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Tables of multiple divided Bernoulli numbers and polynomials

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(1)

Tables of multiple divided Bernoulli numbers and polynomials

Olivier Bouillot

01 December, 2014.

Contents

1 Tables of multiple divided Bernoulli numbers 2

1.1 Table of divided bi-Bernoulli numbers . . . . 2

1.2 Tables of divided tri-Bernoulli numbers . . . . 4

1.2.1 A view atpconstant . . . . 4

1.2.2 A view atqconstant . . . 15

1.2.3 A view atrconstant . . . 26

2 Tables of multiple divided Bernoulli polynomials 37 2.1 Tables of divided bi-Bernoulli polynomials . . . 37

2.2 Tables of divided tri-Bernoulli polynomials . . . 54

1

(2)

1.1 Table of divided bi-Bernoulli numbers

(3)

p= 0 p= 1 p= 2 p= 3 p= 4 p= 5 p= 6 p= 7 p= 8 p= 9 p= 10 p= 11

q= 0 3

8 −1

12 0 1

120 0 − 1

252 0 1

240 0 − 1

132 0 691

32760

q= 1 −1 24

1 288

1

240 − 1

2880 − 1 504

1 6048

1

480 − 1

5760 − 1 264

1 3168

691

65520 − 691 786240

q= 2 0 1

240 0 − 1

504 0 1

480 0 − 1

264 0 691

65520 0 −1

24

q= 3 1

240 − 1

2880 − 1 504

1 28800

1

480 − 1

60480 − 1 264

1 57600

691

65520 − 1

31680 −1 24

691 7862400

q= 4 0 − 1

504 0 1

480 0 − 1

264 0 691

65520 0 −1

24 0 3617

16320

q= 5 − 1 504

1 6048

1

480 − 1

60480 − 1 264

1 127008

691

65520 − 1

120960 −1 24

1 66528

3617

16320 − 691 16511040

q= 6 0 1

480 0 − 1

264 0 691

65520 0 −1

24 0 3617

16320 0 −43867

28728

q= 7 1

480 − 1

5760 − 1 264

1 57600

691

65520 − 1

120960 −1 24

1 115200

3617

16320 − 1

63360 −43867 28728

691 15724800

q= 8 0 − 1

264 0 691

65520 0 −1

24 0 3617

16320 0 −43867

28728 0 174611

13200

q= 9 − 1 264

1 3168

691

65520 − 1

31680 −1 24

1 66528

3617

16320 − 1

63360 −43867 28728

1 34848

174611

13200 − 691 8648640

q= 10 0 691

65520 0 −1

24 0 3617

16320 0 −43867

28728 0 174611

13200 0 −77683

552

Table 1: Table of the bi-Bernoulli numbersbp,q 3

(4)

1.2.1 A view atp constant

(5)

q= 0 q= 1 q= 2 q= 3 q= 4 q= 5 q= 6 q= 7 q= 8 q= 9

r= 0 −5 16

7

144 0 − 7

1440 0 1

432 0 − 7

2880 0 7

1584

r= 1 1

36 − 1

576 − 1 360

1 5760

1

756 − 1

12096 − 1 720

1 11520

1

396 − 1

6336

r= 2 0 − 1

360 0 1

756 0 − 1

720 0 1

396 0 − 691

98280

r= 3 − 1 360

1 5760

1

756 − 1

57600 − 1 720

1 120960

1

396 − 1

115200 − 691 98280

1 63360

r= 4 0 1

756 0 − 1

720 0 1

396 0 − 691

98280 0 1

36

r= 5 1

756 − 1

12096 − 1 720

1 120960

1

396 − 1

254016 − 691 98280

1 241920

1

36 − 1

133056

r= 6 0 − 1

720 0 1

396 0 − 691

98280 0 1

36 0 − 3617

24480

r= 7 − 1 720

1 11520

1

396 − 1

115200 − 691 98280

1 241920

1

36 − 1

230400 −3617 24480

1 126720

r= 8 0 1

396 0 − 691

98280 0 1

36 0 −3617

24480 0 43867

43092

r= 9 1

396 − 1

6336 − 691 98280

1 63360

1

36 − 1

133056 −3617 24480

1 126720

43867

43092 − 1 69696

Table 2: Table of the tri-Bernoulli numbersb0,q,r

5

(6)

r= 0 23

288 − 1

288 − 7

1440

1 2880

1

432 − 1

6048 − 7

2880

1 5760

7

1584 − 1

3168

r= 1 − 1

288 − 139 51840

1 2880

953

725760 − 1

6048 − 1507 1088640

1 5760

5749

2280960 − 1

3168 − 364393 51891840

r= 2 − 1 360

1 5760

1

756 − 1

12096 − 1

720

1 11520

1

396 − 1

6336 − 691 98280

691 1572480

r= 3 1 2880

953

725760 − 121

1209600 − 1439 1036800

23 241920

60469

23950080 − 211

1267200 − 1326629 188697600

3937 8648640

31679 1140480

r= 4 1

756 − 1

12096 − 1

720

1 11520

1

396 − 1

6336 − 691 98280

691 1572480

1

36 − 1

576

r= 5 − 1

6048 − 1507 1088640

23 241920

60469

23950080 − 113

698544 − 2089519 297198720

31 69888

120959

4354560 − 29

16632 −30078887 203575680

r= 6 − 1 720

1 11520

1

396 − 1

6336 − 691 98280

691 1572480

1

36 − 1

576 −3617 24480

3617 391680

r= 7 1 5760

5749

2280960 − 211

1267200 − 1326629 188697600

31 69888

120959

4354560 − 401

230400 −10416943 70502400

39821 4308480

308823547 303367680

r= 8 1

396 − 1

6336 − 691 98280

691 1572480

1

36 − 1

576 −3617 24480

3617 391680

43867

43092 −43867 689472

r= 9 − 1

3168 − 364393 51891840

3937 8648640

31679

1140480 − 29

16632 −30078887 203575680

39821 4308480

308823547

303367680 − 331819

5214132 −276583799 31363200

(7)

q= 0 q= 1 q= 2 q= 3 q= 4 q= 5 q= 6 q= 7 q= 8 q= 9

r= 0 0 − 7

1440 0 1

432 0 − 7

2880 0 7

1584 0 − 691

56160

r= 1 − 1 360

1 5760

1

756 − 1

12096 − 1 720

1 11520

1

396 − 1

6336 − 691 98280

691 1572480

r= 2 0 1

756 0 − 1

720 0 1

396 0 − 691

98280 0 1

36

r= 3 1

756 − 1

57600 − 1 720

1 120960

1

396 − 1

115200 − 691 98280

1 63360

1

36 − 691

15724800

r= 4 0 − 1

720 0 1

396 0 − 691

98280 0 1

36 0 − 3617

24480

r= 5 − 1 720

1 120960

1

396 − 1

254016 − 691 98280

1 241920

1

36 − 1

133056 −3617 24480

691 33022080

r= 6 0 1

396 0 − 691

98280 0 1

36 0 −3617

24480 0 43867

43092

r= 7 1

396 − 1

115200 − 691 98280

1 241920

1

36 − 1

230400 −3617 24480

1 126720

43867

43092 − 691 31449600

r= 8 0 − 691

98280 0 1

36 0 − 3617

24480 0 43867

43092 0 −174611

19800

r= 9 − 691 98280

1 63360

1

36 − 1

133056 −3617 24480

1 126720

43867

43092 − 1

69696 −174611 19800

691 17297280

Table 4: Table of the tri-Bernoulli numbersb2,q,r

7

(8)

r= 0 − 23 2880

1 2880

1

432 − 1

28800 − 7

2880

1 60480

7

1584 − 1

57600 − 691 56160

1 31680

r= 1 1 2880

953

725760 − 121

1209600 − 1439 1036800

23 241920

60469

23950080 − 211

1267200 − 1326629 188697600

3937 8648640

31679 1140480

r= 2 1

756 − 1

57600 − 1

720

1 120960

1

396 − 1

115200 − 691 98280

1 63360

1

36 − 691

15724800

r= 3 − 1

28800 − 1439 1036800

1 60480

287989

114048000 − 1

57600 − 1990067 283046400

1 31680

575999

20736000 − 691

7862400 −28646623 193881600

r= 4 − 1 720

1 120960

1

396 − 1

115200 − 691 98280

1 63360

1

36 − 691

15724800 −3617 24480

1 5760

r= 5 1 60480

60469

23950080 − 641

50803200 − 1990067 283046400

53 2661120

1270079

45722880 − 989

19219200 −109378063 740275200

803 4127760

463235501 455051520

r= 6 1

396 − 1

115200 − 691 98280

1 63360

1

36 − 691

15724800 −3617 24480

1 5760

43867

43092 − 3617 3916800

r= 7 − 1

57600 − 1326629 188697600

53 2661120

575999

20736000 − 3037

62899200 −109378063 740275200

23 126720

5614975867

5515776000 − 202187

213857280 −201151871 22809600

r= 8 − 691 98280

1 63360

1

36 − 691

15724800 −3617 24480

1 5760

43867

43092 − 3617

3916800 −174611 19800

43867 6894720

r= 9 1 31680

31679

1140480 − 989

19219200 −28646623 193881600

23 126720

463235501

455051520 − 444457

473932800 −201151871 22809600

394523 61621560

27070971817 288541440

(9)

q= 0 q= 1 q= 2 q= 3 q= 4 q= 5 q= 6 q= 7 q= 8 q= 9

r= 0 0 1

432 0 − 7

2880 0 7

1584 0 − 691

56160 0 7

144

r= 1 1

756 − 1

12096 − 1 720

1 11520

1

396 − 1

6336 − 691 98280

691 1572480

1

36 − 1

576

r= 2 0 − 1

720 0 1

396 0 − 691

98280 0 1

36 0 −3617

24480

r= 3 − 1 720

1 120960

1

396 − 1

115200 − 691 98280

1 63360

1

36 − 691

15724800 −3617 24480

1 5760

r= 4 0 1

396 0 − 691

98280 0 1

36 0 −3617

24480 0 43867

43092

r= 5 1

396 − 1

254016 − 691 98280

1 241920

1

36 − 1

133056 −3617 24480

691 33022080

43867

43092 − 1 12096

r= 6 0 − 691

98280 0 1

36 0 −3617

24480 0 43867

43092 0 −174611

19800

r= 7 − 691 98280

1 241920

1

36 − 1

230400 − 3617 24480

1 126720

43867

43092 − 691

31449600 −174611 19800

1 11520

r= 8 0 1

36 0 −3617

24480 0 43867

43092 0 −174611

19800 0 77683

828

r= 9 1

36 − 1

133056 −3617 24480

1 126720

43867

43092 − 1

69696 −174611 19800

691 17297280

77683

828 − 1

6336

Table 6: Table of the tri-Bernoulli numbersb4,q,r

9

(10)

r= 0 23

6048 − 1

6048 − 7

2880

1 60480

7

1584 − 1

127008 − 691 56160

1 120960

7

144 − 1

66528

r= 1 − 1

6048 − 1507 1088640

23 241920

60469

23950080 − 113

698544 − 2089519 297198720

31 69888

120959

4354560 − 29

16632 −30078887 203575680

r= 2 − 1 720

1 120960

1

396 − 1

254016 − 691 98280

1 241920

1

36 − 1

133056 −3617 24480

691 33022080

r= 3 1

60480

60469

23950080 − 641

50803200 − 1990067 283046400

53 2661120

1270079

45722880 − 989

19219200 −109378063 740275200

803 4127760

463235501 455051520

r= 4 1

396 − 1

254016 − 691 98280

1 241920

1

36 − 1

133056 − 3617 24480

691 33022080

43867

43092 − 1

12096

r= 5 − 1

127008 − 2089519 297198720

1 120960

1270079

45722880 − 1

66528 −1205893247 8161534080

691 16511040

1768717421

1737469440 − 1

6048 −11088496919 1257379200

r= 6 − 691 98280

1 241920

1

36 − 1

133056 −3617 24480

691 33022080

43867

43092 − 1

12096 −174611 19800

3617 8225280

r= 7 1

120960

120959

4354560 − 631

53222400 −109378063 740275200

4187 145297152

1768717421

1737469440 − 1097

10483200 −8448378613 958003200

4331 8225280

103361892457 1101703680

r= 8 1

36 − 1

133056 −3617 24480

691 33022080

43867

43092 − 1

12096 −174611 19800

3617 8225280

77683

828 − 43867

14478912

r= 9 − 1

66528 − 30078887 203575680

4187 145297152

463235501

455051520 − 71

731808 −11088496919 1257379200

20897 43563520

103361892457

1101703680 − 253837

79634016 −2059203960727 1712430720

(11)

q= 0 q= 1 q= 2 q= 3 q= 4 q= 5 q= 6 q= 7 q= 8 q= 9

r= 0 0 − 7

2880 0 7

1584 0 − 691

56160 0 7

144 0 −25319

97920

r= 1 − 1 720

1 11520

1

396 − 1

6336 − 691 98280

691 1572480

1

36 − 1

576 −3617 24480

3617 391680

r= 2 0 1

396 0 − 691

98280 0 1

36 0 −3617

24480 0 43867

43092

r= 3 1

396 − 1

115200 − 691 98280

1 63360

1

36 − 691

15724800 −3617 24480

1 5760

43867

43092 − 3617 3916800

r= 4 0 − 691

98280 0 1

36 0 − 3617

24480 0 43867

43092 0 −174611

19800

r= 5 − 691 98280

1 241920

1

36 − 1

133056 −3617 24480

691 33022080

43867

43092 − 1

12096 −174611 19800

3617 8225280

r= 6 0 1

36 0 −3617

24480 0 43867

43092 0 −174611

19800 0 77683

828

r= 7 1

36 − 1

230400 −3617 24480

1 126720

43867

43092 − 691

31449600 −174611 19800

1 11520

77683

828 − 3617

7833600

r= 8 0 −3617

24480 0 43867

43092 0 −174611

19800 0 77683

828 0 −236364091

196560

r= 9 −3617 24480

1 126720

43867

43092 − 1

69696 −174611 19800

691 17297280

77683

828 − 1

6336 −236364091 196560

3617 4308480

Table 8: Table of the tri-Bernoulli numbersb6,q,r

11

(12)

r= 0 − 23 5760

1 5760

7

1584 − 1

57600 − 691 56160

1 120960

7

144 − 1

115200 −25319 97920

1 63360

r= 1 1

5760

5749

2280960 − 211

1267200 − 1326629 188697600

31 69888

120959

4354560 − 401

230400 −10416943 70502400

39821 4308480

308823547 303367680

r= 2 1

396 − 1

115200 − 691 98280

1 241920

1

36 − 1

230400 − 3617 24480

1 126720

43867

43092 − 691

31449600

r= 3 − 1

57600 − 1326629 188697600

53 2661120

575999

20736000 − 3037

62899200 −109378063 740275200

23 126720

5614975867

5515776000 − 202187

213857280 −201151871 22809600

r= 4 − 691 98280

1 241920

1

36 − 1

230400 −3617 24480

1 126720

43867

43092 − 691

31449600 −174611 19800

1 11520

r= 5 1

120960

120959

4354560 − 631

53222400 −109378063 740275200

4187 145297152

1768717421

1737469440 − 1097

10483200 −8448378613 958003200

4331 8225280

103361892457 1101703680

r= 6 1

36 − 1

230400 − 3617 24480

1 126720

43867

43092 − 691

31449600 −174611 19800

1 11520

77683

828 − 3617

7833600

r= 7 − 1

115200 −10416943 70502400

1 63360

5614975867

5515776000 − 691

15724800 −8448378613 958003200

1 5760

178981631977

1907712000 − 3617

3916800 −4992009601829 4151347200

r= 8 −3617 24480

1 126720

43867

43092 − 691

31449600 −174611 19800

1 11520

77683

828 − 3617

7833600 −236364091 196560

43867 13789440

r= 9 1

63360

308823547

303367680 − 138211

3805401600 −201151871 22809600

877 6918912

103361892457

1101703680 − 53387

86169600 −4992009601829 4151347200

20735807 5157250560

458551589759 25090560

(13)

q= 0 q= 1 q= 2 q= 3 q= 4 q= 5 q= 6 q= 7 q= 8 q= 9

r= 0 0 7

1584 0 − 691

56160 0 7

144 0 −25319

97920 0 43867

24624

r= 1 1

396 − 1

6336 − 691 98280

691 1572480

1

36 − 1

576 −3617 24480

3617 391680

43867

43092 −43867 689472

r= 2 0 − 691

98280 0 1

36 0 −3617

24480 0 43867

43092 0 −174611

19800

r= 3 − 691 98280

1 63360

1

36 − 691

15724800 −3617 24480

1 5760

43867

43092 − 3617

3916800 −174611 19800

43867 6894720

r= 4 0 1

36 0 −3617

24480 0 43867

43092 0 −174611

19800 0 77683

828

r= 5 1

36 − 1

133056 −3617 24480

691 33022080

43867

43092 − 1

12096 −174611 19800

3617 8225280

77683

828 − 43867

14478912

r= 6 0 −3617

24480 0 43867

43092 0 −174611

19800 0 77683

828 0 −236364091

196560

r= 7 − 3617 24480

1 126720

43867

43092 − 691

31449600 −174611 19800

1 11520

77683

828 − 3617

7833600 −236364091 196560

43867 13789440

r= 8 0 43867

43092 0 −174611

19800 0 77683

828 0 −236364091

196560 0 657931

36

r= 9 43867

43092 − 1

69696 −174611 19800

691 17297280

77683

828 − 1

6336 −236364091 196560

3617 4308480

657931

36 − 43867

7584192

Table 10: Table of the tri-Bernoulli numbersb8,q,r

13

(14)

r= 0 23

3168 − 1

3168 − 691

56160

1 31680

7

144 − 1

66528 −25319 97920

1 63360

43867

24624 − 1

34848

r= 1 − 1

3168 − 364393 51891840

3937 8648640

31679

1140480 − 29

16632 −30078887 203575680

39821 4308480

308823547

303367680 −331819

5214132 −276583799 31363200

r= 2 − 691 98280

1 63360

1

36 − 1

133056 −3617 24480

1 126720

43867

43092 − 1

69696 −174611 19800

691 17297280

r= 3 1 31680

31679

1140480 − 989

19219200 −28646623 193881600

23 126720

463235501

455051520 − 444457

473932800 −201151871 22809600

394523 61621560

27070971817 288541440

r= 4 1

36 − 1

133056 −3617 24480

1 126720

43867

43092 − 1

69696 −174611 19800

691 17297280

77683

828 − 1

6336

r= 5 − 1

66528 −30078887 203575680

4187 145297152

463235501

455051520 − 71

731808 −11088496919 1257379200

20897 43563520

103361892457

1101703680 − 253837

79634016 −2059203960727 1712430720

r= 6 − 3617 24480

1 126720

43867

43092 − 1

69696 −174611 19800

691 17297280

77683

828 − 1

6336 −236364091 196560

3617 4308480

r= 7 1 63360

308823547

303367680 − 138211

3805401600 −201151871 22809600

877 6918912

103361892457

1101703680 − 53387

86169600 −4992009601829 4151347200

20735807 5157250560

458551589759 25090560

r= 8 43867

43092 − 1

69696 −174611 19800

691 17297280

77683

828 − 1

6336 −236364091 196560

3617 4308480

657931

36 − 43867

7584192

r= 9 − 1

34848 −276583799 31363200

691 8648640

27070971817

288541440 − 1

3168 −2059203960727 1712430720

3617 2154240

458551589759

25090560 − 43867

3792096 −650273814094463 2000972160

(15)

1.2.2 A view atq constant

15

(16)

r= 0 −5 16

23

288 0 − 23

2880 0 23

6048 0 − 23

5760 0 23

3168

r= 1 1

36 − 1

288 − 1 360

1 2880

1

756 − 1

6048 − 1 720

1 5760

1

396 − 1

3168

r= 2 0 − 1

360 0 1

756 0 − 1

720 0 1

396 0 − 691

98280

r= 3 − 1 360

1 2880

1

756 − 1

28800 − 1 720

1 60480

1

396 − 1

57600 − 691 98280

1 31680

r= 4 0 1

756 0 − 1

720 0 1

396 0 − 691

98280 0 1

36

r= 5 1

756 − 1

6048 − 1 720

1 60480

1

396 − 1

127008 − 691 98280

1 120960

1

36 − 1

66528

r= 6 0 − 1

720 0 1

396 0 − 691

98280 0 1

36 0 −3617

24480

r= 7 − 1 720

1 5760

1

396 − 1

57600 − 691 98280

1 120960

1

36 − 1

115200 − 3617 24480

1 63360

r= 8 0 1

396 0 − 691

98280 0 1

36 0 −3617

24480 0 43867

43092

r= 9 1

396 − 1

3168 − 691 98280

1 31680

1

36 − 1

66528 −3617 24480

1 63360

43867

43092 − 1 34848

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