Friction-induced instabilities: modal, transient analysis and experimental validation

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Instabilit´ es de contact : analyses temporelle, aux valeurs propres et validation exp´ erimentale

Anissa Meziane ^1,a , Laurent Baillet ² , Bernard Laulagnet ³ , C. Godeau ¹ et Y. Berthier ¹

1

Laboratoire de M´ ecanique des Contacts et des Solides, INSA-Lyon, CNRS UMR 5259, 69621 Villeurbanne, France

2

Laboratoire de G´ eophysique Interne et de Tectonophysique, Universit´ e Joseph Fourier CNRS, BP 53, 38041 Grenoble Cedex 9, France

3

Laboratoire de Vibrations et Acoustique, INSA-Lyon, 20 avenue Albert Einstein, 69621 Villeurbanne, France

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R´ esum´ e – Les instabilit´ es g´ en´ er´ ees par frottement sont responsables des divers bruits tels que le crisse- ment, le sifflement ou le broutement . . . Pour mod´ eliser et comprendre ce ph´ enom` ene d’instabilit´ es, les analyses temporelle et aux valeurs propres sont utilis´ ees sur un syst` eme mod` ele constitu´ e de deux poutres en contact. Dans l’analyse aux valeurs propres, l’instabilit´ e se manifeste par la coalescence de deux modes propres du syst` eme. Dans l’analyse temporelle, l’instabilit´ e est caract´ eris´ ee par des zones d’adh´ erence ou de d´ ecollement qui apparaissent au niveau de la surface de contact. Les r´ esultats issus des deux analyses sont coh´ erents et compl´ ementaires. Une validation exp´ erimentale a ´ et´ e effectu´ ee et montre une bonne corr´ elation entre les r´ esultats num´ eriques et exp´ erimentaux.

Mots cl´ es : Instabilit´ es de contact / crissement / contact / dynamique / ´ el´ ements-finis

Abstract – Friction-induced instabilities: modal, transient analysis and experimental valida- tion. The vibrations generated at the interface between the two bodies in friction are responsible for various noises such as squealing, juddering, hammering, hooting, etc. In order to model and understand friction-induced vibration phenomenon, two types of analysis, modal analysis and transient analysis, are compared in this article. This study has been made on a simplified system composed of two beams in contact. In modal analysis, instabilities appear when a pair of modes merges. Eigenvalues with positive real parts are identified as potentially unstable modes. In transient analysis, one speaks about instabili- ties when stick or separation zones appear in the contact surfaces. Results have been compared and both analysis give coherent and complementary results. An experimental validation has been made and shows a good correlation between experimental and numerical results.

Key words: Friction-induced instabilities / squeal / contact / dynamics / Finite-elements

Introduction

Lorsque deux corps sont en contact frottant, des vi- brations peuvent apparaˆıtre ` a l’interface. Ces vibrations induites par frottement (ou instabilit´ es de contact) sont responsables de divers bruits et de concentration de contraintes. Dans l’application du freinage automobile, ces vibrations peuvent donner lieu ` a du broutement, du crissement, du bourdonnement... Un vaste panorama de la dynamique des vibrations induites par frottement est

a

Auteur correspondant : anissa.meziane@insa-lyon.fr

pr´ esent´ e par Ibrahim [1,2]. Akay [3] pr´ esente une vue d’en- semble de l’acoustique du frottement. Dans la litt´ erature, les nombreuses ´ etudes exp´ erimentales, analytiques [4] et num´ eriques montrent que le ph´ enom` ene d’instabilit´ e de contact est complexe et qu’il n’est pas encore totalement maˆıtris´ e.

En 1938, Mills [5] montre que des instabilit´ es de

contact peuvent apparaˆıtre lorsque le coefficient de frot-

tement d´ ecroˆıt avec la vitesse relative. Block [6] compl` ete

cette th´ eorie en montrant que ces vibrations instables

peuvent ´ egalement ˆ etre obtenues lorsque le cœfficient

de frottement statique est sup´ erieur au coefficient de

Nomenclature

C Matrice d’amortissement du syst` eme (C = α

M + α

K) (Ns.m

) F Valeur absolue de la force appliqu´ ee sur la poutre Ω

(N)

f Vecteur des forces ext´ erieures nodales du syst` eme (N) G Matrice globale des conditions au niveau du contact K Matrice de raideur du syst` eme (N.m

)

K

Matrice de raideur du syst` eme avec contact (N.m

) K

Raideur de contact (N.m

)

L ˆ Longueur caract´ eristique de la loi de Prakash-Clifton (m) M Matrice de masse du syst` eme (kg)

t, Δt Temps (s), pas de temps (s)

u, u, ˙ u ¨ Vecteurs d´ eplacement (m), vitesse (m.s

) et acc´ el´ eration (m.s

) V Vitesse impos´ ee ` a la poutre 2 (m.s

)

V ˆ Vitesse caract´ eristique de la loi de Prakash-Clifton (m.s

) x Vecteur des coordonn´ ees du syst` eme (m)

α

, α

Param` etres d’amortissement proportionnel (s

, s) β

Param` etre d’amortissement num´ erique

ε Taux d’amortissement

ϕ Valeur propre du syst` eme matriciel λ Vecteur des forces de contact (N) μ Coefficient de frottement de Coulomb ω Pulsation propre (rad.s

)

θ Angle relatif entre les deux poutres (

)

τ ˆ Temps de r´ eponse caract´ eristique de la loi de Prakash-Clifton (s) Indices

n Relatif ` a l’instant t

= nΔt n + 1 Relatif ` a l’instant t

= t

+ Δt n − 1 Relatif ` a l’instant t

= t

− Δt Ω

, Ω

Relatif aux poutres Ω

et Ω

Exposant

n Selon la normale

t Selon la tangentielle

T Transpos´ ee

* Sans prise en compte des forces de contact p Etat perturb´ ´ e ` a partir de la position d’´ equilibre

frottement dynamique. En 1961, Spurr [7] d´ eveloppe le mod` ele de (( Sprag-Slip )) . Il montre l’importance de la cin´ ematique de contact en obtenant une condition d’in- stabilit´ e sur l’angle d’attaque du contact avec un coeffi- cient de frottement constant. En 1972, North [8] montre que les instabilit´ es de contact sont dues ` a une coalescence de deux valeurs propres du syst` eme, une des deux valeurs propres poss´ edant une partie r´ eelle positive. Les instabi- lit´ es de contact sont obtenues avec un coefficient de frot- tement constant et correspondent ` a des vibrations auto- entretenues du syst` eme.

Par la suite, avec l’augmentation de la puissance de calcul, les ´ etudes num´ eriques ont fait leur apparition.

Elles s’appuient sur la m´ ethode des ´ el´ ements-finis qui permet ` a une large gamme de syst` emes (g´ eom´ etrie des corps en contact, conditions limites et mod´ elisation du contact) d’ˆ etre trait´ ee. Ces ´ etudes num´ eriques sont es- sentiellement bas´ ees sur deux types d’analyse : les ana- lyses aux valeurs propres et les analyses temporelles.

Le principe des analyses aux valeurs propres, lin´ eaires,

est de calculer les modes et valeurs propres du syst` eme

coupl´ e constitu´ e par les deux corps en contact. L’insta-

bilit´ e, caract´ eris´ ee par la coalescence de deux modes qui

deviennent complexes, est appel´ ee instabilit´ e par flotte-

ment [9–14]. Cette analyse est peu coˆ uteuse en terme

de temps de calculs, mais ne permet pas de connaˆıtre

le comportement du syst` eme pendant l’instabilit´ e. En re-

vanche, les analyses temporelles, qui prennent en compte

le caract` ere non-lin´ eaire du contact avec frottement, four-

nissent l’´ evolution des grandeurs m´ ecaniques (contraintes,

d´ eformations) en fonction du temps, permettant ainsi de

connaˆıtre la dynamique globale et locale (au niveau du

contact) du syst` eme [15–18]. Pour les syst` emes ´ etudi´ es,

les r´ eponses en temps mettent en ´ evidence des com-

portements instables harmoniques, quasi-harmoniques ou

parfois chaotiques. L’inconv´ enient de cette analyse est

un temps de calcul important qui rend les ´ etudes pa-

ram´ etriques plus lourde ` a mettre en œuvre qu’avec l’ana-

lyse aux valeurs propres. Il existe d’autres techniques

d’analyses non-lin´ eaires [19] qui permettent de traiter ces

V V

F F

y θ

x

MASSE CONCENTREE

Point C Point B

Point A

Ω ² Ω ¹

Point D z

Fig. 1. Repr´ esentation du syst` eme mod` ele ´ etudi´ e. Initiale- ment, Le point C se trouve ` a 80 mm de l’encastrement de Ω

pour les simulations num´ eriques et les essais pr´ esent´ es.

probl` emes de vibrations induites par frottement, mais dans ces analyses, le plus souvent, de fortes hypoth` eses sont faites au niveau du contact (contact permanent, ´ etat glissant dans la mˆ eme direction . . . ) qui ne permettent pas d’´ etudier localement le comportement du syst` eme dans la zone de contact.

Le plus souvent, ces analyses num´ eriques sont faites s´ epar´ ement. Quelques travaux couplent les deux analyses : l’analyse temporelle fournit les conditions de contact en fonctionnement dans un premier temps qui sont utilis´ ees comme donn´ ees d’entr´ ee de l’analyse aux valeurs propres du syst` eme. Cette derni` ere donne alors l’allure du mode mis en jeu lors de l’instabilit´ e [20–23]. Vola [24] effectue les deux types d’analyse en parall` ele sur un syst` eme de ba- lai d’essuie-glace/vitre. L’´ etat statique glissant est utilis´ e dans l’analyse aux valeurs propres pour la recherche des modes instables et dans l’analyse temporelle dynamique comme condition initiale. De r´ ecentes ´ etudes num´ eriques de syst` emes disque-plaquette mettant en place les deux analyses ont ´ et´ e r´ ealis´ ees par Abu Bakar [25] et Massi [26]

montrent que l’analyse aux valeurs propres pr´ edit plus de fr´ equences instables que l’analyse temporelle. Massi [26]

montre ´ egalement des diff´ erences de pr´ ediction du do- maine de stabilit´ e des deux analyses mises en place. Dans la litt´ erature, ` a notre connaissance, aucune ´ etude por- tant sur les vibrations induites par frottement ne pr´ esente des r´ esultats issus des deux analyses avec une valida- tion exp´ erimentale. C’est l’objectif de cet article qui, compte tenu de la complexit´ e du ph´ enom` ene d’insta- bilit´ e de contact, porte sur l’´ etude des instabilit´ es de contact d’un syst` eme mod` ele (Fig. 1). Dans un premier temps, les mod´ elisations des deux analyses sont expos´ ees.

Puis les r´ esultats issus des deux analyses sont expos´ es et synth´ etis´ es, afin de mettre en avant l’apport de chacune des deux analyses dans l’´ etude des instabilit´ es de contact.

Puis, dans un deuxi` eme temps, l’´ etude exp´ erimentale du syst` eme est effectu´ ee et permet de valider les r´ esultats num´ eriques obtenus.

1 Mod´ elisation et m´ ethodes num´ eriques utilis´ ees

1.1 Syst` eme ´ etudi´ e et ´ equations de mouvement sans prise en compte du contact

Le syst` eme ´ etudi´ e est constitu´ e de deux poutres en acier Ω <sub>1</sub> et Ω <sub>2</sub> en contact ponctuel (Fig. 1). Ω <sub>2</sub> est en- castr´ ee libre. Le point A de Ω <sub>1</sub> est bloqu´ e en translation suivant x et en rotation suivant z . Une masse concentr´ ee de 3 kg est prise en compte dans les calculs au point A et correspond au support physique de Ω <sub>1</sub> permettant d’assurer la condition limite (voir Fig. 12). Une vitesse V suivant x est impos´ ee ` a Ω ₂ au niveau de l’encastrement et la force F est appliqu´ ee au point A suivant y .

La discr´ etisation spatiale est effectu´ ee ` a partir de la m´ ethode des ´ el´ ements-finis. Les ´ el´ ements consid´ er´ es sont des ´ el´ ements de poutre de Bernoulli (cisaillement n´ eglig´ e) en flexion et traction-compression (3 degr´ es de libert´ e par nœud). On se place dans les hypoth` eses lin´ eaires de pe- tites rotations et de petites d´ eformations. Les ´ equations de mouvement, via le principe des travaux virtuels, sont transform´ ees en un syst` eme matriciel lin´ eaire :

M¨ u + C ˙ u + Ku = f (1)

1.2 Analyse aux valeurs propres

Le principe de cette analyse est de calculer les va- leurs et vecteurs propres du syst` eme en int´ egrant les forces de contact dans la matrice K . On ´ ecrit les ´ equations de mouvement autour de l’´ equilibre glissant du syst` eme. La gestion du contact est r´ ealis´ ee par l’interm´ ediaire d’un ressort de raideur K c introduit entre les deux nœuds en contact (Fig. 2). Les deux nœuds en contact sont sup- pos´ es cin´ ematiquement glissants. Les forces de contact en chaque nœud en contact peuvent donc ˆ etre exprim´ ees

ainsi :

λ ⁿ _Ω

( u ^p ) = − K _c u ⁿ _rel

λ ^t _Ω

( u ^p ) = −μ|λ ⁿ _Ω

| sgn( ν _rel ^t ) (2) o` u λ ⁿ _Ω

et λ ^t _Ω

sont les valeurs des forces normale et tan- gentielle de contact respectivement sur la poutre Ω ₁ .

u ^p repr´ esente le vecteur d´ eplacement perturb´ e autour de la position d’´ equilibre glissant du syst` eme, u ⁿ _rel est le d´ eplacement relatif suivant n des deux poutres au niveau du contact, v ^t _rel la vitesse tangentielle relative entre les deux nœuds en contact.

Les vecteurs nodaux des forces normales et tangen- tielles ( λ ⁿ ( u ^p ) et λ ^t ( u ^p )) peuvent donc ˆ etre exprim´ es en fonction du coefficient de frottement de Coulomb, de la raideur du ressort et des d´ eplacements nodaux. On ob- tient ainsi l’´ equation suivante :

M¨ u ^p + C ˙ u ^p + Ku ^p = λ ⁿ ( u ^p ) + λ ^t ( u ^p ) ⇔

M¨ u ^p + C ˙ u ^p + K ^c u ^p = 0 (3)

K c

Ω ² Ω ¹

n

λ _Ω ^r

t

λ _Ω ^r

n n

1

2

λ

λ _Ω ^r = − _Ω ^r

t t

1

2

λ

λ ^r _Ω = − ^r _Ω

θ

Fig. 2. Gestion du contact dans l’analyse aux valeurs propres.

λ

et λ

repr´ esente la force normale et tangentielle ap- pliqu´ ee sur la poutre Ω

.

Les valeurs propres ϕ _i complexes et conjugu´ ees deux ` a deux du syst` eme (3) sont

ϕ i = ε i ω i + jω i (4) Lorsque ε i est n´ egatif, y croˆıt exponentiellement et l’´ equilibre glissant du syst` eme est instable par flottement.

1.3 Analyse temporelle

Les valeurs de d´ eplacements, vitesses et acc´ el´ erations aux diff´ erents nœuds, ainsi que les forces et surfaces de contact au cours du temps sont obtenues. La gestion du contact avec frottement entre les deux corps d´ eformables est r´ ealis´ ee par un algorithme bas´ e sur la m´ ethode des multiplicateurs de Lagrange ` a incr´ ement avant [27]. L’al- gorithme de contact est bas´ e sur l’interaction entre les surfaces maˆıtres (sur Ω <sub>2</sub> ) et le nœud esclave (point C ap- partenant ` a Ω ₁ ). Les segments maˆıtres ´ el´ ementaires sont d´ ecrits par deux nœuds et approxim´ ees par des splines bicubiques de continuit´ e C ¹ . La m´ ethode des multipli- cateurs de Lagrange ` a incr´ ement avant est construite ` a partir des ´ equations de mouvement (via le principe des travaux virtuels) au temps ( t n = n Δ t ) augment´ ees par les conditions en d´ eplacements impos´ ees au nœud esclave

`

a l’instant t n+1 :

M¨ u _n + C ˙ u _n + Ku _n = G ^T _n+1 λ _n = f _n G n+1 ( x _n + u _n+1 + u _n ) = G n+1 x _x+1 ≤ 0 (5) Les ´ equations de mouvement (6) sont ensuite discr´ etis´ ees en temps. On choisit un sch´ ema de Newmark explicite β 2

(ce qui impose que la condition de Courant soit satisfaite).

Les vecteurs u ˙ n et u ¨ n sont exprim´ es ` a chaque pas de temps Δt ` a partir du sch´ ema temporel de la m´ ethode β ₂ ( β ₂ ∈ [0 , 5; 1[) :

⎧ ⎪

⎨

⎪ ⎩ u ¨ = 2

Δt ² ( u _n+1 − u _n + Δt u ˙ _n ) u ˙ + 1

1 + 2 β ₂

u ˙ n−1 + Δt (1 −β 2 ) u ¨ n−1 + 2 β 2

Δt ( u n+1 −u n ) (6)

n r

λ

Temps

Force norm ale et tange ntielle

t r

λ

Loi de Prakash-Clifton simplifiée Loi de Coulomb classique

τ ^ˆ

Fig. 3. Repr´ esentation de la loi de Coulomb classique et de la loi de Coulomb r´ egularis´ ee choisie (loi de Prakash-Clifton simplifi´ ee). La force tangentielle donn´ ee par la loi de Coulomb classique r´ epond instantan´ ement ` a une variation brutale de la force normale, contrairement ` a celle donn´ ee par la loi de Prakash-Clifton simplifi´ ee.

La loi de frottement utilis´ ee au contact est la loi simplifi´ ee du type Prakash-Clifton [28, 29] (Fig. 3). Les conditions de contact sont donn´ ees par :

λ ⁿ _n ≤ 0 (contact si λ ⁿ _n < 0 et d´ ecollement si λ ⁿ _n = 0).

Dans le cas o` u λ ⁿ _n < 0 : λ ^t _n ≤ μ λ ⁿ _n

Si on a λ ^t _n

c < μ λ ⁿ _n , alors ν _rel ^t = 0 (adh´ erence) et ` a t n , λ ^t _n = λ ^t _n

calc .

Si on a λ ^t _n

c ≥ μ λ ⁿ _n , alors λ ^t _n · ν _rel ^t ≤ 0 (glissement) (8)

λ ˙ ^t = − ^V _L ^ˆ _ˆ λ ^t − μ λ ⁿ et ` a t n , λ ^t _n =

1 1+

Δt

λ ^t _n−1 + ^{V ˆ} _ˆ

L Δtμ λ ⁿ _n o` u v <sup>t</sup> <sub>rel</sub> est la vitesse relative tangentielle des nœuds esclaves li´ es ` a la surface maˆıtre. ˙ λ ^t est la d´ eriv´ ee de la force tangentielle de contact en fonction du temps.

La force tangentielle atteint la force tangentielle de Coulomb λ ^t _n = μ λ ⁿ _n apr` es un glissement sur une lon- gueur ˆ L , ou apr` es un temps ˆ τ qui vaut ^{V ˆ} _ˆ

L . λ ^t _n

c corres- pond ` a la valeur de la force tangentielle calcul´ ee avant l’application des conditions de contact.

2 ´ Etude num´ erique et confrontation des deux types d’analyses

Les caract´ eristiques du syst` eme ´ etudi´ e figurent dans

le tableau 1. Le mod` ele num´ erique contient 120 ´ el´ ements-

finis (soit 122 nœuds et 366 degr´ es de libert´ e). Pour

mod´ eliser correctement le syst` eme dans le domaine

fr´ equentiel d’int´ erˆ et [0–10 kHz], une longueur d’´ el´ ement

Tableau 1. Donn´ ees du syst` eme ´ etudi´ e.

Ω

Ω

Longueur 0,05 m 0,15 m

Epaisseur ´ 0,01 m 0,015 m

Largeur 0,0015 m 0,003 m

Masse volumique ( ρ ) 7900 kg.m

7900 kg.m

Module d’Young ( E ) 185 GPa 185 GPa Param` etre α

50 s

50 s

Param` etre α

1 × 10

s 1 × 10

s Nombre d’´ el´ ements 30 90

de 1,7 mm a ´ et´ e choisie. Cette longueur est bien inf´ erieure

`

a dix fois la longueur d’onde ( c/f _max ≈ 50 mm). Les coefficients α ₁ et α ₂ ont ´ et´ e obtenus lors de l’´ etude exp´ erimentale de la poutre Ω ₂ seule. Pour les premiers modes de la structure assembl´ ee, il a ´ et´ e v´ erifi´ e que les taux d’amortissement appliqu´ es num´ eriquement et me- sur´ es exp´ erimentalement sont proches, surtout pour les fr´ equences proches de la fr´ equence de crissement. L’angle θ est fix´ e ` a 5 ^◦ . Dans les simulations pr´ esent´ ees, le contact entre les deux poutres s’effectue au point C (Fig. 1). Les surfaces de contact sont consid´ er´ ees comme ´ etant parfai- tement lisses. Les effets thermiques et physico-chimiques sont n´ eglig´ es.

2.1 Analyse aux valeurs propres

Une ´ etude de sensibilit´ e ` a la valeur de la raideur de contact K <sub>c</sub> a ´ et´ e effectu´ ee. Pour des valeurs du mˆ eme ordre de grandeur que la raideur des ´ el´ ements du syst` eme, les r´ esultats (domaine d’instabilit´ e, valeurs propres) sont sensibles ` a ce param` etre. Cependant, pour des valeurs grandes devant la raideur ´ el´ ementaire du syst` eme, les r´ esultats sont indiff´ erents aux variations de K <sub>c</sub> , ce qui in- dique que, pour ces valeurs, le contact peut ˆ etre consid´ er´ e comme infiniment rigide. Dans la mod´ elisation tempo- relle, l’utilisation de la m´ ethode des (( multiplicateurs de Lagrange ` a incr´ ement avant )) implique que le contact est consid´ er´ e comme infiniment rigide. Ainsi pour avoir des r´ esultats comparables, la raideur de contact K c est fix´ ee

`

a 10 ⁵ fois la raideur ´ el´ ementaire maximale du syst` eme ( K _c = 1 , 35 × 10 ¹⁴ N.m ⁻¹ ).

L’instabilit´ e se manifeste par une ou plusieurs coa- lescences de deux modes en fr´ equence (partie imaginaire de la valeur propre). Parall` element, une des deux valeurs propres poss` ede un taux d’amortissement ε _i n´ egatif. La fi- gure 4a pr´ esente l’analyse aux valeurs propres du syst` eme en fonction du coefficient de frottement. Dans le domaine fr´ equentiel consid´ er´ e et pour des coefficients de frotte- ment compris entre 0 et 0,5, on observe trois coalescences de modes (400 Hz, 2800 Hz et 7700 Hz) ` a des coefficients de frottement diff´ erents ( μ ^{400 Hz} _c = 0 , 16, μ ^{2800 Hz} _c = 0 , 12 et μ ^{7700 Hz} _c = 0 , 23).

La forme des modes (Figs. 4b–4d) et le glissement re- latif au niveau du contact sont des param` etres importants de la coalescence de modes li´ ee ` a l’instabilit´ e [13, 26]. Par exemple, le mode ⑨ (8070 Hz ` a μ = 0) qui est un mode

Tableau 2. Param` etres des simulations temporelles pr´ esent´ ees.

Force appliqu´ ee (F ) 9 N Vitesse appliqu´ ee ( V ) 0,002 m.s

Pas de temps ( ΔT ) 2 × 10

s Amortissement num´ erique ( β

) 0,8

de traction pure de Ω ₂ et qui pr´ esente un nœud de vibra- tion au point de contact, ne subit aucun couplage avec le mode ⑧ (7180 Hz ` a μ = 0) ou le mode ⑩ (8350 Hz ` a μ = 0).

2.2 Analyse temporelle

Les param` etres des simulations pr´ esent´ ees sont donn´ es dans le tableau 2. Les param` etres de maillage et de pas de temps ont ´ et´ e d´ efinis afin d’obtenir la convergence des r´ esultats en temps et en espace. Les param` etres de r´ egularisation sont fix´ es ( ˆ V = V et ˆ L = 2 × 10 ⁻¹⁰ m).

A l’instant initial, les poutres sont immobiles et ne sont ` pas en contact. Ω <sub>1</sub> est alors mise en mouvement suivant y par la force F appliqu´ ee et les deux poutres entrent en contact (Phase I : t ∈ [0 s; 0 , 4 s]). Lorsque les deux poutres en contact sont en ´ equilibre statique, on applique une vi- tesse V suivant x ` a Ω ₂ (Phase II : t ∈ [0 , 4 s; 1 s]).

2.2.1 ´ Equilibre glissant

Les figures 5 et 6 pr´ esentent la vitesse suivant x du nœud esclave (Point C) et la force de contact suivant y en fonction du temps pour un coefficient de frottement de 0,1 et V = − 2 mm.s ⁻¹ . Lors de la mise en mouvement de Ω ₂ , un r´ egime vibratoire transitoire de tr` es faible amplitude se met en place et laisse rapidement place ` a un r´ egime stable glissant.

La vitesse du nœud esclave tend vers z´ ero et la force de contact suivant y tend vers 9 N, valeur absolue de la force F impos´ ee. Les valeurs locales de vitesse et de force tendent vers les valeurs globalement impos´ ees.

2.2.2 Apparitions d’instabilit´ es de contact

Lorsqu’on augmente le coefficient de frottement, le

syst` eme passe d’un r´ egime glissant stable ` a un r´ egime

d’instabilit´ e de contact. Pour les param` etres d´ efinis dans

le tableau 2, le coefficient de frottement critique au-dessus

duquel l’instabilit´ e est g´ en´ er´ ee vaut 0,12. Les figures 7 et

8 pr´ esentent la vitesse suivant x des nœuds B et C et les

forces de contact suivant x et y en fonction du temps pour

un coefficient de frottement de 0,15. Le ph´ enom` ene d’in-

stabilit´ e de contact se traduit par un ph´ enom` ene de vi-

brations auto-entretenues du syst` eme. L’amplitude des vi-

brations est plus importante que dans le cas o` u le syst` eme

est stable. La figure 9 pr´ esente la transform´ ee de Fourier

des forces de contact suivant x et y . Le spectre pr´ esente

Fig. 4. Analyse aux valeurs propres num´ erique du syst` eme : (a) ´ evolution des 10 premi` eres fr´ equences du syst` eme coupl´ e par frottement en fonction du coefficient de frottement ( θ = 5

) ( Fr´ equences d’instabilit´ e potentielle), (b) ` a (d) Allures des modes 2, 5 et 8 avec un coefficient de frottement μ de 0,01 en dessous du coefficient de frottement critique μ

( μ = μ

− 0 , 01).

Fig. 5. Vitesse suivant x du nœud esclave (point C). (Simula- tion num´ erique temporelle avec μ = 0, 1 et V = −2 mm.s

).

une p´ eriodicit´ e en fr´ equence dont la fr´ equence principale se trouve ` a 2700 Hz.

L’apparition de vibrations auto-entretenues se mani- feste par l’apparition d’ondes au niveau du contact qui sont de type adh´ erence-glissement, adh´ erence–

glissement–d´ ecollement ou glissement–d´ ecollement [16, 30–32]. Il y a donc localement des variations du

Fig. 6. Force de contact suivant y pendant la deuxi` eme phase de simulation (simulation num´ erique temporelle avec μ = 0 , 15 et V = − 2 mm.s

).

statut cin´ ematique (adh´ erent, glissant, d´ ecoll´ e) du nœud

esclave par rapport ` a la surface de contact, ainsi que des

variations de la force de contact (normale et tangentielle),

des vitesses. . . Dans la simulation pr´ esent´ ee, ce sont

des ondes de type adh´ erence-glissement-d´ ecollement ` a

la fr´ equence de 2700 Hz qui sont pr´ esentes au niveau

Fig. 7. Vitesse suivant x des points B et C (simulation num´ erique temporelle avec μ = 0, 15, F = 9 N et V =

−2 mm.s

).

Fig. 8. Forces de contact selon x et y (simulation num´ erique temporelle avec μ = 0 , 15, F = 9 N et V = − 2 mm.s

).

Fig. 9. FFT des forces de contact selon x et y (simula- tion num´ erique temporelle avec μ = 0, 15 F = 9 N et V = −2 mm.s

).

du contact. Localement, les conditions de contact sont plus s´ ev` eres que celles impos´ ees globalement. En effet, la force de contact peut atteindre 23 N au lieu des 9 N impos´ e globalement. De mˆ eme, alors que la valeur de la vitesse relative macroscopique est de 2 mm.s ⁻¹ , la vitesse relative locale peut atteindre plus de 40 mm.s ⁻¹ .

Ω 2

Ω 1

Fig. 10. Repr´ esentation des vecteurs vitesses en chaque nœud du syst` eme ` a t = 1 s (Simulation num´ erique temporelle avec μ = 0, 15, F = 9 N et V = −2 mm.s

). R´ esultats similaires

`

a la figure 4c obtenue par l’analyse aux valeurs propres.

La figure 10 pr´ esente les vecteurs vitesses de chaque nœud du syst` eme pendant l’instabilit´ e ` a t = 1 s. Cette repr´ esentation montre que le syst` eme vibre selon un mode typique de la structure assembl´ ee (mode obtenu lors de l’analyse aux valeurs propres Fig. 4c), car Ω <sub>2</sub> pr´ esente des vibrations dont l’allure ne correspond pas ` a celle d’un mode de poutre encastr´ ee-libre. Les vibrations li´ ees au crissement (type particulier d’instabilit´ es de contact qui se caract´ erise par des vibrations instables continues et harmoniques de hautes fr´ equences [3]) sont dues ` a des vibrations coupl´ ees des deux structures en contact.

2.3 Synth` ese des r´ esultats des deux analyses

Dans le mouvement d´ ecrit par le syst` eme, la position du point de contact ´ evolue au cours du temps. L’analyse temporelle simule le comportement du syst` eme en temps et prend ainsi en compte cette ´ evolution. L’analyse aux valeurs propres ne tient pas compte de cette ´ evolution du point de contact. Cependant, le d´ eplacement du point de contact ´ etant de l’ordre de 1,1 mm, il n’y a pas d’influence sur les r´ esultats de l’analyse aux valeurs propres.

D’apr` es l’analyse aux valeurs propres, le syst` eme est instable ` a partir d’un coefficient de frottement de 0,12 (Fig. 4a). Une valeur identique est obtenue par l’analyse temporelle.

Pour un coefficient de frottement μ de 0,15, les deux analyses donnent les mˆ emes r´ esultats : une seule fr´ equence instable ` a 2700 Hz pour l’analyse temporelle et 2800 Hz pour l’analyse aux valeurs propres. La repr´ esentation tem- porelle des vibrations du syst` eme (Fig. 10) pendant l’in- stabilit´ e correspond au mode instable obtenu par l’analyse aux valeurs propres (Fig. 4c).

Pour des coefficients de frottement plus ´ elev´ es, l’ana- lyse aux valeurs propres donne plusieurs fr´ equences po- tentiellement instables. Les simulations temporelles in- diquent que ces fr´ equences ne sont pas toutes instables.

Pour un coefficient de frottement de 0,25, d’apr` es les

r´ esultats de l’analyse aux valeurs propres, trois fr´ equences

sont potentiellement instables : 400 Hz, 2800 Hz et

7700 Hz (Fig. 4a). Les r´ esultats des simulations tem-

Fig. 11. Taux d’amortissement ε pour les modes ② (400 Hz),

⑤ (2700 Hz) et ⑧ (7700 Hz) en fonction du coefficient de frot- tement.

porelles indiquent que seul le mode ` a 2700 Hz est in- stable pour les conditions de fonctionnement (vitesse V de –2 mm.s <sup>−1</sup> , force F de 9 N). La figure 11 pr´ esente l’´ evolution des taux d’amortissement des modes ② , ⑤ et ⑧ (donn´ ee par l’analyse aux valeurs propres) en fonction du coefficient de frottement. Dans certains travaux ([33] par exemple) bas´ es sur une analyse aux valeurs propres, cette valeur du taux d’amortissement des modes potentielle- ment instables est consid´ er´ ee comme un bon indice pour d´ eterminer le mode qui est excit´ e en conditions r´ eelles de fonctionnement. D’apr` es cet indice (Fig. 11), ` a partir d’un coefficient de frottement de 0,17, c’est le mode ② qui devrait ˆ etre pr´ epond´ erant car il poss` ede le taux d’amortis- sement le plus ´ elev´ e en valeur absolue. Pourtant ce n’est pas le mode d’instabilit´ e que pr´ edit l’analyse temporelle.

Ainsi, pour notre syst` eme, la valeur du taux d’amortisse- ment des modes potentiellement instables n’est pas un bon indice pour d´ eterminer le mode qui est excit´ e en conditions r´ eelles de fonctionnement. Ce taux d’amortis- sement permet uniquement de caract´ eriser le d´ ebut du mouvement dynamique.

Les deux analyses donnent donc des r´ esultats tr` es proches pour le domaine de stabilit´ e. Cependant, l’ana- lyse aux valeurs propres pr´ edit, dans certains cas, plus de fr´ equences potentiellement instables que l’analyse tempo- relle. Une validation exp´ erimentale est ensuite men´ ee afin d’appuyer les r´ esultats num´ eriques obtenues par les deux analyses.

3 Validation exp´ erimentale

3.1 Banc d’essai

Le banc utilis´ e est repr´ esent´ e sur la figure 12. La poutre Ω ₁ (1) est bloqu´ ee en translation selon x et en rotation selon z mais libre selon y . L’application phy- sique de ces conditions limites impose la pr´ esence d’un support (3) (dont la masse est de 3 kg) qui modifie la dynamique du syst` eme. (Ce support est mod´ elis´ e par une masse concentr´ ee dans les simulations num´ eriques.) Le

5

4 2

1 3

6

Point E

z x y z x

Fig. 12. Banc d’essai. (1) Poutre Ω

, (2) poutre Ω

, (3) sup- port de la poutre Ω

, (4) syst` eme vis-´ ecrou, (5) poids, (6) capteur de d´ eplacement.

support de l’ensemble Ω ₁ -support peut pivoter autour d’un axe solidaire du bˆ ati. La force verticale F de 9 N est appliqu´ ee par l’interm´ ediaire d’un poids (4). La poutre Ω ₂ (2) est encastr´ ee-libre et repose sur un support coulissant suivant x par rapport au bˆ ati. Un syst` eme vis-´ ecrou (4) permet de translater ce support.

Lors d’un essai en r´ egime stable glissant ( V > 0), le coefficient de frottement a ´ et´ e estim´ e entre 0,2 et 0,25.

L’´ etude exp´ erimentale a ´ et´ e r´ ealis´ ee en deux temps. Dans un premier temps, une ´ etude modale du syst` eme complet

`

a l’arrˆ et a ´ et´ e r´ ealis´ ee afin de valider la mod´ elisation dyna- mique du syst` eme sans mouvement relatif entre les deux poutres. Dans un second temps, l’´ etude des vibrations du syst` eme lorsque la vitesse V ( < 0) est appliqu´ ee ` a Ω ₂ a

´ et´ e r´ ealis´ ee.

Afin de r´ ealiser l’´ etude modale du syst` eme ` a l’arrˆ et, un pot excitateur muni d’un capteur de force pi´ ezo´ electrique a ´ et´ e dispos´ e sur le support de Ω ₁ au niveau du point E (Fig. 12). Il est maintenu inactif pendant l’´ etude des vibrations du syst` eme lorsque la vitesse V est appliqu´ ee

`

a Ω ₂ afin de ne pas modifier la dynamique du syst` eme.

Ce capteur pi´ ezo´ electrique enregistre la force au niveau du point E en fonction du temps. Un vibrom` etre laser ` a fibre optique permet de mesurer la vitesse de vibration suivant la direction de vis´ ee d’un point du syst` eme. Un capteur de d´ eplacement (5) rep` ere la position du plateau support de Ω ₂ et permet ainsi de connaˆıtre la vitesse de translation du plateau.

3.2 ´ Etude modale du syst` eme ` a l’arrˆ et

Avant d’´ etudier la dynamique du syst` eme en frotte- ment, il est n´ ecessaire de v´ erifier que la dynamique du syst` eme au repos ( V = 0) est bien mod´ elis´ ee. Pour cela, une ´ etude modale du syst` eme ` a l’arrˆ et a ´ et´ e effectu´ ee afin de comparer les modes et fr´ equences propres num´ eriques et exp´ erimentales du syst` eme. Exp´ erimentalement, dans un premier temps, on soumet la structure ` a un bruit blanc afin d’obtenir les fr´ equences propres du syst` eme.

La forme des modes exp´ erimentaux est obtenue grˆ ace ` a

Fig. 13. Repr´ esentation num´ erique et exp´ erimentale des modes du syst` eme coupl´ e (a) 2930 Hz (b) 4875 Hz. — Repr´ esentation des poutres non d´ eform´ ees,

Amplitude mo- dale exp´ erimentale pour les points de Ω

, * Amplitude modale exp´ erimentale pour les points de Ω

, Mode num´ erique.

la mesure des niveaux et phases vibratoires en diff´ erents points du syst` eme soumis ` a une excitation sinuso¨ıdale aux fr´ equences propres exp´ erimentales.

Ces modes sont ensuite compar´ es aux modes num´ eriques obtenus par une recherche classique de modes propres des deux poutres coll´ ees au niveau contact.

La figure 13 pr´ esente deux des modes du syst` eme ` a l’arrˆ et. Tous les modes obtenus exp´ erimentalement ont

´

et´ e identifi´ es avec une bonne pr´ ecision. Les fr´ equences exp´ erimentales et num´ eriques sont pr´ esent´ ees dans le ta- bleau 3. L’erreur sur les fr´ equences n’exc` ede pas 4 %.

La mod´ elisation dynamique du syst` eme exp´ erimental pr´ esent´ e figure 12 est donc valid´ ee.

3.3 ´ Etude des vibrations du syst` eme lorsque Ω ₂ est en translation

Chaque essai se d´ eroule en trois ´ etapes : d’abord, la surface de Ω ₂ est nettoy´ ee afin d’avoir des conditions de contact reproductibles. Puis, les poutres sont mises en contact. Enfin, lorsque le syst` eme est en ´ equilibre

Tableau 3. Fr´ equences propres num´ eriques et exp´ erimentales et erreur relative.

Fr´ equences Fr´ equences Erreur relative sur num´ erique exp´ erimentales la valeur de fr´ equence

16 Hz 16 Hz 0 %

362 Hz 374 Hz 3,2 %

1665 Hz 1620 Hz 2,8 %

2060 Hz 2080 Hz 0,9 %

2924 Hz 2930 Hz 0,1 %

5035 Hz 4875 Hz 3,3 %

6624 Hz 6600 Hz 0,4 %

8030 Hz 7690 Hz 4 %

8236 Hz 8100 Hz 2 %

Fig. 14. Vitesse num´ erique et exp´ erimentale suivant x au point B en fonction du temps ( V = − 2 mm.s

et F = 9 N) .

statique, Ω ₂ est mise en mouvement. C’est lors de cette derni` ere phase que les mesures suivantes sont effectu´ ees :

la mesure de la force F _E ( t ) mesur´ ee au point E par le capteur pi´ ezo´ electrique li´ e au pot excitateur inactif,

la mesure de la vitesse v B ( t ) du point B (Fig. 1).

La figure 14 pr´ esente les vitesses suivant x num´ erique et exp´ erimentale du point B en fonction du temps pour une vitesse de translation de Ω ₂ de –2 mm.s ⁻¹ . Num´ eriquement et exp´ erimentalement, le syst` eme pr´ esente des instabilit´ es de contact et vibre de mani` ere discontinue. Num´ eriquement, les s´ equences d’instabilit´ e apparaissent ` a intervalles de temps r´ egulier. L’intervalle de temps (environ 0,04 s) entre deux phases d’instabilit´ e correspond au temps pendant lequel Ω <sub>2</sub> entraˆıne Ω <sub>1</sub> par adh´ erence. C’est ensuite le glissement entre Ω <sub>2</sub> et Ω <sub>1</sub> qui met le syst` eme en vibrations. Ces intervalles de temps sont li´ es ` a la vitesse de Ω ₂ . On peut observer que les intervalles de temps num´ eriques et exp´ erimentaux entre les s´ equences d’instabilit´ e sont proches.

Les figures 15 et 16 pr´ esentent les spectres des vi-

tesses num´ erique et exp´ erimentale suivant x du point B

(Fig. 1) et les spectres de la force de contact num´ erique

(direction y ) et de la force F E (direction y ) exp´ erimentale

pour une vitesse de translation de Ω ₂ de –2 mm.s ⁻¹ .

Exp´ erimentalement, la force de contact ne peut pas

ˆ etre mesur´ ee. Cependant, les vibrations du syst` eme

qui se propagent jusqu’au capteur, sont repr´ esentatives

Fig. 15. FFT des vitesses num´ erique et exp´ erimentale suivant x du point B ( V = − 2 mm.s

et F = 9 N).

Fig. 16. FFT de la force de contact num´ erique suivant y num´ erique et de F

exp´ erimentale (V = −2 mm.s

et F = 9 N).

des vibrations de la force de contact du point de vue de leur contenu fr´ equentiel. D’apr` es ces figures, exp´ erimentalement, les vibrations du syst` eme pr´ esentent une p´ eriodicit´ e en fr´ equence, avec comme fr´ equence prin- cipale 2700 Hz (Figs. 15, 16), ce qui est ´ egalement pr´ edit par les simulations num´ eriques. De plus, l’amplitude num´ erique des vibrations en temps et en fr´ equence est tr` es proche de celle obtenue exp´ erimentalement. Ce qui montre que la fr´ equence d’instabilit´ e ainsi que son ni- veau de vibration sont bien pr´ edites num´ eriquement par l’analyse temporelle. L’analyse aux valeurs propres pr´ edit deux fr´ equences d’instabilit´ e ` a un coefficient de frotte- ment μ de 0,2 : 400 Hz et 2800 Hz. Seule la derni` ere (en- viron 2800 Hz) apparaˆıt dans le spectre exp´ erimental, ce qui valide en partie l’analyse aux valeurs propres puisque la fr´ equence de vibration exp´ erimentale est pr´ edite. Mais l’analyse aux valeurs propres n’est pas suffisante car elle surestime le nombre de fr´ equences d’instabilit´ e.

4 Conclusions

Cet article pr´ esente l’´ etude des instabilit´ es de contact sur un syst` eme mod` ele. L’analyse num´ erique temporelle,

valid´ ee exp´ erimentalement, associ´ ee ` a l’analyse aux va- leurs propres permettent d’´ etudier de fa¸con compl` ete les instabilit´ es de contact de ce syst` eme d’´ etude.

Le syst` eme est instable lorsque le coefficient de frot- tement est sup´ erieur 0,12. L’analyse temporelle montre que le syst` eme vibre principalement selon un mode de la structure assembl´ ee qui correspond au mode donn´ e in- stable ` a la mˆ eme fr´ equence (2700 Hz) par l’analyse aux valeurs propres. Elle montre ´ egalement que les conditions locales de contact (forces de contact et vitesses relatives) peuvent ˆ etre beaucoup plus s´ ev` eres que celles impos´ ees macroscopiquement.

Les r´ esultats obtenus montrent ´ egalement que l’ana- lyse aux valeurs propres surestime le nombre de fr´ equences potentiellement instables. Grˆ ace ` a l’analyse temporelle, on connaˆıt la fr´ equence r´ eelle des vibrations du syst` eme lors des instabilit´ es de contact.

Les deux analyses men´ ees parall` element fournissent donc des r´ esultats compl´ ementaires.

L’analyse temporelle fournit les valeurs de d´ eplacements, vitesses, acc´ el´ erations et forces de contact en fonction du temps (en r´ egime stable ou instable) permettant de comprendre la dynamique globale et locale de contact du syst` eme en fonction du temps. Elle fournit les donn´ ees d’entr´ ee pour d’´ eventuelles ´ etudes acoustiques ou tribologiques.

L’analyse aux valeurs propres fournit les fr´ equences propres potentiellement instables. L’observation des modes correspondants montre que la coalescence a lieu entre deux modes dont l’allure est proche et dont l’am- plitude modale de d´ eplacement au niveau du contact est importante. Ce type d’analyse permet d’avoir des r´ esultats sur la propension au crissement avec des temps de calculs faibles.

Les analyses aux valeurs propres et temporelle men´ ees en parall` ele sur un syst` eme permettent d’´ etudier compl` etement son crissement ´ eventuel. Pour des syst` emes simples ou des syst` emes plus complexes, la mise en place des deux analyses permet de disposer de tous les outils pour ´ etudier le comportement du syst` eme, l’incidence des vibrations sur le bruit et l’usure et de repousser le crisse- ment ` a des coefficients de frottement plus ´ elev´ es en mo- difiant des param` etres du syst` eme (g´ eom´ etrie, mat´ eriau).

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