1S1 PRODUIT SCALAIRE.
PARTIE 1
En bleu : ce qui aurait pu être dit à l oral. Ce n est pas toujours rigoureux !
En violet : ce qui est un peu plus compliqué, ce n est pas grave si vous ne le comprenez pas.
En orange, les numéros des exercices. Certains seront dans le plan de travail. D autres, parfois plus difficiles ne sont que pour les volontaires. Les exercices sont ceux du chapitre 8 du livre.
Vous savez additionner deux vecteurs, multiplier un vecteur par un nombre réel mais on ne peut pas
multiplier deux vecteurs entre eux. Par contre, on peut définir une "sorte de produit" entre deux vecteurs, qui s appelle le produit scalaire. Nous allons voir ci-dessous plusieurs façons de le calculer.
Tous les théorèmes et toutes les propriétés sont admis.
Dans ce chapitre, les angles sont en radians.
I. Définition et différentes façons de calculer le produit scalaire.
1. Définition.
Définition : Soient u et v sont deux vecteurs du plan.
Soient A, B et C trois points tels que AB u et AC v .
Alors, le produit scalaire de u et v est le réel noté u . v défini de la manière suivante :
si u = 0 ou si v = 0, alors u . v = 0
si u et v non nuls, alors u . v = | | | u | | | | v | cos BAC
La notation est un point entre u et v et LE PRODUIT SCALAIRE DE DEUX VECTEURS EST UN NOMBRE, pas un vecteur.
Illustration :
Propriété : Le produit scalaire est symétrique : pour tous vecteurs u et v , on a v . u = u . v Cas particuliers :
Si u et v sont colinéaires de même sens : u . v = | | | u | | | | v | car cos(0) 1
Si u et v sont colinéaires de sens contraires : u . v = | | | u | | | | v | car cos( ) 1
Si u et v sont orthogonaux : u . v 0 car et cos
2 0
Exemple :
ABC est un triangle équilatéral de côté 3. Calculer AB . AC . Correction de l exemple :
| | AB | | est l a norm e (l ongueur) du vect eur AB donc | | AB | | AB 3.
ABC est un triangle équilatéral donc ses angles mesurent 60°, c'est-à-dire
3 radians.
AB . AC | | AB | | | AC | cos ( BAC ) AB AC cos 3 3 3 1
2 9 2
37 page 256
2. Produit scalaire et repère orthonormal.
Le plan est muni d’un repère orthonormal
(O, i, j).Théorème : Quels que soient les vecteurs u et v du plan, de coordonnées respectives
x y et
x y : u . v x x yy .
Exemple :
Dans un repère orthonormal, on donne A (2 3) ; B (4 6) et C ( 1 2). Calculer AB . AC . Correction de l exemple :
Attention : il faut calculer les coordonnées des vecteurs avant d appliquer la formule.
AB
4 2
6 3 donc AB
2
3 et AC
1 2
2 3 donc AC
3 1 . Alors AB . AC 2 ( 3) 3 ( 1) 6 3 9.
38 page 256, 86 page 261
3. Projection orthogonale et produit scalaire.
Définition : A est un point du plan et d est une droite.
Le projeté orthogonal du point A sur la droite d est le point d intersection de la droite d et de la perpendiculaire à d passant par A.
Théorème : AB et CD sont deux vecteurs non nuls .C et D se projettent respectivement en C’ et D’ sur la droite (AB).
Alors : AB
.CD AB .C D
Attention : on projette un vecteur sur l autre et pas les deux sur une droite quelconque !!
Attention : on projette un vecteur sur l autre et pas les deux sur une droite quelconque !!
On peut remplacer un vecteur par son projeté sur l autre.
Exemple : Sur la figure ci-contre, ABCD est un carré de côté 4, CDE est un triangle équilatéral et BF 3.
Calculer en utilisant le théorème précédent : AB . AC ; DC . DE ; BA . FC et DA . FC .
Correction de l exemple :
On se rappelle que l ordre des deux vecteurs n a pas d importance : u . v v . u . AB . AC : on projette AC sur (AB ).
Le projeté de A sur ( AB ) est A lui-même.
Le projeté de C sur ( AB ) est B.
Alors AB . AC AB . AB 4 4 cos ( BAB ) 4 4 cos(0) 4 4 1 16 DC . DE : on projette DE sur (DC ).
Le projeté de D sur ( DC ) est D lui-même.
Le projeté de E sur ( DC ) est le milieu I de [DC ].
On a DI DC 2
4 2 2
Alors DC . DE DI .DC DI DC cos ( IDC ) 2 4 cos(0) 2 4 1 8 BA . FC : on projette FC sur (BA ).
Le projeté de F sur ( BA ) est F car F appartient à la droite ( BA ).
Le projeté de C sur ( BA ) est B.
Alors BA . FC BA . FB Pour pouvoir utiliser la formule, il faut "faire partir les vecteurs de la même origine".
On a FB BJ où J est placé sur la figure ci-contre.
BA . FC BA . BJ BA BJ cos ( ABJ ) 4 3 cos(0) 4 3 1 12
DA . FC : on projette FC sur (DA ).
Le projeté de F sur ( DA ) est A.
Le projeté de C sur ( DA ) est D.
Alors DA . FC DA . AD 4 3 cos( ) 4 4 cos( ) 4 4 ( 1) 16 40, 41, 42, 43 page 256
4. Expression sans les angles (peu utilisée)
Théorème : Si u et v sont deux vecteurs non nuls du plan, alors u . v = 1
2 ( | | | u |
2| | | v |
2| | u v | |
2) = 1
2 ( | | u v | |
2| | | u |
2| | | v |
2)
1, 2, 3, 4 page 247 ; 6 page 249 ; 60 page 258 II. Propriétés du produit scalaire.
Propriété 1 : Quels que soient les vecteurs u , v et w et les réels a et b, on a : v . u = u . v u .( v + w) = u . v u .w
(a u ).(b v ) = a b u . v ( u + v ).w = u . w v .w
On peut donc développer avec les produits scalaires de vecteurs comme avec les produits de nombres.
On a par exemple les mêmes identités remarquables.
Conséquences :
( u ). v = u . v Donc AB . CD = BA . CD = BA . DC
Définition : On appelle carré scalaire du vecteur u et on note u ², le produit scalaire u
.u .
Comme u et u sont colinéaires de même sens, on a u ² = | | | u | | | | u | cos ( u u ) = | | | u |
21 = | | | u |
2et en particulier : AB
2= AB²
On a vu qu on développait comme avec les nombres donc on a : ( AB AC ) .( AB AC ) AB ² AC²
45 page 257, 64 ; 71 page 258 ; 61, 62 page 258 III. Produit scalaire et orthogonalité.
Propriété 2 (admise) : Deux vecteurs u et v sont orthogonaux (leurs directions sont perpendiculaires) si et seulement si leur produit scalaire u . v est nul.
En effet, u . v = | | | u | | | | v | cos ( u v ) et cos ( u v ) = 0 ssi u et v sont orthogonaux.
Exemple :
ABCD est un carré de côté 4, I est le milieu de [AB] et J celui de [AD]. K est le milieu de [ID].
On admet que JK 1 2 AI .
1. En utilisant la relation de Chasles sur les vecteurs et en développant, calculer AK . BJ .
2. Que peut-on en déduire pour les droites (AK) et (BJ).
Correction de l exemple :
1. Pour calculer AK . BJ , on va décomposer AK et BJ en utilisant la relation de Chasles, en essayant de "suivre un chemin déjà tracé ou avec des angles droits".
Par exemple, pour aller de A à K, on va "passer par J" : AK AJ JK . Et pour aller de B à J, on va "passer par A" : BJ BA AJ
Ensuite, on développe le produit scalaire, comme avec des nombres.
AK . BJ ( AJ JK ) . ( BA AJ )
AK . BJ AJ . BA AJ . AJ JK . BA JK . AJ
(AJ ) et ( BA ) sont perpendiculaires donc AJ . BA 0.
AJ . AJ AJ AJ cos(0) 2 2 1 4
On sait que JK 1
2 AI et BA 2 AI donc JK . BA 1
2 AI . ( 2 AI ) AI . AI 2 2 1 4
(JK ) et ( AJ ) sont perpendiculaires donc JK . AJ 0.
Alors AK . BJ 0 4 4 0 0
2. Cela signifie que les vecteurs AK et BJ sont orthogonaux donc que les droites (AK) et ( B J)
sont perpendiculaires.
Conséquence importante : Soient les vecteurs u et v du plan, de coordonnées respectives ( x y ) et (x ′ y′) dans un repère orthonormal, alors les vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si xx yy 0.
En effet, u . v xx ′ yy′.
Exemple 1 : Dans un repère orthonormal d origine O, on donne A(2 4), B(4 2) et C(7 7). Montrer que les droites ( AB) et ( OC) sont perpendiculaires.
Correction de l exemple 1 :
On va montrer que les vecteurs AB et OC sont orthogonaux. Pour cela, on calcule leur produit scalaire et on montre qu il est nul. Pour calculer le produit scalaire des vecteurs, on commence par chercher leurs coordonnées.
AB
4 2
2 4 donc AB
2
2 et OC
7 0
7 0 donc OC
7 7 Alors AB . OC 2 7 ( 2) 7 14 14 0.
Alors les les vecteurs AB et OC sont orthogonaux donc les droites (AB ) et (OC ) sont perpendiculaires.
Exemple 2 : Reprendre l’exemple de la page précédente (avec le carré) et se placer dans le repère
( A AB AD )
Correction de l exemple 2 :
Lorsqu on parle du repère ( A AB AD ) , cela signifie que :
A est l origine
le vecteur AB est le vecteur unité sur l axe des abscisses donc (AB ) est l axe des abscisses et B est à 1 sur cet axe.
le vecteur AD est le vecteur unité sur l axe des ordonnées donc (AD) est l axe des abscisses et D est à 1 sur cet axe.
On a donc (le quadrillage ne donne pas l unité, c est bien B qui est à 1 sur l axe des abscisses et D sur l axe des ordonnées) :
On cherche à calculer AK . BJ . A(0 0) et K
1 4
1
2 donc AK
1 4 1 2
B(1 0) et J
0 1
2 donc BJ
1
1 2
