1 3.3 DESCRIPTION DE TRAJECTOIRES 3.3 DESCRIPTION DE TRAJECTOIRES

(1)

3.3 DESCRIPTION DE TRAJECTOIRES

• Ordre de mouvement

• Planification de trajectoire = convertir l’ordre de déplacement en une série de configurations intermédiaires

• Deux approches possibles

– Description dans l’espace de configuration

– Description dans l’espace de la tâche fµkg k

= 1; : : : ; n

<

MOVE (P1)

>;

fxkg k

= 1; : : : ; n

3.3 DESCRIPTION DE TRAJECTOIRES

• CAS FONDAMENTAL: TRAJECTOIRE LINEAIRE

– Interpolation linéaire dans l’espace de configuration

t: paramètre courant qui peut être ou pas le temps – Interpolation dans l’espace de la tâche

– Comparaison

µ(t) = (1¡t)µ(0) + t µ(1) t 2

[0;1]

x(t) = (1¡t)x(0) + tx(1) t 2

[0;1]

(2)

3.3 DESCRIPTION DE TRAJECTOIRES

• TRAJECTOIRE A DEVIATION LIMITEE

– Utilise le fait que l’interpolation sur les variables de configuration θest plus performante

– Consiste à améliorer la trajectoire par récurrence en générant des points de contrôle à mi-parcours (algorithme de Taylor)

Légende:

– 1er appel récursif à l’algorithme de génération de points intermédiaires

– Configurations intermédiaires du 1er cas – Points de contrôle générés par le 2ème appel

récursif

– Points de contrôle générés par le 3ème appel récursif

– Configurations intermédiaires du cas précédent – Comparaison des trajectoires successives

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f) Destination

Origin

3.3 DESCRIPTION DE TRAJECTOIRES

• DESCRIPTION DU MOUVEMENT OPERATIONNEL

– Prise en compte de la notion de temps sur la trajectoire – Raisons:

• Nécessaire pour des applications spécifiques où on a besoin d’un contrôle en temps réel:

– soudure à l’arc – peinture

– pose de joints de colle – saisie au vol...

• Prise en compte du pouvoir d ’accélération des actuateurs

• Transition continue des vitesses / accélérations par exemple pour minimiser les chocs mécaniques

• Optimiser les temps de cycle et les trajectoires

(3)

3.4 MODELE DYNAMIQUE DU ROBOT MANIPULATEUR

• CONCEPT

Exprime la relation entre

– les forces en présences

• efforts moteurs

• inerties

• gravité

• forces de dissipations

• interaction avec la tâche (effort sur l’effecteur) – les grandeurs cinématiques

• déplacements

• vitesses

• accélérations

3.4 MODELE DYNAMIQUE DU ROBOT MANIPULATEUR

• LE MODELE DYNAMIQUE DIRECT

– Données: efforts appliqués C(t) + état initial – Résultats:

• histoire des variables articulaires Θ(t)

• trajectoire dans l’espace de travail X(t)

– Forme: système non-linéaire d’équations différentielles du second ordre à intégrer dans le temps

– Rôle:

• Simulation sur ordinateur du comportement dynamique – évaluation des caractéristiques de la réponse globale du

manipulateur

– requiert un modèle des asservissements

(4)

3.4 MODELE DYNAMIQUE DU ROBOT MANIPULATEUR

• LE MODELE DYNAMIQUE INVERSE

– Données: trajectoire X(t)

– Résultats:efforts nécessaires C(t) pour atteindre ou maintenir une configuration

– Forme: calcul algébrique

– Rôle:

• Conception:

– évaluation des caractéristiques mécaniques des actuateurs et des organes de transmissions et prédire le comportement dynamique du système

– dimensionnement des moteurs et actuateurs

• Commande:

– prédire les couples à délivrer par les actuateurs en vue de la synthèse de la loi de commande

3.4 MODELE DYNAMIQUE DU ROBOT MANIPULATEUR

• FORMALISMES POSSIBLES

– EULER-NEWTON

• schéma rendu libre des composants isolés

• équilibre dynamique (équations de Newton et d’Euler) des membres

• bien adapté à une procédure récursive conduisant à un nombre minimum d’opérations arithmétiques

– LAGRANGE

• basé sur les équations de Lagrange du système

• basé sur l ’évaluation des énergies cinétique et potentielle due à la gravité, et le travail virtuel des forces et couples extérieurs

• approche plus systématique

• mais procédure récursive plus compliquée et donc de coût numérique plus élevé.

(5)

3.4 MODELE DYNAMIQUE: MANIPULATEUR 2 DDLS

• Manipulateur 2 ddls

– Longueurs de bras l₁et l₂, portant des masses concentrées m₁et m₂sur les joints

• Formalisme de Lagrange

– Choix des coordonnées généralisées: q_i(i=1...n) – Expression des énergies cinétique, potentielle

– Equations du mouvement

où les Q_isont les forces extérieures conjuguées aux ddls q_i T

=

T

(q;

q; t)

_

U

=

U

(q; t)

Q

i

(t) = d dt

µ @ T

@ q _

i

¶

¡ @ T

@q

i

+ @ U

@q

i

m

1

m

2

l

1

l

2

y

x g

3.4 MODELE DYNAMIQUE: MANIPULATEUR 2 DDLS

• Décomposition des énergies

• Energies cinétiques

• Vitesses absolues des points 1 et 2 en termes des coordonnées généralisées

m1

m2

l1

l2

y

x g

T = T

1

+ T

2

U = U

1

+ U

2

T

¹

= 1

2 m

1

v

²₁

T

2

= 1 2 m

2

v

₂²

v

²₁

= _ x

²₁

+ _ y

²₁

= l

₁²

µ _

²₁

v

²₂

= _ x

²₂

+ _ y

²₂

(6)

3.4 MODELE DYNAMIQUE: MANIPULATEUR 2 DDLS

• Energies potentielles

• L’application des équations de Lagrange donne les équations d’équilibre en termes des forces généralisées conjuguées aux déplacements articulaires

m1

m2

l1

l2

y

x g

U

¹

= m

1

gy

1

= m

1

gl

1

(1 ¡ cos µ

1

) U

²

= m

2

gy

2

= m

2

gl

1

(1 ¡ cos µ

1

) + m

2

gl

2

¡ 1 ¡ cos(µ

1

+ µ

2

) ¢

c

₁

(t) = m

_{1 1}

µ Ä

₁

+ m

_{1 2}

µ Ä

₂

+ b

_{1 11}

µ _

²₁

+ b

_{1 22}

µ _

₂²

+ b

_{1 12}

µ _

₁

µ _

₂

+ g

₁

c

₂

(t) = m

_{1 2}

µ Ä

₁

+ m

_{2 2}

µ Ä

₂

+ b

_{2 11}

µ _

²₁

+ b

_{2 22}

µ _

₂²

+ b

_{2 21}

µ _

₁

µ _

₂

+ g

₂

3.4 MODELE DYNAMIQUE: MANIPULATEUR 2 DDLS

SIGNIFICATION DES COEFFICIENTS

• Inerties principales

• Termes de couplage par inertie

• Termes centrifuges et de Coriolis

• Termes de gravité

m

11

= m

1

l

²₁

+ m

2

(l

²₁

+ l

₂²

+ 2l

1

l

2

cos µ

2

) m

22

= m

2

l

²2

m

12

= m

21

= m

2

l

²₂

+ m

2

l

1

l

2

cos µ

2

b

₁₁₁

= 0 b

₁₂₂

= ¡ m

₂

l

₁

l

₂

sin µ

₂

b

₂₁₁

= m

₂

l

₁

l

₂

sin µ

₂

b

₂₂₂

= 0

b

₁₁₂

= ¡ 2m

₂

l

₁

l

₂

sin µ

₂

b

₂₂₁

= 0

g

₁

= (m

₁

+ m

₂

)gl

₁

sin µ

₁

+ m

₂

gl

₂

sin(µ

₁

+ µ

₂

)

g

2

= m

2

gl

2

sin(µ

1

+ µ

2

)

(7)

3.5 MODELE DYNAMIQUE DANS LE CAS GENERAL

• Dans le cas général le modèle dynamique d’un manipulateur en chaîne ouverte à n dddls a la forme suivante:

– Mest la matrice d’inertie (dimension n x n)

– Best la matrice des coefficients des forces centrifuges et de Coriolis (dimension m x n avec m= n(n+1)/2 )

– gest la matrice des termes de gravité (dimension n) – C(t) est la matrice des couples appliqués (dimension n)

• Remarques:

– M, B, g, C(t) sont des fonctions très complexes des variables de configuration instantanées – G est un terme indésirable qui requiert une puissance supplémentaire et qui au point de vue