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Contrôle de processus industriels complexes et instables par le biais des techniques statistiques et automatiques
Florina Babus
To cite this version:
Florina Babus. Contrôle de processus industriels complexes et instables par le biais des techniques statistiques et automatiques. Sciences de l’ingénieur [physics]. Université d’Angers, 2008. Français.
�tel-00535668�
Université d’Angers Année 2008 N° 960
Contrôle de processus industriels complexes et instables par le biais des techniques statistiques et automatiques
Thèse de doctorat
Spécialité : Sciences de l’ingénieur ECOLE DOCTORALE D’ANGERS
Présentée et soutenue publiquement le 15 décembre 2008
À l’Institut des Sciences et Techniques de l’Ingénieur d’Angers par
Florina BABUS Devant le jury ci – dessous :
Ioan BACIVAROV Examinateur Professeur à l’Université Polytechnique de Bucarest Alain BARREAU Président Professeur à l’université d’Angers
Zohra CHERFI Rapporteur Professeur à l’Université de Technologie de Compiègne Abdessamad KOBI Examinateur Professeur à l’Université d’Angers
Mihai POPESCU Rapporteur Professeur à l’Université Polytechnique de Bucarest Teodor TIPLICA Examinateur Maître de conférences à l’Université d’Angers
Directeurs de thèse : Abdessamad KOBI et Ioan BACIVAROV Co-encadrant : Teodor TIPLICA
Laboratoires: LASQUO, LAboratoire en Sûreté de fonctionnement, QUalité et Organisation
EUROQUAL, Laboratoire en Qualité, Fiabilité et Techniques informatiques
Remerciements
Le travail présenté dans ce mémoire a été réalisé au sein du LAboratoire en Sûreté de fonctionnement, QUalité et Organisation, LASQUO, ISTIA Angers, dirigé par Abdessamad Kobi. Je tiens à lui adresser mes remerciements pour ses conseils précieux et son implication dans mes travaux en tant que directeur de thèse.
J’adresse mes sincères remerciements à Ioan Bacivarov pour son soutien et pour la qualité de ses conseils. C’est grâce à son encadrement pendant mon DEA au sein du Laboratoire EUROQUAL que je me suis dirigé vers ces travaux de recherche, et je lui resterai très reconnaissante.
Je remercie vivement Teodor Tiplica pour sa disponibilité, pour son support et pour la qualité de nos relations de travail. Ses compétences dans le domaine de MSP dont il m’a fait part, ses idées et ses conseils ont contribué de façon incontournable à l’avancement de mes travaux de recherche.
Je suis très reconnaissante à Mme. Zohra CHERFI d’avoir accepté d’être rapporteur de ces travaux et de participer au jury. Son expérience et sa notoriété dans la fiabilité et la qualité industrielle m’honorent de sa présence.
Je remercie chaleureusement M. POPESCU, d’avoir accepté d’être rapporteur de ce travail et de participer au jury.
Je voudrais adresser mes vifs remerciements à M. Alain Barreau pour avoir accepter d’être le président de jury. Sa présence me fait beaucoup d’honneur et je lui suis reconnaissante.
Je remercie également tous les professeurs du laboratoire LASQUO pour les précieux renseignements qu’ils m’ont apportés et tous les membres du Département Qualité et Organisation de ISTIA pour la bonne ambiance de travail qu’ils m’ont offert.
C’est avec plaisir que j’ai passé mes quatre années des recherches auprès de mes collègues de laboratoire. Les souvenirs de notre équipe me resteront toujours au cœur et je leurs remercie fortement pour ces années passés ensemble.
Je remercie profondément ma famille qui malgré la distance m’a toujours soutenue dans tous mes projets. Leur appui m’a aidé à dépasser tous les moments difficiles dans mon travail et je leur suis très reconnaissante.
J’adresse un merci spécial à mon fiancé, Eric MENARD, qui n’a pas hésité à m’aider avec ses conseils et avec son soutien dans l’aboutissement de mes travaux.
Je dédie cette thèse à la mémoire de mon père.
Table des matières
Introduction générale... 1
Chapitre I. Etat de l’art sur l’incidence de la non normalité dans la MSP ... 5
1 Généralités ... 5
2 L’incidence de la non normalité dans la MSP. Principales approches. ... 18
2.1 La famille des lois de Burr ... 22
2.2 Les familles de lois de Johnson et de Pearson ... 25
2.3 La méthode de re-échantillonnage de Bootstrap ... 28
2.4 Les cartes de contrôle avec des paramètres variables ... 31
3 Synthèse des méthodes de traitement de données non gaussiennes... 36
Chapitre II : Contributions aux nouvelles démarches dans la MSP des processus non gaussiennes... 39
1 Introduction ... 39
1.1 Processus non gaussiens - quelques exemples ... 40
1.2 Une catégorie de processus représentés par des distributions non gaussiennes. Tolérances géométriques et variations de formes ... 46
1.3 Distributions asymétriques . La loi de Rayleigh ... 53
1.3.1 Méthodes d’estimation du paramètre de la loi de Rayleigh ... 56
1.3.2 Quelques particularités de la loi de Rayleigh. Domaines d’incidence ... 58
2 Application des cartes de contrôle avec paramètres variables pour les lois des distributions asymétriques ... 60
2.1 La conception d’une carte VP pour la loi de distribution de Rayleigh ... 61
3 Les cartes de contrôle basées sur l’estimation des quantiles... 78
3.1 Mise en place de la méthode pour la loi de distribution de Rayleigh ... 79
3.2 Analyse critique sur la pertinence d’utilisation des cartes de contrôle non gaussienne dans la pratique d’inspection de la coaxialité ... 86
3.2.1 Etude de cas I : le déréglage intervient soit sur la variable X soit sur la variable Y ... 88
3.2.2 Etude de cas II : le déréglage intervient sur les deux variable, X et Y ... 92
3.2.3 Etude de cas III : Les variables X et Y ne sont pas indépendantes, étude d’une carte de contrôle multi variée ... 94
4 Conclusions ... 98
Chapitre III : Contributions au contrôle des processus par le biais des modèles intégrés APC/MSP... 101
1 Introduction ... 101
2 Le contrôle automatique de processus ... 102
3 L’intégration des techniques MSP et APC ... 108
4 Contributions à l’amélioration des modèles de contrôle APC – MSP... 115
4.1 Le modèle intégré de Gultekin ... 116
4.1.1. Propositions d’amélioration de la détection des faibles déréglages pour le modèle intégré de Gultekin : l’intégration d’une carte de contrôle de type EWMA . 125 4.1.2. Propositions d’amélioration de la détection des faibles déréglages pour le modèle intégré de Gultekin : l’intégration d’une carte de contrôle de type VP... 129
4.1.3. Conclusions sur nos propositions d’amélioration de la détection des faibles déréglages pour le modèle intégré de Gultekin ... 131
4.2 Le réacteur de Tennessee Eastman. Généralités ... 134
4.2.1 Proposition d’amélioration. L’intégration d’une carte de contrôle dans le schéma du réacteur de Tennessee Eastman... 141
4.2.2 Mise en place de l’algorithme proposé. Résultats et interprétations... 148
5 Conclusions. Perspectives ... 157
Conclusions générales... 159
Annexe 1 : Eléments de contrôle automatique... 162
A1.1 Notions élémentaires des systèmes automatique ... 162
A1.2 Cadre mathematique uitlisé dans l’automatique ... 168
A1.3 Principe de fonctionnement d’un régulateur automatique ... 170
A1.4 Précisions sur l’implémentation du modèle intégré dans le model Simulink Multiloop_Mode3.mdl : ... 173
Références... 176
Introduction générale
Dans l’environnement économique - industriel actuel, face à la concurrence ardue et à la demande des produits performants pour des coûts réduits, les entreprises accordent une place de choix à leur système de management par la qualité. Une attention spéciale est accordée ces dernières années au système de management visant la qualité totale, TQM1, qui englobe, entre autres, de techniques de contrôle de fabrication permettant d’assurer le fonctionnement optimal d’un processus industriel (stabilité, variabilité minimale, robustesse, respect des contraintes prévues dans le cahier des charges, etc.).
Ceci permet à l’entreprise d’atteindre un niveau de contrôle satisfaisant de son processus de fabrication en parfait accord avec les différents standards ou normes qualité. On peut citer par exemple la norme ISO9001V2000 pour la conception, le développement et la production, la norme ISO9004 pour l'amélioration de la performance, ou bien des normes spécifiques à un secteur d'activité ou à un produit, comme la norme ISO TS 16949 dans l'automobile, la norme EN 9100 dans l'aéronautique et la norme ISO 13488 pour les dispositifs médicaux, etc.
Le contexte général dans lequel s’inscrivent les travaux développés dans ce mémoire est le contrôle des processus industriels. Plus particulièrement, nous nous sommes intéressés aux processus industriels complexes (processus présentant des caractéristiques distribuées selon des distributions non-gaussiennes, processus instables en boucle ouverte et par conséquent régulés par des régulateurs PID, PI ou PD et plus généralement par toute technique relevant du contrôle automatique de processus).
De manière générale, il est considéré que le contrôle de processus intègre quatre grands champs d’application et de recherche :
l’identification de l’ensemble des variables permettant de détecter le plus rapidement et le plus facilement les fautes intervenues au cours du fonctionnement d’un processus.
1 TQM= Total Quality Management
la détection des fautes, qui consiste à mettre clairement en évidence l’apparition de la faute à l’aide de l’ensemble de variables retenues à l’étape d’identification.
le diagnostic de processus, qui consiste à établir la nature de la faute détectée à l’étape de détection.
la reconfiguration du système, qui suppose à ramener le processus dans des conditions opérationnelles nominales ou de le modifier afin de réduire, voir annuler, l’impact de la faute sur la qualité du produit fabriqué.
Dans ce contexte la MSP (Maîtrise Statistique de Processus) fournit les techniques de base d’identification et de la détection et permet des prévisions temporelles sur le comportement des processus. Presque toutes les démarches existantes à l’heure actuelle dans le domaine du contrôle statistique de processus sont basées sur l’hypothèse de normalité des caractéristiques contrôlées, alors que dans bon nombre de situations industrielles ce n’est pas toujours le cas (l’inspection de certaines caractéristiques géométriques des pièces mécaniques, les mesures de la rugosité, concentricité ou coaxialité, la durée de vie de composants électroniques, le suivi d’une caractéristique au caractère continu, comme par exemple la concentration d’une substance chimique, les mesures de positions pour des systèmes asservis, par exemple le positionnement de la pante de lancement de missiles dans l’aéronautique, etc.).
Le sujet de non normalité de processus constitue le point de départ des travaux présentés dans ce mémoire. L’objectif principal de nos travaux de recherche a été d’avancer des nouvelles propositions d’amélioration du contrôle statistique des processus non gaussiens à partir d’une étude bibliographique orientée vers l’identification des démarches et travaux effectuées dans le domaine.
Comme il est connu dans la MSP, le suivi des caractéristiques est basé sur l’échantillonnage des données réelles afin de construire une image de leur comportement temporel pour pouvoir détecter et prévenir les situations critiques. La loi de distribution normale est ainsi devenue un modèle statistique représentatif pour la plupart des processus qui permettent le prélèvement d’échantillons des tailles suffisantes.
Cependant il existe des situations quand le contrôle individuel est exigé (quand il est indispensable de mesurer une caractéristique à tout instant), ou tout simplement quand le prélèvement par échantillonnage n’est pas possible (suivi des caractéristiques continues du domaine chimique, électronique, automatique, le cas des productions petites séries, etc.).
Dans ces situations il est impératif d’établir des techniques spéciales de contrôle, car l’utilisation des outils classiques de MSP fondées sur le modèle de la loi normale, peut entraîner des graves conséquences.
L’augmentation du taux des fausses alertes (qui, par exemple, est déterminée par l’utilisation de la carte de contrôle de Shewhart pour une population distribuée asymétriquement) peut conduire à l’abandon du contrôle par le biais des techniques MSP, et implicitement à des pertes financières. Une détection insatisfaisante des situations hors contrôle ou une interprétation erronée de la capabilité de processus peuvent engendrer des mauvais diagnostics et des décisions incorrectes, ce qui finalement se reflète dans des coûts de contrôle élevés, des délais et des déficits dans la qualité des productions.
Le contrôle des processus non gaussiens présente ainsi une importance pratique majeure et nécessite une analyse rigoureuse. Notre motivation à aborder ce sujet de recherche a été également soutenue par le manque des approches MSP destinées aux processus non gaussiens.
Cependant, nous avons identifié une autre direction de recherches, aussi nouvelle qu’importante au cadre de contrôle des processus complexes et instables, respectivement l’amélioration de contrôle automatique par le biais des méthodes de la MSP.
Le deuxième objectif des travaux présentés dans ce mémoire est d’analyser la problématique d’intégration des outils des domaines de l’APC (Automatic Process Control) et de la MSP au sujet d’amélioration du contrôle des processus complexes et instables.
Généralement un procédé instable est un procédé pour lequel des paramètres comme la moyenne et/ou la variance changent dans le temps. De tels procédés peuvent arriver plus ou moins rapidement dans des situations critiques (caractérisées par la mise en danger de la sécurité des opérateurs ou la fabrication des produits non conformes), ce qui finalement conduit invariablement à l’arrêt du procédé. Pour éviter ce genre des situations, souvent en pratique on stabilise le procédé à l’aide de moyens automatisés comme par exemple les régulateurs PI, PD ou PID, selon le type de caractéristique analysée.
Dans le domaine du contrôle de processus, l’utilisation conjointe des techniques issues de la MSP et de l’APC est d’un très grand intérêt pratique. Tandis que les techniques de détection de type MSP permettent à faire des prévisions et améliorent le contrôle long terme, les méthodes automatiques assurent un contrôle ponctuel, local, contribuant d’une manière fondamentale à la stabilité du procédé. Néanmoins, le diagnostic de processus, qui exige naturellement les étapes d’identification et de détection, implique l’exploration conjointe des outils de contrôle statistique et automatique.
Les modèles automatiques assurent la stabilité du processus autour d’une valeur de référence ainsi qu’un bon fonctionnement pour une période délimitée, et sans l’intervention humaine. Il existe toutefois des situations quand seul le modèle automatique peut ignorer des petites variations autour d’une valeur de référence (par exemple les variations de la composition d’une substance chimique soumise dans le temps aux diverses réactions, autour de sa valeur cible, les variations des mesures fournies par des capteurs de position dans les bancs de tests de l’aéronautique, etc.).
Il est également important de pouvoir prévoir l’évolution du comportement d’un système pendant un période étendue de fonctionnement. La détection des petites variations autour d’une moyenne du processus automatique, ainsi que le diagnostic et les prévisions sur son comportement long terme pourraient être améliorée avec des outils de la MSP, tels qu’une carte de contrôle.
Cependant l’analyse statistique de ces variations apparaissant autour d’une valeur de référence conduit souvent à des caractéristiques particulières (une tendance linéaire, un échelon, etc.) et on retrouve la nécessité de contrôle des caractéristiques non gaussiennes.
En conséquence, l’amélioration des techniques de contrôle statistique pour les distributions non gaussiennes implique l’amélioration du contrôle par les modèles intégrés. L’idée d’utilisation conjointe des ces deux domaines dans le contrôle des processus complexes présente aussi l’avantage de l’originalité, car le sujet n’a pas encore été abordée dans le monde de recherche français.
L’esprit des travaux présentés dans ce mémoire porte sur deux directions de recherche définies comme par la suite: le développement des nouvelles méthodes de contrôle pour les processus non gaussiens et l’intégration des méthodes de la MSP et d’APC dans le contrôle des processus complexes et instables.
Le chapitre I de ce mémoire aborde l’incidence de la non normalité au cadre de la MSP et représente l’état de l’art sur les différents travaux dans le domaine du contrôle statistique de processus non gaussiens.
Le chapitre II réunit l’ensemble de nos travaux et les résultats expérimentaux concernant la conception d’une carte de contrôle pour les caractéristiques aux distributions asymétriques.
Enfin le chapitre III regroupe nos travaux au sujet de l’intégration des modèles APC et MSP dans le contrôle des processus complexes et instables. L’intérêt pratique de l’intégration de ces deux techniques est argumenté par le biais des deux exemples pratiques et des résultats de nos simulations expérimentales.
Nos conclusions et perspectives sont présentées dans la partie finale de ce mémoire.
Chapitre I. Etat de l’art sur l’incidence de la non normalité dans la MSP
1 Généralités
Pour mieux comprendre l’objectif de nos recherches au sujet de l’amélioration des techniques de la MSP dans le contrôle des processus non gaussiens, une brève introduction dans le domaine de MSP s’impose, avec la présentation de ses techniques les plus représentatives.
Le fondateur du concept de MSP (Maîtrise Statistique de Processus) a été Walter Shewhart (Bell Laboratories, les années 30), le parent de la carte de contrôle X [Shewhart, 1931]. Le constructeur d’automobiles Ford complète le concept de MSP avec sa méthode de calcul pour les indicateurs de capabilité. Il est aujourd’hui considéré un des principaux promoteurs de la MSP.
La maîtrise statistique des processus occupe une place de choix parmi les outils de contrôle statistique de la qualité (CSQ). Elle regroupe un ensemble de méthodes statistiques permettant de surveiller et d’améliorer un processus de production. D’après Maurice Pillet [Pillet, 2002]
« La MSP représente une des marches importantes permettant d’améliorer la qualité et la fiabilité des produits par une plus grande maîtrise de procédés ».
Plus généralement, le but de la MSP est de surveiller l’évolution temporelle d’un processus et de détecter les changements qui peuvent affecter ses performances, donc de mettre le procédé industriel sous contrôle. Pour un procédé industriel complexe, les facteurs responsables de l’apparition des déréglages peuvent être réunis sous le nom de 5M du procédé (Machine, Main d’œuvre, Matière, Méthodes, Milieu).
En conséquence, la réduction de la variabilité nécessite une analyse rigoureuse de 5M. Cette analyse implique d’établir les limites naturelles et les intervalles de tolérance (pour décider sur l’acceptation ou le refus d’un lot des produits), d’évaluer la capabilité du processus, de suivre les paramètres de procédés en utilisant des outils adaptés (les cartes de contrôle), etc.
On parle alors de stabilité du procédé, de la conformité avec les spécifications, de la capabilité, de la performance, etc.
Maurice Pillet [Pillet, 2002] considère que le domaine de la MSP présente trois objectifs principaux:
• Donner aux opérateurs un outil de pilotage de la machine
• Formaliser la notion de capabilité d’un moyen de production
• Faire le tri entre les situations ordinaires et les situations extraordinaires qui nécessitent une action
La MSP est fondée sur le concept d’état stable. Il est indispensable de bien connaître ce concept pour utiliser correctement la méthode. Un système stable est un système qui a les performances prévisibles, puisque les données sont distribuées de façon aléatoire avec une dispersion constante autour d’une moyenne invariable dans le temps. Au contraire un système instable est absolument imprévisible. Le jugement sur la stabilité entraîne deux approches différentes et complémentaires [La Jaune et la Rouge, 2001]:
a) Système instable: Stratégie d’action intensive pour identifier le plus tôt possible les causes d’instabilité, puis les éliminer autant que possible, ou au moins y remédier.
b) Système stable: Stratégie de veille pour détecter des signes éventuels d’instabilité.
Il est possible également dans un tel système de déplacer la moyenne et de diminuer la variabilité, pour des raisons économiques.
Des problèmes existent aussi bien dans un système stable que dans un système instable, mais dans le premier cas ils sont imputables au système lui-même, alors que dans le second ils sont imputables aux événements particuliers.
Dans ce contexte, la MSP est considéré le plus souvent comme un ensemble d’outils statistiques: cartes de contrôle, indicateurs de capabilité. Pourtant la notion de MSP n’a pas eu toujours de signification claire pour les ingénieurs. Ils associent souvent la MSP avec le contrôle prédictif, avec le contrôle adaptatif, ou avec le contrôle proportionnel - intégral dérivé.
Le qualiticien associe la MSP à la mise en place d’une carte de contrôle : tant que la caractéristique suivie évolue entre les deux limites de contrôle, on considère que le processus est sous contrôle (stable, maîtrisé). Pour le statisticien le problème est souvent posé sous forme d’un test d’hypothèse: l’hypothèse H (hypothèse nulle) qui traduit le fonctionnement
normal du processus et l’hypothèse H1 (hypothèse alternative) qui représente le déréglage ou le défaut sur une des caractéristiques du processus.
Les cartes de contrôle sont des outils graphiques utilisés pour le suivi de la production qui permettent la détection des causes spéciales de disfonctionnement. Il existe à l’heure actuelle deux catégories principales des cartes de contrôle : les cartes de contrôle par mesures, destinées au traitement des données au caractère quantitatif et les cartes de contrôle par attributs, destinées au traitement des paramètres non mesurables. Ces derniers sont des paramètres qui ne peuvent pas être exprimés par une mesure physique, tel qu’un diamètre, un poids, une température, etc., mais elles sont généralement décrites en utilisant des indicateurs qualitatifs, qui dans la plupart des cas prennent deux valeur seulement (bon/mouvais, conforme/non conforme, succès/échec).
Le sujet de nos recherches porte sur les cartes de contrôle par mesures. La mise en place des cartes de contrôle se réalise à partir d’échantillonnage (dans les situations usuelles on préfère extraire au minimum 20 échantillons de taille 4 ou 5), les données ainsi collectées étant soumises à une analyse rétrospective pour déterminer les situations hors contrôle.
Les performances des cartes de contrôle sont évaluées en termes de POM0 (Période Opérationnelle Moyenne sous contrôle) et POM1 (Période Opérationnelle Moyenne hors contrôle). La POM0 est le nombre moyen d’échantillons prélevés d’un processus sous- contrôle, jusqu'à ce qu’un point sur la carte de contrôle dépasse la limite de contrôle. Elle traduit, donc, la fréquence des fausses alertes. La POM1 représente le nombre moyen d’échantillons que l’on doit prélever dès l’apparition d’une cause assignable jusqu’à sa détection sur la carte de contrôle.
Figure 1.1 : Carte de contrôle par mesures
Les cartes de contrôle classiques (comme la carte (X , R) de Shewhart ou les cartes EWMA et CUSUM) traitent le cas uni-varié (une seule caractéristique est surveillée). À mesure qu’on prélève des échantillons on obtient une image graphique de l’évolution du processus (figure 1.1). Pour simplifier, on considère que le processus est sous contrôle si les points sont entre les limites de contrôle. Si on aperçoit un point qui est situé à l’extérieur des limites de contrôle (LIC - limite de contrôle inférieure, LSC-limite de contrôle supérieure, voir figure 1.1), le processus n’est plus sous contrôle et il faut intervenir pour remédier à cet aspect.
L’intervalle de tolérance spécifié par l’utilisateur n’a rien à voir avec l’intervalle de variation naturelle d’un processus. En effet, l’intervalle de variation naturelle représente la différence entre LSC et LIC qui se calculent en fonction de la carte de contrôle choisie. Dans le cas d’une carte de contrôle de Shewhart, pour une distribution normale cette différence correspond à l’intervalle de six écarts-type, symétrique par rapport à la valeur centrale et couvre une surface graphique d’approximatif 99,73% de la population. La notion de tolérance traduit les exigences de performance imposées par l’utilisateur.
Malgré la facilité de mise en place et la détection rapide des grands déréglages de la moyenne du processus (plus d’un écart type de la distribution des mesures suivies), la carte de contrôle de Shewhart est relativement insensible aux petits déréglages. Pour les procédés continus, souvent le déréglage du processus peut être lent et progressif. Pour ce type des déréglages une détection plus rapide est nécessaire afin d’agir avant que le processus ne s’écarte fortement de la valeur cible. L’augmentation de la taille d’échantillon paraît la première mesure à prendre, mais souvent cette mesure entraîne des coûts et de délais de temps supplémentaires.
Pour palier les inconvénients de la carte X de Shewhart [Shewhart, 1931], des modèles de plus en plus complexes ont été développés. Parmi les plus connus nous citons la carte de contrôle CUSUM (Cumulative Sum) proposée par Pages [Pages, 1954], qui repose sur la représentation du cumul des écarts du processus par rapport à sa valeur cible, ou la carte de contrôle EWMA (Exponentially Weighted Moving Averages) [Roberts, 1959] qui considère l’historique de l’évolution de la caractéristique suivie. L’avantage majeur de ces cartes est la détection rapide des déréglages de faible amplitude de la moyenne du processus.
Pour plus d’informations sur l’application de ces outils nous recommandons les travaux de Box et Luceno [Box et Luceno, 1997] ou Annadi et al. [Annadi et al., 1995] pour la carte CUSUM et respectivement les travaux de Lucas et Sacucci [Lucas et Saccucci, 1990], Mongomery [Montgomery, 1991], ou Zhang [Zhang, 2006], pour la carte EWMA.
Souvent l’analyse d’un processus complexe comporte la surveillance des plusieurs caractéristiques et l’étude des liens entre plusieurs variables. Il existe actuellement plusieurs
types des cartes de contrôle multi – variés, conçues de manière analogue avec les cartes uni variées, mais qui prennent en compte des éventuelles corrélations existantes entre les variables du processus.
Des nombreux auteurs comme M. Pillet [Pillet, 2002], Montgomery [Montgomery et al., 1994], [Montgomery, 1996], ainsi que Kano [Kano et al., 2004], Mac Gregor [MacGregor et Kourtl, 1995], Qiu [Qiu et Hawkins, 2001], Yoo [Yoo et al., 2006] ou Choi [Choi et al., 2006] ont conduit leurs travaux vers les méthodes d’amélioration des cartes de contrôle multi – variés, et d’autres comme Kurti [Kurti, 2006], Chan [Chan et al., 2004], Mastrangelo [Mastrangelo et al., 1996] ont proposés différentes techniques statistiques pour des systèmes multi – variables.
L’essentiel de nos travaux porte sur l’amélioration du contrôle des caractéristiques non gaussiennes et nous avons choisi d’avancer nos recherches sur la voie de la détection uni- variée.
Les outils traditionnels de la MSP uni -varié sont fondés sur l’hypothèse de normalité de la caractéristique suivie. Dans leur application pratique, trois situations distinctes génératrices des problèmes ont été identifiées [Duclos, 1997] :
1) Le processus présente des points hors les limites spécifiées sur la carte de contrôle (figure1.1)
2) Le processus n’est pas centré sur la valeur cible (figure 1.3)
3) Le processus n’est pas capable, il n’est pas adroit à répondre aux performances spécifiées par l’intervalle de tolérance (figure 1.4).
Figure 1.2: Prélèvement des données, Image d’un processus sous contrôle
Précisément, si la loi de distribution des données est une loi de Gauss (figure 1.3) et la courbe n’est pas centrée sur la valeur cible, même si les mesurés prélevées se retrouvent entre les limites de contrôle, elles sont dispersées loin de la valeur souhaitée (cible).
Pour le modèle d’une loi normale de distribution, l’état stable signifie que les données soient centrées sur la valeur cible (la moyenne pour une loi de Gauss), et que les causes spéciales des variations soient identifiées et éliminées.
Pour avoir une image correcte de la dispersion globale, on a besoin de faire la distinction entre les variations naturelles et celles dues à un réglage. Les cartes de contrôle répondent au problème d’identification des causes (communes et spéciales) intervenant dans chaque étape d’un procédé. Cependant elles permettent de réaliser des prévisions à long terme sur les processus surveillés.
Figure 1.3: Image d’un processus non centré
Figure 1.4: Processus non capable. LTI et LTS sont, respectivement, les limites inferieure et supérieure de tolérance du processus
Le pilotage par les cartes de contrôle comporte quelques étapes élémentaires: le prélèvement des échantillons, la représentation et l’interprétation graphique des données collectées, l’application des tableaux de décision pour vérifier les réglages et pour générer les produits
« hors spécifications ».
Cependant, comme on l’a déjà souligné, dans la plupart des processus le prélèvement par échantillonnage permet d’émettre l’hypothèse de normalité. Plus l’échantillon est important, plus la distribution des moyennes d’échantillons se rapproche d’une loi de Gauss, dont la fonction de densité de probabilité exprimée par la relation :
e
x
x f
2
2 1
2 ) 1
(
−
= − σµ
π
σ (1.1)
où f représente la fonction de densité de probabilité des moyennes d’échantillons, µ est la moyenne des données collectées et σ est la variance des données collectées.
Pour argumenter, considérons une suite: X1,X 2,...., Xn des variables aléatoires indépendantes ayant la même loi de distribution (espérance µ et variance σ). A partir de cette suite, définissons deux nouvelles variables:
n
n X X X
S = 1+ 2+....+ et M=X1+Xn2+..Xn=Snn
(1.2)
Avec les expressions de leurs espérances mathématiques, respectivement:
µ n S
E( n)= , E(M)=µ (1.3)
La variance de M est:
n M
V( )=σ2/ (1.4)
Prenons la variable centrée réduite :
n n Zn Sn
σ µ
= − (1.5)
Dans la théorie statistique, quel que soit t∈R, la fonction de répartition définie par:
) (
)
(t P Z t
Fn = n < (1.6)
correspond à :
dz e t
F t
z
n →= ∫−∞ 2
2
2 ) 1
( π , quand n→∞ (1.7)
L’équation décrite dans 1.7 est l’expression de la fonction de répartition de la loi normale centrée et réduite, N (0; 1).
Par conséquence, les méthodes classiques de MSP développées sur l’hypothèse du modèle de la loi normale de distribution s’appliquent correctement pour les caractéristiques contrôlées distribuées suivant la loi normale ou pour les productions où le contrôle par échantillonnage est permis, à condition que la taille d’échantillons soit suffisamment grande. Car même si la distribution d’une population de base est autre que la loi normale, la distribution des moyennes d’échantillons, à partir d’une certaine taille, va suivre une loi normale de distribution.
Figure 1.5. L’aspect de la distribution des moyennes d’une population non normale, pour différents tailles d’échantillons
Comme on peut voir dans la figure 1.5 pour une loi asymétrique, dans le cas d’échantillonnage avec de petites tailles (n= 1, 3), la distribution des moyennes reste asymétrique alors qu’à partir des tailles d’échantillons plus grandes on retrouve une forme de plus en plus proche d’une distribution normale.
En effet, si pour des tailles suffisantes d’échantillons on peut appliquer une carte de contrôle classique, ces méthodes s’avèrent inefficaces quand la distribution des données contrôlées est non normale (contrôle individuel, par exemple).
Comme nous l’avons précisé dans la partie introductive de ce mémoire, le contrôle des processus complexes doit, naturellement, commencer par l’identification des paramètres critiques.
Le pilotage par la carte de contrôle adéquate et le calcul de la capabilité du procédé seront ensuite conduits par une observation continue, comme décrit dans le schéma d’optimisation (figure 1.6) proposé par Maurice Pillet [Pillet, 2002]. Nous avons identifié sur ce schéma les étapes les plus susceptibles d’être affectées par la non normalité de certaines caractéristiques ou paramètres du processus.
On peut voir sur la figure 1.6 que la décision sur la non normalité des caractéristiques suivies n’affecte pas seulement le choix des méthodes de contrôle adéquates (sur le schéma c’est l’étape de calcul des limites de contrôle et calcul de la capabilité, etc.) mais aussi la mise en place des cartes de contrôle (étape de « la mise sous contrôle de processus »).
Evidement, l’observation continue du procédé permet de lancer d’hypothèses sur la nature des données considérées. La carte de contrôle et la méthode de calcul des indicateurs de capabilité seront choisies en fonction de ces hypotheses. Si les hypothèses de normalité ne sont pas satisfaites, les limites de contrôle traditionnelles ne resteront plus valables.
Pour exemplifier considérons l’hypothèse H0 qui correspond au fonctionnement correct (sans faute/déréglage) d’un processus distribué normalement et considérons l’hypothèse H1 qui correspond au processus affecté par un déréglage. Evidement, dans le suivi des moyennes par une carte de contrôle, les limites LCI et LCS doivent prendre en compte les risques associés à ces deux hypothèses.
Ainsi il existe toujours un risque de rejeter l’hypothèse H0 alors que le processus fonctionne correctement (risqueα ) et il existe toujours un risque d’accepter l’hypothèse H0 alors qu’il y a un déréglage de la moyenne du processus (risqueβ).
Les valeurs des risques α etβ sont déterminées facilement sur la surface graphique couverte par la loi normale (figure 1.7). Ces représentent respectivement la probabilité de se retrouver en dehors des limites de contrôle pour la même moyenne du processus (risqueα ) et la probabilité de se retrouver à l’intérieur des limites de contrôle conditionnée par l’apparition d’un déréglage de la moyenne (risqueβ).
Figure 1.6: Schéma complexe d’optimisation de processus, Maurice Pillet [Pillet, 2002]
Loi normale ?
Loi normale ?
Avec la valeur du risque α définie, on peut fixer convenablement les limites de contrôle, en respectant un nombre souhaité de fausses alarmes. Les valeurs les plus usuelles utilisées dans la pratique MSP sontLCI =µ−3σ,LCS = µ+3σ (où µ est la moyenne et σ l’écart type des moyennes d’échantillons contrôlées) qui assurent un risque α de seulement 0.0027, équivalent d’un POM0 de 370 échantillons.
Cependant, il est simple d’imaginer que si la loi de distribution n’est pas normale, des erreurs peuvent être commises facilement quand on applique le test d’hypothèse. Comme on peut voir dans la figure 1.8, assumer la normalité dans une situation quand la loi de distribution n’est pas normale, peut engendrer des graves conséquences dans les décisions sur la carte de contrôle adéquate et dans le jugement sur la capabilité de notre processus.
Pour une loi normale et une loi de Rayleigh de même moyenne et de même écart type, les risques α etβ ne sont pas les mêmes (figure 1.8) et les limites de contrôle classiques ne peuvent plus rester valables. Prenons par exemple le cas du contrôle individuel. Si le risque alpha est interprété comme dans le cas d’une loi normale, couvrant deux surfaces symétriques par rapport à la moyenne, le nombre des fausses alertes sera augmenté. Cependant, si la tendance centrale ne correspond pas à la moyenne des observations, il est évident que les
Figure 1.7. Les tests d’hypothèse sur la loi normale
déréglages de très petite amplitude ne seront facile à détecter avec les limites classiques de contrôle.
Les risques αetβassociés au test d’hypothèse doivent être calculés par rapport à la loi réelle de distribution et non pas comme dans le cas d’une loi normale. Cela implique d’étudier la fonction de distribution et ses paramètres afin de déterminer les limites de contrôle les plus appropriées.
Le développement des nouvelles limites de contrôle en fonction de la spécificité des données, par le biais du calcul des probabilités et des quantiles associées, représente une partie de nos contributions aux méthodes de contrôle pour les processus non gaussiens et se retrouvent dans le chapitre II de ce mémoire. Les limites de contrôle que nous allons proposer sont des limites idéales de contrôle, et leur développement nécessite la connaissance a priori de la distribution des données.
Dans une vision globale de la MSP, seule l’application d’une carte de contrôle ne suffit pas dans le contrôle des caractéristiques, car des prévisions pertinentes ne pourraient être faites sans une analyse statistique adéquate de la nature des distributions des données à contrôler.
Figure 1.8. Les tests d’hypothèse quand la loi de distribution est non normale (Rayleigh) et on assume la normalité
Le statisticien utilise des tests d’adéquation, qui s’effectuent à partir d’un échantillon des données et permettent de déterminer si les prévisions sur les données réelles ont été correctes.
Le problème peut être mis sous la forme d’un test d’hypothèse de la manière suivante : L’hypothèse nulle, H0, correspond à :
H0: F= F0 (1.8)
Cependant l’hypothèse alternative, H1, se traduit par:
H1: F<> F0 (1.9)
où F est la fonction de répartition inconnue de la population sous - jacente et F0 est la fonction de répartition présumée. On rejette l’hypothèse nulle si la distribution empirique n’est pas suffisamment proche de la distribution présumée. Les règles de rejet ou d’acceptation dépendent du test utilisé.
Pour l’adéquation à la loi normale de distribution, parmi les plus usuels nous citons tests de Shapiro Wilk, le test d’Anderson Darling, le test de χ2 et le test de Kolmogorov Smirnoff.
Basé sur un principe simple, le test du Shapiro-Wilk est le plus facile à manier et il est recommandable pour les échantillons de petites dimensions (3 < n < 50). Pour les données de grande taille, il est recommandable d’utiliser d’autres tests plus robustes, comme par exemple le test d’Anderson Darlington.
On note également le test de Kolmogorov Smirnoff, qui est souvent employé pour tester l’adéquation à une loi de distribution non gaussienne. Son avantage vient de la méthode de calcul basée sur la fonction de répartition de données, mais son inconvénient est représenté par la difficulté de le mettre en place, car souvent il nécessite un très grand volume de calcul.
Le test de χ2 est également souvent utilisé dans la pratique mais son aire d’application peut être limité par la quantité des données disponibles quand les critères de son application ne sont pas respectés (nombre des classes imposées, largeur des classes, etc.). Pour plus d’information sur l’application de chaque de ces tests d’adéquation nous recommandons Militaru [Militaru, 2001] ou Fournier [Fournier et al., 2006].
Ces tests statistiques sont utilisés souvent dans l’étape préliminaire à l’application des méthodes de MSP et entraînent les décisions sur le choix des outils MSP le plus adéquates à la nature des données à contrôler.
En manque de méthodes de contrôle statistique appropriées aux différentes formes de distributions prises par les données réelles, les relations mathématiques entre ces distributions sont souvent exploitées pour estimer des paramètres dans des conditions particulières, qui permettent d’appliquer des méthodes de contrôle existantes. Dans nos démarches nous abordons ces relations entre les différentes lois de distributions, car la plupart des approches non - gaussiennes existantes dans la MSP les utilisent comme cadre mathématique de base.
Dans la section suivante nous allons explorer le sujet de la non normalité dans la MSP à travers diverses approches identifiées au cours de nos recherches bibliographiques.
2 L’incidence de la non normalité dans la MSP. Principales approches.
La tendance d’industriels de nos jours vers la qualité totale et vers l’hypothétique « zéro défauts », implique une amélioration continue des techniques de conception pour réduire autant que possible les variations et les effets « imprévus » dans la qualité de leurs produits finaux [Bacivarov, 2005].
Dans la plupart des processus industriels, on souhaite contrôler tous les paramètres de procédé, mais ces paramètres ne sont pas tous identifiables. On se limite donc, en règle générale, au suivi de quelques paramètres considérés comme critiques. Il existe à l’heure actuelle plusieurs méthodes step forward ou step backward pour trouver l’ensemble des variables de procédé qui permettent la détection d’erreurs.
Nous avons montré dans la section I ( figure 1.6) que la non normalité affecte plusieurs étapes dans la mise en place des méthodes de la MSP, à partir de l’étape du calcul des limites de contrôle, l’étape d’étude de l’efficacité des cartes de contrôle, l’étape de détection des causes spéciales, ou bien l’étape d’étude de la capabilité du processus.
Malheureusement on retrouve dans la réalité industrielle une grande catégorie des processus qui n’obéissent pas à des lois de distributions normales. Des données provenant des différents domaines d’activité sont mieux représentées par une autre loi de distribution que la loi normale, exemple : des caractéristiques comme une dimension, les phénomènes d’arrondi, de concentricité, de perpendicularité, de parallélisme, coaxiaux et de rétrécissement.
Nous rappelons également les données au caractère économique : les durées d’attente des clients ou les délais de payes des factures, le nombre des défectueux dans la manufacture, la contamination de particules (chimie), l’inductance ou les effets d’éléments parasites dans un
schéma électrique, toutes ces caractéristiques sont décrites par des lois non normales de distribution.
Souvent les réactions chimiques peuvent être représentées par la distribution logistique, le nombre des défauts dans la manufacture par la distribution de Poisson, tandis que les phénomènes mécaniques tels que les défauts coaxiaux sont mieux représentées par une loi de distribution de Rayleigh [Souvay, 1999] ou par la distribution valeurs extrêmes [Stanard, 2001].
Même si le problème est débattu depuis longtemps, il existe à l’heure actuelle peu de méthodes qui répondent vraiment au problème du contrôle statistique des caractéristiques non gaussiennes. Et, comme on l’a déjà précisé, souvent l’approximation grossière par la loi de distribution normale peut conduire aux graves erreurs d’interprétation et de décision ce qui finalement affecte la qualité globale du processus étudié.
Dans la MSP des caractéristiques non gaussiennes nous avons identifié trois catégories des problèmes : une première catégorie est liée à l’estimation pertinente de la capabilité des processus engendrant des caractéristiques non normales.
Les indicateurs de capabilité seront les premiers affectés par la non normalité, car on ne peut pas obtenir les vraies valeurs en considérant l’intervalle de « 6 sigma » comme dans le cas d’une loi normale, alors que la distribution réelle est différente. On peut ici rappeler les travaux de L. Guidez [Guidez. et al., 1997] sur la capabilité des procédés non normaux, ou de Surajit Pal [Pal, 2005] qui intègre la distribution lambda généralisé dans le calcul des indicateurs de capabilité.
D’autres études ont été avancées par S. E. Somerville et D. C. Montgomery [Somerville et Montgomery, 1997]. Ils analysent les PPM2 de non conformité pour les distributions t de Student, gamma, Weibull etc., tandis que d’autres tiennent à signaler les risques induits dans le calcul des indicateurs de capabilité des processus non normaux [Pillet, 2002].
Le problème d’étude de la capabilité des processus non gaussiens a été traité avec le même intérêt par Pierre Souvay [Souvay, 1999] ou D. Grau [Grau, 2006].
Les deux autres catégories des problèmes générés par la non normalité concernent la détection des disfonctionnements. Deux situations distinctes sont déterminées ici, en fonction de la nature des distributions des données soumises à l’étude. Il existe des méthodes non paramétriques, approches générales qui ne nécessitent pas d’informations sur les paramètres
2 Parts Per Million
de la distribution représentative et il existe des méthodes paramétriques quand certains paramètres de la distribution sont connus et des approches sur mesures sont avancées.
Dans la littérature statistique, la nécessité de nouvelles démarches pour traiter les processus non gaussiens se manifeste constamment. Pour la catégorie des approches non paramétriques plusieurs auteurs ont avancé des travaux sur les cartes de contrôle en proposant des méthodes générales d’estimation, comme par exemple l’estimation de Bootstrap, etc.
Nous rappelons les travaux de Phillipe Castagliola [Castagliola, 1999], qui portent sur l’élaboration des modèles des cartes de contrôle pour les lois non normales, ou de Wheeler and Chambers qui étudient l’effet de la distribution des mesures sur le taux d’observations en dehors des limites de contrôle [Wheeler and Chambers, 1992].
Dans le même contexte nous retrouvons les démarches avancées par P. Castagliola [Castagliola, 1996], [Castagliola, 1998] et P. Sauvay [Souvay, 1999]. Mayer [Mayer et al., 2004] intègrent les processus Markov avec des modèles mathématiques pour le calcul des limites de contrôle dans le cas uni varié. D’autres auteurs analysent également les effets de la non normalité sur le risque α lié aux tests d’hypothèses [Duclos, 1997].
Quant aux approches paramétriques il existe différentes techniques qui aident à l’analyse d’une population de données de nature inconnue. Pour déterminer la valeur d’un certain paramètre de la population étudiée les plus usuelles sont les techniques d’estimation ponctuelle ou par des intervalles de confiance, à partir de l’échantillonnage de cette population.
Nous rappelons les techniques d’estimation de moindre carrées à partir d’un échantillon ordonné [Lloyd, 1952]. A base de ces techniques la robustesse de l’estimateur L a été étudiée dans le cas des populations non normales [Duclos, 1997].
D’une manière plus générale un tel estimateur comporte à minimiser le paramètre β d’un modèle décrit par l’équation:
ε β+
=
Y (2.1)
où Y représente la sortie du système étudié, et ε est l’erreur induite. Dans certaines situations, précisément dans le cas des distributions asymétriques, le choix de la médiane d’une population considérée comme estimateur de β est pertinente pour minimiser ε. A ce sujet Emmanuel Duclos [Duclos, 1997] développe une carte de contrôle basée sur la statistique L et réalise une synthèse des méthodes de contrôle existantes dans le domaine non gaussien.
Une autre méthode d’estimation connue dans le domaine non gaussien est la méthode Jaknife introduite en 1958 par J.W.Tukey [Tukey, 1958], qui permet de déterminer de manière artificielle l’intervalle de confiance à un seuil de signification choisi d’une statistique inconnue. La méthode consiste dans l’extraction des sous échantillons des données à partir d’un échantillon complet. La méthode de Jaknife est de plus en plus utilisée du fait de sa robustesse et de sa précision dans l’estimation.
Dans le contrôle statistique des distributions paramétriques on retrouve souvent la nécessité d’analyser les différentes relations existantes entre les différentes lois de distributions. Des estimations adaptées peuvent être ainsi incluses dans le développement des outils MSP, comme une carte de contrôle non gaussienne.
Nous citons les travaux de Norman L. Johnson [Johnson et al., 1994] qui étudie les distributions discrètes et continues, aussi pour le cas uni-varié comme pour le cas multi-varié, et fait une analyse de leurs caractéristiques: moments principaux, domaines d’application, relations avec différents autres loi de distribution. Ses travaux représentent un instrument d’exception, détaillé et complet, pour la bonne compréhension des relations existantes entre différentes lois de distribution.
A titre d’exemple, à partir de la distribution de χ2 [Johnson et al., 1994] on peut obtenir les principaux paramètres d’une loi de distribution de Rayleigh. Les lois de distribution de χ2 et de Weibull ayant un caractère générale, offrent, dans des cas particuliers, des informations importantes sur les paramètres des plusieurs autres distributions: la loi normale, la loi de Gamma, la loi t de Student, la loi de distribution F de Ficher, la loi de Rayleigh.
Dans le même contexte, des transformations de nature probabiliste, d’autres auteurs comme P.
Castagliola, et F. Tsung [Castagliola et Tsung, 2005], Mayers et Montgomery, [Mayers et Montgomery, 1997], ou Jearkpaporn [Jearkpaporn et al., 2003] étudient les distributions non normales, telles que la loi log-normale, la loi de Gamma ou la loi de Weibull.
Cependant les transformations qui relient différentes distributions sont également utilisées dans les démarches concernant la capabilité la capabilité des processus non gaussiens. Nous citons ici les travaux de Surajit Pal [Pal, 2005] qui propose la distribution lambda généralisé, pour calculer les indicateurs de capabilité d’un processus industriel non gaussien.
L’avantage de son approche par rapport aux méthodes classiques d’approximation (les courbes de Johnson ou Pearson [Clements, 1989]) réside dans la simplicité des calculs. La démarche de Surajit Pal [Pal, 2005] est représentative pour une vaste catégorie des défauts de forme du domaine mécanique: concentricité, conicité, asymétrie, dépassement.