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Pa rtie 1 :Intro duction générale à la notion de tests

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Tests pa ram étriques

M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques

Septembre2019

M. Maumy-Bertrand et M. Chion

«Lorsquevousavezéliminél’impossible,cequireste,siimprobable soit-il,estnécessairementlavérité». DeArthurConanDoyle,D’après«LesignedesQuatre». M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques2/201 Cechapitres’appuieessentiellementsurlesdeuxlivressuivants: M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques

Àquoisertuntest? Contructiond’untest Miseenoeuvrepratique

Première pa rtie I Intro duction générale à la notion de tests

M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques4/201

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Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueHypothèseseterreurs Testsbilatéraletunilatéral

rtie 1 :Intro duction générale à la notion de tests

1Àquoisertuntest? Hypothèseseterreurs Testsbilatéraletunilatéral 2Contructiond’untest Statistiquedetest Régioncritiqueetrégiond’acceptation 3Miseenoeuvrepratique Ladémarcheàsuivrepourlamiseenplaced’untest Choixd’untest M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques

Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueHypothèseseterreurs Testsbilatéraletunilatéral Définition Untestestunmécanismequipermetdetrancherentredeux hypothèsesàlavuedesrésultatsd’unéchantillon,enquantifiantle risqueassociéàladécisionprise. Lesdeuxhypothèses SoientH0etH1deuxhypothèses,dontuneetuneseuleestvraie. H0joueleplussouventunrôleprédominantparrapportàH1. EneffetH0estl’hypothèsederéférencealorsqueH1est l’hypothèsealternative. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques6/201 Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueHypothèseseterreurs Testsbilatéraletunilatéral Exempled’hypothèses Vouspouvezavoircommehypothèsenulle: H0:Lamoyennedelapopulationestégaleàµ0 et,danscecas,unehypothèsealternativepourraitêtre H1:Lamoyennedelapopulationestdifférentedeµ0 ouencore H1:Lamoyennedelapopulationeststrictementplus grandequeµ0. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques

Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueHypothèseseterreurs Testsbilatéraletunilatéral Exempled’hypothèses(suite) Unemanièrecondenséed’écrireceshypothèsesest: H0:µ=µ0 contre H1:µ6=µ0. et H0:µ=µ0 contre H1:µ>µ0. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques8/201

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Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueHypothèseseterreurs Testsbilatéraletunilatéral Décision Ladécisiond’untestconsisteàchoisirentreH0etH1. Risques Ilyadoncquatrecaspossiblesquisontdétaillésdansletableau ci-dessous: H0vraieH1vraie H0décidée1−αβ H1décidéeα1−β oùαetβsontlesrisquesd’erreurdepremièreetde deuxièmeespèce. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques

Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueHypothèseseterreurs Testsbilatéraletunilatéral Définition L’erreurdepremièreespèceestlefaitdedéciderquel’hypothèse alternativeH1estvraiealorsqu’enfait,enréalité,c’estl’hypothèse nulleH0quiestvraie. Lerisqued’erreurassociéàcettedécisionestnotégénéralement α. Ils’agitdoncdelaprobabilitédedécideràtortquel’hypothèse alternativeH1estvraie. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques10/201 Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueHypothèseseterreurs Testsbilatéraletunilatéral Définition L’erreurdedeuxièmeespèceestlefaitdedéciderque l’hypothèsenulleH0estvraiealorsqu’enfait,enréalité,c’est l’hypothèsealternativeH1quiestvraie. Lerisqued’erreurassociéàcettedécisionestnotégénéralement β. Ils’agitdoncdelaprobabilitédedécideràtortquel’hypothèse nulleH0estvraie. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques

Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueHypothèseseterreurs Testsbilatéraletunilatéral Lienentrelesrisques Lasituationidéaleseraitquecesdeuxerreurssoientnullesmaisce n’estpaspossible. Pireencore,toutesautreschosesétantfixées,cesdeuxerreurssont antagonistes: sivousdiminuezαalorsβaugmenteetinversementsivous diminuezβalorsαaugmente. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques12/201

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Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueHypothèseseterreurs Testsbilatéraletunilatéral Remarque Nousdissymétrisonsalorsleproblèmeentenantcomptedufaitque danslapratiquel’unedeserreursestplusgravequel’autre. L’erreurdepremièreespèceserachoisiecommeétantlaplusgrave. Nousprendronsdoncunrisqueαtrèspetitpuisnousminimiserons β.Enconclusion,nouschoisissonscommehypothèseH0celledont lerejetentraînelesconséquenceslesplusgraves. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques

Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueHypothèseseterreurs Testsbilatéraletunilatéral Exemple Unhommeaccuséd’undélitcomparaîtdevantunjuge.Cethomme estsoitinnocent(H0vraie)soitcoupable(H1vraie).Lejugeale choixentredeuxdécisions:ilacceptel’innocence(H0)ouil acceptelaculpabilité(H1).L’innocenceestl’hypothèsenulleH0 parcequesonrejetentraînelesconséquenceslesplusgraves: 1Silejugeacceptel’innocencealorsquel’hommeestinnocent: c’estparfait. 2Silejugeacceptelaculpabilité(rejettel’innocence)alorsque l’hommeestinnocentestuneerreurgrave:ilcondamneun innocent. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques14/201 Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueHypothèseseterreurs Testsbilatéraletunilatéral Suiteetfindel’exemple 3Silejugeacceptelaculpabilitéalorsquel’hommeest coupable:c’estparfait. 4Silejugeacceptel’innocencealorsquel’hommeestcoupable estuneerreurmoinsgravequelaprécédente:ilestplusgrave decondamneruninnocentquedegracieruncoupable. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques

Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueHypothèseseterreurs Testsbilatéraletunilatéral Niveaudesignificativité DepuislestravauxdeNeymanetPearson,l’erreurdepremière espèceestlimitéeàunniveauditniveaudesignificativité. Lefaitd’imposerαfaibleconduitàunerèglededécisionplus stricte. Eneffet,danscecas,ladécisionconsisteàabandonnerH0dans descasrarissimes,etàconserver,plussouvent,àtortH0. Niveauxusuels Lesvaleurslespluscourantespourαsont10%,5%ou1%. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques16/201

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Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueHypothèseseterreurs Testsbilatéraletunilatéral Définition Lapuissanced’untestestégaleà1−βouencorelapuissance estlaprobabilitéderejeterH0àraison. Àretenir Généralementlapuissancedoitaumoinsêtreégaleà0,80pour êtreconsidéréecommesatisfaisante. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques

Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueHypothèseseterreurs Testsbilatéraletunilatéral Remarque Lecalculdelapuissanced’untestestgénéralementassez complexe:ilfautsouventfaireappelàunedesfonctionsouàdes logicielsspécialisés. LespackagessousRpourcalculerlespuissances 1Voustrouverezpower.t.testetpower.prop.testdansle packagestats,installédebasedansR. 2Eninstallantlepackagepwr,voustrouverezalors pwr.norm.test,pwr.r.test,pwr.chisq.testet pwr.anova.test. 3Voustrouverezégalementdanscepackagepwr.t2n.testqui travaillesurdeuxéchantillonsdetailledifférente,cequene faitpaspower.t.test. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques18/201 Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueHypothèseseterreurs Testsbilatéraletunilatéral

Pa rtie 1 :Intro duction générale à la notion de tests

1Àquoisertuntest? Hypothèseseterreurs Testsbilatéraletunilatéral 2Contructiond’untest Statistiquedetest Régioncritiqueetrégiond’acceptation 3Miseenoeuvrepratique Ladémarcheàsuivrepourlamiseenplaced’untest Choixd’untest M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques

Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueHypothèseseterreurs Testsbilatéraletunilatéral Introduction Avantd’appliquertoutteststatistique,ils’agitdebiendéfinirle problèmeposé. Eneffet,selonleshypothèsesformulées,vousappliquerezsoitun testbilatéral,soituntestunilatéral. Définition Untestbilatérals’appliquequandvouscherchezunedifférence entredeuxparamètres,ouentreunparamètreetunevaleurdonnée sanssepréoccuperdusigneoudusensdeladifférence. Danscecas,lazonederejetdel’hypothèseprincipalesefaitde partetd’autredeladistributionderéférence. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques20/201

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Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueHypothèseseterreurs Testsbilatéraletunilatéral Définition Untestunilatérals’appliquequandvouscherchezàsavoirsiun paramètreestsupérieur(ouinférieur)àunautreouàunevaleur donnée. Lazonederejetdel’hypothèseprincipaleestsituéed’unseulcôté deladistributiondeprobabilitéderéférence. Exemplesdetest CertainstestscommelestestsduKhi-carréouletestdeFisherdans uneanalysedelavariancesontpratiquementtoujoursunilatéraux. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques

Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueStatistiquedetest Régioncritiqueetrégiond’acceptation

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1Àquoisertuntest? Hypothèseseterreurs Testsbilatéraletunilatéral 2Contructiond’untest Statistiquedetest Régioncritiqueetrégiond’acceptation 3Miseenoeuvrepratique Ladémarcheàsuivrepourlamiseenplaced’untest Choixd’untest M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques22/201 Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueStatistiquedetest Régioncritiqueetrégiond’acceptation Statistiquedetest Lerisqued’erreurdepremièreespèceαétantfixé,ilfautchoisir unevariablededécisionencoreappeléestatistiquedetest. Cettevariableestconstruiteafind’apporterdel’informationsurle problèmeposé,àsavoirlechoixentrelesdeuxhypothèses. Saloidoitêtreparfaitementdéterminéedansaumoinsunedes deuxhypothèses(leplussouventdansH0)afindenepasintroduire denouvellesinconnuesdansleproblème. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueStatistiquedetest Régioncritiqueetrégiond’acceptation

Pa rtie 1 :Intro duction générale à la notion de tests

1Àquoisertuntest? Hypothèseseterreurs Testsbilatéraletunilatéral 2Contructiond’untest Statistiquedetest Régioncritiqueetrégiond’acceptation 3Miseenoeuvrepratique Ladémarcheàsuivrepourlamiseenplaced’untest Choixd’untest M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques24/201

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Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueStatistiquedetest Régioncritiqueetrégiond’acceptation Définition LarégioncritiquenotéeW(Wpourwrong),ouencoreappelée zonederejetestégaleàl’ensembledesvaleursdelavariablede décisionquiconduisentàécarterH0auprofitdeH1. Larégioncritiquecorresponddoncauxintervallesdanslesquels lesdifférencessonttropgrandespourêtrelefruitduhasard d’échantillonnage. Remarque Danslaplupartdessituationsquevousrencontrerezdanslasuite, larégioncritiqueWpeutêtrereliéeaurisqued’erreurdepremière espèceαparPH0[W]=α. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques

Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueStatistiquedetest Régioncritiqueetrégiond’acceptation Définition Larégiond’acceptationnotéeW,ouencoreappeléezone d’acceptationestlarégioncomplémentairedelarégioncritique W.Ellecorrespondàl’intervalledanslequellesdifférences observéesentrelesréalisationsetlathéoriesontattribuablesaux fluctuationsd’échantillonnage. Remarque Danslaplupartdessituationsquevousrencontrerezdanslasuite, larégiond’acceptationWpeutêtrereliéeaurisqued’erreurde premièreespèceαparPH0 W =1−α. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques26/201 Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueLadémarcheàsuivrepourlamiseenplaced’untest Choixd’untest

Pa rtie 1 :Intro duction générale à la notion de tests

1Àquoisertuntest? Hypothèseseterreurs Testsbilatéraletunilatéral 2Contructiond’untest Statistiquedetest Régioncritiqueetrégiond’acceptation 3Miseenoeuvrepratique Ladémarcheàsuivrepourlamiseenplaced’untest Choixd’untest M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques

Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueLadémarcheàsuivrepourlamiseenplaced’untest Choixd’untest Commentréaliseruntestetconclureàl’aided’unerégioncritique? 1ChoixdesdeuxhypothèsesH0etH1. 2Déterminationdelavariablededécision. 3AlluredelarégioncritiqueenfonctiondeH1:testbilatéral ouunilatéral. 4Calculdelarégioncritiqueenfonctiondeα. 5Calculdelavariablededécisionobservéesurl’échantillon. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques28/201

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Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueLadémarcheàsuivrepourlamiseenplaced’untest Choixd’untest Commentréaliseruntestetconclureàl’aided’unerégioncritique? 1ChoixdesdeuxhypothèsesH0etH1. 2Déterminationdelavariablededécision. 3AlluredelarégioncritiqueenfonctiondeH1:testbilatéral ouunilatéral. 4Calculdelarégioncritiqueenfonctiondeα. 5Calculdelavariablededécisionobservéesurl’échantillon. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques

Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueLadémarcheàsuivrepourlamiseenplaced’untest Choixd’untest Commentréaliseruntestetconclureàl’aided’unerégioncritique? 1ChoixdesdeuxhypothèsesH0etH1. 2Déterminationdelavariablededécision. 3AlluredelarégioncritiqueenfonctiondeH1:testbilatéral ouunilatéral. 4Calculdelarégioncritiqueenfonctiondeα. 5Calculdelavariablededécisionobservéesurl’échantillon. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques30/201 Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueLadémarcheàsuivrepourlamiseenplaced’untest Choixd’untest Commentréaliseruntestetconclureàl’aided’unerégioncritique? 1ChoixdesdeuxhypothèsesH0etH1. 2Déterminationdelavariablededécision. 3AlluredelarégioncritiqueenfonctiondeH1:testbilatéral ouunilatéral. 4Calculdelarégioncritiqueenfonctiondeα. 5Calculdelavariablededécisionobservéesurl’échantillon. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques

Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueLadémarcheàsuivrepourlamiseenplaced’untest Choixd’untest Commentréaliseruntestetconclureàl’aided’unerégioncritique? 1ChoixdesdeuxhypothèsesH0etH1. 2Déterminationdelavariablededécision. 3AlluredelarégioncritiqueenfonctiondeH1:testbilatéral ouunilatéral. 4Calculdelarégioncritiqueenfonctiondeα. 5Calculdelavariablededécisionobservéesurl’échantillon. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques32/201

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Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueLadémarcheàsuivrepourlamiseenplaced’untest Choixd’untest Commentréaliseruntestetconclureàl’aided’unerégioncritique? 6Conclusiondutest. Silavaleurcalculéeen5appartientàlarégionconstruiteen4, letestestsignificatifauniveauα. Vousrejetezl’hypothèsenulleH0etvousdécidezque l’hypothèsealternativeH1estvraie. Lerisqueassociéàcettedécisionestunrisqued’erreurde premièreespècequivautα. Silavaleurcalculéeen5n’appartientpasàlarégion construiteen4,letestn’estpassignificatifauniveauα. Vousconservezl’hypothèsenulleH0pardéfaut. Lerisqueassociéàcettedécisionestunrisqued’erreurde deuxièmeespècequivautβ.Pourl’évaluer,ilfaudraitcalculer lapuissance1−βdutest. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques

Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueLadémarcheàsuivrepourlamiseenplaced’untest Choixd’untest Commentréaliseruntestetconclureàl’aided’unerégioncritique? 7Calculdelapuissance1−βdutestlorsquecelui-cin’estpas significatif. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques34/201 Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueLadémarcheàsuivrepourlamiseenplaced’untest Choixd’untest Commentréaliseruntestetconclureàl’aided’unep-valeur? 1ChoixdesdeuxhypothèsesH0etH1. 2Déterminationdelavariablededécision. 3Calculdelap-valeuràpartirdesdonnéesdel’échantillon. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques

Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueLadémarcheàsuivrepourlamiseenplaced’untest Choixd’untest Commentréaliseruntestetconclureàl’aided’unep-valeur? 1ChoixdesdeuxhypothèsesH0etH1. 2Déterminationdelavariablededécision. 3Calculdelap-valeuràpartirdesdonnéesdel’échantillon. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques36/201

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Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueLadémarcheàsuivrepourlamiseenplaced’untest Choixd’untest Commentréaliseruntestetconclureàl’aided’unep-valeur? 1ChoixdesdeuxhypothèsesH0etH1. 2Déterminationdelavariablededécision. 3Calculdelap-valeuràpartirdesdonnéesdel’échantillon. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques

Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueLadémarcheàsuivrepourlamiseenplaced’untest Choixd’untest Commentréaliseruntestetconclureàl’aided’unep-valeur? 4Conclusiondutest. Silap-valeurestinférieureouégaleàα,letestestsignificatif auniveauα. Vousrejetezl’hypothèsenulleH0etvousdécidezque l’hypothèsealternativeH1estvraie. Lerisqueassociéàcettedécisionestunrisqued’erreurde premièreespècequivautα. Silap-valeureststrictementsupérieureàα,letestn’estpas significatifauniveauα. Vousconservezl’hypothèsenulleH0pardéfaut. Lerisqueassociéàcettedécisionestunrisqued’erreurde deuxièmeespècequivautβ.Pourl’évaluer,ilfaudraitcalculer lapuissance1−βdutest. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques38/201 Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueLadémarcheàsuivrepourlamiseenplaced’untest Choixd’untest Commentréaliseruntestetconclureàl’aided’unep-valeur? 5Calculdelapuissance1−βdutestlorsquecelui-cin’estpas significatif. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques

Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueLadémarcheàsuivrepourlamiseenplaced’untest Choixd’untest

Pa rtie 1 :Intro duction générale à la notion de tests

1Àquoisertuntest? Hypothèseseterreurs Testsbilatéraletunilatéral 2Contructiond’untest Statistiquedetest Régioncritiqueetrégiond’acceptation 3Miseenoeuvrepratique Ladémarcheàsuivrepourlamiseenplaced’untest Choixd’untest M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques40/201

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Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueLadémarcheàsuivrepourlamiseenplaced’untest Choixd’untest Introduction Plusieurstestsdeconceptiontrèsdifférentesontsouvent disponiblespoursoumettreàuneépreuvedevéritéunehypothèse. Définition Letestlepluspuissantestletestquifournitl’erreurβlaplus petite,pourunemêmevaleurdeαouencorequifournitlaplus grandevaleurdelapuissance1−β. Intérêtpratique Ilpeutdétecterlespluspetitesdifférencesentrelespopulations sanspourautantaugmenterα. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques

Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueLadémarcheàsuivrepourlamiseenplaced’untest Choixd’untest Conditionsd’utilisations Lamajoritédestestsstatistiquesreposesurlerespectd’uncertain nombredeconditions.Selonledegréderespectdecesconditions d’utilisation,lavaliditédesrésultatssetrouveplusoumoins affectéeetellel’estd’autantplusqueletestestmoinsrobuste. Définition Larobustessed’untestéquivautàsatolérancevis-à-visdu respectdesconditionsd’applicationdutest. Àretenir Vouspouvezdisposerdeplusieurstestspourvérifierunemême hypothèse.Enfonctionducontexte,ilfaudrapenseràutiliserle pluspuissantd’entreeux.Vousapprendrezbientôtlesdifférentes caractéristiquesdestestslesplusfréquemmentutilisés. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques42/201 Àquoisertuntest? Contructiond’untest MiseenoeuvrepratiqueLadémarcheàsuivrepourlamiseenplaced’untest Choixd’untest Remarque 1Lestestspeupuissantsaugmententlaprobabilitéde commettreuneerreurdedeuxièmeespèce.Or,cetteerreur peuts’avérerparticulièrementgrave. Exempled’erreurdedeuxièmeespèce Eneffet,enmédecine,considérezuneanalysestatistiquequi permettraitdedécidersiunpatientestsain(H0)oumalade(H1). Classercommemaladeunsujetbienportant(erreurdepremière espèce),peutavoirdesconséquencesaussigravesqueclasser commebienportantunsujetmalade(erreurdedeuxièmeespèce). 2Pourévaluerlapuissanced’untest,vouspourrezêtreamenéà utiliserdescourbesdepuissanceouencoreappelées abaques. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques

Espérance Variance Grands

échantillons Prop

ortion

Deuxième pa rtie II Tests de compa raison avec une no rme

M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques44/201

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Espérance Variance Grands échantillons Prop

ortion

Espéranced’uneloinormaledevarianceconnue Espéranced’uneloinormaledevarianceinconnue Problématique Unproblèmefréquentestdecomparerlamoyenned’uncaractère d’unepopulationavecunenorme. Noussupposonsquececaractèreestdistribuénormalementausein delapopulation. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques Espérance Variance Grands

échantillons Prop

ortion

Espéranced’uneloinormaledevarianceconnue Espéranced’uneloinormaledevarianceinconnue

Pa rtie 2 :T ests de compa raison avec une no rme

4Espérance Espéranced’uneloinormaledevarianceconnue Espéranced’uneloinormaledevarianceinconnue 5Variance Varianced’uneloinormaled’espéranceconnue Varianced’uneloinormaled’espéranceinconnue 6Grandséchantillons Espéranced’uneloiqcq,casdesgdséch. Varianced’uneloiqcq,casdesgdséch. 7Proportion Proportion,tirageavecremise Proportion,tiragesansremise M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques46/201 Espérance Variance Grands

échantillons Prop

ortion

Espéranced’uneloinormaledevarianceconnue Espéranced’uneloinormaledevarianceinconnue

est unilatéral

SoitXunevariablealéatoirequisuituneloinormaled’espéranceµ etdevarianceσ2 connue. Hypothèsesdutest Voussouhaitezchoisirentrelesdeuxhypothèsessuivantes: H0:µ=µ0 contre H1:µ>µ0ouµ<µ0. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques Espérance Variance Grands

échantillons Prop

ortion

Espéranced’uneloinormaledevarianceconnue Espéranced’uneloinormaledevarianceinconnue Conditionsd’applicationdutest Ilfautquel’échantillonx1,...,xnsoitdesréalisations indépendantesdelavariablealéatoireXquisuituneloinormale. Statistiquedutest LavariablealéatoireZ=bµn−µ0 σ/√ nsuituneloinormaleN(0;1). M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques48/201

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Espérance Variance Grands échantillons Prop

ortion

Espéranced’uneloinormaledevarianceconnue Espéranced’uneloinormaledevarianceinconnue Décisionetconclusiondutest Lavaleurcritiquedutest,notéecα,estluedanslatabledelaloi normalecentréeetréduite.Silavaleurdelastatistiquecalculéesur l’échantillon,notéezobs,estsupérieureouégaleàcα(ouinférieure ouégaleàcα),alorsletestestsignificatif.VousrejetezH0etvous décidezqueH1estvraieavecunrisquedepremièreespèce α=5%.Silavaleurdelastatistiquecalculéesurl’échantillon, notéezobs,eststrictementinférieureàcα,alorsletestn’estpas significatif.VousconservezH0avecunrisquededeuxièmeespèce β. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques Espérance Variance Grands

échantillons Prop

ortion

Espéranced’uneloinormaledevarianceconnue Espéranced’uneloinormaledevarianceinconnue

T est bilatéral

Hypothèsesdutest Voussouhaitezchoisirentrelesdeuxhypothèsessuivantes: H0:µ=µ0 contre H1:µ6=µ0. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques50/201 Espérance Variance Grands

échantillons Prop

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Espéranced’uneloinormaledevarianceconnue Espéranced’uneloinormaledevarianceinconnue Conditionsd’applicationdutest Ilfautquel’échantillonx1,...,xnsoitdesréalisations indépendantesdelavariablealéatoireXquisuituneloinormale. Statistiquedutest LavariablealéatoireZ=bµn−µ0 σ/√ nsuituneloinormaleN(0;1). M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques Espérance Variance Grands

échantillons Prop

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Espéranced’uneloinormaledevarianceconnue Espéranced’uneloinormaledevarianceinconnue Décisionetconclusiondutest Lavaleurcritiquedutest,notéecα,estluedanslatabledelaloi normalecentréeetréduite.Silavaleurabsoluedelavaleurdela statistiquecalculéesurl’échantillon,notéezobs,estsupérieureou égaleàcα,alorsletestestsignificatif.VousdécidezderejeterH0 etvousdécidezqueH1estvraieavecunrisqued’erreurdepremière espèceα=5%.Silavaleurabsoluedelavaleurdelastatistique calculéesurl’échantillon,notéezobs,eststrictementinférieureàcα, alorsletestn’estpassignificatif.VousdécidezdeconserverH0 avecunrisqued’erreurdedeuxièmeespèceβqu’ilfaudraitévaluer. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques52/201

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Espérance Variance Grands échantillons Prop

ortion

Espéranced’uneloinormaledevarianceconnue Espéranced’uneloinormaledevarianceinconnue D’après«Mathématiquespourlessciencesdel’ingénieur»,F. Bertrand,S.Ferrigno,D.Marx,M.Maumy-BertrandetA. Muller-Gueudin. Dansl’atmosphère,letauxd’ungaznocif,pourunvolumedonné, suituneloinormaled’espéranceµetdevarianceσ2 égaleà100. 30prélèvementsontétéeffectuésetlesvaleursdeces30 prélèvementssontlessuivantes: 52,0;60,2;68,8;46,8;62,2;53,5;50,9;44,9;73,2;60,4; 61,9;67,8;30,5;52,5;40,4;29,6;58,3;62,6;53,6;64,6; 54,4;53,8;49,8;57,4;63,1;53,4;59,4;48,6;40,7;51,9. Pouvez-vousconclureaurisqueα=5%,quel’espéranceµest inférieureà50,quiestleseuiltolérableadmis? M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques Espérance Variance Grands

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Espéranced’uneloinormaledevarianceconnue Espéranced’uneloinormaledevarianceinconnue Suitedel’exemple Lamarcheàsuivrepourrépondreàcettequestionestlasuivante: 1réaliserletestdenormalitédeShapiro-Wilksurl’échantillon des30prélèvements, 2puisfairelecalcul«àlamain»,ouavecunlogiciel,dela statistiqueassociéeautestunilatéralquevousavezchoisipour répondreàcettequestion. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques54/201 Espérance Variance Grands

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Espéranced’uneloinormaledevarianceconnue Espéranced’uneloinormaledevarianceinconnue Solution Lalignedecommandequevousdeveztaperpourrentrerles donnéesestlasuivante: gaz<-c(52.0,60.2,68.8,46.8,62.2,53.5,50.9,44.9,73.2, 60.4,61.9,67.8,30.5,52.5,40.4,29.6, 58.3,62.6,53.6,64.6,54.4,53.8,49.8, 57.4,63.1,53.4,59.4,48.6,40.7,51.9) Pourtesterlanormalitédel’échantillongazavecletestde Shapiro-Wilk,voustapezlalignedecommandesuivante: >shapiro.test(gaz) M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques Espérance Variance Grands

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Espéranced’uneloinormaledevarianceconnue Espéranced’uneloinormaledevarianceinconnue Suitedelasolution Rrenvoielerésultatsuivant: Shapiro-Wilknormalitytest data:gaz W=0.9599,p-value=0.3077 Lap-valeur(0,3077)dutestdeShapiro-Wilkétantstrictement supérieureàα=5%,letestn’estpassignificatif.Vousconservez doncl’hypothèsenulleH0dutestdeShapiro-Wilk.Lerisque d’erreurassociéàcettedécisionestunrisquededeuxièmeespèceβ. Vousnepouvezpasl’évaluerdanslecasd’untestdeShapiro-Wilk. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques56/201

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Espéranced’uneloinormaledevarianceconnue Espéranced’uneloinormaledevarianceinconnue Suitedel’exemple Maintenant,vousallezréaliserletestquiaétéprésentéci-dessus. Vouscommencezpardéterminerlazoned’acceptation.Pourcela vousavezbesoindeconnaîtrelavaleurduquantiledelaloi normalecentréeetréduiteà0,95.Pourrécupérerlavaleurdece quantile,tapezlalignedecommandesuivante: >qnorm(0.95) [1]1.644854 Vousendéduisezlazoned’acceptationouencoreappelée égalementlazonedenon-rejet: ]−∞;1,644854[. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques Espérance Variance Grands

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Espéranced’uneloinormaledevarianceconnue Espéranced’uneloinormaledevarianceinconnue Suitedel’exemple Ensuite,vousallezcalculerlastatistiquedutestetvoirsicette dernièreappartientoupasàlarégiond’acceptation.Pourcela, vousalleztaperlesdeuxlignesdecommandesuivantes: >z<-(sqrt(30)*(mean(gaz)-50))/10 >z [1]2.322344 Comme2,322344n’appartientpasàl’intervalle]−∞;1,644854[, letestestsignificatif.VousdécidezderejeterH0etvousdécidez queH1estvraieavecunrisqued’erreurdepremièreespèce α=5%.Doncvouspouvezconclure,avecunrisqueα=5%,que l’espéranceµestsupérieureà50,quiestleseuiltolérableadmis. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques58/201 Espérance Variance Grands

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Espéranced’uneloinormaledevarianceconnue Espéranced’uneloinormaledevarianceinconnue Suitedel’exemple Vousvenezderaisonneraveclastatistiquedetest,maisilest évidentquevouspouvezaussiraisonnerentermedep-valeur.Il suffitpourceladetaperleslignesdecommandesuivantes: >install.packages("TeachingDemos") >library(TeachingDemos) >z.test(gaz,mu=50,sd=10,alternative="greater", +conf.level=0.95) M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques Espérance Variance Grands

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Espéranced’uneloinormaledevarianceconnue Espéranced’uneloinormaledevarianceinconnue Suitedel’exemple LelogicielRvousrenvoielasortiesuivante: OneSamplez-test data:gaz z=2.3223,n=30.000,Std.Dev.=10.000, Std.Dev.ofthesamplemean=1.826, p-value=0.01011 alternativehypothesis:truemeanisgreaterthan50 95percentconfidenceinterval: 51.23692Inf sampleestimates: meanofgaz 54.24 M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques60/201

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Espéranced’uneloinormaledevarianceconnue Espéranced’uneloinormaledevarianceinconnue Findel’exemple Lap-valeur(0,01011)dutestzétantstrictementinférieureà α=5%,letestestsignificatif.VousdécidezderejeterH0etvous décidezqueH1estvraieavecunrisqued’erreurdepremièreespèce α=5%.Doncvouspouvezconclure,avecunrisqueα=5%,que l’espéranceµestsupérieureà50,quiestleseuiltolérableadmis. Ànoter Quecesoitunraisonnementaveclastatistiquedutestouavecla p-valeur,laconclusiondutestestidentique. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques Espérance Variance Grands

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Pa rtie 2 :T ests de compa raison avec une no rme

4Espérance Espéranced’uneloinormaledevarianceconnue Espéranced’uneloinormaledevarianceinconnue 5Variance Varianced’uneloinormaled’espéranceconnue Varianced’uneloinormaled’espéranceinconnue 6Grandséchantillons Espéranced’uneloiqcq,casdesgdséch. Varianced’uneloiqcq,casdesgdséch. 7Proportion Proportion,tirageavecremise Proportion,tiragesansremise M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques62/201 Espérance Variance Grands

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Espéranced’uneloinormaledevarianceconnue Espéranced’uneloinormaledevarianceinconnue

unilatéral I

SoitXunevariablealéatoirequisuituneloinormaled’espéranceµ etdevarianceσ2 inconnues. Remarque Letestunilatéralsedéduitaisémentdutestbilatéral. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques Espérance Variance Grands

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Test bilatéral I

Hypothèsesdutest Cesontlesmêmesqueprécédemment. Conditionsd’applicationdutest Ilfautquel’échantillonx1,...,xnsoitdesréalisations indépendantesdelavariablealéatoireXquisuituneloinormale. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques64/201

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Test bilatéral II

Statistiquedutest LavariablealéatoireTn1=bµn−µ0 Sn,c/√ nsuituneloideStudent t(n−1). M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques

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Test bilatéral III

Décisionetconclusiondutest Lavaleurcritiquedutest,notéecα,estluedansunetabledelaloi deStudent.Silavaleurabsoluedelavaleurdelastatistique calculéesurl’échantillon,notéetn1,obs,estsupérieureouégaleà cα,alorsletestestsignificatif.VousdécidezderejeterH0etvous décidezqueH1estvraieavecunrisqued’erreurdepremièreespèce α=5%.Silavaleurabsoluedelavaleurdelastatistiquecalculée surl’échantillon,notéetn1,obs,eststrictementinférieureàcα, alorsletestn’estpassignificatif.VousdécidezdeconserverH0 avecunrisqued’erreurdedeuxièmeespèceβqu’ilfaudraitévaluer. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques66/201 Espérance Variance Grands

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Espéranced’uneloinormaledevarianceconnue Espéranced’uneloinormaledevarianceinconnue

Test bilatéral IV

Remarque Danslecasoùlaconditiond’applicationn’estpasvérifiée,ilvous fautalorsutiliseruntestnonparamétrique:letestdessignesoule testdesrangssignésdeWilcoxon.Cedernierdemandeaussiune conditiond’applicationmaismoinsrestrictive,àsavoirquela variabledontestissul’échantillondoitêtredistribuée symétriquement.Notezaussiqueleshypothèsesassociéesàcetest nesontpaslesmêmes. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques Espérance Variance Grands

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Espéranced’uneloinormaledevarianceconnue Espéranced’uneloinormaledevarianceinconnue Exemple Lejardinieraimeraitsavoirsilesglycinesblanchesqu’ilaplantées sursonterrainsuiventbienlesspécificitésdelanoticequ’ilareçu lorsqu’ilacommandésesgrainessurinternet.Ilétaitindiquésurla noticequechaquegoussedeglycinesblanchesàmaturitédoit mesurer15cmdelong.Commentpeut-ils’assurerquelesgousses qu’iladanssonjardinsuiventbiencettespécificité? M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques68/201

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Espéranced’uneloinormaledevarianceconnue Espéranced’uneloinormaledevarianceinconnue Démarcheàsuivre Ilcontacteunétudiantenlicencedebiologiepourl’aiderà répondreàsaquestion.L’étudiantluiproposedefaireuntestde Studentsursesdonnées.Laprocédureestlasuivante: 1réaliserletestdenormalitédeShapiro-Wilksurl’échantillon, 2puisréaliserletestdeStudentpuisquel’étudiantn’aaucune informationsurlavariancedelapopulationquiestdonc inconnue. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques Espérance Variance Grands

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Espéranced’uneloinormaledevarianceconnue Espéranced’uneloinormaledevarianceinconnue Solution Lalignedecommandequevousdeveztaperpourextraireles donnéesquisontétudiéesestlasuivante: >glycine<-subset(Mesures, subset=(Mesures$espece=="glycineblanche")) Pourtesterlanormalitédel’échantillontailleavecletestde Shapiro-Wilk,voustapezlalignedecommandesuivante: >shapiro.test(glycine$taille) Rrenvoielerésultatsuivant: Shapiro-Wilknormalitytest data:glycine$taille W=0.9798,p-value=0.4906 M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques70/201 Espérance Variance Grands

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Espéranced’uneloinormaledevarianceconnue Espéranced’uneloinormaledevarianceinconnue Suitedelasolution Lap-valeur(0,4906)dutestdeShapiro-Wilkétantstrictement supérieureàα=5%,letestn’estpassignificatif.Vousconservez doncH0.Lerisqued’erreurassociéàcettedécisionestunrisque dedeuxièmeespèceβ.Vousnepouvezpasl’évaluerdansled’un testdeShapiro-Wilk. VouspouvezdonceffectuerletestdeStudentcommelesuggère l’étudiantenlicencedebiologie. M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques Espérance Variance Grands

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Espéranced’uneloinormaledevarianceconnue Espéranced’uneloinormaledevarianceinconnue Suitedelasolution Pourcela,voustapezlalignedecommandesuivanteenspécifiant µ0=15cm: >t.test(glycine$taille,mu=15) Rrenvoielerésultatsuivant: OneSamplet-test data:glycine$taille t=-0.5067,df=53,p-value=0.6145 alternativehypothesis:truemeanisnotequalto15 95percentconfidenceinterval: 13.8705015.67395 sampleestimates: meanofx 14.77222 M.Maumy-BertrandetF.BertrandTestsparamétriques72/201

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Abbreviations: DTP3: 3rd dose of Diphteria, Tetanus and Pertusis vaccine; HepB3: at least 3 doses of hepatitis B vaccine; HBsAg: hepatitis B surface antigen; SBA: Skilled

Abbreviations: DTP3: 3rd dose of Diphteria, Tetanus and Pertusis vaccine; HepB3: at least 3 doses of hepatitis B vaccine; HBsAg: hepatitis B surface antigen; SBA: Skilled

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