y−yA)−(x−xA)(yB−yA) = 0
⇐⇒ (yB−yA)x−(xB−xA)y+yAxB−yBxA= 0 On peut alors poser :
a=yB−yA b=−(xB−xA) c=yAxB−yBxA
Et si on écrit l’équation cartésienne sous forme réduite , on voit apparaitre la formule du coefficient directeur .
y= yB−yA
xB−xAx+yAxB−yBxA xB −xA
13 août 2020 1 Béatrice Debord
