INTRODUCTION
Après avoir enseigné huit années en cycle 2 (dont une en classe de perfectionnement) dans une école classée REP, j’exerce pour la troisième année consécutive sur un poste E en regroupement d’adaptation. Ces années passées au cycle 2, ont été particulièrement formatrices car elles ont orienté ma pratique professionnelle et ma réflexion personnelle, vers l’aide aux élèves qui n’entraient pas dans les apprentissages de base. Cette nouvelle expérience sur un poste spécialisé me permet de poursuivre mes actions pédagogiques dans ce sens et d’approfondir la relation d’aide.
Dans mon quotidien d’enseignante spécialisée, j’ai été très vite interpellée par le constat suivant : l’activité de résolution de problèmes mathématiques motive essentiellement les demandes d’aide spécialisée au CE2. En effet, les difficultés pour résoudre des problèmes sont souvent les premières à être repérées par les enseignants, suite aux résultats de leurs élèves aux évaluations nationales. Cette année encore, les résultats ont interrogé l’ensemble des enseignants des écoles dans lesquelles j’interviens. Il en est de même pour l’équipe de circonscription, qui rappelle dans son projet, que « les évaluations ont laissé apparaître des résultats bien moyens sur le plan de la résolution de problèmes » et qui axe ses animations pédagogiques ou ses stages sur ce domaine. Nous voyons ici à quel point cette activité est une des préoccupations premières du corps enseignant et combien elle peut poser problème aux élèves et aux maîtres des classes.
L’aide spécialisée a pour objectifs « d’éviter l’amplification des difficultés (…), de favoriser la conquête d’acquisitions qui n’ont pu être faites dans les activités ordinaires d’enseignement. (…) Elle doit mettre en œuvre des réponses pédagogiques adaptées aux besoins particuliers des élèves afin de les aider à consolider la maîtrise des apprentissages fondamentaux. » (Circulaire n° 2002-113 du 30-04-02) Ainsi, la plupart de mes interventions au CE2 concernent la résolution de problèmes.
Face à la complexité de son apprentissage et de son enseignement, je me suis sentie souvent démunie pour apporter une aide satisfaisante, pour répondre le mieux possible aux besoins des élèves en souffrance dans ce domaine dès leur passage dans le cycle 3.
Cette activité exige de l’élève qu’il dispose de connaissances disciplinaires mais, surtout, qu’il sache les activer et les utiliser dans des situations nouvelles. Les élèves en difficulté d’apprentissage ne parviennent pas à mobiliser leurs connaissances mathématiques. La résolution de problèmes demande également la mise en œuvre d’une
démarche de résolution réfléchie. Force est de constater (et les recherches le confirment) qu’un travail approfondi d’analyse et de préparation à l’action fait défaut chez ces élèves.
Ces constats imposent une réflexion poussée sur le sujet : quels moyens, quelles activités, quelles aides proposer pour enrayer ces difficultés ? Comment favoriser, chez les élèves, une approche réfléchie et consciente de la résolution de problèmes mathématiques ? Comment les aider à progresser dans leur façon d’appréhender ces situations, à développer des compétences propres à chaque phase du processus de résolution ? Comment les inciter à créer des connexions entre leurs démarches spontanées de résolution et l’utilisation du symbolisme mathématique ?
Dans la première partie de ce mémoire, je présenterai le cadre théorique sur lequel je me suis appuyée pour formuler une problématique et des hypothèses à l’origine de ma pratique professionnelle. A l’issue de ces réflexions, j’exposerai le dispositif et la démarche mis en œuvre ainsi que les résultats des élèves lors des différentes phases d’évaluation qui ponctuent mon expérimentation. Enfin, j’analyserai la pertinence de ma pratique à la lumière de ces résultats et de l’évolution des élèves.
1. Appuis institutionnels et théoriques
1.1. Les textes officiels et la résolution de problèmes 1.1.1. Donner sens aux connaissances mathématiques
En mathématiques, une des finalités est de confronter les élèves à l’activité de résolution de problèmes, pour laquelle ils doivent mobiliser les connaissances liées à cette discipline. Dès le cycle 2, les programmes officiels de 2002 insistent sur la place accordée à la résolution de problèmes dans la construction et l’appropriation des connaissances mathématiques. La résolution de problèmes et l’élaboration de concepts et de procédures mathématiques sont étroitement liées. « Faire des mathématiques, c’est élaborer des outils qui permettent de résoudre de véritables problèmes, puis chercher à mieux connaître les outils élaborés et s’entraîner à leur utilisation pour les rendre opératoires dans de nouveaux problèmes. » (Documents d’application des programmes cycle 3, p. 7) Une des missions premières de l’Ecole, réaffirmée dans le socle commun, est l’apprentissage du « lire, écrire, compter ». Compter, c’est être capable de traiter des situations qui nécessitent la mise en œuvre de différentes opérations, à partir de problèmes à résoudre.
1.1.2. L’exploitation de données numériques à la fin du cycle 2
Suite à l’analyse des résultats de l’évaluation diagnostique à l’entrée au CE2, je proposerai en priorité aux élèves avec lesquels je travaille, des problèmes d’exploitation de données numériques et notamment des problèmes résolus en utilisant une procédure experte en fin de cycle 2. Ils permettent de construire les premières significations des différentes opérations :
• Déterminer, par addition ou soustraction, le résultat d’une augmentation, d’une diminution ou de la réunion de deux quantités.
• Déterminer, par multiplication, le résultat de la réunion de plusieurs quantités ou valeurs identiques.
A ceux-ci s’ajouteront d’autres types de problèmes pouvant être résolus en utilisant une procédure personnelle (l’enseignant doit favoriser le passage à une procédure experte), mais aussi des problèmes complexes nécessitant la mobilisation de plusieurs catégories de connaissances.
En référence aux documents d’application des programmes, un des objectifs essentiels est que chaque élève puisse élaborer et choisir une solution qu’il comprend. Les procédures personnelles « ne doivent pas être rejetées mais au contraire encouragées chaque fois que le calcul expert n’est pas reconnu. » (Documents d’application cycle 3,
p. 15) Je partirai donc des procédures personnelles des élèves et je favoriserai les interactions entre pairs pour les aider à mobiliser les outils de calculs qu’ils connaissent mais qu’ils rendent difficilement disponibles dans le contexte de la situation proposée.
1.2. La recherche et l’activité de résolution de problèmes
Pour Jean Julo (1995, p. 111), enseignant chercheur à l’Université de Rennes, « réussir en mathématiques, c’est ne pas échouer dans les situations de résolution de problèmes.
Les connaissances mathématiques trouvent leur source dans l’activité de résolution de problèmes. »
1.2.1. Les caractéristiques d’un problème à résoudre
Dès la lecture de l’énoncé, le sujet construit des représentations à partir des informations qui lui sont fournies. Les recherches actuelles s’accordent sur le fait que cette phase de représentation conditionne la réussite des étapes ultérieures. Face à un problème, le principal enjeu est de découvrir par soi-même une solution en mettant en lien les relations souvent complexes entre un but donné et les conditions de réalisation de ce but. On peut distinguer quatre grandes étapes nécessaires à sa réussite :
• La phase de représentation : le sujet se construit un modèle de situation.
• La phase de résolution : il met en œuvre des stratégies et des procédures de résolution pour atteindre le but donné.
• La phase de communication : il transmet sa solution à autrui.
• La phase de vérification : il évalue sa solution et l’ensemble de sa démarche.
Pour Jacques Tardif (1997), dans un problème il y a d’abord un but à atteindre. Il offre un certain nombre de données à partir desquelles la personne se construit une représentation du problème. Il y a des contraintes ou des obstacles que le sujet doit surmonter dans la démarche de résolution. Selon Pierre Barouillet et Michel Fayol (1995) la résolution d’un problème nécessite :
• Que le sujet comprenne en premier lieu l’énoncé ; « … il doit comprendre chaque phrase et construire une représentation mentale intégrée de l’ensemble des informations pour aboutir à un modèle mental. » (Barouillet, Fayol, 1995, p. 383)
• Qu’une procédure de résolution soit élaborée puis mise en œuvre par le biais de calculs ; le sujet doit opérer sur les données pour obtenir le résultat recherché.
1.2.2. Le concept de représentation
J. Julo (1995), qui a étudié les processus cognitifs en jeu dans la démarche de résolution de problèmes, souligne l’importance du concept de représentation. Une aide à la représentation constitue le véritable enjeu de l’enseignement des mathématiques.
Qu’est-ce que se représenter un problème ?
« Se représenter un problème, c’est non seulement se représenter un objet particulier défini par un ensemble d’informations qui nous est fourni mais aussi se représenter la tâche particulière qui est associée à cet objet. » (Julo, 1995, p. 16) L’activité de représentation débute avec les premières informations et se poursuit jusqu’au moment où nous arrêtons la démarche de réflexion.
Comment se construit la représentation ?
Elle est le résultat de trois processus qui interagissent entre eux :
• Le processus d’interprétation du contexte sémantique et de sélection des informations : les données du problème, les connaissances dont nous disposons et les informations issues de notre environnement permettent de construire le contenu de notre représentation. Cette phase est essentielle pour s’approprier le problème.
• Le processus de structuration : le contenu de la représentation forme un tout cohérent qui se structure au fur et à mesure de l’analyse du problème et en fonction des problèmes rencontrés antérieurement. Ceux-ci laissent en mémoire des traces, « des schémas de problèmes » que le sujet utilise pour résoudre de nouveaux problèmes.
• Le processus d’opérationnalisation : il permet le passage à l’action effective ou mentale, de façon à atteindre le but proposé. Pour cela, le sujet met en œuvre les connaissances opératoires issues de ses expériences passées. J. Julo (1995) insiste sur l’effet structurant de l’action : plus le sujet agit, plus sa représentation se structure.
Ainsi, ne pas pouvoir opérationnaliser sa représentation, comme c’est souvent le cas chez les élèves en grande difficulté, est douloureux. Ceci peut expliquer que ces derniers privilégient souvent l’action à un traitement plus approfondi de la situation.
J. Tardif (1997) est en accord avec J. Julo sur le fait que la phase de représentation est la plus importante. « L’enseignant doit montrer à l’élève la nécessité d’une représentation adéquate du problème avant de se lancer dans la mise en application d’une solution. » (Tardif, 1997, p. 235) Au cours de cette phase, le sujet se pose un certain nombre de questions : de quel problème s’agit-il ? De quoi est-il question ? Quelles sont les données présentées ? Quel est le but poursuivi ? Quelles sont les contraintes ? A quoi ce problème me fait-il penser de façon analogique ? Au cours de la phase d’élaboration de la solution, afin de permettre le contrôle métacognitif sur sa
démarche de résolution, le sujet s’interroge au regard de ses connaissances antérieures : quelles sont les solutions qui me paraissent les plus vraisemblables ? Quelles sont les stratégies qui sont les plus susceptibles de conduire la démarche de résolution à son terme ? Comment savoir si le but est atteint ?
1.2.3. Les représentations des élèves en difficulté
Cette phase de représentation, essentielle à la réussite des problèmes, n’est pas aisée pour les élèves en difficulté. Pour J. Julo (1995), leurs représentations sont souvent
« rigides et vulnérables ». Il présente trois défauts dans l’acte de représentation à l’origine de l’échec en mathématiques :
• L’instabilité des points de vue : les élèves changent d’idée de façon impulsive et sans raison apparente au cours de leur démarche.
• L’incohérence des éléments pris en compte : ils s’attachent à des éléments superficiels.
• L’insensibilité aux contradictions : il y a absence de contrôle de leur démarche et de remise en question de leurs idées.
Selon J. Tardif (1997, p. 240), citant Glover (1990), « la difficulté majeure dans la résolution de problèmes par les novices est qu’ils consacrent la plupart de leurs énergies cognitives à essayer une ou plusieurs solutions sans avoir une représentation exacte et complète du problème. Ils consacrent une infime partie de leur temps à comprendre le problème et une grande partie à essayer des solutions.»
1.2.4. Des aides à la représentation : les explicitations et les problèmes analogues
Pour créer les conditions de la réussite, J. Julo (1995) propose des aides à la représentation qui s’inscrivent dans un cadre de référence répondant au principe
« d’aider ni trop, ni trop peu ». Ces aides « minimales » ne contiennent pas d’indices sur la solution, n’orientent pas vers une procédure de résolution et ne suggèrent pas une modélisation du problème. Nous percevons toute la difficulté à concevoir ces aides puisque nous avons tendance à axer nos interventions du côté des procédures avec le risque de réduire la part d’investissement du sujet.
J. Julo (2000) définit cinq catégories d’aides : les explicitations (rendre le but et les
analogues, modalités d’aide à la représentation souvent évoquées dans les travaux de recherche.
Les explicitations :
Elles concernent surtout les difficultés liées à l’énoncé, à sa formulation et au contexte. Les élèves en difficulté y sont très sensibles. Ils ont du mal à interpréter et à sélectionner les informations. La définition de mots, la reformulation de phrases, l’illustration de la situation…, entrent dans cette catégorie.
P. Barouillet et M. Fayol (1995, p. 387) affirment qu’une grande part des échecs provient d’une interprétation erronée de la situation, liée à un manque de compréhension de l’énoncé. L’explicitation du problème facilite l’extraction et la réorganisation des données pertinentes. « Le niveau de compréhension en lecture est un excellent prédicteur de réussite aux problèmes arithmétiques. (…) Le simple fait de demander aux sujets d’exprimer oralement leurs raisonnements augmente la probabilité de réussir les problèmes. » De même, les énoncés qui font référence à des situations familières facilitent l’élaboration d’un modèle mental. Tout comme J. Julo (1995), ils insistent sur l’impact des formulations. Une modification de formulation favorise la réussite. Par exemple, placer la question au début de l’énoncé rend la représentation initiale plus performante car le but est précisé d’emblée et donne ainsi un cadre aux évocations de l’élève. Les dessins personnels, pour mieux visualiser les données et les liens qui les unissent, ainsi que la simulation de la situation avec du matériel approprié, sont également des supports au raisonnement et permettent de traduire l’énoncé.
Nous pouvons donc renforcer les processus de structuration et d’opérationnalisation en demandant aux élèves de verbaliser leurs actions de résolution, de se représenter le problème sous forme d’images mentales. J. Julo (1995) parle d’enrichissement de l’environnement immédiat des problèmes qui participe à mettre des images puis des mots sur les représentations et allège la charge de traitement à effectuer. Bien sûr, cela ne doit pas être systématique ou imposé : l’enseignant propose des outils diversifiés, propres à chaque situation, tout en laissant au sujet la possibilité de les utiliser ou non afin de ne pas l’enfermer dans une forme particulière de représentation.
Les problèmes analogues :
Il s’agit d’une forme plus aboutie d’explicitation car elle touche à l’objet même du problème : sa structure. J. Julo (1995) a prouvé que le fait de proposer différents énoncés du même problème, ce qu’il nomme « multiprésentation », en faisant varier uniquement la formulation, favorise la réussite et la probabilité de mobiliser un schéma de problèmes adapté. Il se réfère aux travaux de Gérard Vergnaud sur le champ
conceptuel des structures additives et multiplicatives, qui mettent en évidence que la difficulté des problèmes est davantage liée aux relations à établir entre les données qu’à l’opération impliquée dans sa résolution.
D’autres auteurs évoquent le raisonnement par analogie pour stimuler l’activité de représentation et renforcer la mobilisation d’un schéma de problèmes adapté. Pour Alain Lieury (1996), les connaissances des novices sont très contextualisées,
« encapsulées » et ne sont pas opérationnelles. Ainsi, mettre en relation les situations à traiter permet de structurer leurs connaissances et favorise l’acquisition de nouveaux savoirs. J. Tardif (1997) rappelle également l’intérêt de diriger l’attention des élèves sur les liens de similitudes entre différents problèmes, sans quoi, même s’ils possèdent les connaissances nécessaires, ils n’y feront pas référence.
Ce que je retiens pour mon dispositif pratique.
Pour que les élèves se construisent une représentation pertinente d’un problème, élaborent une procédure personnelle de résolution (experte ou non) en lien avec la situation évoquée, mobilisent leurs connaissances disponibles et renforcent leurs schémas de problèmes, il faut privilégier une aide propre à chaque situation particulière au niveau de la représentation. Elle favorise l’appropriation du problème.
Pour cela, je ferai en sorte :
• D’amener les élèves à se questionner sur le problème : dégager le but, les relations qui unissent les données entre elles mais aussi la question et les données.
• De proposer des aides à la visualisation de la situation : reformulations, dessins personnels, mimes de la situation avec du matériel approprié (qui sert aussi à la validation) si le problème le permet et selon les besoins.
• D’accorder une grande importance à la base de connaissances des élèves.
• De leur permettre de disposer des traces écrites de problèmes résolus auparavant et de les aider à percevoir des liens, des similitudes entre différentes situations.
1.3. La recherche et la métacognition
1.3.1. Le concept de métacognition : définition
Le concept de métacognition, fondé par J. H. Flavell au début des années 1970, « se réfère aux connaissances du sujet sur ses propres processus et produits cognitifs. (…) Il renvoie aussi au contrôle actif, à la régulation et à l’orchestration de ces processus. » (Flavell, 1985, cité par Doly, 1997, p. 17) Il se définit donc selon deux pôles : les métaconnaissances et les habiletés métacognitives.
Les métaconnaissances :
Elles se divisent en trois catégories selon leurs objets :
• La connaissance de la personne : les représentations sur sa façon d’apprendre, ses points forts ou ses points faibles.
• La connaissance de la tâche : les représentations sur la nature des tâches, leurs utilités, leurs exigences.
• La connaissance des stratégies : la connaissance sur les manières les plus efficaces de conduire une activité à son but.
Il est essentiel de focaliser l’attention du sujet sur ces trois domaines.
Les habiletés métacognitives :
« Elles désignent les processus par lesquels le sujet assure le contrôle de son activité.
Elles concernent les mécanismes d’autorégulation qu’utilise l’individu pendant qu’il agit pour gérer une tâche de façon contrôlée pour en assurer plus de réussite. » (Doly, 1997, p. 18) Louise Lafortune et Lise Saint Pierre (1996) parlent de gestion de l’activité mentale. Ces habiletés regroupent :
• Le processus de planification de la tâche : le sujet anticipe la tâche à réaliser en se demandant comment il va s’y prendre. Il l’analyse précisément avant de choisir sa stratégie.
• Le processus de contrôle de la réalisation de la tâche : la personne s’assure qu’elle va vers le but à atteindre en se demandant ce qu’elle va faire pour réussir à chaque étape de sa démarche. « Les activités de contrôle sont reliées à la surveillance de ce qu’on fait, à la vérification des progrès et à l’évaluation de la conformité et de la pertinence des étapes suivies, des résultats obtenus ou des stratégies utilisées. » (Lafortune et Saint Pierre, 1996, p. 19) Elles sont préalables aux activités régulatrices.
• Au cours du processus de régulation, le sujet ajuste sa démarche, fait le point par rapport aux données, au but de l’activité et aux objectifs initiaux.
L. Lafortune et L. Saint Pierre (1996, p. 19) considèrent la prise de conscience de ces connaissances et des démarches utilisées comme une troisième composante de la métacognition. « Une prise de conscience, quand elle accompagne l’activité mentale, vient enrichir les connaissances métacognitives, lesquelles, à leur tour, viennent influencer la gestion d’une activité mentale ultérieure. » Il semble intéressant d’aider les élèves à opérer ces prises de conscience sur les activités proposées pour qu’ils trouvent du sens avant, pendant et après la gestion de la tâche.
1.3.2. Les intérêts pédagogiques de la métacognition
« La métacognition est un miroir qui nous fait grandir. (…) Pour l’apprenant, elle consiste à glisser de ses actions à une réflexion sur ses actions. (...) Cette réflexion ne doit pas être systématique, mais elle fait partie intégrante des apprentissages. » (De Vecchi et Carmona-Magnaldi, 2003, p. 138)
Elle est un signe de distinction entre novices et experts :
« La métacognition constitue une caractéristique importante qui différencie les élèves en difficulté des élèves qui n’éprouvent pas de difficulté dans l’apprentissage. » (Tardif, 1997, p. 47) Ainsi, les stratégies métacognitives semblent liées à la performance scolaire. En effet, les élèves performants sont acteurs de leurs apprentissages, comprennent ce qu’ils font et contrôlent leur activité. Ils font des analogies avec des situations déjà rencontrées. Pour Bernard Charlot (1998), ils sont capables de faire des commentaires sur ce qu’ils savent et sur ce qu’ils ont appris : le savoir fait sens. Selon L. Lafortune et L. St Pierre (1996), citant Schoenfeld (1987), les experts passent beaucoup de temps sur l’analyse de la tâche, la planification et la vérification des résultats alors que les novices se précipitent dans l’application de la première solution qui leur vient à l’esprit ou restent inactifs. Ils ont du mal à verbaliser leur activité et baissent facilement les bras devant l’échec. B. Charlot (1998) ajoute qu’ils restent très dépendants de l’aide de l’adulte. Pour eux, apprendre c’est faire les choses comme on leur dit de les faire : c’est donc faire ce que le maître a dit de faire.
Ainsi, les élèves en difficulté ont beaucoup plus de mal à différer leur action, le temps nécessaire à la réflexion. Il apparaît primordial de leur permettre d’accéder aux procédures mentales utilisées par les élèves les plus performants, de les aider à acquérir, à développer et à utiliser ces stratégies métacognitives.
Elle est un facteur de réussite et d’autonomisation :
« La métacognition désigne donc un ensemble de processus cognitifs, mais en même temps de comportements, de rapports du sujet à lui-même et au savoir, susceptibles de permettre à des élèves d’avoir plus de moyens de réussite et d’autonomie. » (Doly, 1997, p. 19) Elle vise à comprendre comment mieux réussir. Développer des stratégies métacognitives amène l’élève à exercer une vigilance sur son activité pour lui donner plus de chances de réussite. Elles lui permettent d’évaluer la pertinence de sa démarche.
Donner à l’élève des habitudes de réflexion sur son activité le rend plus autonome dans la gestion de ses apprentissages et modifie son rapport au savoir et à l’Ecole.
Michel Grangeat (1997) rappelle les trois critères d’autonomisation qui permettent d’accéder à une conduite mieux réfléchie des démarches d’apprentissage :
• Se distancier de l’activité : l’élève ne se précipite pas pour donner une réponse. Il établit une distance entre lui et l’activité pédagogique et peut réinvestir une connaissance acquise. La métacognition favorise le transfert. « L’élève sait ce qu’il sait et comment il le sait, ce qui lui permet de transférer sa compétence à différentes tâches. » (Gaveleck et Raphael, 1985, cités par Doly, 2006, p. 88)
• S’émanciper de l’enseignant : l’élève contrôle seul ses démarches, peut expliquer ses choix.
• Se détacher de ses conceptions premières : l’élève modifie ses propres conceptions.
Il confronte ses stratégies avec celles des autres, coopère pour apprendre.
L’enseignant a donc tout intérêt à organiser l’activité pédagogique de manière à insérer ces régulations métacognitives.
1.3.3. Comment aider l’élève à faire un retour sur son activité cognitive ?
Le rôle de l’enseignant :
Pour Anne Marie Doly (2006, p. 99), l’enseignant est un guide pour l’élève autour d’une situation initiale de travail qu’il a sciemment installée. Il accompagne le sujet dans l’élaboration de sa démarche intellectuelle, en favorisant « l’intériorisation du contrôle métacognitif et en ne le laissant pas dans la dépendance de l’expert. » Il apparaît donc comme un médiateur provisoire qui encourage à chercher et à comprendre avant de faire. « Il aide le sujet à guider son activité de façon contrôlée jusqu’au but en lui permettant d’opérer les prises de conscience nécessaires, à mettre en rapport les moyens utilisés et le but, puis les procédures et les performances. » (Doly, 1997, p. 47) Pour cela, il privilégie le questionnement, les commentaires et les reformulations pour contrôler la tâche. Il incite les élèves à verbaliser, expliciter leurs actions, leurs démarches et leurs choix.
Les activités qui stimulent les régulations métacognitives :
Elles doivent être complexes et finalisées. Elles offrent la possibilité d’effectuer des choix entre plusieurs démarches de résolution et d’anticiper les conséquences de cette sélection. Les élèves connaissent les objectifs d’apprentissage et les intentions de l’enseignant. B. Charlot (1998, p.52) rappelle qu’il faut proposer des situations complexes qui font sens pour que l’élève se mobilise. « Il n’y a pas de savoir qui ne présente un certain degré de complexité. Adapter sa pédagogie aux élèves, ce n’est donc pas réduire le complexe au simple, c’est adapter le degré de complexité pour que l’élève soit capable d’affronter cette complexité. »
Elles doivent de plus favoriser les interactions sociales. La confrontation des points de vue, l’analyse des réussites et des erreurs stimulent la réflexion sur les démarches et provoquent l’élaboration de connaissances nouvelles. Interagir avec ses pairs, donne la possibilité à l’élève d’enrichir son répertoire cognitif et méthodologique. « On prend conscience du fonctionnement de sa pensée lorsqu’on s’aperçoit qu’on a mieux réussi en procédant de telle façon, lorsqu’on remarque que la méthode utilisée par un autre est moins rapide ou lorsqu’on peut communiquer les étapes de son raisonnement à son camarade. » (Lafortune et Saint Pierre, 1996, p 20)
Les erreurs dans l’activité sont favorables à la métacognition. Analyser l’erreur, faire réfléchir les élèves, permet de comprendre l’origine de l’incompréhension et d’y remédier. « S’occuper des erreurs que font les élèves n’est pas aider des élèves en difficulté, c’est éviter qu’ils le soient. (…) C’est le seul moyen de prendre en compte la multiplicité, la singularité des sujets et leur nécessaire socialisation. Les erreurs sont l’affaire de la classe, elles sont analysées, discutées et de ce fait « normalisées », reconnues puis évacuées. » (Baruk, 2003, p. 267)
Les élèves en classe, notamment ceux en difficulté, ont peu l’occasion de discuter des différentes façons de procéder entre eux, d’avoir à présenter oralement la solution d’un problème. Ils sont rarement amenés à clarifier pour eux-mêmes ce qu’ils sont en train de faire, à identifier leurs points forts et leurs points faibles. De même, « il est rare que l’enseignant rende l’élève conscient des stratégies qui permettent de réaliser les tâches proposées ainsi que de leur efficacité et de leur économie ». (Tardif, 1997, p. 44) Le maître E a donc intérêt à intégrer dans ses séances des moments de réflexion sur les tâches scolaires afin de favoriser une prise de distance par rapport à l’acte d’apprendre.
1.3.4. Adéquation du travail métacognitif avec les spécificités du maître E La construction de séances de remédiation autour d’un travail métacognitif est validée par la Circulaire n° 2002-113 du 30 avril 2002 sur les dispositifs de l’adaptation et de l’intégration scolaires dans le premier degré. Les actions doivent favoriser « la prise de conscience par les élèves de leurs stratégies d’apprentissage et de leurs procédures intellectuelles, afin de les aider à améliorer leurs compétences et leur investissement scolaires. » Cela participe à rendre l’élève acteur et actif, à donner du sens aux apprentissages.
Ce que je retiens pour mon dispositif pratique.
Il est essentiel de mettre en œuvre des activités métacognitives pour permettre aux élèves de conduire leurs apprentissages vers plus de réussite et d’autonomie. Pour cela, je ferai en sorte de :
• Proposer du choix dans des situations complexes et finalisées.
• Faire anticiper les étapes de la démarche des élèves : ils se préparent à l’action. Ils se fixent des objectifs d’amélioration par rapport à leurs réussites et leurs erreurs.
• Les amener à identifier leurs progrès : ce qu’ils ont appris, ce qu’il leur reste à faire, en petit groupe et dans leur classe d’origine.
• Favoriser les interactions entre eux pour comparer, expliciter, justifier, valider leurs hypothèses, leurs démarches et leurs résultats. Leur permettre de prendre du recul par rapport à leurs propres procédures, de les affiner et de les faire évoluer si besoin, vers un processus de mobilisation des procédures dites expertes.
• Faire contrôler, vérifier leurs actions au fur et à mesure de la réalisation de l’activité : élaboration d’un outil référent pour se représenter la tâche, la guider et l’autoréguler.
Ces références théoriques me permettent de cerner ce qui est en jeu dans l’activité de résolution de problèmes et d’envisager des réponses pratiques pertinentes afin de réduire les difficultés des élèves à appréhender les problèmes mathématiques.
2. Méthodologie
2.1. La question de recherche et les hypothèses
Face aux difficultés persistantes rencontrées par les élèves en situation de résolution de problèmes mathématiques, il apparaît comme une démarche intéressante, dans le cadre d’une aide spécialisée, de développer les compétences des élèves dans ce domaine tout en cherchant à répondre à la question suivante :
Dans quelle mesure développer une démarche réflexive de résolution va-t-il permettre, à des élèves en difficulté au CE2, d’être en réussite face à des problèmes mathématiques ?
En découlent deux hypothèses sur lesquelles j’appuierai mon expérimentation. Elles correspondent aux deux grands axes de mon étude conceptuelle : l’activité de résolution de problèmes mathématiques et les intérêts pédagogiques de la métacognition.
Hypothèse 1 : Apprendre à l’élève à questionner l’énoncé et l’aider à se construire une représentation mentale du problème va lui permettre de mieux comprendre avant d’agir et d’élaborer une procédure de résolution en lien avec la situation décrite.
Hypothèse 2 : Développer des habiletés métacognitives à chaque étape de la résolution d’un problème va permettre à l’élève de conduire ses apprentissages vers plus de réussite, en les faisant évoluer vers les procédures expertes.
2.2. Le dispositif et les effets attendus
Pour tester ces hypothèses, j’élaborerai un dispositif pratique qui complètera les mesures de différenciation prises par la maîtresse de la classe. Il visera à aider l’élève à s’approprier le problème avant de se lancer dans une procédure de résolution et à développer des stratégies métacognitives pour conduire ses apprentissages. Le tableau qui suit présente mes intentions pour les élèves (axes essentiels de l’expérimentation mise en œuvre), les critères ou catégories d’activités scolaires mobilisées (chaque critère regroupe un ensemble d’indicateurs) et les indicateurs observables (ils précisent les activités que je mettrai en œuvre).
Appropriation du problème : comprendre la situation décrite avant d’agir pour mieux réussir.
vocabulaire difficile. Ils utilisent l’outil « Je me questionne pour comprendre ».
S’entraîner à mettre des mots, des
images sur sa représentation. Ils explicitent ce qu’ils ont compris, imaginé. Ils schématisent la situation si besoin. Présence éventuelle de matériel comme aide à la représentation.
Résoudre un problème
mathématique. Ils résolvent un problème avec une aide à la représentation
supplémentaire si besoin.
Mettre en œuvre des activités métacognitives pour aider l’élève à conduire ses apprentissages.
Phase d’anticipation, de
planification de sa démarche. Ils se fixent des objectifs
d’amélioration : mise en place d’un tableau de progrès.
Phase de mise en commun pour interagir avec ses pairs, mettre des mots sur ses actions, comparer.
Ils explicitent leur recherche, justifient leurs choix, donnent leur avis en comparant leurs productions.
Ils valident si besoin leur recherche avec du matériel. Ils cherchent les analogies entre les situations.
Donner du sens à la tâche et aux
outils mathématiques. Mise en évidence des réussites, erreurs, progrès et des procédures les plus appropriées pour favoriser le passage aux procédures expertes.
Réflexion sur ce qu’ils ont appris.
Phase de vérification, de contrôle
de la réalisation de la tâche. Ils contrôlent au fur et à mesure la réalisation de la tâche avec les ressources disponibles.
A travers cette pratique, je chercherai à valider mes deux hypothèses. Pour cela, j’ai prévu pour chacune d’entre elles : mes intentions (ce que je souhaite qu’il se passe chez les apprenants), les critères ou catégories précisant les effets attendus, les indicateurs (les effets attendus observables dans les apprentissages des apprenants) et le recueil des données (à quel moment les effets attendus sont observés). Tout cela est précisé dans les tableaux suivants.
Hypothèse 1. En amenant l’élève à questionner l’énoncé et à se construire une représentation de la situation, il comprendra davantage la situation et pourra élaborer une procédure de résolution en lien avec celle-ci.
Intentions Critères Indicateurs Recueil des données
Appropriation du problème : comprendre la situation décrite avant d’agir pour mieux réussir.
Se questionner pour comprendre avant d’agir.
L’apprenant questionne l’énoncé.
Il identifie :
• De quoi parle le problème.
• Le but et les données qui semblent utiles.
Evaluations initiale, intermédiaire et finale.
Observations quand l’apprenant répond aux questions du groupe ou de la maîtresse, avant ou après la recherche individuelle.
Mettre des mots, des images sur sa représentation.
Il explicite ce qu’il a compris (reformulation) ou évoque ce qu’il a imaginé.
Il schématise la situation présentée.
Evaluations initiale, intermédiaire et finale.
Observations quand l’élève présente au groupe ce qu’il a compris, avant ou après la recherche individuelle.
Réussir.
Il accède à une procédure de résolution pertinente (en lien avec la situation).
Il produit une réponse.
Evaluations initiale, intermédiaire et finale et observations au cours de chaque séance.
Hypothèse 2. En amenant l’élève à développer des habiletés métacognitives, il pourra conduire ses apprentissages en les faisant évoluer vers les procédures expertes.
Intentions Critères Indicateurs Recueil des données
Mettre en œuvre des activités métacognitives pour aider l’élève à conduire ses apprentissages.
Anticiper, planifier sa démarche.
L’apprenant dit comment il va s’y prendre.
Il se fixe des objectifs d’amélioration.
Evaluations intermédiaire et finale : entretiens avec l’apprenant ou observations quand il présente aux autres ce qu’il compte faire.
Interagir avec ses pairs, mettre des mots sur ses actions.
Comparer.
Il explicite sa démarche, justifie ses choix. Il compare sa démarche, sa stratégie et ses résultats avec ceux de ses pairs.
Evaluations initiale, intermédiaire et finale (entretiens). Observations quand il présente sa recherche et échange.
Donner du sens à la tâche et aux outils
mathématiques.
Il identifie ses progrès.
Il donne une traduction mathématique de la situation.
Il utilise les procédures expertes attendues.
Observations pendant les phases d’échanges.
Evaluations initiale, intermédiaire et finale.
Vérifier, contrôler la réalisation de la tâche.
Il vérifie la pertinence de sa
démarche et de ses résultats. Evaluations initiale, intermédiaire et finale.
Observations en situation et quand il explique ce qu’il fait pour vérifier.
2.3. Les outils de production et de recueil des données
Afin de recueillir les données nécessaires pour comprendre les effets de mon dispositif sur les apprentissages et les conduites des élèves observés, j’utiliserai, en évaluation initiale, les problèmes de l’évaluation nationale CE2. J’ajouterai d’autres problèmes pour préciser les difficultés particulières des élèves et leurs réussites dans le champ de l’exploitation de données numériques. Des observations dans la classe pendant la passation des évaluations CE2 ainsi qu’un entretien individuel sur leurs productions, enrichiront le recueil des données classique et me permettront d’identifier leur manière d’appréhender un problème mathématique. Une évaluation intermédiaire sera réalisée sur la base d’observations au cours des séances pour évaluer certains indicateurs qui n’auront pu être renseignés et pour apprécier l’évolution de chaque élève au milieu du dispositif. Enfin, l’évaluation finale confrontera les élèves à des problèmes mathématiques de même type que ceux proposés en évaluation initiale, afin de pouvoir mesurer les progrès réalisés à la suite des séances de remédiation. Elle sera complétée par des observations sur le comportement des élèves en situation et par un entretien individuel portant sur leurs productions et leur opinion sur l’ensemble des séances.
3. Etude pratique
3.1. Le cadre de l’étude
Le Réseau d’Aides Spécialisées dans lequel j’exerce la fonction de maître E, intervient sur deux groupes scolaires relativement importants (15 et 20 classes). Outre le poste de maître E, il comprend un psychologue scolaire.
Suite à l’analyse des évaluations CE2 en conseil des maîtres à l’école de Reignier, il est apparu que certains élèves ne maîtrisaient pas suffisamment les apprentissages fondamentaux en mathématiques et notamment en résolution de problèmes simples.
L’aide spécialisée doit contribuer « à assurer la remédiation quand des difficultés s’avèrent durables et se traduisent par des écarts d’acquisition nets avec les acquisitions attendues. » (Circulaire n° 2002-113 du 30-04-02) Ainsi, il est décidé que trois élèves, dont le passage dans le cycle s’est effectué dans des conditions délicates, malgré des aides antérieures, bénéficieront d’une aide pédagogique afin de permettre la maîtrise des apprentissages de base et d’éviter l’amplification des difficultés avérées. Elle se déroulera à raison de deux séances hebdomadaires de 45 minutes à partir du mois de novembre.
3.1.1. Présentation de l’échantillon retenu
Alice, Luc et Jimmy font partie d’une classe de CE1/CE2 de 25 élèves (13 au CE2).
Une aide spécifique leur est apportée en classe : reformulation des consignes écrites, valeurs numériques adaptées à leurs possibilités, matériel mis à disposition ou dessin de la situation. Malgré cela, les difficultés perdurent. Le tableau qui suit présente leurs résultats aux évaluations CE2.
Alice Jimmy Luc Score moyen de l’école Exploitation de données numériques 57,1 % 28,6 % 28,6 % 70,6 %
Total aux compétences mathématiques
47,6 % 60,7 % 53,6 % 75,8 % Total aux compétences attendues en
mathématiques
60 % 62 % 58 % 74 %
L’analyse des demandes d’aide et la synthèse avec la maîtresse permettent d’établir le tableau suivant :
Alice Jimmy Luc
Constats pour le groupe Des difficultés d’apprentissage de la lecture : ces élèves ont bénéficié d’un suivi par le réseau d’aides au cycle 2. La compréhension est difficile. En résolution de problèmes, le symbolisme mathématique est peu utilisé ou n’est pas adapté à la situation ; ils peuvent réussir en passant par un dessin personnel de la situation ; ils ne contrôlent ni leurs résultats ni leur recherche et tendent à se précipiter dans l’action.
Points d’appui Très active à l’oral.
Remarques pertinentes.
Volontaire, s’exprime
volontiers en classe. Attitude propice au travail : soucieux de bien faire.
Difficultés particulières Fixer son attention : Alice décroche facilement.
Se précipite souvent sur l’opération la plus familière : l’addition.
Ne s’engage pas dans une recherche et donne la première réponse qui lui vient.
Bâcle la fin de la tâche.
Manque d’organisation.
Compréhension globale d’un énoncé : il oublie des données. Nécessite des explications
supplémentaires pour comprendre les consignes.
A du mal à laisser une trace écrite de sa recherche, à exposer clairement ses résultats.
Choisir les données nécessaires.
Présenter sa solution en rédigeant une phrase correcte au niveau de la syntaxe. Démarrer les activités : a besoin d’aide pour mettre en route une procédure de résolution.
3.1.2. Présentation succincte de la démarche pratique
La pratique que je mets en oeuvre se déroule sur 16 séances dont deux consacrées à l’évaluation initiale et deux à l’évaluation finale. Elle est ponctuée d’une évaluation intermédiaire. Les observations relevées à chaque séance sont d’excellents révélateurs du comportement des élèves, de leur réflexion et de l’évolution progressive de leurs méthodes d’apprentissage. Elles sont des « tremplins » renvoyant à de nouvelles stratégies de remédiation.
Les objectifs principaux (détaillés en annexe 1) sont, en concertation avec la maîtresse de la classe et en lien avec mes hypothèses de départ, définis comme suit :
• S’approprier le problème : favoriser la compréhension pour se représenter la situation, lui donner sens.
• S’emparer d’un mode de résolution expert et le mobiliser en prolongement ou en rupture des modes de résolution personnels.
• Favoriser les interactions sociales.
• Exercer un contrôle actif sur son fonctionnement cognitif.
Au cours de chaque séance, je propose aux élèves un problème à résoudre (annexes 2 et 3) en agissant sur les variables de présentation pour une meilleure compréhension et pour rendre plus performante leur représentation de la situation : présence d’un titre ;
Selon la nature des difficultés, je prévois l’aide la plus adaptée pour enrichir l’évocation, aider à la représentation sans induire une procédure de résolution (en référence aux travaux de J. Julo).
Il peut s’agir de : faire relire l’énoncé par l’élève ou par un autre, faire reformuler l’énoncé et (ou) la question, représenter la situation par un dessin, mettre en situation avec la visualisation ou la manipulation de matériel approprié, l’aide d’un pair, le retour guidé sur les ressources disponibles, repérer les liens analogiques avec des problèmes déjà rencontrés, un entretien d’explicitation permettant l’analyse de la tâche pendant l’action, des relances et des explications. Si les élèves le souhaitent, ils peuvent utiliser une calculatrice à la fin de leur recherche afin de vérifier leurs résultats lorsque les calculs à réaliser ont été déterminés.
3.1.3. Présentation d’une séance type
Mes actions sont axées sur les stratégies des élèves, leurs méthodes, leurs techniques de travail, dans le souci permanent de les aider à construire leurs apprentissages. Voici la structure de base de chaque séance (détaillée en annexe 4) :
• Accueil des élèves et mise en condition
Ce temps d’évocation mentale a pour fonction de cadrer les séances et les activités proposées.
• Activité de résolution de problèmes proprement dite
Phase 1. Présentation et appropriation de la tâche : les élèves sont engagés dans une démarche de compréhension du problème.
Phase 2. Exécution de la tâche : résolution individuelle du problème avec ou sans aide supplémentaire, suivant la nature des difficultés et les besoins de chaque élève.
• Mise en commun
C’est un temps d’échanges pour permettre l’analyse de la tâche par chaque apprenant, la prise de conscience de son propre fonctionnement cognitif et la confrontation entre pairs pour apprendre et progresser.
• Bilan de la séance
Il prolonge la distanciation amorcée auparavant. Il vise une évaluation des actions de chacun et la mise en projet lors de la séance suivante et dès le retour en classe.
3.1.4. Mémoire du groupe, liens avec la classe
Afin que les élèves prennent pleinement conscience que ce qu’ils apprennent en petit groupe peut être réinvesti dans leur classe, je me suis appuyée sur différents éléments :
• La construction d’un outil référent récapitulant les critères de réussite et de réalisation de la tâche (annexe 5). Il répond à la question : « A quoi pouvons-nous penser pour nous aider à résoudre un problème ? » Cet outil d’autoévaluation, facteur de réussite et d’autonomie, est affiché dans la salle du réseau et dans la classe d’origine. Il devient donc une ressource pour la maîtresse et tous les élèves de la classe.
• La mise en place de ce que les élèves ont appelé « notre tableau de progrès » (annexe 6) et qui répond à la question : « Qu’est-ce que j’ai réussi aujourd’hui ? » Ils savent où ils en sont dans leurs processus d’apprentissage et ils se fixent des objectifs d’amélioration pour la séance suivante, pour leur retour en classe. Ce tableau témoigne du travail réalisé en remédiation et des progrès de chacun. Les élèves et la maîtresse en ont une trace dans leur classe.
• Le cahier mémoire de la classe d’origine (en mathématiques) ainsi que le porte- documents (rangement chronologique des problèmes travaillés en regroupement) sont également « des ponts » entre les activités de la classe et celles du groupe.
A la fin de la prise en charge, j’accompagne pendant deux séances les élèves dans leur classe pour préparer le retour à temps complet et aider à la transition.
3.2. Les résultats
Je choisis de rendre compte des résultats de mon expérimentation en suivant l’ordre rationnel de mes hypothèses. Ainsi, de l’évaluation initiale à l’évaluation finale, je présente et analyse pour chaque hypothèse les besoins des élèves, révélés par l’évaluation initiale, leur progression au cours de l’expérimentation et leurs acquis lors de l’évaluation finale.
3.2.1. Hypothèse par hypothèse, le constat initial
L’évaluation initiale porte sur huit problèmes qui relèvent des quatre opérations (annexe 7). Les problèmes 1, 2, 4, 6 et 7 sont extraits de l’évaluation nationale CE2.
Elle se déroule tout d’abord dans la classe d’origine (pour l’évaluation CE2) où je suis présente afin d’observer les élèves. Un autre temps est organisé en individuel, avec moi, pour enrichir les constats établis en classe avec la maîtresse. L’analyse des résultats de cette évaluation initiale me permet d’identifier les réussites et les difficultés des élèves, concernant les catégories de problèmes, leur manière de les appréhender et les procédures de résolution utilisées. J’ai un aperçu de leur maîtrise des procédures
Problème 1
(additif) Problème 2
(additif) Problème 3
(additif) Problème 4
(multiplicatif : de groupement) Alice Procédure experte
correcte : addition posée. Résultat exact.
Procédure experte correcte : addition posée.
Résultat exact.
Procédure experte correcte : addition posée. Résultat exact.
Dessin de la situation correct (7 paquets de 4 ronds) et dénombrement de 1 en 1. Résultat erroné.
Jimmy Idem Alice Procédure non apparente (compte sur ses doigts).
Résultat erroné.
Idem Alice Idem Alice
Luc Procédure experte correcte : addition en ligne. Résultat exact. Absence de phrase réponse.
Procédure experte correcte : addition en ligne. Résultat erroné.
Absence de phrase réponse.
Idem Alice Dessin de la situation correct (7 paquets de 4 ronds) et addition réitérée de 4. Résultat exact.
Problème 5 (multiplicatif : de
groupement)
Problème 6 (multiplicatif : de partage)
Problème 7 (soustractif)
Problème 8 (soustractif) Alice Dessin de la situation
correct (4 rangées de 12 ronds chacune) et dénombrement de 1 en 1. Résultat erroné.
Procédure qui n’est pas en lien avec la situation (addition posée).
Procédure qui n’est pas en lien avec la situation (addition posée).
Procédure qui n’est pas en lien avec la situation (addition posée).
Jimmy Dessin de la situation correct (4 rangées de 12 ronds chacune) et dénombrement de 1 en 1. Résultat exact.
Dessin de la situation correct (4 boîtes de 6 ronds) et dénombrement de 1 en 1.
Résultat erroné.
Dessin de la situation incomplet (85 traits).
Dessin de la situation correct (27 ronds entourés puis ajout de 23 ronds pour arriver à 49. Résultat exact.
Luc Idem Jimmy Procédure qui n’est pas en lien avec la situation : il dessine 2 boîtes de 6 ronds puis les barre et compte sur ses doigts (il ajoute les 2 données numériques).
Procédure qui n’est pas en lien avec la situation (addition posée). Absence de phrase réponse.
Procédure par essais successifs et ajustements (27+27, 27+13, 27+22 = 49).
Résultat exact.
Constats pour le groupe, par rapport aux indicateurs de l’hypothèse 1 :
• Les élèves se précipitent dans l’action sans prendre le temps d’analyser les données du problème. Dès la fin de la lecture de l’énoncé, Jimmy compte déjà sur ses doigts, Luc s’empare de son crayon et dit « Je fais le calcul ». Ils s’exposent donc au risque d’une interprétation erronée ou partielle de la situation et de la question posée.
• Quand je leur demande ce qu’ils ont imaginé en lisant l’énoncé, ils n’évoquent pas la situation dans le détail ou disent qu’ils ont imaginé le calcul. Alice : « J’ai imaginé une addition. »
• Ils peuvent produire des erreurs de calcul, ne pas écrire de réponse ou en formuler une qui n’est pas en lien avec la question posée. Luc oublie de répondre à la question aux problèmes 1, 2 et 7. Jimmy (problème 6) simule correctement les actions de l’énoncé, mais quand il répond à la question, il ne réussit pas à extraire de son schéma la bonne réponse.
• Ils peuvent trouver des solutions en simulant les actions ou les relations présentes dans l’énoncé. La résolution par analogie leur permet de se construire une bonne image de la situation, constitue une aide pour entrer dans la résolution de certains types de problèmes et pour compter. Ils ont du mal à dépasser ce stade et à associer à leur dessin l’écriture mathématique appropriée. Ils sont donc soumis à la plus ou moins grande facilité à mimer le déroulement des situations proposées et aux risques importants de se tromper en dessinant, en barrant ou en recomptant le nombre d’objets représentés. Au problème 7, Jimmy tente d’avoir une représentation en dessinant 85 traits (les 85 voitures) puis s’arrête dans l’élaboration de son schéma et ne va donc pas au bout de sa démarche. L’aspect fastidieux de son dessin semble l’avoir découragé.
• Parfois, leurs procédures ne sont pas en lien avec la situation énoncée. Ils n’arrivent pas à mettre en place une procédure de résolution personnelle les conduisant à la réussite et à se représenter facilement la situation. Dans ce cas, ils utilisent l’opération qu’ils maîtrisent le mieux : l’addition. Ainsi, Alice (problèmes 6, 7, 8) et Luc (problèmes 6 et 7) additionnent les données numériques de l’énoncé.
Constats pour le groupe, par rapport aux indicateurs de l’hypothèse 2 :
• Les élèves ne s’impliquent pas dans le processus de vérification. Une fois un résultat produit, ils attendent la validation de l’adulte plutôt que de chercher à vérifier par eux- mêmes ou s’interroger sur la plausibilité du résultat. Ils se contentent de ce jugement extérieur. Comme le dit Alice : « Je ne vérifie pas et quand j’ai fini, j’appelle la maîtresse. » S’il y a vérification, elle se limite à la justesse des calculs effectués sans remettre en question l’ensemble de leur démarche. Comme l’expliquent Luc et Jimmy :
« On regarde et on fait encore les calculs. »
• Ils ont des difficultés à communiquer leur démarche et à la défendre avec cohérence.
Jimmy : « J’ai fait une addition, je ne sais pas pourquoi. » Luc : « Je préfère faire des plus, c’est plus facile pour moi. (…) J’ai commencé par compter les unités, puis les dizaines… » Luc décrit donc la technique de l’addition posée pour expliquer sa démarche.
• Ils n’arrivent pas à mobiliser leurs connaissances mathématiques et ne les rendent pas disponibles dans le contexte des situations proposées. D’une certaine façon, leurs connaissances restent vides de sens puisqu’elles n’ont pas pris valeur d’outil pour
même à l’addition réitérée. Leurs premières connaissances sur la multiplication ne sont pas stabilisées et cette opération ne constitue pas encore une solution efficace dans ce type de problèmes. Luc est le seul à faire des tentatives. Pour le problème 4, il réussit à mettre en relation son dessin avec une addition réitérée même si celle-ci ne lui évoque pas encore la multiplication.
3.2.2. Hypothèse par hypothèse, le constat intermédiaire
Situé au milieu du dispositif, il rend compte des effets observés pendant les phases de recherche individuelle, les mises en commun et notamment ceux qui concernent les aspects métacognitifs qui n’ont pu être renseignés lors de l’évaluation initiale.
Constats élève par élève :
Points d’appui Points à améliorer Commentaires
Alice Séance 5 : commence à associer (sans aide) à son dessin les opérations mathématiques appropriées.
Allège sa mémoire en recopiant sur sa feuille de recherche « des bouts » de phrases de l’énoncé contenant les données utiles.
Fin de la tâche bâclée : réponse oubliée, pas de vérification.
Séances 1 à 4 : dessin seul, sans nombre ni écriture mathématique.
Problèmes complexes : aide à la représentation supplémentaire pour démarrer, mais échoue car elle oublie des données.
Mettre l’accent sur la phase de contrôle de la tâche dans son ensemble.
Jimmy Dessin de la situation plus structuré.
Séance 4 : mise en œuvre d’une autre stratégie pour vérifier sa recherche.
Associe une écriture mathématique à son dessin à partir de la séance 5.
Verbalise très bien ce qu’il a imaginé en lisant l’énoncé.
Obstacle à la réussite : traces écrites confuses, peu organisées, à l’origine d’oublis et d’erreurs quand il dessine ou calcule.
Des oublis de données fréquents : séances 1, 2, 5, 6 (interprétation personnelle de l’énoncé).
Lui faire reformuler l’énoncé, verbaliser ce qu’il imagine pour l’obliger à revenir au contexte, à préciser ce qu’il a compris et ainsi ne pas oublier de données.
Luc Dessins de moins en moins figuratifs.
Associe une écriture mathématique à son dessin à partir de la séance 4.
Séance 6 : réussit sans dessiner, sans aide supplémentaire et sans oublier de données.
Séances 1, 2 et 3 : dessin seul, sans nombre ni écriture mathématique.
Séance 5 : aide à la représentation supplémentaire pour démarrer (problème complexe), mais échoue car il oublie des données.
Entendre un de ses camarades relire l’énoncé, le reformuler ou dire ce qu’il a imaginé est une aide. A plusieurs reprises, je l’entends dire : « Ah, j’ai compris ! »
Constats pour le groupe, par rapport aux indicateurs de l’hypothèse 1 :
• En étant invités à chaque séance à se référer aux critères de la fiche outil, les élèves sont amenés à expliciter ce qu’ils font individuellement pour mieux comprendre et
intériorisent petit à petit ces critères. Jimmy : « En classe, j’ai fait ta technique. J’ai posé mon crayon et j’ai lu plusieurs fois l’énoncé pour le comprendre. J’ai vu des images dans ma tête. » Alice : « Les titres des problèmes, la question au début, ça nous aide car on nous dit tout de suite ce qu’on doit chercher. C’est un indice pour le détective ! » (Terme utilisé dans la fiche des critères de réussite) De plus, quand ils explicitent ce qu’ils ont compris de la situation, leur pensée se précise. Ils font référence au contexte, dans les détails.
• Ils ont du mal à identifier toutes les données utiles quand l’énoncé est complexe et ont besoin d’une aide supplémentaire à la représentation (mime de la situation avec du matériel approprié, schéma complémentaire).
• La procédure de résolution la plus mobilisée reste le dessin de la situation, sans écriture mathématique.
Constats pour le groupe, par rapport aux indicateurs de l’hypothèse 2 :
• Les élèves s’expriment volontiers lors des mises en commun pour expliciter leur cheminement. C’est un moment qu’ils semblent apprécier et leurs commentaires, leurs justifications s’affinent. Ils ne se contentent pas d’évoquer les calculs utilisés.
• Ils commencent à faire des analogies entre différents problèmes (annexe 9).
• Ils arrivent peu à peu à identifier leurs difficultés mais aussi leurs progrès pour chaque problème. Alice : « J’oublie des choses car je vais trop vite. (…) Ici, j’ai pensé à écrire mon calcul…» Jimmy : « Je m’embrouille vite et j’oublie des choses. (…) Là, j’ai vérifié mes calculs et j’ai fait attention à ma réponse. » Luc : « Je ne comprends pas toujours ce qui est écrit. (…) Maintenant, mon dessin est moins compliqué qu’avant.»
• L’utilisation des nombres et des outils de calculs apparaît sur leurs feuilles de recherche pour compléter ou remplacer leurs dessins. Ils ne mobilisent toujours pas la multiplication. Elle n’est envisagée que lors de la mise en commun quand je leur demande quelle opération ils peuvent associer à l’addition réitérée.
• Le processus de vérification se limite encore à contrôler leurs résultats en recomptant les éléments dessinés ou en refaisant leurs calculs. Le retour à l’énoncé, aux données, à la question posée n’est pas envisagé (sauf pour Jimmy à la séance 4).
Ces constats montrent que les élèves commencent tout juste à faire des liens entre
