Etude d'une inclusion différentielle avec retard

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

Ministère de l'enseignement Supérieur et de la Recherche Scientique

UNIVERSITÉ Mohamed Seddik Ben Yahia - Jijel Faculté des Sciences Exacts et d'informatique

Département de Mathématiques

Mémoire

Pour l'obtention du diplôme de : Master Spécialité : Mathématique

Option : Analyse Fonctionnelle

Thème

Etude d'une inclusion diérentielle avec retard

Présenté par :

Boudermine Selma Boudjaàdar Amira Devant le jury :

Président : W.Boukrouk M.C.B Université de Jijel Encadreur : N.Fetouci M.C.B Université de Jijel Examinateur : M.Benguessoum M.A.A Université de Jijel

Promotion 2018/2019

Remerciements

Nous rendons grâce à Dieu qui nous donné la force, le courage, et l'espoir nécessaire Pour accomplir ce travail et surmonter l'ensemble des dicultés.

Nous adressons tout d'abord nos remerciements les plus sincères, au Dr. Fetouci Nora, qui a proposé le thème de ce mémoire, pour ses conseils et ses dirigés du début à la n de ce travail. Sa grande connaissance dans le domaine, ainsi que son expérience, ont joué un rôle important dans la conception de ce travail.

Nous voudrions également remercier les membres de mon jury : W.Boukrouk et

M.Benguessoum, pour l'honneur qu'ils nous ont fait en portant leur attention sur ce travail.

Nos remerciements s'adressent aussi à tous les enseignants et les professeurs qui nous

ont contribué à notre formation et à tous ceux qui notre ont aidé pendant la réalisation de ce

travail.

TABLE DES MATIÈRES

Introduction générale 2

1 Préliminaires 8

1.1 Quelques concepts de l'analyse convexe . . . . 8

1.1.1 Ensemble compact-Espace compact . . . . 8

1.1.2 Ensembles convexes . . . . 9

1.1.3 Fonctions convexes . . . 10

1.2 Fonction conjuguée . . . 10

1.3 Continuité des fonctions . . . 11

1.3.1 Fonction absolument continue . . . 11

1.3.2 Fonction lipschitzienne . . . 12

1.3.3 Théorème de compacité . . . 12

1.3.4 Fonction mesurable . . . 13

1.3.5 Semi-continuité inférieure . . . 13

1.3.6 Semi-continuité supérieure . . . 14

1.4 Topologie faible et faible

. . . 15

1.5 Multi-applications . . . 16

1.6 Continuité des multi-applications . . . 18

1.6.1 Semi-continuité supérieure . . . 18

1

TABLE DES MATIÈRES 2 1.6.2 Semi-continuité inférieure . . . 19 1.6.3 Scalaire semi-continuité supérieure . . . 20 2 Résultat d'existence pour une inclusion diérentielle avec retard 22 2.1 Inclusions diérentielles avec retard : Dénition-Quelques exemples . 23 2.1.1 Dénition . . . 23 2.1.2 Quelques exemples . . . 24 2.2 Résultat d'existence . . . 26 3 Processus de la rae du premier ordre avec une perturbation re-

tardée 38

3.1 Résultats auxiliaires . . . 39 3.2 Résultat d'existence . . . 45

conclusion 51

Bibliographie 52

INTRODUCTION GÉNÉRALE

L'objectif entrepris dans ce mémoire est l'étude de l'existence de solutions pour des inclusions diérentielles du premier ordre avec retard.

Les inclusions diérentielles représentent un sujet de plus en plus abordé ces der- nières années. Cette notion consiste à étudier une équation diérentielle multivoque du type :



 

 

˙

x(t) ∈ F (x(t)) p.p. sur [0, T ], x(0) = x

.

(1) Où F est une multifonction, autrement dit une application dont l'image est un sous ensemble de l'espace d'arrivé. Ce nouveau concept a permis de résoudre de nombreux problèmes émergeant dans divers domaines comme la théorie de contrôle, l'économie et la biologie.

Le problème (1) a été étudié par J.P.Aubin et A.Cellina dans le cas où F est semi continue supérieurement à valeurs convexes compactes.

Les inclusions diérentielle à mémoire ou avec retard souvent appelées "Function- nal dierential inclusions" sont des inclusions diérentielles où le système ne dépend pas seulement comme dans les inclusions diérentielles ordinaires de la valeur initiale mais aussi de l'état antérieur du système. Ce type de problèmes se présente sous la forme

˙

x(t) ∈ F (t, T (t)x) p.p.,

3

4 où pour tout t > 0, pour tout x ∈ C( R , E), T (t)x ∈ C ([−r, 0], E) est dénie par

(T (t)x)(τ ) = x(t + τ ) ∀τ ∈ [−r, 0].

Ce mémoire comprend trois chapitres. Dans le premier chapitre nous dénissons et présentons brièvement les notions que nous utiliserons tout au long de notre travail. Nous commençons par quelques concepts de l'analyse convexe, puis nous introduisons la notion de la topologie faible et faible

, la continuité des fonctions et nous terminons par les multifonction et leurs propriétés qui jouent un rôle central dans les résultats que nous établirons au chapitre 2 et 3.

Le deuxième chapitre est consacré à l'étude d'une inclusion diérentielle du pre- mier ordre avec retard.

On présente un résultat d'existence pour le problème suivant



 

 



 

 



˙

x(t) ∈ F (t, T (t)x) p.p. sur [0, T ], x(t) ∈ D ∀t ∈ [0, T ],

T (0)x = ϕ

.

Où D est un convexe compact d'un espace de Banach, r > 0 et ϕ

∈ C

,

F : [0, T ] × C

−→ ck(E) est une multifonction à valeurs compactes convexes semi- continue supérieurement par rapport à la deuxième variable.

Ce résultat a été obtenu par A.Syam [14], via une méthode de discrétisation et en se basant sur un résultat de C.Castaing.Moussaoui.A.Syam [5] pour le problème sans retard.

En n, dans le dernier chapitre nous traitons l'existence d'une solution lipschit- zienne pour le problème d'évolution suivant gouverné par le cône normal



 

 



 

 



˙

x(t) ∈ −N

(x(t)) + F (t, x

) p.p. sur [0, T ], x(t) ∈ K(t) ∀t ∈ [0, T ],

x(0) = ϕ sur [−r, 0].

où N

(.) est le cône normal à K (.) au point x(.) au sens d'analyse convexe, ce

qu'on appelle processus de la rae avec une perturbation retardée. Ce type d'inclu-

sions diérentielles à été étudié pour la modélisation de certains problèmes liés aux

5 systèmes de réaction, diusion, jeux diérentiels, et en dynamique des populations.

Nous détaillons l'article de C.Castaing et M.D.P.Monteiro Marques dans lequel la

démonstration repose sur la construction d'une suite approximante de la solution à

l'aide d'une discrétisation de l'intervalle et un algorithme de projection successive

dit de rattrapage.

6

Notations

Nous utilisons les notations suivante tout au long du travail : R : l'ensemble des nombres réels,

R

: l'ensemble des nombres réels positifs,

R

: l'ensemble des vecteurs de dimension n, à coordonnées réelles, N : l'ensemble des entiers naturels réels,

C ([0, T ], X ) : l'espace de Banach de toutes les applications continues muni de la norme kx(·)k

= max

t∈I

kx(t)k , E : espace Banach, E

: espace dual de E , H : espace de Hilbert,

C

([−r, 0], X ) : les fonctions continues dénies sur [−r, 0] à valeurs dans X , (fonctions de retard) L

[0, T ] : espace des applications intégrable dénies sur [0, T ] à valeurs dans H ,

L

[0, T ] : espace des applications essentiellement bornées dénies sur [0, T ] à valeurs dans H , h·, ·i : désigne le produit de dualité entre X et X

,

σ(X, X

) : est la topologie faible sur X ,

* : signie la convergence faible dans X , σ(X

, X) : est la topologie faible

sur X

,

*

: signie la convergence faible

dans X

, δ

(.) : la fonction indicatrice de l'ensemble A , δ

(.) : fonction de support,

f

: fonction conjuguée de f ,

f

: fonction biconjuguée de f ,

7

∂f (x) : sous-diérentiel de f au point x ,

˙

x(t) =

(t) : la dérivée d'une fonction dérivable x par rapport à t , co(f) : enveloppe convexe de f ,

ck(H) : l'ensemble des convexes non vides compacts de H ,

cωk(H) : l'ensemble des convexes non vides faiblement compacts de H , d

(x) : La distance de x à A ,

e(A, B) : excès de A sur B ,

h(A, B) : la distance de Hausdor,

proj(x, A) : projection de x sur l'ensemble A , epi(f) : épigraphe de la fonction f ,

dom(f) : domaine eectif de f ,

graph(F ) : graphe de la multifonction F , A ¯ : l'adhérence de A ,

v(x) : voisinage de x ,

CHAPITRE 1

PRÉLIMINAIRES

Dans ce chapitre, nous rappelons des notions et résultats de base qui nous seront très utiles pour la démonstration de nos résultats d'existence de solutions. Nous présentons des dénitions et concepts fondamentaux ainsi que quelques résultats sur la mesurabilité, l'analyse convexe, les multifonction et nous terminons par des résultats de compacité.

1.1 Quelques concepts de l'analyse convexe

Pour plus de détails sur cette section voir [2],[13], [15] et [16]

1.1.1 Ensemble compact-Espace compact

Dénition 1.1.1. Soit X un espace topologique.

1) Un recouvrement de X est une famille (A

)

de parties de X telle que X = S

i∈I

(A

) .

Si de plus I est un ensemble ni, on dit que (A

)

est un recouvrement ni de X .

2) Soit (A

)

un recouvrement de X . Soit J ⊂ I tel que X = S

j∈J

(A

) , on dit que (A

)

est un sous-recouvrement de (A

)

.

8

1.1. Quelques concepts de l'analyse convexe 9 3) Un recouvrement ouvert de X est une famille d'ouverts (U

)

telle que

X = S

i∈I

U

Dénition 1.1.2. Soit X un espace topologique.

• On dit que X est compact s'il est séparé et de tout recouvrement ouvert de X , on peut extraire un sous-recouvrement ni.

Dénition 1.1.3. Soient E un espace métrique, K ⊂ E .

On dit que K est compact si de tout recouvrement ouverts de K on peut extraire un sous-recouvrement ni c'est à dire, si (U

)

est une famille d'ouverts de K telle que K ⊂ S

i∈I

U

alors il existe un sous-ensemble ni J ⊂ I tel que K ⊂ S

i∈J

U

Dénition 1.1.4. Soient E un espace métrique, K ⊂ E .

• On dit que K est compact si toute suite d'éléments de K admet une sous suite convergente dans K .

• On dit que K est relativement compact si K est compact.

Proposition 1.1.1. Les parties compactes de R

sont les parties fermées bornées.

1.1.2 Ensembles convexes

Dénition 1.1.5. (Ensemble convexe).

Soit E un espace vectoriel. Un ensemble K ⊂ E est dit convexe si

∀(x, y) ∈ K

, ∀t ∈ [0, 1], tx + (1 − t)y ∈ K.

Dénition 1.1.6. (Enveloppe convexe).

Soient E un espace vectoriel, A ⊂ E . On appelle enveloppe convexe de A qu'on note co(A) , l'intersection de tous les sous ensembles convexes de E qui contiennent A . C'est en fait le plus petit convexe de E qui contient A .

Théorème 1.1.2. Soient E un espace vectoriel et A un sous ensemble de E . Alors co(A) =

(

X

i=1

λ

x

/k ∈ N, (λ

) ∈ ∆

, (x

)

⊂ A )

;

1.2. Fonction conjuguée 10 où

∆

= (

(λ

, λ

, ..., λ

) : λ

≥ 0,

k+1

X

i=1

λ

= 1 )

.

1.1.3 Fonctions convexes

Dénition 1.1.7. (Domaine eectif).

Soit E un espace vectoriel et soit f : E −→ R une fonction. On appelle domaine eectif de f l'ensemble déni par

dom(f) = {x ∈ E : f (x) < ∞}.

Dénition 1.1.8. (Fonction convexe).

Soit E un espace vectoriel, on dit qu'une fonction f : E −→ R est convexe si pour tout x, y ∈ dom(f ) et pour tout λ ∈ [0, 1] on a

f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y).

Dénition 1.1.9. (Fonction propre).

La fonction f est dite propre si et seulement si f (x) 6= −∞, ∀x ∈ E et f (x) +∞

(i.e, il existe x

∈ E, f(x

) 6= +∞).

Dénition 1.1.10. (Epigraphe).

On appelle épigraphe de f l'ensemble déni par

epif = {(x, t) ∈ E × R : f(x) ≤ t}.

1.2 Fonction conjuguée

Dénition 1.2.1. Soient E un espace vectoriel normé, E

son dual topologique et f une fonction dénie sur E à valeurs dans R. On dénit la conjugée de f par :

f

(x) = sup

x∈E

[hx

, xi − f (x)], pour tout x

∈ E

.

1.3. Continuité des fonctions 11 Dénition 1.2.2. On appelle biconjugée de f qu'on note f

la fonction conjugée de f

dénie par :

f

:E −→ R

x 7−→ f

(x) = sup

x⁰∈E⁰

[hx

, xi − f

(x

)].

Dénition 1.2.3. (Fonction indicatrice).

Soit E un espace vectoriel et soit A un sous ensemble de E (i.e, A ⊂ E ). On appelle fonction indicatrice de A qu'on note δ

la fonction dénie par :

δ

:E

−→ R x 7−→ δ

(x) =



 

 

0 si x ∈ A, +∞ si x ∈ E \ A.

Proposition 1.2.1. La fonction δ

est convexe si et seulement si A est convexe.

Dénition 1.2.4. (Fonction support).

Soit E un espace vectoriel et soit A ⊂ E . On appelle fonction support de A notée par δ

(.) la fonction dénie sur E

par :

δ

:E

−→ R

x

7−→ δ

(x

) = sup

x∈A

hx

, xi.

C'est la fonction conjuguée de la fonction indicatrice.

1.3 Continuité des fonctions

1.3.1 Fonction absolument continue

Dénition 1.3.1. Soit E un espace de Banach. Une fonction f : [a, b] 7−→ E est dite absolument continue si ∀ > 0, ∃δ > 0 tels que pour toute partition dénombrable de l'intervalle [a, b] par des intervalles disjoints [a

, b

] vériant P

k

(b

− a

) < δ on a

X

k

kf (b

) − f(a

)k ≤ .

1.3. Continuité des fonctions 12 Théorème 1.3.1. Une fonction f : [a, b] −→ E est absolument continue si et seulement s'il existe une fonction intégrable g : [a, b] −→ E telle que

f (b) − f (a) = Z

a

g(t)dt.

De plus une fonction absolument continue est dérivable presque partout et f

(x) = g(x), p.p.

Remarques 1.3.1. Une fonction absolument continue est continue.

1.3.2 Fonction lipschitzienne

Dénition 1.3.2. Une fonction f : X −→ R dénie sur un espace métrique (X, d) est dite Lipschitzienne (continue Lipschitzienne) de rapport k ou k -Lipschitzienne s'il existe k ∈ R

tel que

|f (x

) − f (x

)| ≤ k d(x

, x

), ∀x

, x

∈ X.

Proposition 1.3.2. Soit f : [a, b] −→ R, alors on a :

• Si f est Lipschitzienne alors f est absolument continue.

Remarques 1.3.2. Une fonction Lipschitzienne de rapport k ∈ [0, 1[ est appelée une contraction.

1.3.3 Théorème de compacité

Soient (X, d) et (Y, d

) deux espaces métriques, et soit F(X, Y ) l'espace de toutes les applications f : X −→ Y.

Dénition 1.3.3. Un sous ensemble H de F (X, Y ) est dit équicontinu au point x ∈ X si

∀ > 0, ∃δ > 0, ∀y ∈ X, d(x, y) < δ = ⇒ ∀f ∈ H, d

(f (x), f (y)) < .

Corollaire 1.3.3. Soit H un sous ensemble de F (X, Y ) , les propriétés suivantes

sont équivalentes :

1.3. Continuité des fonctions 13 1. H est relativement compact.

2. Il existe une partie compacte de X contenant H .

3. Toute suite dans H possède une sous suite convergente dans X .

Théorème 1.3.4. (Théorème d'Ascoli-Arzelà). Soit X un espace métrique com- pact, (Y, d) un espace métrique complet, et H un sous ensemble de C(X; Y ) , l'espace des applications continues dénies sur X à valeurs dans Y, muni de la topologie de la convergence uniforme. Alors H est relativement compact si et seulement si H est équicontinu et pour tout x ∈ X , H(x) = {f (x) : f ∈ H} est relativement compact.

Théorème 1.3.5. (Conséquence du Théorème d'Ascoli-Arzelà). Soit (x

)

une suite de fonctions absolument continues dénies sur un intervalle I de R à valeurs dans un espace X de dimension nie tel que



 

 

i. ∀t ∈ I, {x

(t)}

est relativement compact de X,

ii. il existe une f onction positive c ∈ L

(I, R

) tel que kx

(t)k ≤ c(t), p.p. sur I.

Alors il existe une sous-suite (notée encore (x

)

) et une fonction absolument conti- nue x : I −→ X telles que



 

 

1. (x

) converge unif ormment vers x sur un ensemble compact de I, 2. (x

) converge f aiblement vers x

dans L

(I, X).

1.3.4 Fonction mesurable

Dénition 1.3.4. (Fonction mesurable).

Soient (X, Σ), (Y, ξ) deux espaces mesurables et f : X ⇒ Y une fonction. On dit que f est (Σ, ξ) mesurable si f

(ξ) ⊂ Σ . Autrement dit ∀V ∈ ξ, f

(V ) ∈ Σ.

1.3.5 Semi-continuité inférieure

Dénition 1.3.5. Soient E un espace topologique et f : E −→ R. On dit que f est

semi-continue inférieurement (s.c.i en abrégé) en x

∈ E si Pour tout λ ∈ R tel que

f (x

) > λ , il existe un voisinage U de x

tel que f (x) > λ , pour tout x ∈ U . On dit

que f est s.c.i si et seulement si elle est s.c.i, en tout point de E .

1.3. Continuité des fonctions 14 Remarques 1.3.3. Soient x

∈ E et f : E −→ R une fonction. Alors on a

1. Si f est s.c.i, au point x

∈ X et si f (x

) = +∞ , alors

x→x

lim

f (x) = f (x

) = +∞,

2. Si f(x

) = −∞ , alors f est semi-continue inférieurement en x

.

Dénition 1.3.6. Soient f : E −→ R une fonction dénie sur un espace topologique E et x

∈ E . Alors

lim inf

x→x₀

f (x) = sup

V∈v(x0)

x∈V

inf f (x) et lim sup

x→x0

f (x) = inf

V∈v(x0)

sup

x∈V

f (x).

Proposition 1.3.6. Soit E un espace topologique et soit f : E −→ R une fonction.

Alors f est s.c.i au point x

∈ E si et seulement si lim inf

x→x₀

f(x) > f(x

).

Dénition 1.3.7. Soit E un espace topologique et soit f : E −→ R une fonction.

Alors f est semi-continue inférieurement au point x

∈ E si pour toute suite (x

)

qui converge vers x

on a

lim inf

n→+∞

f (x

) > f (x

).

Théorème 1.3.7. Soit E un espace topologique et soit f : E −→ R une fonction.

Alors les propriétés suivantes sont équivalentes : 1. epif est fermé dans E × R.

2. x ∈ E, f(x) 6 λ est fermé pour tout λ ∈ R.

3. f est s.c.i en x

.

Théorème 1.3.8. Soit H un espace de Hilbert, soit f : H −→ R une fonction convexe qui est semi-continue inférieurement et lim

kxk−→+∞

f (x) = +∞ . Alors il existe x

∈ X tel que f(x

) = inf

x∈X

f(x).

1.3.6 Semi-continuité supérieure

Dénition 1.3.8. Soient E un espace topologique et f : E −→ R. On dit que f est

semi-continue supérieurement (s.c.s, en abrégé ) en x

∈ E si Pour tout λ ∈ R tel

1.4. Topologie faible et faible

15 que f(x

) < λ , il existe un voisinage U de x

tel que f(x) < λ , pour tout x ∈ U . On dit que f est s.c.s, si et seulement si elle est s.c.s, en tout point de E .

Théorème 1.3.9. Soit E un espace topologique et soit f : E −→ R une fonction, alors f est s.c.s, au point x

∈ E si et seulement si lim sup

x−→x₀

f(x) 6 f (x

) . Remarques 1.3.4. 1. f est s.c.i, si et seulement si −f est s.c.s.

2. f est continue si et seulement si elle est s.c.s, et s.c.i.

Pour plus des détails sur la semi-continuité voir [2], [15] et [12]

1.4 Topologie faible et faible ^∗

Pour plus de détails sur cette section voir [3]

Soit E un espace de Banach et soit f ∈ E

: On désigne par ϕ

: E −→ R l'applica- tion dénie par ϕ

(x) = hf, xi . Lorsque f décrit E

on obtient (ϕ

)

une famille d'applications de E dans R.

Dénition 1.4.1. La topologie faible σ(E, E

) sur E est la topologie la moins ne sur E rendant continues toutes les applications (ϕ

)

.

notation

• On notera x

* x pour être précis, la convergence faible dans E .

• On notera x

−→ x pour être précis, la convergence forte dans E . Proposition 1.4.1. Soit (x

)

une suite de E . On a :

1. x

* x ⇐⇒ hf, x

i −→ hf, x, i, ∀f ∈ E

.

2. Si x

−→ x fortement, alors x

* x faiblement pour σ(E, E

).

3. Si x

* x faiblement pour σ(E, E

) , alors kx

k est bornée et kxk ≤ lim inf

n

kx

k . 4. Si x

* x faiblement pour σ(E, E

) et si f

−→ f fortement dans E

, (i.e.,

kf

− fk −→ 0 ), alors hf

, x

i −→ hf, xi .

1.5. Multi-applications 16 Dénition 1.4.2. La topologie faible

désignée aussi par σ(E

, E) est la topologie la moins ne sur E

rendant continues toutes les applications (ϕ

)

; où

ϕ

: E

−→ R

f 7−→ ϕ

(f ) = hf, xi.

Proposition 1.4.2. Soit (f

)

une suite de E

. On a : (a) f

* f

pour σ(E

, E) ⇐⇒ hf

, xi −→ hf, xi, ∀x ∈ E . (b) Si f

−→ f fortement, alors f

* f

pour σ(E

E) .

(c) Si f

* f

pour σ(E

, E) , alors kf

k est bornée et kf k ≤ lim inf

n

kf

k . (d) Si f

* f

pour σ(E

, E) et si x

−→ x fortement dans E , alors hf

, x

i −→ hf, xi .

1.5 Multi-applications

Pour plus de détails sur les multifonction voir [1] et [10]

Dénition 1.5.1. Soient X et Y deux ensembles non vides. On appelle multifonc- tion (fonction multivoque ou multifonction) de X dans Y toute application F dénie sur X à valeurs dans P (Y ) (ensemble des parties de Y ) et on note F : X ⇒ Y où F : X −→ P(Y ). Alors ∀x ∈ X, F (x) est un sous ensemble de Y .

Les sous ensembles F (x) sont appelés les images ou les valeurs de F . Dénition 1.5.2. Soient X et Y deux ensembles non vides. On appelle

1. Domaine de F qu'on note dom(F ) le sous ensemble de X déni par dom(F ) = {x ∈ X, F (x) 6= 0}.

2. Graphe de F le sous ensemble de X × Y noté par graph(F ) déni par graph(F ) = {(x, y) ∈ X × Y, y ∈ F (x)}.

3. Image de F notée Img(F ) le sous ensemble de Y déni par

Img(F ) = {y ∈ Y, ∃x ∈ X, y ∈ F (x)},

1.5. Multi-applications 17 où

Img(F ) = [

x∈X

F (x).

4. Considérons la multifonction F

: Y ⇒ X dénie par x ∈ F

(y) ⇔ y ∈ F (x).

Remarques 1.5.1.

dom(F

) = Img(F ) et Img(F

) = dom(F ).

Dénition 1.5.3. Soit V ⊂ Y

• On appelle l'image réciproque large de V par la multifonction F le sous en- semble de X déni par

F

(V ) = {x ∈ X, F (x) ∩ V 6= 0}.

• On appelle l'image réciproque étroite de V par la multifonction F le sous ensemble de X déni par

F

(V ) = {x ∈ X, F (x) ⊆ V }.

Dénition 1.5.4. Soient F : X ⇒ Y et G : X ⇒ Y deux multifonctions, alors on dénit

L'union :

F ∪ G :X ⇒ Y

x 7−→ (F ∪ G)(x) = F (x) ∪ G(x).

L'intersection :

F ∩ G :X ⇒ Y

x 7−→ (F ∩ G)(x) = F (x) ∩ G(x).

1.6. Continuité des multi-applications 18 Le produit cartésien :

F × G :X ⇒ Y

x 7−→ (F × G)(x) = F (x) × G(x).

• Si F : X ⇒ Y et G : Y ⇒ Z , on dénit la composition :

G ◦ F :X ⇒ Z

x 7−→ (G ◦ F )(x) = G(F (x)) = [

y∈F(x)

G(y).

Dénition 1.5.5. (multi-application mesurable). Soient (X, Σ) un espace me- surable, (Y, d) un espace métrique et F : X ⇒ Y une multi-application. On dit que F est Σ -mesurable si pour tout ouvert V de Y , F

(V ) ∈ Σ.

1.6 Continuité des multi-applications

1.6.1 Semi-continuité supérieure

Dénition 1.6.1. Soient X et Y deux espaces topologiques et soit F : X ⇒ Y une multi-application. On dit que F est semi-continue supérieurement (s.c.s. en abrégé) en x

∈ X , si pour tout ouvert U de Y contenant F (x

) (i.e., F (x

) ⊂ U ), il existe un voisinage de x

tel que F (Ω) ⊂ U i.e, F (z) ⊂ U, ∀z ∈ Ω.

On dit que F est s.c.s. sur X si elle est s.c.s. en tout point x ∈ X .

Proposition 1.6.1. Soient X et Y deux espaces topologiques et soit F : X ⇒ Y une multi-application. On a équivalence entre les propriétés suivantes :

1. F est s.c.s.

2. F

(V ) est un ouvert de X pour tout ouvert V de Y .

3. F

(U ) est un fermé de X pour tout fermé U de Y .

4. F

(M ) ⊆ F

(M) , pour tout sous ensemble M de Y .

1.6. Continuité des multi-applications 19 Proposition 1.6.2. Soient X et Y deux espaces métriques, F : X ⇒ Y une multi- application s.c.s à valeurs fermées. Alors le graphe de F est fermé.

Théorème 1.6.3. Soient F, G deux multi-applications dénies sur X à valeurs dans Y telles que : ∀x ∈ X, F (x) ∩ G(x) 6= 0 . On suppose



 

 



 

 



1) F s.c.s au point x

∈ X, 2) F (x

) est compact, 3) graphe de G est fermé .

Alors la multi-application F ∩ G : X ⇒ Y est s.c.s. au point x

.

Proposition 1.6.4. Soient X et Y deux espaces métriques et F : X ⇒ Y une multi- application s.c.s. à valeurs compactes. Si X est un espace compact, alors F (X) est compact.

Théorème 1.6.5. Soient X et Y deux espaces métriques, F : M ⇒ Y une multi- application à valeurs compactes, alors F est semi-continue supérieurement sur X si et seulement si pour chaque x ∈ X et chaque suite (x

)

de X telle que x

−→ x , et (y

)

de Y avec y

∈ F (x

) , il existe une sous-suite (y

)

de (y

)

telle que

m−→+∞

lim y

∈ F (x).

Théorème 1.6.6. Soient X un espace métrique, M un sous ensemble compact de R

et F : X ⇒ M une multi-application. Donc

Si F est semi-continue supérieurement, alors la multi-application

co(F ) : x ∈ X 7−→ co(F (x)) ⊂ R

est aussi semi-continue supérieurement.

1.6.2 Semi-continuité inférieure

Dénition 1.6.2. Soient X et Y deux espaces topologiques et soit F : X ⇒ Y une multi-application. On dit que F est semi-continue inférieurement (s.c.i en abrégé) en x

∈ X si pour tout ouvert U de Y vériant F (x

) ∩ U 6= 0 , il existe un voisinage Ω de x

tel que F (z) ∩ U 6= 0, ∀z ∈ Ω i.e., F

(U ) est un voisinage de x

.

On dit que F est s.c.i sur X où s.c.i si elle est s.c.i en tout point x ∈ X .

1.6. Continuité des multi-applications 20 Proposition 1.6.7. Soient X et Y deux espaces topologiques et soit F : X ⇒ Y une multi-application. On a équivalence entre les propriétés suivantes :

1. F est s.c.i,

2. F

(V ) est un ouvert de X pour tout ouvert V de Y , 3. F

(U ) est un fermé de X pour tout fermé U de Y , 4. F

(M ) ⊆ F

(M) , pour tout sous ensemble M de Y .

Théorème 1.6.8. Soient X et Y deux espaces métriques, F : X ⇒ Y une multi- fonction. F est s.c.i au point x

si et seulement si pour toute suite (x

)

de points de X , telle que x

−→ x

et pour tout y

∈ F (x

) , il existe une suite (y

)

telle que y

∈ F (x

) et y

−→ y

.

Dénition 1.6.3. (Continuité d'une multifonction). Soient X, Y deux espaces topologiques et F : X ⇒ Y une multifonction. On dit que F est continue au point x

si et seulement si elle est s.c.s et s.c.i au point x

∈ X .

F est continue si et seulement si elle est s.c.s et s.c.i.

1.6.3 Scalaire semi-continuité supérieure

Dénition 1.6.4. Soient X, Y deux espaces topologiques muni de la topologie faible et F : X ⇒ Y une multifonction. On dit que F est scalairement semi-continue supérieurement en x

si pour tout p ∈ Y

la fonction δ

0)

(p) est semi-continue supérieurement en x

. On dit que F est scalairement s.c.s si et seulement si elle est scalairement s.c.s en tout point x

∈ X .

Proposition 1.6.9. Toute multi-application semi-continue supérieurement dénie de X à valeurs dans Y qui est muni de la topologie faible est scalairement semi continue supérieurement.

Théorème 1.6.10. (Théorème de convergence). Soient X un espace localement

convexe et séparé, Y un espace de Banach, K ⊂ Y un sous ensemble convexe fermé

et F : X ⇒ K une multi-application scalairement semi-continue supérieurement à

1.6. Continuité des multi-applications 21 valeurs convexes. Soient I un intervalle de R et x

et y

des fonctions mesurables de I à valeurs dans X (respectivement Y ) vériant :

Pour presque tout t ∈ I , et tout voisinage V de 0 dans X × Y , ∃k

= k

(t, v) tel que

∀k ≥ k

, (x

(t), y

(t)) ∈ graph(F ) + V.

Si



 

 

1) (x

) converge presque partout vers une fonction x de I dans X, 2) (y

) ⊂ L

(I, Y ) et converge f aiblement vers y dans L

(I, Y ).

Alors

(x(t), y(t)) ∈ graph(F ) i.e., y(t) ∈ F (x(t)) pour presque tout t ∈ I.

CHAPITRE 2

RÉSULTAT D'EXISTENCE POUR UNE INCLUSION DIFFÉRENTIELLE AVEC RETARD

Introduction

Ce chapitre est consacré à l'étude d'une inclusion diérentielle du premier ordre avec retard, du type



 

 



 

 



˙

x(t) ∈ F (t, T (t)x) p.p. sur [0, T ], x(t) ∈ D ∀t ∈ [0, T ],

T (0)x = ϕ

sur [−r, 0],

(2.1)

où F est une multifonction de [0, T ] × C

à valeurs dans l'ensemble des compacts convexes, D est un convexe fermé d'un espace de Banach E , r est un réel strictement positif.

Les premier travaux concernant les problèmes avec retard a été entrepris par V.Lakchmikanthan, A.R.Michell et R.W.Michell [11] dans le cas des équations dif- férentielles.

Le problème (2.1) a été résolu par G.Haddad [8] dans le cas où la dimension de E est nie et a été généralisé par J.P.Aubin et A.Cellina au contexte d'un espace

22

2.1. Inclusions diérentielles avec retard : Dénition-Quelques exemples 23 de Hilbert. Nous présentons dans ce chapitre les résultats obtenu par A.Syam dans un espace de Banach séparable.

2.1 Inclusions diérentielles avec retard : Dénition- Quelques exemples

2.1.1 Dénition

Les inclusions diérentielles avec retard sont des équations diérentielles multi- fonction où le système ne dépend pas seulement de la valeur initiale mais aussi de l'état antérieur du système. Si une inclusion diérentielle exprime qu'à tout instant la vélocité du système dépend de son état à tout instant, les inclusions diérentielles avec mémoire expriment que la vélocité dépend non seulement de l'état du système à cet instant, mais aussi de l'histoire de la trajectoire jusqu'à cet instant.

Pour formaliser ce concept, on introduit pour tout T > 0 et r > 0 , l'espace de Ba- nach C := C([−r, T ], E) (resp C

:= C([−r, 0], E) ) des fonctions continues de [−r, T ] (resp [−r, 0] ) dans l'espace de Banach E , muni de la topologie de la convergence uniforme sur des intervalles compacts.

L'opérateur T (t) de C ([−r, T ], E) dans C ([−r, 0], E) déni par : pour tout x ∈ C ([−r, T ], E) on associe T (t)x ∈ C ([−r, 0], E) déni par

(T (t)x)(τ ) = x(t + τ) ∀τ ∈ [−r, 0].

Étant donnée une fonction ϕ

∈ C([−r, 0], E) , on recherche T > 0 , et une solution x ∈ C([−r, T ], E) de



 

 

˙

x(t) ∈ F (t, T (t)x) p.p. sur [0, T ],

T (0)x = ϕ

sur [−r, 0].

2.1. Inclusions diérentielles avec retard : Dénition-Quelques exemples 24 Ce genre de problèmes se rencontre en théorie de contrôle optimale, dans les problèmes de collision, en électrodynamique, ainsi que dans les procédures de plan- ning en microéconomie et dans les problèmes d'évolution biologiques. Nous nous intéressons ici aux problèmes avec retard ni.

2.1.2 Quelques exemples

Soit X un espace de dimension nie

Exemples 2.1.1. Soit l'inclusion diérentielle

˙

x(t) ∈ G(t, x(t)),

où G est une multifonction dénie sur R × X à valeurs dans X . On pose : F (t, ϕ) := G(t, ϕ(0)) pour tout (t, ϕ) ∈ R × C([−r, 0], X ), on obtient une inclusion diérentielle avec retard.

En eet, on a :

F (t, (T (t)x)) = G(t, (T (t)x)(0))

= G(t, x(t + 0))

= G(t, x(t)).

Exemples 2.1.2. L'inclusion diérentielle dénie par

˙

x(t) ∈ G(t, x(t − r

(t)), ..., x(t − r

(t))),

où G : R × X

⇒ X, p > 0, et r

(1 ≤ i ≤ p) sont appelées les fonctions de retard, fait partie à la classe des inclusions diérentielles avec retard. En eet, on a :

F (t, ϕ) := G(t, ϕ(−r

(t)), ..., ϕ(−r

(t))), on trouve

F (t, T (t)x) = G(t, T (t)x(−r

(t)), ..., T (t)x(−r

(t)))

= G(t, x(t − r

(t)), ..., x(t − r

(t))).

2.1. Inclusions diérentielles avec retard : Dénition-Quelques exemples 25 Exemples 2.1.3. L'inclusion diérentielle de Volterra qui se présente sous la forme :

˙

x(t) ∈ G(t, Z

−∞

K(t, s, x(s))ds),

où K est une fonction dénie sur R × R × X à valeurs dans X . On met :

F (t, ϕ) := G(t, Z

−∞

K (t, t + τ, ϕ(τ )) dτ ), on a :

F (t, T (t)x) = G(t, Z

−∞

K(t, t + τ, T (t)x(τ)) dτ )

= G(t, Z

−∞

K(t, t + τ, x(t + τ)) dτ ).

On utilise le changement de variable :

s = t + τ si τ −→ −∞ = ⇒ s −→ −∞

si τ = 0 = ⇒ s = t donc

F (t, T (t)x) = G(t, Z

−∞

K(t, s, x(s)) ds).

Ce qui prouve que l'inclusion diérentielle de Volterra est une inclusion diérentielle avec retard.

Lemme 2.1.1. (Lemme de Gronwall : forme intégrale) Soit T ∈ R

∪ {+∞} et a, b ∈ L

R

([T

, T ]) et c ∈ L

R

([T

, T ]), c(t) ≤ 0 pour presque tout t ∈ [T

, T ] alors

a(t) ≤ b(t) +

t

Z

T0

c(s)a(s) ds p.p. sur [T

, T ], implique que pour tout t ∈ [T

, T ]

a(t) ≤ b(t) +

t

Z

T0

exp (ϑ(t) − ϑ(s))c(s)b(s) ds,

où ϑ(t) =

t

R

T0

c(τ) dτ .

2.2. Résultat d'existence 26 Dénition 2.1.1. Soit E un espace vectoriel topologique sur le corps K

( K = R ou K = C ) . Une partie U de E est dite équilibrée si :

∀λ ∈ K , ∀v ∈ U, |λ| ≤ 1 = ⇒ λv ∈ U.

2.2 Résultat d'existence

Énonçons d'abord un résultat de Casting-Moussaoui-Syam [5], pour le problème sans retard

Théorème 2.2.1. Soit D un convexe fermé non vide de E . Soit F une multifonc- tion dénie sur [0, T ] × D à valeurs dans ck(E) satisfaisant à

(i) F est T

([0, T ]) ⊗ B (D) -mesurable,

(ii) pour tout t xé dans [0, T ], F (t, .) est semi-continue supérieurement sur D , (iii) il existe K ∈ ck(E) et équilibré tel que pour tout (t, x) ∈ [0, T ] × E ,

F (t, x) ⊂ (1 + kxk)K, (iv) F (t, x) ∩ T

(x) 6= ∅, ∀(t, x) ∈ [0, T ] × D .

Alors, pour tout x

∈ D , il existe une fonction absolument continue x : [0, T ] −→ E telle que :



 

 



 

 



˙

x(t) ∈ F (t, x(t)) p.p. sur [0, T ], x(t) ∈ D ∀t ∈ [0, T ],

x(0) = x

,

où T

(x

) := {y ∈ E : lim

h−→0⁺

inf

d(x + hy, D) = 0} est le cône de Bouligand de D en x

.

Le résultat principal de ce chapitre est le suivant :

2.2. Résultat d'existence 27 Théorème 2.2.2. [5] Soit D un convexe fermé non vide de E . Soit F une multi- fonction dénie sur [0, T ]×C ([−r, 0], E) à valeurs dans ck(E) vériant les conditions suivantes

(i) F est T

([0, T ]) ⊗ B (C

) mesurable,

(ii) pour tout t xé dans [0, T ], F (t, .) est semi-continue supérieurement sur C

, (iii) il existe K ∈ ck(E) et équilibré tel que pour tout (t, θ) ∈ [0, T ] × C

,

F (t, θ) ⊂ (1 + kθ(0)k)K, (iv) F (t, θ) ∩ T

(θ(0)) 6= ∅, ∀(t, θ) ∈ [0, T ] × C

.

Alors, pour tout ϕ

∈ C

, il existe une fonction continue x : [−r, T ] −→ E, abso- lument continue sur [0, T ] et vériant :



 

 



 

 



˙

x(t) ∈ F (t, T (t)x) p.p. sur [0, T ], x(t) ∈ D ∀t ∈ [0, T ],

T (0)x = ϕ

. Preuve.

Pour l'existence, on prend T = 1 . Soit une subdivision de [0, T ] dénie par P

= {t

= i2

: i = 0, 1, 2, ..., 2

}.

1

étape. Construction des solutions approchées.

On va construire une suite (x

)

de fonctions de C ([−r, T ], E) absolument continues sur [0, T ] , et pour tout t ∈ [0, T ] , suite de fonctions (f

)

de C([−r, T ], E) , deux suites (θ

)

et (δ

)

d'applications étagées de [0, T ] dans [0, T ] telles que lim

n

θ

(t) = t et lim

n

δ

(t) = t ∀t ∈ [0, T ] vériant :



 

 

 

 

 

 

 

 

˙

x

(t) ∈ F (t, T (δ

(t))f

) p.p. sur [0, T ], x

(t) = ϕ

(0) + R

0

x ˙

(s)ds, ∀t ∈ [0, T ], x

(t) ∈ D ∀t ∈ [0, T ],

x

(t) = ϕ

(t) ∀t ∈ [−r, 0].

Pour tout x ∈ D , on dénit f

: [−r, t

] −→ E par

2.2. Résultat d'existence 28



 

 

f

= ϕ

sur [−r, 0],

f

(t) = ϕ

(0) +

(x − ϕ

(0)) ∀t ∈ [0, t

].

Il est clair que f

(t

) = x et f

∈ C([−r, t

], E) .

On dénit alors la multifonction S

sur [0, t

] × D à valeurs dans ck(E) par

S

(t, x) = F (t, T (t

)f

), ∀(t, x) ∈ [0, t

] × D.

On démontre que S

vérie les conditions du Théorème 2.2.1. En eet, la fonction dénie par x 7→ T (t

)f

est 1-lipschitzienne en vertu de

kT (t

)f

− T (t

)f

k

= sup

s∈[−r,0]

kf

(t

+ s) − f

(t

+ s)k

= sup

s+tⁿ₁∈[0,tⁿ₁]

kf

(t

+ s) − f

(t

+ s)k

= sup

s∈[−2⁻ⁿ,0]

kϕ

(0) + s + t

2

(x − ϕ

(0)) − ϕ

(0) − s + t

2

(y − ϕ

(0))k

= sup

s∈[−2⁻ⁿ,0]

k s + t

2

(x − y)k

≤ kx − yk.

Pour tout t xé dans [0, t

], F (t, .) étant semi-continue supérieurement sur C

, on déduit que S

(t, .) est semi-continue supérieurement sur D .

D'autre part, d'après la condition (iii) , on a pour tout t ∈ [0, t

] et x ∈ D ,

F (t, T (t

)f

) = S

(t, x) ⊂ (1 + kf

(t

)k)K = (1 + kxk)K, donc S

(t, x) ⊂ (1 + ||x||)K.

La condition (iv) implique que

S

(t, x) ∩ T

(x) = F (t, T (t

)f

) ∩ T

(f

(t

)) 6= ∅, ∀(t, x) ∈ [0, t

] × D.

Par ailleurs, S

est globalement mesurable de façon évidente car l'application

x 7→ T (t

)f

est 1-lipschitzienne. En appliquant le Théorème 2.2.1 à S

, il existe

une application

2.2. Résultat d'existence 29 x

: [0, t

] −→ E absolument continue telle que



 

 

 

 

 

 

 

 

˙

x

(t) ∈ S

(t, x

(t)) p.p. sur [0, t

], x

(t) = ϕ

(0) + R

0

x ˙

(s) ds ∀t ∈ [0, t

], x

(t) ∈ D ∀t ∈ [0, t

],

x

(0) = ϕ

(0).

Et donc x

est solution de



 

 

 

 

 

 

 

 

˙

x

(t) ∈ F (t, T (t

)f

) p.p. sur [0, t

], x

(t) = ϕ

(0) + R

0

x ˙

(s) ds ∀t ∈ [0, t

], x

(t) ∈ D ∀t ∈ [0, t

]

x

(0) = ϕ

(0).

On pose



 

 

x

(t) = ϕ

(t) ∀t ∈ [−r, 0], x

(t) = x

(t) ∀t ∈ [0, t

].

Comme précédemment, pour tout x ∈ D , on dénit f

: [−r, t

] −→ E par



 

 

f

(s) = x

(s) ∀s ∈ [−r, t

],

f

(s) = x

(t

) +

(x − x

(t

)) ∀s ∈ [t

, t

].

De la même façon, on considère la multifonction S

dénie sur [t

, t

] × D à valeurs dans ck(E) par

S

(t, x) = F (t, T(t

)f

) ∀(t, x) ∈ [t

, t

] × D.

Comme dans le cas précédent, S

vérie les conditions du Théorème 2.2.1. En eet, la fonction : x 7→ T (t

)f

est 1-lipschitzienne car, pour tout x, y ∈ D

kT (t

)f

− T (t

)f

k

= sup

s∈[−r,0]

kf

(t

+ s) − f

(t

+ s)k

2.2. Résultat d'existence 30 Pour tout s ∈ [−r, −2

], t

+ s ∈ [−r, t

], et f

= f

= x

sur [−r, t

], on a kT (t

)f

− T (t

)f

k

= sup

s∈[−2⁻ⁿ,0]

kf

(t

+ s) − f

(t

+ s)k

= sup

s∈[−2⁻ⁿ,0]

kϕ

(0) + t

+ s

2

(x − ϕ

(0)) − ϕ

(0) − t

+ s

2

(y − ϕ

(0))k

= sup

s∈[−2⁻ⁿ,0]

k 2

+ s

2

(x − y)k

≤ kx − yk.

De plus comme pour tout t xé dans [t

, t

] , la multifonction F (t, .) est semi- continue supérieurement sur C

, on déduit que la multifonction S

(t, .) est aussi semi-continue supérieurement sur D . Le même raisonnement implique que S

est globalement mesurable.

D'autre part, d'après la condition (iii) , il existe K ∈ ck(E) tel que, pour tout (t, x) ∈ [t

, t

] × D,

S

(t, x) ⊂ (1 + kT (t

)f

(0)k)K, avec (T (t

)f

)(0) = x, et donc S

(t, x) ⊂ (1 + kxk)K .

De plus, d'après la condition (iv ) , on a pour tout (t, x) ∈ [t

, t

] × D ,

S

(t, x) ∩ T

(x) = F (t, T (t

)f

) ∩ T

(T (t

)f

(0)) 6= ∅.

Toujours par application du Théorème 2.2.1 à S

il existe une fonction x

abso- lument continue sur [t

, t

] telle que



 

 

 

 

 

 

 

 

˙

x

(t) ∈ S

(t, x

(t)) p.p. sur [t

, t

], x

(t) = x

(t

) + R

tⁿ₁

x ˙

(s) ds ∀t ∈ [t

, t

], x

(t) ∈ D ∀t ∈ [t

, t

],

x

(t

) = x

(t

).

Et donc x

vérie

2.2. Résultat d'existence 31



 

 

 

 

 

 

 

 

˙

x

(t) ∈ F (t, T (t

)f

) p.p. sur [t

, t

], x

(t) = x

(t

) + R

tⁿ₁

x ˙

(s) ds ∀t ∈ [t

, t

], x

(t) ∈ D ∀t ∈ [t

, t

],

x

(t

) = x

(t

).

Supposons ainsi construite une solution x

sur [−r, t

] telle que x

est absolument continue sur [0, t

] et vériant



 

 



 

 



˙

x

(t) ∈ F (t, T (t

)f

) p.p. sur [t

, t

], x

(t) = x

(t

) + R

tⁿ_k−1

x ˙

(s) ds ∀t ∈ [t

, t

], x

(t) ∈ D ∀t ∈ [t

, t

].

Et construisons une solution sur [t

, t

] . Pour tout x ∈ D , on dénit f

: [−r, t

] −→ E par



 

 

f

= x

sur [−r, t

],

f

(t) = x

(t

) +

(x − x

(t

)) ∀t ∈ [t

, t

].

On remarque que (T (t

)f

)(0) = x et f

∈ C ([−r, t

], E).

Considérons la multifonction S

dénie sur [t

, t

] × D à valeurs dans ck(E) par

S

(t, x) = F (t, T (t

)f

) ∀(t, x) ∈ [t

, t

] × D.

On démontre que S

vérie les conditions (i) , (ii) , (iii) et (iv) du théorème 2.2.1.

En eet, la fonction dénie par x −→ T (t

)f

est 1-lipschitzienne car pour tout x, y ∈ D

||T (t

)f

− T (t

)f

||

= sup

s∈[−r,0]

||f

(t

+ s) − f

(t

+ s)||.

Pour tout s ∈ [−r, −2

], t

+ s ∈ [−r, t

] et f

= f

= x

sur [−r, t

] , on a

2.2. Résultat d'existence 32

||T (t

)f

− T (t

)f

||

= sup

s∈[−2⁻ⁿ,0]

||f

(t

+ s) − f

(t

+ s)||

= sup

s∈[−2⁻ⁿ,0]

||x

(t

) + s + t

− t

2

(x − x

(t

))

− x

(t

) − s + t

− t

2

(y − x

(t

))||

= sup

s∈[−2⁻ⁿ,0]

|| s + t

− t

2

(x − y)||

≤ ||x − y||.

De plus comme pour tout t xé dans [t

, t

] , la multifonction F (t, .) est semi- continue supérieurement sur C

, on déduit que la multifonction S

(t, .) est aussi semi-continue supérieurement sur D , le même raisonnement implique que S

est globalement mesurable.

D'après la condition (iii) , il existe K ∈ ck(E) tel que, pour tout (t, x) ∈ [t

, t

]×D S

(t, x) ⊂ (1 + ||T (t

)f

(0)||)K, avec T (t

)f

(0) = x , donc

S

(t, x) ⊂ (1 + ||x||)K.

De plus d'après la condition (iv) , on a pour tout (t, x) ∈ [t

, t

] × D

S

(t, x) ∩ T

(x) = F (t, T (t

)f

∩ T

(T (t

)f

)(0) 6= ∅.

Donc S

vérie les conditions (i) , (ii) , (iii) et (iv ) du théorème 2.2.1 d'où l'exis- tence d'une fonction x

absolument continue sur [t

, t

] et vériant :



 

 

 

 

 

 

 

 

˙

x

(t) ∈ S

(t, x

(t)) p.p. sur [t

, t

], x

(t) = x

(t

) + R

tⁿ_k

x ˙

(s) ds ∀t ∈ [t

, t

], x

(t) ∈ D ∀t ∈ [t

, t

],

x

(t

) = x

(t

).

Et donc x

vérie

2.2. Résultat d'existence 33



 

 

 

 

 

 

 

 

˙

x

(t) ∈ F (t, T (t

)f

n k+1(t)

k+1

) p.p. sur [t

, t

], x

(t) = x

(t

) + R

tⁿ_k

x ˙

(s) ds ∀t ∈ [t

, t

], x

(t) ∈ D ∀t ∈ [t

, t

],

x

(t

) = x

(t

).

Par suite, on pose x

= x

sur [t

, t

] et pour tout t ∈ [0, T ] , on pose θ

(t) = t

et δ

(t) = t

pour tout t ∈ [t

, t

[ et θ

(T ) = T .

On dénit pour tout t xé de [0, T ] , f

(t) ∈ C([−r, δ

(t)], E) par



 

 

f

(s) = x

(s) ∀s ∈ [−r, θ

(t)], f

(s) = x

(θ

(t)) + s − θ

(t)

2

(x

(t) − x

(θ

(t))) ∀s ∈ [θ

(t), δ

(t)].

Il est clair que par construction, x

est continue sur [−r, T ] , absolument continue sur [0, T ] et vérie



 

 

 

 

 

 

 

 

˙

x

(t) ∈ F (t, T (δ

(t))f

) p.p. sur [0, T ], x

(t) = ϕ

0)(0) + R

0

x ˙

(s) ds ∀t ∈ [0, T ], x

(t) ∈ D ∀t ∈ [0, T ],

x

(t) = ϕ

(t) ∀t ∈ [−r, 0].

(2.2)

Ce qui termine la démonstration de la 1

étape.

2

étape. La convergence des suites approchées.

Maintenant, on est en mesure de démontrer la convergence de la suite approxi- mante.

D'après ce qui précède, il existe une suite (x

)

des fonctions continues sur [−r, T ]

absolument continues sur [0, T ] , une suite (f

)

∈ C([−r, T ], E) pour tout t xé

dans [0, T ] et vériant (2.2). On va maintenant prouver que la suite (x

)

converge

uniformément vers une fonction absolument continue sur [0, T ] .