Les fractions
I) Quotient de deux nombres entiers : a) Définition :
………..
………..
Exemples :
, et sont des fractions, et 12
3 représente l’opération 12 ÷ 3.
, , 5
2,9 et ,
, ne sont pas des fractions car ce sont des quotients avec des nombres décimaux.
Vocabulaire :
Dans la fraction , le nombre a est appelé le ……….. et le nombre b est appelé le ………..
Exemple :
Dans la fraction , 3 est le numérateur et 5 est le dénominateur.
b) Propriété :
……….
……….
……….
Autrement dit, si on multiplie une fraction par son dénominateur, on obtient son numérateur.
Exemple :
La fraction est le nombre qui multiplié par 3 donne 5 car × 3 = 5.
La fraction est le nombre qui multiplié par 2 donne 7 car × 2 = 7.
II) Quotients égaux:
a) Propriété :
La fraction représente l’opération 10 ÷ 5 dont le résultat est 2.
La fraction représente l’opération 20 ÷ 10 dont le résultat est 2.
On en déduit que les fractions et 20
10 sont égales et on écrit :
Propriété :
………...
………
………
b) Application à la simplification d’une fraction :
Simplifier la fraction . Méthode :
Pour simplifier une fraction, il faut diviser son numérateur et son dénominateur par un même entier, tant que cela est possible ( c’est-à- dire tant que les quotients obtenus sont des nombres entiers ).
Ainsi :
La fraction obtenue est telle que son numérateur 7 et son dénominateur 5 ne sont pas divisibles par un même entier : on dit alors que la fraction est une fraction ……….
Il est donc important de connaître les critères de divisibilité pour simplifier une fraction !!
III) Comparaison de fractions :
a) Cas de comparaisons immédiates : Propriété n°1 :
……….
……….
Exemples :
< , >
Propriété n°2 :
………..
………..
Exemples :
< , >
b) Comparaison de fractions avec l’unité :
Propriété n°3 :
………
………
………
………
………
………
Exemple n°1 :
< 1 car son numérateur 12 est inférieur à son dénominateur 13.
> 1 car son numérateur 14 est supérieur à son dénominateur 11.
= 1 car son numérateur 7 est égal à son dénominateur 7.
Exemple n°2 :
Comparer les fractions et . On sait que :
• < 1 car le numérateur 45 est inférieur au dénominateur 47.
• > 1 car le numérateur 63 est supérieur au dénominateur 61.
On en déduit l’encadrement suivant :
< 1 < c’est-à-dire on conclut que < .
c) Cas général : Méthode :
………
………
Exemple :
Comparer les fractions et .
Comme on ne peut pas les comparer en utilisant les propriétés n°1, n°2 ou n°3, on va appliquer la méthode du cas général, c’est-à-dire on va écrire ces deux fractions avec le même dénominateur. Pour cela, nous allons déterminer la valeur du dénominateur commun en écrivant la liste des premiers multiples des dénominateurs des deux fractions.
Multiples de 6 : 6 , 12 , 18 , 24 , 30 , 36 , 42 , 48 , ….
Multiples de 14 : 14 , 28 , 42 , 56 , 70 , ….
42 est le premier multiple commun à ces deux listes : on l’appelle le dénominateur commun des deux fractions.
Il suffit à présent d’écrire les deux fractions précédentes avec 42 comme dénominateur.
On obtient :
× 7 × 3
= et =
× 7 × 3
On peut à présent conclure, en appliquant la propriété n°1, que : >
C’est-à-dire :
>
Remarque :
On applique cette méthode pour classer dans l’ordre croissant plusieurs fractions : on détermine leur dénominateur commun, puis on les écrit avec ce dénominateur commun et on classe leurs numérateurs dans l’ordre croissant.
