MATHÉMATIQUES 2S (ÉPREUVE N° 283) ANNÉE 2018 ÉPREUVE CONÇUE PAR HEC PARIS ET ESCP EUROPE VOIE ÉCONOMIQUE ET COMMERCIALE

MATHÉMATIQUES 2S (ÉPREUVE N° 283)

ANNÉE 2018

ÉPREUVE CONÇUE PAR HEC PARIS ET ESCP EUROPE VOIE ÉCONOMIQUE ET COMMERCIALE

1 – – – Le sujet –

Les trois parties du problème avaient pour objet l’étude de la convergence de séries dont les termes sont des variables aléatoires.

La convergence de telles séries, en loi ou en probabilité, est celle de la suite des sommes partielles associées.

Dans une partie I, on étudiait un cas particulier de série aléatoire, dite série télescopique.

Cette partie faisait appel à des connaissances précises sur des notions fondamentales telles que densité de probabilité, fonction de répartition, convergence en loi, produit de convolution et loi normale centrée réduite.

La partie II était consacrée à l’étude de séries numériques « lacunaires » obtenues à partir de la série harmonique (divergente) par effacement de certains de ses termes.

Deux exemples de séries convergentes et un exemple de série divergente étaient proposés, cette partie s’achevant sur la complétude d’un script Scilab.

Enfin, la partie III, la plus longue, proposait une étude complète des séries aléatoires de Riemann alternées.

Cette partie mobilisait des connaissances sur la convergence de séries numériques, l’inégalité de Markov, le théorème de la limite monotone pour des événements aléatoires et sur les convergences en loi et en probabilité.

Une question de Scilab se présentait sous forme graphique et permettait de conjecturer une

certaine convergence en loi, convergence que l’on demandait de démontrer dans l’ultime

question du problème.

2 – – – Barè – è ème è

Les trois parties du problème comptaient respectivement pour 31%, 25% et 44% des points de barème.

Le poids des questions de Scilab était assez élevé puisqu’il représentait 14% des points de barème. Les questions les plus cotées étaient : 2.a), 2.b), 2.c), 8.d) et 10.a).

3 – – – Remarques de correction –

D’une façon générale, la connaissance du cours est insuffisante : un petit nombre de questions sont traitées « mécaniquement », sans avoir à réfléchir, tandis que nombre de questions aussi simples et classiques sont laissées de côté.

Les opérations élémentaires et les notions de base sont de plus en plus mal maîtrisées : addition et multiplication sont régulièrement confondues (on passe de 2x = y à x = y-2 ; on confond diviser par 2n et diviser par n

, etc .), propriétés de la fonction de répartition d’une variable aléatoire à densité, utilisation de l’indépendance (invoquée pour l’espérance d’une somme ou pour le théorème de Slutsky mais pas pour la convolution ou la somme de lois normales !!).

1.a) Confusion entre somme et somme partielle. Des conclusions aberrantes : « la somme est nulle », « le terme général tend vers 1, donc la série converge », etc.

2.a) Le calcul de c

demandait de bien s’organiser. La plupart des fautes de calcul provenaient d’une erreur de signe dans la première intégrale. La manipulation des fractions a été un obstacle insurmontable dans beaucoup de copies. Le graphe de f

s’est révélé très discriminant : densités négatives, fonctions non affines, asymptotes verticales, etc.

3.a) Dans une majorité de copies, la variable aléatoire X est bornée puisqu’elle admet une densité bornée, ce qui permet d’appliquer l’inégalité de Markov !!

3.b) Le théorème de Slutsky est très souvent invoqué. La convergence en probabilité vers une variable aléatoire certaine est rarement invoquée. En revanche, l’indépendance de X

et X

est présentée comme une condition nécessaire…

3.c) Cette fois, dans l’application de la convolution, l’indépendance est oubliée !!

4.a) On identifie la loi d’une combinaison linéaire de variables aléatoires normales indépendantes en calculant un produit de convolution (alors que c’est du cours!!).

Cette question s’est révélée d’autant plus sélective qu’il n’est pas rare de trouver dans les copies que « la variance d’une différence est égale à la différence des variances » !!

5.c) Cette question n’a été traitée que par environ 5% des candidats.

Beaucoup de candidats utilisent la formule (fausse) : m

m

= m

. 6.a) C’est la question qui est souvent traitée correctement.

6.b) De rarissimes candidats prennent soin d’expliquer l’apparition des parties entières dans

les bornes.

6.c) La concavité du logarithme est assez bien connue. La manipulation des parties entières est parfois frauduleuse.

8.b) Le développement en série entière de la fonction exp commence souvent à 1.

8.c) Une part non négligeable de candidats appliquent l’inégalité de Markov à la variable aléatoire S

qui est centrée et ils en déduisent que P(S

> s) ≤ 0…

9.a) Le fait qu’une tribu soit stable par union d é nombrable et intersection d é nombrable est absent de la plupart des copies.

Questions de Scilab 6.g) et 11.c)

Ces questions donnent très rarement lieu à des explications précises.

Ainsi, dans la question 6.g), très peu de candidats comprennent que l’entier n augmente de 2 en 2 dans la boucle while. En particulier, la question demandant de compléter la ligne (6) fut très révélatrice.

Dans la question 11.c), on observe que la notion de convergence en loi ne signifie pas grand- chose pour la plupart des candidats. Ainsi, certains ont « vu » que les valeurs de H

- h

(1) convergeaient vers 0 ; d’autres ont affirmé que la loi limite était la loi normale centrée réduite !!

4 – – – Conseils aux futurs candidats –

Pour ce qui concerne la forme, le jury conseille aux futurs candidats de lire attentivement le texte préliminaire qui précède toute épreuve écrite de mathématiques, dans lequel il est précisé notamment, que la lisibilité et la qualité de la rédaction entrent pour une part non négligeable dans l’appréciation des copies : un correcteur ne s’attarde pas à essayer de

« décrypter » une copie illisible. Par contre, une copie propre et claire ne peut qu’avantager son auteur. Le jury rappelle également que les abréviations dans les copies doivent être proscrites et il conseille de bien numéroter les questions et d’encadrer les résultats.

De plus, les raisonnements doivent être clairs et précis, les affirmations étant étayées par une argumentation solide. Par exemple, le recours trop fréquent à des phrases du type « il est clair que… » doit être évité au profit d’une justification correcte fondée sur un apprentissage rigoureux et une très bonne maîtrise du cours.

Le jury recommande aux futurs candidats de prendre le temps de lire l’ensemble du sujet, non seulement pour s’en imprégner, mais aussi pour pointer les questions qui paraissent faciles à résoudre, lesquelles ne se situent pas nécessairement dans la première partie du sujet.

La recherche d’une solution à une question ne doit pas dépasser quatre à cinq minutes. Au-

delà de ce délai, en cas d’échec, le candidat doit admettre le résultat de cette question (si la

réponse figure dans l’énoncé), passer à la question suivante sans éprouver un sentiment de

déstabilisation ou de découragement. Autrement dit, le jury recommande aux futurs

candidats de faire preuve d’une grande ténacité.

5 – – – Statistiques –

Sur les 3238 candidats ayant composé dans cette épreuve, la note moyenne est de 10,28 avec un écart-type de 5,75 suffisamment élevé pour classer les candidats de manière satisfaisante.

Le nombre de candidats ayant obtenu une note supérieure ou égale à 16 est de 535, soit 16,5% des candidats présents.

On compte 48 candidats qui se voient attribuer la note maximale de 20 en légère progression par rapport au concours 2017.

La note médiane est de 12,4 et les premier et troisième quartiles sont égaux à 4,6 et 14,9 respectivement.

La note maximale de 20 était attribuée aux candidats ayant obtenu au moins 60% des points

du barème.

HEC 2018 Mathématiques 2 Éléments de corrigé

Partie I : séries télescopiques

Dans cette partie, on considère une suite (X_n)_n∈N^∗ de variables aléatoires indépendantes, de même loi qu'une variable aléatoire de référenceX, et on étudie la convergence de la série aléatoire

X

n≥1

Xn

n −Xn+1

n+ 1

(1)

1. a) Comme

N

X

n=1

1 n(n+ 1) =

N

X

n=1

1 n− 1

n+ 1

= 1− 1

N+ 1 tend vers 1quand N tend vers l'inni, la série X

n≥1

1

n(n+ 1) est convergente et :

+∞

X

n=1

1

n(n+ 1) = 1 ·

b) L'exemple proposé correspond au cas où la variable de référenceX est (presque certai- nement) égale à1 :

P([X = 1]) = 1 .

2. Pour toutn∈N^∗, on considère une variable aléatoireY_nadmettant pour densité la fonctionf_n dénie par

f_n(x) =























0 six <− 1

n+ 1 1 + (n+ 1)x si − 1

n+ 1 ≤x≤0 cn si 0< x < n

n+ 1 (n+ 1)(1−x) si n

n+ 1 ≤x≤1

0 six >1

(2)

oùcn est une constante strictement positive.

1

a) On trouve cn= 1 (condition nécessaire et susante pour que l'intégrale defn de−∞

à+∞soit égale à1) et un graphe trapézoïdal (voir FIGURE 1).

Figure 1 Représentation graphique def3

b) Après calculs, on trouve :

F_n(x) =



























0 six <− 1

n+ 1 n+ 1

2 x+ 1

n+ 1 ²

si − 1

n+ 1 ≤x≤0

x+ 1

2(n+ 1) si 0< x < n n+ 1 1−n+ 1

2 (x−1)² si n

n+ 1 ≤x≤1

1 six >1

(3)

La fonctionF_n est de classeC¹sur R puisquef_n est continue en tout point.

Figure 2 Représentation graphique deF3

c) lim

n→+∞Fn(x) =







0 six≤0 x si 0< x <1 1 six≥1

·

2

La suite(Yn)_n∈N^∗converge donc en loi vers une variable aléatoireY qui suit la loi uniformeU[0,1]. 3. D_n=X₁−X_n+1

n+ 1 · a) Soitε >0. P([|Xn+1

n+ 1| ≥ε]] =P([|X| ≥(n+ 1)ε]) =P([X ≤ −(n+ 1)ε]) + 1−P([X ≤(n+ 1)ε]) tend vers0quandntend vers l'inni (parce que la fonction de répartition deX tend vers0en

−∞et vers 1en+∞, ou par application directe du théorème de limite monotone).

Remarque

Le théorème de Slutsky fournit directement la convergence en loi vers0, mais le fait que, lorsque la limite est presque certaine, les deux notions de convergence coïncident n'est pas un théorème du programme.

b) La suite constante (X1)_n∈N^∗ converge en loi vers X et la suite − Xn+1

n+ 1

n∈N^∗ en probabilité vers0.

Le théorème de Slutsky permet dès lors d'armer queDn converge en loi versX. c) La variable aléatoire−Xn+1

n+ 1 admet pour densité la fonction g_n:t7−→(n+ 1)f −(n+ 1)t

.

Par application de la formule de convolution, la variable aléatoire Dn admet pour densité la fonction

f_Dn :x7−→

Z +∞

−∞

f(t)g_n(x−t) dt= (n+ 1) Z +∞

−∞

f(t)f (n+ 1)(t−x) dt .

Le fait que la densitéf est bornée permet d'armer que la formule de convolution est applicable pour dénir une densité de la somme des deux variables aléatoires indépendantesXnet−Xn+1

n+ 1 · d) Lorsque la variable de référenceX suit la loi uniformeU[0,1], la densité deDn est la densitéf_n de la question 2 et la convergence en loi de D_n versX n'est autre que le résultat prouvé en 2c.

4. a) En tant que combinaison linéaire de deux variables aléatoires normales centrées indépendantes, la variable aléatoireU_n suit une loi normale centrée, dont la variance est :

V(U_n) = 1

n²V(X_n) + 1

(n+ 1)²V(X_n+1).

La variable aléatoireUn suit donc la loi normale centrée N 0, 1

n² + 1 (n+ 1)²

·

b)

n

X

k=1

U_k =

n

X

k=1

X_k

k −X_k+1 k+ 1

=X₁−X_n+1

n+ 1 converge en loi versX, d'après 3.b.

Il en résulte, par la dénition donnée en introduction, que la série X

n≥1

Un converge en loi et que la loi de la limite de ses sommes partielles est la loi normale centrée réduite.

3

c) i) La variable aléatoireT_n⁰ suit la loi normale centrée de variance

n

X

k=1

1

k² + 1 (k+ 1)²

, dont on peut exprimer la fonction de répartition à l'aide de la fonction de répartitionΦde la loi normale centrée réduite.

∀x∈R, P([T_n⁰ ≤x]) = Φ x pV(T_n⁰)

·

Lorsquentend vers l'inni, la variance deT_n⁰ tend vers

+∞

X

k=1

1

k²+ 1 (k+ 1)²

= 2

+∞

X

k=1

1 k²

−1 = 2ζ(2)−1 = π² 3 −1 et par conséquent, grâce à la continuité de la fonctionΦ:

n→+∞lim P([T_n⁰ ≤x]) = Φ x rπ²

3 −1

qui est la valeur enxde la fonction de répartition d'une variable aléatoire normale centrée de variance π²

3 −1.

La suite(T_n⁰)_n∈N^∗ converge donc en loi vers une variable aléatoire de loiN 0,π² 3 −1

· ii) Les sommes partielles des deux séries X

n≥1

Un et X

n≥1

U_n⁰ n'admettent pas la même limite en loi, alors que pour toutn∈N^∗,Un etU_n⁰ suivent la même loi.

Cela ne révèle aucune contradiction, parce que les variables aléatoiresU_n⁰ sont indépendantes alors que les variables aléatoiresUn ne le sont pas.

Partie II : séries harmoniques lacunaires

5. a) Soitn∈N^∗.

Pour que le carrék² d'un entierk∈N^∗ soit inférieur ou égal àn, il faut et il sut queksoit inférieur ou égal àb√

nc. On a donc : hn(D) =

n

X

i=1

1_D(i)

i =

b√ nc

X

k=1

1 k² ·

b) Par passage à la limite dans la formule précédente, on justie la convergence de la suite hn(D)

n∈N^∗ et obtient :

+∞

X

n=1

1_D(n)

n =ζ(2) = π² 6 ·

c) SoitS={m∈N;m^1/6∈N^∗}. On procède par double inclusion :

• S⊂ D ∩ T parce que, sin=m^1/6∈N^∗, alors

m= (n³)²= (n²)³∈ D ∩ T .

• D ∩ T ⊂S parce que, sim appartient àD ∩ T, alors il existe deux entiers strictement positifsk et`tels que

m=k²=`³.

4

Dès lors :

m^1/6=m^1/2m^−1/3=k

`

ce qui entraîne quem^1/6est un nombre entier puisqu'il est aussi égal à√

`, qui serait irrationnel si cette racine carrée n'était pas un élément deN^∗ (d'après la propriété admise).

d)

+∞

X

n=1

1_D∪T(n)

n =

+∞

X

n=1

1_D(n)

n +

+∞

X

n=1

1_T(n)

n −

+∞

X

n=1

1_D∩T(n)

n = ζ(2) +ζ(3)−ζ(6) .

6.

I ={2n−1 ;n∈N^∗} (4) a) Pour toutt∈ [n, n+ 1], on a :

0≤ 1

2n−1 − 1

2t−1 = 2(t−n)

(2n−1)(2t−1) ≤ 2 (2n−1)² d'où les inégalités demandées par croissance de l'intégrale.

b) Soitn∈N^∗.

Pour qu'un entier impair2k−1soit inférieur ou égal àn, il faut et il sut queksoit inférieur ou égal àb(n+ 1)/2c. On a donc :

hn(I) =

n

X

i=1

1_I(i)

i =

b(n+1)/2c

X

k=1

1 2k−1

=

b(n+1)/2c

X

k=1

uk+

Z k+1 k

1 2t−1dt

=

b(n+1)/2c

X

k=1

uk+

Z b(n+1)/2c+1 1

1 2t−1dt d'où :

hn(I) =

b(n+1)/2c

X

k=1

uk+

Z b(n+3)/2c 1

1 2t−1dt .

c) Comme n+ 3

2 −1<bn+ 3

2 c ≤ n+ 3 2 , on a n <2bn+ 3

2 c −1≤n+ 2. Par conséquent

1< 2b(n+ 3)/2c −1

n ≤1 + 2

n

et, grâce à l'inégalité de concavitéln(1 +x)≤x(valable pour toutx >−1), 0≤ln2b(n+ 3)/2c −1

n

≤ 2 n · d) La série à termes positifsX

n≥1

u_n est convergente puisque son terme général est majoré par le terme général d'une série convergnte, d'après a.

hn(I)−ln(√ n) =

b(n+1)/2c

X

k=1

uk

+hln(2t−1) 2

ib(n+3)/2c

1 −1

2ln(n)

=

b(n+1)/2c

X

k=1

uk

+1

2ln2b(n+ 3)/2c −1 n

5

qui tend vers δ=

+∞

X

k=1

uk quandntend vers l'inni, puisque lim

n→+∞ln2b(n+ 3)/2c −1 n

= 0, d'après c.

e) Soitn∈N^∗.

Par décroissance de la fonctiont7−→ 2

(2t−1)² sur[1,+∞[, on a :

∀k≥2, 2 (2k−1)² ≤

Z k k−1

2 (2t−1)²dt

d'où +∞

X

k=n+1

uk≤

+∞

X

k=n+1

Z k k−1

2

(2t−1)²dt= Z +∞

n

2

(2t−1)²dt= 1 2n−1 ·

f) δ− h_n(I)−ln(√ n)

= ^+∞X

k=b(n+1)/2c+1

u_k

−1

2ln2b(n+ 3)/2c −1 n

.

Comme

+∞

X

k=b(n+1)/2c+1

uk ≥0 et 1

2ln2b(n+ 3)/2c −1 n

≤ 1

n, on a :

−1

n ≤δ− hn(I)−ln(√ n)

.

Comme 1

2ln2b(n+ 3)/2c −1 n

≥0

et

+∞

X

k=b(n+1)/2c+1

uk ≤ 1

2b(n+ 1)/2c −1 ≤ 1 2 (n+ 1)/2−1

−1 = 1

n−2, on a :

δ− hn(I)−ln(√ n)

≤ 1 n−2 ·

g) i) Lorsque eps=0.2, le test d'entrée dans la boucle correspond à l'inégalitén−2<5. Comme les valeurs aectées ànprogressent de deux en deux, les seules valeurs dehn(I)−ln(√

n) eectivement calculées seront h3(I)−ln(√

3) (valeur initiale aectée à s) et h5(I)−ln(√ 5) , puisque le test d'entrée dans la boucle rejette la valeurn= 7.

ii)

(6) s=s+1/n+(log(n-2)-log(n))/2;

iii) D'après l'encadrement établi en question f, la valeur absolue de l'écart entreh_n(I)−ln(√ n)et δ ne peut pas excéder1/(n−2). Avec le test d'entrée dans la boucle 1/(n-2)>eps on est as-

suré que la dernière valeur aectée à s correspond à un entiern pour lequel l'écart avecδ n'excèdera pas eps .¹

1. On trouve, par exemple, delta(0.000001)'0.6351819 . La valeur exacte deδest γ+ ln(2)

2 , oùγest la constante d'Euler.

6

Partie III : séries de Riemann alternées

7. a) i) On procède par récurrence.

• Initialisation : la propriété est vraie pourn= 2 puisque

2

X

k=1

xk

k^β =x₁+x2

2^β et s2

2^β +s₁

1− 1 2^β

=x1+x2

2^β +x₁

1− 1 2^β

=x₁+x2

2^β ·

• Hérédité : on suppose la propriété vraie à l'ordren(≥2). On a alors

n+1

X

k=1

x_k

k^β = x_n+1 (n+ 1)^β +

n

X

k=1

x_k

k^β = x_n+1 (n+ 1)^β + s_n

n^β +

n−1

X

k=1

sk

1

k^β − 1 (k+ 1)^β

=sn+1−sn

(n+ 1)^β + sn

n^β +

n−1

X

k=1

sk

1

k^β − 1 (k+ 1)^β

= sn+1

(n+ 1)^β +

n

X

k=1

sk

1

k^β − 1 (k+ 1)^β

ce qui démontre que la propriété est vraie à l'ordren+ 1. On a ainsi prouvé, pour tout entiern≥2, l'égalité :

n

X

k=1

xk

k^β = sn

n^β +

n−1

X

k=1

sk

1

k^β − 1 (k+ 1)^β

.

ii) Quand n tend vers l'inni, sn

n^β tend vers 0 puisque sa valeur absolue est majorée parM n^α−β, qui tend vers0.

Quant à la série X

n≥1

sn

1

n^β − 1 (n+ 1)^β

, elle est absolument convergente, donc convergente, puisque la valeur absolue de son terme général est majorée parM

1

n^β−α − 1 (n+ 1)^β−α

, qui est le terme général d'une série (télescopique) convergente.

Par conséquent, lim

n→+∞

n

X

k=1

xk

k^β =

+∞

X

k=1

s_k 1

k^β − 1 (k+ 1)^β

. La sérieX

n≥1

xn

n^β est donc convergente.

b) Soitx >0. La suite (−1)ⁿ

n≥1vérie l'hypothèse satisfaite par la suite (xn)n≥1pour α= 0etM = 1. En appliquant le résultat précédent àα= 0 etβ =x, on en déduit que la série X

n≥1

(−1)ⁿ n^x est convergente.

8. Soitsettdeux réels strictement positifs etnun entier non nul.

a) Par indépendance des variables aléatoireset X_k, on a :

E et Sn

=E e t

n

X

k=1

Xk

=E

n

Y

k=1

et Xk

=

n

Y

k=1

E et Xk

= 1

2(e^t+ e^−t)ⁿ .

7

b) Comme(2n)!≥n! 2ⁿ pour toutn∈N, on a 1

2 e^t+ e^−t

=

+∞

X

n=0

t²ⁿ (2n)! ≤

+∞

X

n=0

t²ⁿ n! 2ⁿ et nalement :

1

2 e^t+ e^−t

≤e^t2/2 .

c) Grâce à l'inégalité de Markov et aux résultats de a et b, on a :

P([Sn> s]) =Ph

et S_n >e^tsi

≤E et Sn e^ts ≤exp

n t² 2 −ts

d) Comme les variables aléatoires−Xk sont indépendantes et suivent la même loi que les les variables aléatoiresXk,Sn et −Sn ont aussi la même loi.

Par conséquent, on aP([S_n <−s]) =P([−S_n > s]) =P([S_n> s])et par conséquent : P([|Sn|> s]) =P([Sn<−s]) +P([Sn> s]) = 2P([Sn > s] ) .

En utilisant le résultat de c pourt= s

n ·, on obtient l'inégalité demandée : P([|Sn|> s])≤2 exp

−s² 2n

(5)

9. Pour tout réelα≥0, on pose :

Cα= \

n∈N^∗

[

k≥n

[|Sk|> k^α]

(6)

a) CommeSkest une variable aléatoire,[|Sk|> k^α]est un élément deA, quel que soitk∈N^∗. On en déduit, par stabilité de la tribuApar réunion dénombrable et par intersection dénom- brable, queCα est aussi un élément deA.

b) On suppose : α > 1 2 ·

D'après l'inégalité (5), appliquée às=n^αon a :

P([|Sn|> n^α])≤2 exp −n^2α−1 2

qui est négligeable par rapport à 1

n² quandntend vers l'inni puisque n²exp −n^2α−1

2

= exp 2 ln(n)−n^2α−1 2

et lim

n→+∞ 2 ln(n)−n^2α−1 2

=−∞, par croissances comparées.

La sérieX

n≥1

P([|Sn|> n^α])est donc convergente, par comparaison à la série de Riemann X

n≥1

1 n²· c) On suppose encore : α > 1

2 · Soitn∈N^∗.

8

Pour tout entierN ≥n,P

N

[

k=n

[|S_k|> k^α]

≤

N

X

k=n

P([|S_k|> k^α]) puisque la réunion de deux ou plusieurs événements est majorée par la somme de leurs probabilités.

Par théorème de la limite monotone, on en déduit

P [

k≥n

[|Sk|> k^α]

= lim

N→+∞P

N

[

k=n

[|Sk|> k^α]

≤ lim

N→+∞

N

X

k=n

P([|Sk|> k^α]) =

+∞

X

k=n

P([|Sk|> k^α])

puisque la série X

k≥n

P([|S_k|> k^α])est convergente.

Comme la suite d'événements [

k≥n

[|S_k|> k^α]

n∈N^∗ est décroissante, le théorème de la limite monotone permet d'armer que :

P \

n∈N^∗

[

k≥n

[|Sk|> k^α]

= lim

n→+∞P [

k≥n

[|Sk|> k^α]

≤ lim

n→+∞

X

k≥n

P([|Sk|> k^α])

qui est nulle puisque la sérieX

n≥1

P([|Sn|> n^α])est convergente.

Par conséquent P \

n∈N^∗

[

k≥n

[|Sk|> k^α]

= P Cα

= 0 . 10. a) On suppose ici : 0≤α <1.

Soitω∈ Cα= [

n∈N^∗

\

k≥n

[|Sk| ≤k^α] . Il existe un entiern(ω)>0 tel que :

∀k≥n(ω), |Sk(ω)| ≤k^α·

Il en résulte que la suite|Sn(ω)|

n^α

n∈N^∗ est bornée, puisqu'elle l'est à partir de l'indicen(ω). Il existe donc un réelM(ω)>0 tel que :

∀k∈N^∗, |Sk(ω)| ≤M(ω)k^α· D'après le résultat de la question 7, la série X

n≥1

Xn(ω)

n^β est convergente pour toutβ > αet en particulier pourβ = 1.

b) Soitαun réel strictement compris entre1/2et 1.

CommeP(Cα) = 0, l'inclusion deCαdansC prouve que P(C) = 1 . c) Pour toutω∈ C, il existe N∈N^∗ tel que

∀n≥N, |Kn(ω)−K(ω)| ≤ε ce qui se traduit par l'inclusion

C ⊂E(ε).

CommeP(C) = 1, il résulte de cette inclusion que P E_(ε)

= 1, c'est-à-dire P E(ε)

= 0. On pose :

E_N(ε) = [

n≥N

[|K−K_n|> ε].

9

Comme la suite d'événements EN(ε)

N∈N^∗ est décroissante, le théorème de limite monotone permet de conclure :

lim

N→+∞P(EN(ε)) =P \

N∈N^∗

EN(ε)

=P E(ε)

= 0

Pour toutε >0,P([|K−Kn|> ε])≤P En(ε)

, qui tend vers 0quandntend vers l'inni.

11. Dans les questions 11 et 12, on considère une suite (Bn)n∈N^∗ de variables aléatoires indépen- dantes suivant chacune la loi de Bernoulli de paramètre1/2et on pose :

Hn=

n

X

k=1

Bk

k (7)

a) CommeE(Bk) = 1

2 etV(Bk) =1

4 pour toutk, on a E(Hn) =1

2

n

X

k=1

1

k −→+∞

et, par indépendance desB_k,

V(Hn) = 1 4

n

X

k=1

1

k² −→ π² 24 ·

b) Soitr >0.

Pournsusamment grand, on a 1 2

n

X

k=1

1

k ≥ret par conséquent : P([H_n≤r])≤P [|H_n−1

2

n

X

k=1

1 k| ≥ 1

2

n

X

k=1

1 k−r]

que l'on peut majorer en utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchébychev, pour obtenir : P([H_n≤r])≤ V(H_n)

1 2

n

X

k=1

1 k −r2

qui tend vers0quand ntend vers l'inni.

c) i)

(5) y(i,1)=y(i,1)+(grand(1,1,'bin',1,0.5)-(1-(-1)^k)/2)/k;

parce que 1−(−1)^k

2 =

(0 sikest pair 1 sikest impair ·

ii) Les trois histogrammes, qui comportent dix classes de valeurs de même étendue, peuvent être obtenus par l'instruction histplot(10,y) appliquée successivement à des va- riables y aectées des valeurs simulées par simul(50,p) , simul(100,p) et simul(200,p) pour une grande valeur dep(pour les histogrammes fournis, la valeur choisie pour p était 10000).

iii) La forme des histogrammes suggère que la distribution de Hn−hn(I)

n≥1se stabilise quandn tend vers l'inni, mais ce n'est qu'une conjecture fragile. S'il y a convergence en loi, la loi-limite ne semble de toute manière pas centrée.

10

12. a)

n

X

k=1

B⁰_k k

−hn(I) =1 2

n

X

k=1

Xk

k +1 2

n

X

k=1

1 k −

n

X

k=1

1−(−1)^k

2k = Kn

2 +

n

X

k=1

(−1)^k 2k ·

b) La sérieX

n≥1

(−1)ⁿ

n est convergente (voir question 7.b).

Il en résulte, par le thèorème de Slutsky, que la suite Hn−hn(I)

n≥1converge en loi vers la variable aléatoire K

2 +

+∞

X

k=1

(−1)^k

2k =λK+µ, oùλ= 1 2 et µ=

+∞

X

k=1

(−1)^k 2k · Remarques

• lim

n→+∞E Hn−hn(I)

=

+∞

X

k=1

(−1)^k

2k =−ln(2)

2 , ce qui conrme que la loi-limite deHn−hn(I) n'est pas centrée.

• CommeE(Hn) = 1 2

n

X

k=1

1

k = ln(n) +γ+◦(1), on peut conrmer aussi que :

n→+∞lim h_n(I)−ln(√ n)

= γ+ ln(2)

2 ·

11