1) Principales caractéristiques d’une onde

) Une «perturbation» est créée en un «point source»

- par l’impact d’un caillou sur une surfaced’eau - par le mouvement oscillant d’une corde de

violon ou d’une membrane de tambour

sa structure temporelle dépend du type de source : oscillations libres ou entretenues ?

) La perturbation se «propage» dans un «milieu» : - rides concentriques à la surface de l’eau (2D) - son de l’instrument dans l’air environnant (3D) - déformation le long d’un ressort (1D)

les propriétés du milieu conditionnent : + le type de déformation qui se propage

(longitudinale ou transversale ?) + la vitesse de propagation de l’onde + la géométrie des « surfaces d’onde »

(mécaniques et acoustiques)

1) Principales caractéristiques d’une onde

1) Principales caractéristiques d’une onde (suite)

) On a représenté ci-dessous trois types d’ondes à une dimension caractérisées par une vitesse de propagation

v

-Onde de déformation longitudinale d’un ressort tendu

v

1 m s

- Onde acoustique longitudinale dans un tuyau rempli d’air

v ≈ 300 m s

-Onde de déformation transversale d’une corde tendue (ex. violon)

v ≈ 1000 m s

) Dans tous les cas, la vitesse

v

1) Principales caractéristiques d’une onde (suite)

de matière, mais elle transporte de l’énergie.

) Pour une onde à une dimension, seule la dissipation d’énergie peut produire une

diminution d’amplitude ) Pour une onde à 2D et 3D,

l’amplitude décroît au fur

et à mesure que la surface d’onde augmente et les

phénomènes de dissipa- tion ne font qu’amplifier cette décroissance

2) Description mathématique de la propagation (à une dimension)

0

f t ( ) ψ =

( )

M

f t x

ψ = − v

La perturbation enregistrée au point O :

est ensuite observée au point M, avec un décalage Δt = x/v . C’est la même fonction, avec changement d’origine du temps:

L’amplitude de la perturbation est donc décrite par une fonction de 2 variables ψ (x,t) permettant de décrire à la fois,

0

( , )

( x ) x t f t

ψ = − v

- l’évolution dans le temps du point M₀ d’abscisse x₀ :

- ou, à l’instant t₁, l’état instantané de l’ensemble du milieu :

1 1

( , ) x t f t ( )

v

ψ = − x

3) Onde progressive périodique

Si la perturbation de la source est périodique : ) la perturbation en M₀ est aussi périodique :

)et, à un instant donné t₁ , la « photographie » de l’onde est décrite par une fonction de x de périodicité λ = vΤ , appelée longueur d’onde :

Une onde progressive périodique est donc caractérisée par une périodicité temporelle T et une périodicité spatiale λ

( ) ( )

f t T + = f t

0 0

0 0

( , ) ( x ) ( x ) ( , )

x t T f t T f t x t

v v

ψ + = + − = − = ψ

1 1 1 1 1

( , ) ( x ) ( x ) ( x vT ) ( , )

x t f t f t T f t x t

v v v

ψ = − = + − = − ⁻ = ψ − λ

3) Onde progressive périodique (suite)

Un cas particulier important est celui d’une fonction sinusoïdale du temps:

)A l’instant t, l’état de vibration au point M, d’abscisse variable x, est donné par la fonction de deux variables :

que l’on peut aussi écrire :

avec k = 2π/λ le module du «vecteur d’onde»

) NB : pour une onde sinusoidale se propageant vers les x décroissants :

( ) sin( ) (0, )

f t = a ω t = ψ t

( , ) ( x ) sin ( x )

x t f t a t

v v

ψ = − = ^⎡ ⎢ ⎣ ω − ^⎤ ⎥ ⎦

( )

( , ) x t a sin t kx

ψ = ω −

( )

'( , ) x t a sin t kx

ψ = ω +

sin( ) a ωt

(

)

sin

a ωt −kx

(

)

sin

a ωt −kx

4) Equation d’onde (à une dimension)

La relation entre les variables x et t peut s’exprimer à l’aide des dérivées partielles de de Ψ :

On trouve ainsi une équation aux dérivées partielles que l’on

retrouvera pour tous les types d’ondes:

Elle admet en particulier pour solutions les deux fonctions sinusoïdales :

2 2

2 2 2

( , ) ( ) ( )

1 '( ) et '( )

1 ''( ) et ''( ) x t f t x f u

v

f u f u

x v t

f u f u

x v t

ψ

ψ ψ

ψ ψ

= − =

∂ ∂

= − =

∂ ∂

∂ ∂

= =

∂ ∂

( ) ( )

( , ) x t a sin t kx et '( , ) x t a 'sin t kx

ψ = ω − ψ = ω +

2 2

2 2 2

1

x v t

ψ ψ

∂ ∂

∂ = ∂

//

k Ox G JJG

//

k G − Ox JJG

4) Equation d’onde (suite)

Comment établir une équation d’onde à partir des équations du mouvement ? On considére l’exemple de la corde vibrante soumise à une tension T

et ayant une masse linéique μ (masse par unité de longueur) La fonction y(x,t) repré-

Sente le déplacement de la corde.

La 2^de loi de Newton appliquée à

un segment de corde de longueur dx s’écrit :

2 2

2 2

2

2 2

'( ) ( ) soit, en projection sur l'axe Oy : (tan )

tan ' tan

et finalement : avec dxa T x dx T x

y y

dx T T T dx T dx

t x x x

y y T

v v

t x

μ

μ α α α

μ

= + −

∂ ∂ − = ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎜ ⎝ ∂ ⎞ ⎟ ⎠

∂ ∂

= =

∂ ∂

G JG JG

la vitesse de

propagation de l’onde

’

5) Interférence entre deux ondes se propageant en sens opposés

dans un milieu, le déplacement résultant en tout point est égal à la somme des déplacements produits par chaque onde (Principe de superposition)

) Pendant le recouvrement des deux impulsions, la résultante prend une forme complexe

) Puis, chacune des impulsions reprend sa forme initiale

Le déplacement résultant (qui est une somme algébrique) peut être supérieur ou inférieur aux

déplacements individuels. C’est le phénomène d’interférence.

) Le point, au centre, reste immobile !

2 ondes impulsionnelles sont produites aux 2 extrémités d’une corde. Le trait gras représente le déplacement résultantde la corde aux instants successifs

Voir aussi le site http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/meca/

6) Ondes stationnaires et résonances

ayant une extrémité fixe, la superposition de l’onde aller et de l’onde retour fait apparaître des ondes stationnaires constituées d’une alternance de nœuds et de ventres de vibration La condition d’immobilité de l’extrémité impose que l’onde retour ait même amplitude que l’onde aller.

(il y a réflexion totale)

) Deux nœuds successifs sont distants de λ/2

Une corde tendue de longueur L présente des résonances aux fréquences telles que L= n λ/2

6) Ondes stationnaires et résonances (suite)

) Mise en équation des ondes stationnaires sinusoïdales sur une corde : onde aller :

onde retour :

1) condition de réflexion avec 1 point fixe :ψ_a + ψ_r= 0 en x = 0 => a = r, φ = π

=> quelle que soit la pulsation, on observe des nœuds de

vibration (ψ_a+ψ_r= 0 ) pour : sin kx = 0, soit kx = p π ou x = p λ/2

2) conditions de réflexion aux 2 points fixes : ψ_a+ψ_r = 0 en x = 0 => a = r, φ = π ψ_a+ψ_r = 0 en x = L => sinkL = 0

=> Les ondes stationnaires ne sont observées que pour les pulsations de résonance : ω_n = n πv/L

(n = nombre de ventres de vibration)

( )

( )

( , ) sin ( , ) sin

a r

x t a t kx

x t r t kx

ψ ω

ψ ω ϕ

= +

= − −

( ) ( )

sin sin 2 cos sin

a r

a t kx a t kx a t kx

ψ + ψ = ω + − ω − = ω

2 cos sin 2 cos sin

a r

a t kx a

t n x

L

ψ ψ + = ω = ω π

6) Ondes stationnaires et résonances (suite)

) Plus généralement, toute réflexion d’une onde sur un obstacle produit des ondes stationnaires. Soit Γ = r/a le coefficient de réflexion (0 ≤ Γ ≤ 1)

L’amplitude des maxima (ventres) est : a(1+Γ), L’amplitude des minima (nœuds) est : a(1-Γ)

)Le déphasage φ entre l’onde retour et l’onde aller au point de réflexion dépend de la condition aux limites :

+ déplacement nul à l’extrémité fixe d’une corde (nœud) : φ = π + déplacement maximum à l’extrémité libre d’une corde (ventre) : φ = 0

de même pour les résonances des instruments à vents (tuyaux d’orgue) + tuyau fermé en x=0 : Γ = 1, φ = π + tuyau ouvert en x=L : Γ ≤ 1, φ = 0

=>condition de résonance: L=(2n-1)λ/4

n=1 n=2 n=3 n=4

( )

( )

( , ) sin ( , ) sin

a

r

x t a t kx

x t a t kx

ψ ω

ψ ω ϕ

= +

= Γ − −

7) Ondes stationnaires à 2 dimensions

Deux sources synchrones S₁ et S₂ produisent à la surface de l’eau

des ondes capillaires qui interfèrent.

Au point M, le déplacement (vertical) résultant peut s’écrire :

( ) ( )

1 2 1 2

1 2

1 2

cos cos

( )

2 cos cos

2

a t kr a t kr

r r

a t k

ψ ψ ω ω

ψ ψ ω

+ = − + −

⎛ − ⎞

+ = ⎜ ⎝ ⎟ ⎠

Le lieu des ventres de vibration correspond à r₁-r₂ = nλ

Le lieu des nœuds de vibration correspond à r₁-r₂ = (2n+1)λ/2

+ en tout point M, le vecteur d’onde est radial, ainsi que le déplacement des molécules d’air :

)A grande distance de la source, on assimilera souvent les surfaces d’onde à des plans.

L’onde devient une onde plane

+ tous les points d’un même plan d’onde oscillent en phase autour de leur position d’équilibre :

8) Ondes acoustiques à 3 dimensions

)Dans l’air, l’onde acoustique créée par une source ponctuelle O se propage dans les 3 dimensions de l’espace sous forme d’onde sphérique.

+ l’onde propage une alternance de compressions Δp et de dépressions –Δp (distantes de λ/2)

p – p_atm = Δp cos (ωt - kr)

+ elle est associée à une oscillation longitudinale des molécules de l’air

+ les sphères concentriques de centre O sont des surfaces «équiphases»

k G

// //

k G u OM G JJJJG ^u

G

M

k G k G

k G

// //

u OX G JJJG G k

8) Ondes acoustiques (suite).

)Les ondes sonores sont les ondes acoustiques détectées par l’oreille : elles ont une fréquence f = ω/2π comprise entre f_min=20 Hz et f_Max=20 kHz,

leur longueur d’onde dans l’air λ=v/f est comprise entre 15m et 15 mm

NB Les ondes acoustiques de fréquence supérieure à 20kHz sont des ultra-sons

) La hauteur d’un son est déterminée par sa fréquence basse fréquence : graves hautes fréquences : aigus ) L’intensité sonore I est

une puissance par unité de surface (unité : watt m^-2)

I = (Δp)²/2ρv avec ρ la masse volumique de l’air et v la vitesse du son

) Le niveau d’intensité L (en décibels ou dB) est une mesure logarithmique L = 10 log (I/I₀) avec I₀= 10^-12 Wm^-2, le seuil d’audibilité à 1000 Hz

8) Ondes acoustiques (suite).

Remarque 1

Les surfaces d’onde créées par une source sonore, sont des surfaces sphériques car la vitesse du son est la même dans toutes les directions.

Par contre, l’intensité du son I(θ) n’est pas toujours distribuée de façon isotrope : c’est une fonction de l’angle θ.

Remarque 2

A l’interface entre 2 milieux, les ondes

acoustiques sont en partie réfléchies et en partie transmises.

+ le coefficient de rélexion Γ dépend

surtout des vitesses du son v₁ et v₂ et des masses volumiques ρ₁ et ρ₂ des 2 milieux.

Pour une incidence normale (i₁=i₂=0):

2 2 1 1

2 2 1 1

v v

v v

ρ ρ

ρ ρ

Γ = −

+

Soit une source de vibration de fréquence f =1/T qui se déplace à vitesse constante v_S,

+ vers l’avant de la source les surfaces d’ondes se rapprochent, la longue d’onde diminue

+ vers l’arrière au contraire la longueur d’onde augmente

La fréquence apparente du son recu par un observateur immobile f’ =v/λ passe donc de

9) Effet Doppler

S S

vT v T v v

λ = − = ⁻ f

S S

v v vT v T

λ = + = ⁺ f

' à '

1

/ 1

/

f f

f f

v v v v

= =

− +

passe à sa hauteur Dans une direction quelconque repérée par l’angle θ_S :

' 1

cos

/ f f

v θ v

= −

9) Effet Doppler (suite)

A l’opposé, si c’est l’observateur qui se déplace à une vitesse v₀ par

rapport à une source sonore qui reste fixe, la longueur d‘onde λ (distance séparant 2 maxima de pression) ne change pas, mais la fréquence apparente de l’onde devient :

lorsque l’observateur

s’éloigne de la source (f ’< f ) ou encore :

lorsque l’observateur

se rapproche de la source (f ’< f )

0 0

' v v v v

f f

λ v

− ⎛ − ⎞

= = ⎜ ⎝ ⎟ ⎠

v

v0

0 0

' v v v v

f f

λ v

+ ⎛ + ⎞

= = ⎜ ⎝ ⎟ ⎠

9) Effet Doppler (suite)

Une importante application de l’effet Doppler est la mesure des vitesses (vélocimétrie à ultrasons)

Pour la mesure de la vitesse v_e d’écoulement du sang, l’onde acoustique est réfléchie par les globules en mouvement qui recoivent une fréquence :

La fréquence de l’onde

réfléchie reçue par le détecteur :

Comme v_e<<v, la faible différence de fréquence f-f₂ est détectée

grâce aux battements entre les fréquences émise et réfléchie

1

e

cos f f v v

v

θ

⎛ − ⎞

= ⎜ ⎝ ⎟ ⎠

2 1

cos

cos cos

e

e e

v v v

f f f

v v v v

θ

θ θ

= = −

+ +

10) Mur du son et ondes de choc

Lorsque la vitesse de la source devient supérieure à la vitesse du son dans l’air

(v = 340 m/s = 1200 km/h)

) l’onde sonore ne se propage plus que vers l’arrière.

) sur le front d’onde (conique) toutes les ondes de

compression arrivent en

phase, suivies immédiatement par une forte dépression:

c’est l’onde de choc.