De nouvelles propriétés du pic épidémique

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De nouvelles propriétés du pic épidémique

Nicolas Bacaër, Frédéric Hamelin, Hisashi Inaba

To cite this version:

Nicolas Bacaër, Frédéric Hamelin, Hisashi Inaba. De nouvelles propriétés du pic épidémique. Quadra-

ture, EDP Sciences, 2021, 119. �hal-03008502�

Niolas Baaër

∗

FrédériHamelin

†

Hisashi Inaba

‡

Quadrature119 (2021)

Résumé

OnétudieuneépidémiemodéliséeparunsystèmediérentieldetypeS-I-R

ouS-E-I-R.PourlemodèleS-I-R,onmontrequeladatedupiépidémique

n'est pastoujours unefontiondéroissantedutaux deontat.Pourle

modèleS-E-I-R,lorsquelapopulationN^{estgrande,denouveauxéléments}

tendent àonrmer laonjetureselonlaquellele piépidémiquealieu

autempsT ^aveT ∼(lnN)/λ^,oùλ^{estlaplusgrandevaleurpropredu}

systèmelinéarisé.

1 Introdution

Dans [2℄, on a ommené à étudier la date du pi épidémique du modèle

S-I-RdeKermaket MKendrik[1,hapitre18℄

dS

dt = − aS I N , dI

dt = aS I

N − bI, dR dt = bI,

dansle asoù

a > b

^{et oùlapopulation}

N

^{est grande. Lavariable}

S(t)

^{est le}

nombredepersonnessuseptiblesd'être infetées,

I(t)

^{lenombrede personnes}

infetées,

R(t)

^{lenombredepersonnesretiréesdela}transmission.Lapopulation totale

N = S +I +R

^{estonstante.Leparamètre}

a

^{estletauxdeontateetif}

et

b

^{letauxauquellespersonnesinfetéesessentd'être}infetieuses.Lorsquela population

N

^{estgrande,onamontréquelepiépidémique(quiorrespondau}

maximumde

I(t)

^{)alieuautemps}

T

^ave

T ∼ ln N

λ ,

où

λ = a − b

^{.Autrementdit,}

λ

^{estletauxderoissanedunombredepersonnes}

infetées dans le système linéarisé

dI/dt = (a − b)I

^{au début de} l'épidémie, lorsque

S ≃ N

^.

∗

Unitédemodélisationmathématiqueetinformatiquedessystèmesomplexes,Institutde

reherhepourledéveloppement,LesCordeliers,Paris,Frane,niolas.baaerird.fr

†

Institutdegénétique,environnementet protetion desplantes; Institutnationaldere-

herhepourl'agriulture,l'alimentationetl'environnement;Rennes,Frane

‡

Départementdemathématiques,UniversitédeTokyo,Tokyo,Japon

Dans [3℄, on a brièvement onjeturé que l'équivalenten

(ln N )/λ

^{pour la}

date dupi épidémique était le même dans lemodèleS-E-I-R, qui inlut une

phaselatente (notée E)avantque lespersonnes infetées ne deviennent infe-

tieuses,

dS

dt = − aS I

N ,

⁽¹⁾

dE

dt = aS I

N − bE,

⁽²⁾

dI

dt = bE − cI,

⁽³⁾

dR

dt = cI,

⁽⁴⁾

ave

a > c

^{, à ondition de prendre pour}

λ

^{la plus grande valeur propre du}

systèmelinéariséaudébutdel'épidémie,'est-à-direlaplusgrandevaleurpropre

delamatrie

M =

− b a b − c

.

Dans [7℄, N. Piovella s'est aussi intéresséà ladate dupi épidémique dansle

modèle S-E-I-R lorsque le rapport

a/c

^{est prohe de1, sans toutefois que ses}

approximationssoientparfaitementjustiéesd'unpointdevuemathématique.

Danslasetion2,onrappelletoutd'abordunrésultatapparemmentoublié

(yomprisdans[2℄)de[6,hapitre2℄pourlemodèleS-I-R,quidonneleterme

suivantdansledéveloppementasymptotiquede

T

^:

T = ln

_I^N₍₀₎

+ f ( R

⁰

)

λ + o(1), N → + ∞ ,

où

R

⁰

= a/b

^{est la} reprodutivité,

λ = a − b

^{le tauxde roissane, et}

f

^une

fontion assez ompliquée. Ce résultat semble ne gurer dans auun livre ou

artilepubliédepuis[6℄,equiestunpeuétonnantpourunmodèleaussisimple

etaussionnu.

Onmontredanslasuitedelasetion2que

f ( R

⁰

) = ln h

2( R

⁰

− 1)

²

i

+ o(1), R

⁰

→ 1

⁺

.

On en déduit que la date du pi épidémique n'est pas toujours une fontion

déroissante dutauxde ontateetif

a

^{, maisqueei nes'observequepour}

desvaleursde

R

^{0 prohesde1.Ladate dupiatteintunmaximumpour}

R

⁰

≃ 1 + e

r I(0) 2N ,

où

e

^estlabasedeslogarithmesnépériens.Cetteobservationsemblenouvelle.

Dans lasetion3,onsetourne verslemodèleS-E-I-R. Onrappelleeque

l'on sait sur la taille nale de l'épidémie. On préise e que l'on entend par

piépidémique danseadre,àsavoirlepointoù

E + I

^{atteintunmaximum.}

On trouve une nouvelle borne inférieure pour la date de e pi, ompatible

avelaonjeturesurleomportementasymptotique.Nousprésenteronsensuite

quelquessimulationspourillustreretteonjeture.

2 Le modèle S-I-R

2.1 Une expression intégrale de

T

PourlemodèleS-I-R,supposons

S(0) = N − i, I(0) = i, R(0) = 0,

ave

0 < i < N

^{. Supposons}

a > b

^et

N

^{assezgrandpourque}

a(1 − i/N) > b

^,

'est-à-dire

dI

dt

(0) > 0

^{.Commedans[2℄(oùl'onavaitpris}

i = 1

^),ona

1

S dS

dt = − a bN

dR

dt et ln S (t) S(0) = − a

bN R(t).

Don

dS

dt = − a S

N (N − S − R) = − a S N

N − S + bN

a ln S (t) S(0)

.

Lepi de

I(t)

^{alieu au temps}

T

^où

dI/dt = 0

^{, e qui intervient lorsque}

S = N b/a

^{.Onendéduitque}

T = 1 a

Z

1−i/N b/a

ds s

1 − s +

_a^b

ln s −

_a^b

ln(1 − i/N) .

⁽⁵⁾

2.2 La formule de Lauwerier quand

N → + ∞

Posons

ε = −

^b_a

ln(1 −

_Nⁱ

)

^{.Ensuivantl'astuede[6,p.12℄,ona}

T = T

1

+ T

2

ave

T

1

= 1 a

Z

1−_Nⁱ

b a

1

1 + ε − s +

_a^b

ln s − 1 ε − (1 −

_a^b

) ln s

! ds s , T

2

= 1

a Z

1−_Nⁱ

b a

ds s

ε − (1 −

^b_a

) ln s .

Enréduisantaumêmedénominateur,

T

1

= 1 a

Z

1−_Nⁱ

b a

− 1 + s − ln s

[ε − (1 −

^b_a

) ln s](1 + ε − s +

_a^b

ln s) ds

s .

Ona:

ε ∼

a^b i

N

→ 0

^quand

N → + ∞

^{.Observonsque}l'intégralequi intervient lorsqu'onpasseformellementàlalimite

N → + ∞

Z

1

b a

− 1 + s − ln s

− (ln s)(1 − s +

_a^b

ln s) ds

s

est a priori une intégrale généralisée en

s = 1

^{. Mais la fontion intégrée se}

prolongeparontinuitéen

s = 1

^ar

ln s = s − 1 − (s − 1)

²

2 + o((s − 1)

²

)

auvoisinagede

s = 1

^,desorteque

− 1 + s − ln s

− (ln s)(1 − s +

_a^b

ln s)s −→

s→1

1 2(1 − b/a) .

En partiulier,ette intégrale est onvergente.On en déduit (voirl'appendie

1)que

T

1

= 1 a − b

Z

1

b a

− 1 + s − ln s

− (ln s)(1 − s +

_a^b

ln s) ds

s + o(1), N → + ∞ .

Avelehangementdevariable

s = e

^−u,

T

1

= 1

a − b Z

ln^ab

0

− 1 + e

^−u

+ u

u(1 − e

^−u

−

^b_a

u) du + o(1).

Parailleurs,l'intégrale

T

2^sealuleexpliitement:

T

2

= 1 a

"

ln

−

_a^b

ln(1 −

_Nⁱ

) − (1 −

^b_a

) ln s

− (1 −

a^b

)

#

1−_Nⁱ

b a

= 1

a − b

ln

− b a ln

1 − i

N

−

1 − b a

ln b

a

− ln

− ln

1 − i N

= ln

^N_i

+ ln[(1 −

^b_a

) ln

^a_b

]

a − b + o(1).

Enadditionnantlesdeuxrésultats,onobtientequel'onpeutappelerlaformule

deLauwerier[6, p.13℄

T = 1 a − b

( ln N

i + ln

1 − b a

ln a

b

+ Z

ln^a_b

0

− 1 + e

^−u

+ u u(1 − e

^−u

−

_a^b

u) du

) + o(1),

quiestdelaforme

T = 1 a − b

ln N

i + f ( R

⁰

)

+ o(1)

ave

R

⁰

= a/b > 1

^.

La gure1montre àquel point laformule de Lauwerier donne une bonne

approximationdeladate

T

^dupiépidémique.OnautilisélelogiiellibreSi- labpourlealul numériquedesintégrales.Onahoisileparamètre

b

^desorte

20 10

2 4 6 8 12 14 16 18

0 100

20 40 60 80 120 140

Figure 1 La date

T

^{du pi épidémique du modèle S-I-R (en jours éoulés}

depuisle début de l'épidémie) enfontion de

ln N

^{selonlaformule exate (5)}

(lignes ontinues) et selon la formule approhéede Lauwerier (petits erles).

Valeursdesparamètres:

i = 1

^,

b = 1/4

^parjour,

R

0

= a/b ∈ {

^1,5

; 2; 3 }

^.

quelapériodeinfetieusedureenmoyenne

1/b = 4

^jours.

Remarque.LaformuledeLauwerierresteinhangéesil'onpartdelaondi-

tioninitiale

S(0) = N − i − r, I(0) = i, R(0) = r,

ave

i > 0

^,

r ≥ 0

^,

i + r < N

^et

a(1 −

^i+rN

) > b

^{.Eneet,posons}

N b = N − r = N (1 − r/N), R(t) = b R(t) − r, b a = a N /N b = a(1 − r/N).

Alors

dS

dt = −b aS I N b , dI

dt = b aS I

N b − bI, d R b dt = bI, S(0) = N b − i, I(0) = i, R(0) = 0. b

Don

T = 1 b a − b

( ln N b

i + f ( b a/b) )

+ o(1), N b → + ∞ .

Mais omme

N b → + ∞

^équivautà

N → + ∞

^{, et omme}

b a = a + O(1/N )

^{, on}

retombesur

T = 1 a − b

ln N

i + f (a/b)

+ o(1), N → + ∞ .

2.3 Étude de la fontion

f ( R

⁰

)

La gure2montre omment

f ( R

0

)

^{varie enfontion de}

R

0^{.On remarque}

que

f ( R

0

)

^{sembleêtreunefontionroissantede}

R

0^{(en'estpasévident,même}

enalulantladérivée)et

f ( R

0

) = 0

^pour

R

0

≃

^2,10.

10

2 4 6 8

1 3 5 7 9

0

−10

−8

−6

−4

−2 2 4 6

Figure2

f ( R

0

)

^enfontionde

R

0 ^{(ligneontinue)et}l'approximation(6)au voisinagede

R

⁰

= 1

^(enpointillé).

Lorsque

R

0

→ 1

^+,

ln R

0

= ( R

0

− 1)(1 + o(1))

^et

ln

1 − 1

R

⁰

ln R

⁰

= ln

( R

⁰

− 1)

²

+ o(1) = 2 ln( R

⁰

− 1) + o(1).

Auvoisinagede

u = 0

^+,

− 1 + e

^−u

+ u

u(1 − e

^−u

− u/ R

⁰

) = u

²

/2 + o(u

²

) u(u − u

²

/2 + o(u

²

) − u/ R

⁰

)

= 1 + o(1)

2(1 − 1/ R

⁰

) − u + o(u) .

Or

Z

lnR₀ 0

du

2(1 − 1/ R

⁰

) − u = h

− ln

2(1 − 1/ R

0

) − u i

^lnR0

0

= − ln 2(1 − 1/ R

0

) − ln R

0

2(1 − 1/ R

⁰

)

= − ln h

1 − ln R

⁰

2(1 − 1/ R

0

)

i

R

−→

₀→1⁺

− ln(1/2) = ln 2

f ( R

0

) = ln h

2( R

0

− 1)

²

i

+ o(1), R

0

→ 1

⁺

.

⁽⁶⁾

Cetteapproximationoïnide ave ellesuggérée dans[2,p. 11℄ enpartantde

l'approximation (non rigoureuse) de Kermak et MKendrik pour le modèle

S-I-Rlorsque

R

^{0 estprohede1.}

2.4 La date du pi n'est pas une fontion monotone du

taux de ontat

Ainsi,lorsque

N

^estgrandet

R

^0prohede1ave

N ( R

⁰

− 1)

^{2pastroppetit,}

T ≃ ln

_N

i

2(a/b − 1)

²

a − b .

Don

∂T

∂a ≃ 2 − ln

_N

i

2(a/b − 1)

²

(a − b)

²

.

Onremarqueque

∂T

∂a

≃ 0

^si

a

b ≃ 1 + e r i

2N .

Aveettevaleurde

a

^,notons-la

a

^∗,lavaleurorrespondante dumaximumde

T

^est

T

max

≃ 2

a

^∗

− b = 2 b e

r 2N i .

Ladate dupin'est donpasunefontionmonotone déroissante dutaux

deontat,ommeon pourraitle roire apriori. Lagure 3illustre eiave

quelquesexemplesnumériques.

3 Le système S-E-I-R

Considéronsdésormais lemodèleS-E-I-R donnéparlesystème (1)-(4).On

suppose

N > 0

^,

a > 0

^,

b > 0

^et

c > 0

^{. On suppose aussi}

a > c

^{; le rapport}

a/c

^estlareprodutivitédumodèleS-E-I-Ret joueunrleanalogueau

R

0 ^du

modèleS-I-R.Lesonditionsinitialessont

S(0) = N − n

E

− n

I

> 0, E(0) = n

E

≥ 0, I(0) = n

I

≥ 0, R(0) = 0,

ave

n

E

+ n

I

> 0

^.Pourtout

t > 0

^,ona

S(t) + E(t) + I(t) + R(t) = N.

⁽⁷⁾

Deplus,

S(t) > 0

^,

E(t) > 0

^,

I(t) > 0

^et

R(t) > 0

^.

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 0

100

20 40 60 80

Figure3Ladate

T

^{dupiépidémiqueselonlaformuleexate(5)enfontion}

dutauxdeontat

a

^pour

a > b/(1 −

_Nⁱ

)

^si

i = 1

^et

N ∈ { 100; 1000; 10000 }

^.

Onahoisil'unité detempsdesorteque

b = 1

^.

3.1 La taille nale de l'épidémie

La fontion

S(t)

^est déroissante d'après l'équation (1) et minorée par 0, donelleonvergeversunelimite

S

∞^{. La fontion}

R(t)

^{est roissante d'après}

l'équation(4)etmajoréepar

N

^{,donelleonvergeversunelimite}

R

∞^.Comme

lesfontions

E(t)

^et

I(t)

^{sontbornéespar}

N

^pour

t ∈ ]0; + ∞ [

^,lafontion

dI/dt

l'estaussid'aprèsl'équation (3),de mêmeque

d

²

R/dt

^{2 d'aprèsl'équation (4).}

Lafontion

R(t)

^{estdononvergentequand}

t → + ∞

^{aveunedérivéeseonde}

bornée;ilenrésulteque

dR/dt → 0

^{(voirparexemple[5,II.3.21℄oul'appendie}

3). Ave l'équation (4), on voit que

I(t) → 0

^{. La fontion}

dE/dt

^{est bornée}

d'aprèsl'équation(2),demêmeque

d

²

I/dt

^{2d'aprèsl'équation(3).Ilenrésulte}

que

dI/dt → 0

^omme préédemment. D'aprèsl'équation (3),

E(t) → 0

^{. Ave}

l'équation(7), onobtient àlalimite

S

∞

+ R

∞

= N

^{. D'aprèsleséquations(1)}

et(4),

dR

dt = − cN aS

dS dt .

Don

R(t) = − cN

a ln S(t)

S(0) .

⁽⁸⁾

Àlalimite, onendéduitque

S

∞

> 0

^{et que}

S

^∞

= N − R

^∞

= N + cN

a ln S

∞

S(0) .

Posons

x

∞

= S

∞

/N

^,

x

0

= S(0)/N

^et

g(x) = 1 − x + c

a ln x x

0

.

Onadon

g(x

∞

) = 0

^et

0 < x

∞

≤ 1

^.Mais

g

^′

(x) = − 1 + c

ax > 0 si 0 < x < c/a, g

^′

(x) < 0 si c/a < x < 1.

Parailleurs,

g(1) = c a ln 1

x

0

> 0, g(x) → −∞ si x → 0

⁺

, g(c/a) = 1 − c

a + c a ln c/a

x

0

> 1 − c a + c

a ln c a > 0.

Cettedernièreinégalitévientdel'hypothèse

c/a < 1

^{etdufaitque lafontion}

h(u) = 1 − u + u ln u

^vérie

h

^′

(u) = ln u < 0

^pour

u ∈ ]0; 1[

^et

h(1) = 0

^,desorte

que

h(u) > 0

^pour

u ∈ ]0; 1[

^.

Par onséquent, la fontion

g

^{roît de}

−∞

^à

g(c/a) > 0

^sur l'intervalle

]0, c/a

^{[,puisdéroîtde}

g(c/a) > 0

^à

g(1) > 0

^surl'intervalle

]c/a, 1[

^.L'équation

g(x) = 0

^{adonune uniquesolutiondans} l'intervalle

]0; 1]

^{et ette solutionse}

trouvedansl'intervalle

]0; c/a[

^{.Onenonlut que}

0 < S

∞

/N < c/a.

3.2 Le pi épidémique

Préisonsnotredénition dupiépidémique.Ona

d

dt (E + I) = (aS/N − c)I.

⁽⁹⁾

Supposons

S(0)/N = 1 − (n

E

+ n

I

)/N > c/a.

Avel'hypothèse

a > c

^{,etteinégalitéest vraiedèsque}

N

^{estassezgrand.On}

a

I(t) > 0

^{pour tout}

t > 0

^{. La fontion}

S(t)

^{est stritement} déroissante et déroîtde

S(0) > N c/a

^jusqu'à

S

∞

< N c/a

^sur l'intervalle

[0; + ∞ [

^{. Ilexiste}

donununique

T > 0

^telque

S(T ) = N c/a

^{.D'aprèsl'équation(9),lafontion}

E(t) + I(t)

^{est stritement roissante sur} l'intervalle

[0 ; T ]

^{puis stritement}

déroissante sur l'intervalle

[T ; + ∞ [

^{. Onappelle}

T

^lepi épidémique.Notons qu'ilneorrespondengénéralniaumaximumde

I(t)

^{,ni àeluide}

E(t)

^.

D'aprèsl'équation(8),onaaussi

E(T ) + I(T ) = N − S(T ) − R(T ) = N − S(T ) + cN

a ln S(T )

S(0) .

⁽¹⁰⁾

Puisque

S(T ) = N c/a

^,ona

E(T ) + I(T ) = N

1 − c a + c

a ln N c a S(0)

,

ommeH. Hethotel'adéjàobservédans[4,p.35℄.

3.3 Borne inférieure

Comme

S/N ≤ 1

^,ona

dE

dt ≤ − bE + aI dI

dt = bE − cI.

Danslasuite,l'inégalité

≤

^{entreveteurssigniequ'ilyainégalitépourtoutes}

lesomposantes respetives. Nousrappelonslethéorème deomparaisonpour

lessystèmesquasi-monotones(voirparexemple[8,appendieE℄oul'appendie

4):

Théorème 1 Si

d ≥ 2

^{est unentier, si}

F ∈ C

¹

(R

^d

, R

^d

)

^,

X ∈ C

¹

([0, + ∞ [, R

^d

)

et

Y ∈ C

¹

([0, + ∞ [, R

^d

)

^vérient

∂F

i

∂x

j

(x) ≥ 0 ∀ i 6 = j, ∀ x ∈ R

^d

, dX

dt − F (X (t)) ≤ dY

dt − F(Y (t)) ∀ t > 0, X (0) ≤ Y (0),

alors

X (t) ≤ Y (t)

^{pour tout}

t > 0

^.

Posons

d = 2

^,

X(t) =

E(t) I(t)

, Y (t) = e

^tM

n

E

n

I

, F (x) = M x,

où

M

^{est lamatriedénie dans}l'introdution.Ona

dX

dt − F (X (t)) ≤ ~ 0 = dY

dt − F(Y (t)) ∀ t > 0,

X(0) = Y (0)

^etl'hypothèsesurlafontion

F

^{estvériéepuisquelestermesnon}

diagonauxdelamatrie

M

^{sontpositifs.Don}

E(t)

I(t)

≤ e

^tM

n

E

n

I

pour tout

t ≥ 0

^. L'exponentielle de matrie

e

^{tM se alule} expliitement [9, proposition6℄ave lesvaleurspropresdelamatrie

M

^,quisont

λ

±

= − b − c ± p

(b − c)

²

+ 4ab

2 .

e

^tM

=



 

 

e^λ+t+e^λ−t

2

+ √

^c−b

(b−c)²+4ab

e^λ+t−e^λ−t 2

a

√ (

^{eλ+t−eλ−t}

)

(b−c)²+4ab

b

√ (

^{eλ+t−eλ−t}

)

(b−c)²+4ab

e^λ+t+e^λ−t

2

+ √

^b−c

(b−c)²+4ab

e^λ+t−e^λ−t 2



 

 

pourtout

t ≥ 0

^{.Onendéduit que}

E(T ) + I(T ) ≤ (1 1) e

^{T M}

n

E

n

I

≤ e

^λ+T

+ e

^λ−T

2 + b + c

p (b − c)

²

+ 4ab

e

^λ+T

− e

^λ−T

2

! n

E

+ e

^λ+T

+ e

^λ−T

2 + 2a + b − c p (b − c)

²

+ 4ab

e

^λ+T

− e

^λ−T

2

! n

I

.

Comme

λ

−

< λ

+^{,ilexisteuneonstante}

k > 0

^{,quidépendde}

a

^,

b

^,

c

^,

n

E ^et

n

I

(maispasde

N

^),telleque

E(T ) + I(T ) ≤ k e

^λ+T

.

Mais(10)montre que

E(T ) + I(T ) = N 1 − c

a + c

a ln(c/a)

− cN

a ln(S(0)/N ).

Comme

S(0)/N < 1

^,onadon

N

1 − c a + c

a ln(c/a)

≤ E(T ) + I(T ) ≤ k e

^λ+T

.

Ilexisteainsiuneautreonstante

K ∈ R

^{,quidépendde}

a

^,

b

^,

c

^,

n

E ^et

n

I ^(mais

pasde

N

^),telleque

T ≥ ln N λ

+

+ K.

Cetteborneinférieureest ompatibleavelaonjeture

T ∼ ln N λ

+

, N → + ∞ .

3.4 Exemples

On a hoisi

b = 1/3

^parjour,

c = 1/4

^parjour,

n

E

= 1

^,

n

I

= 0

^{, et trois}

valeursdutauxdeontat

a

^desorteque

a/c ∈ { 1, 5 ; 2 ; 3 }

^{.Ainsi,unepériode}

infetieusequi dureenmoyenne4jourssuèdeàunepériodelatente quidure

enmoyenne3jours. Onapris diversesvaleurspourlapopulation

N

^entre

10

²

et

10

^{8.OnarésolulesystèmeS-E-I-R(avelelogiiellibreSilab)etrepéréle}

pi

T

^{qui orrespond au maximum de}

E + I

^{. La gure4 montre omment}

T

varieenfontionde

ln N

^{(lignesontinues).Onaaussitraé}

(ln N)/λ

+ ^(petits

ronds).Lespentessemblentoïnider,ommelesuggèrelaonjeture.Lagure

suggèreaussiqueletermesuivantdansledéveloppementasymptotiquede

T

^est

enoreuneonstante,quiestnégativequand

a/c

^{estprohede1etquidevient}

positivequandlerapport

a/c

^{augmente.Détermineretteonstanteenfontion}

desparamètresdumodèlesembleunetâhediile.

20 10

4 6 8 12 14 16 18

0 200

100 300

50 150 250

Figure 4 La date

T

^{du pi épidémique du modèle S-E-I-R en fontion de}

ln N

^d'aprèslessimulationsnumériques(lignes ontinues)et

(ln N)/λ

+ ^(petits

ronds).

Appendie 1

Pour

b/a < s < 1

^,posons

ψ(s) = − 1 + s − ln s

− (a − b)(ln s)(1 − s +

_a^b

ln s)s , ψ

N

(s) = 1

a

− 1 + s − ln s

[ε − (1 −

_a^b

) ln s](1 + ε − s +

^b_a

ln s)s ,

où

ε = −

_a^b

ln(1 −

_Nⁱ

)

^{. On a :}

0 < ψ

N

(s) < ψ(s)

^et

ψ

N

(s) → ψ(s)

^quand

N → + ∞

^{. On a vu dans la setion 2.2 que}

R

1

b/a

ψ(s) ds

^{était une intégrale}

onvergente.D'aprèslethéorèmedeonvergenedominée,

Z

1 b/a

ψ

N

(s) ds −→

N→+∞

Z

1 b/a

ψ(s) ds.

Deplus,

0 ≤ Z

1

1−_Nⁱ

ψ

N

(s) ds ≤ Z

1

1−i/N

ψ(s) ds −→

N→+∞

0.

Don

Z

1−_Nⁱ b/a

ψ

N

(s) ds = Z

1

b/a

ψ

N

(s) ds − Z

1

1−i/N

ψ

N

(s) ds −→

N→+∞

Z

1 b/a

ψ(s) ds.

Appendie 2

Soit

φ(u) = − 1 + e

^−u

+ u

u(1 − e

^−u

− u/ R

0

) − 1

2(1 − 1/ R

0

) − u .

Onvamontrerque

Z

lnR₀ 0

φ(u) du −→

R₀→1⁺

0.

Enréduisantaumêmedénominateur,onremarqueque

φ(u) = (1 − 1/ R

0

) e

^−u

− 1 + u − u

²

/2

u (1 − e

^−u

− u/ R

0

) (1 − 1/ R

0

− u/2) .

D'aprèslaformule deTaylor-Lagrange,pour tout

u > 0

^{,il existe}

θ ∈ ]0, 1[

^{, tel}

que

e

^−u

= 1 − u + u

²

2 − u

³

6 e

^−θu

.

Donpourtout

u > 0

^,

e

^−u

− 1 + u − u

²

2

≤ u

³

6 .

1 − e

^−u

− u/ R

0

= u − u

²

2 + u

³

6 e

^−θu

− u/ R

0

> u − u

²

2 − u/ R

⁰

= u(1 − 1/ R

⁰

− u/2).

Onremarquequepour

0 < u < ln R

^0,

1 − 1/ R

0

− u/2 > 1 − 1/ R

0

− (ln R

0

)/2 ∼

R₀→1⁺

( R

0

− 1)/2 > 0.

Pour

R

0^{prohede1,onadon}

1 − 1/ R

0

− (ln R

0

)/2 > 0

^.Ainsi,

Z

lnR₀ 0

φ(u) du

≤ 1 − 1/ R

⁰

[1 − 1/ R

0

− (ln R

0

)/2]

²

Z

lnR₀ 0

u 6 du

= 1 − 1/ R

⁰

[1 − 1/ R

0

− (ln R

0

)/2]

²

(ln R

⁰

)

²

12 ∼

R₀→1⁺

R

⁰

− 1

3 −→

R₀→1⁺

0.

Soit

Z :]0, + ∞ [ → R

^{une fontion deux fois dérivable telle que}

Z(x) → L

quand

x → + ∞

^et

| Z

^′′

(x) | ≤ M

^{pour tout}

x > 0

^{. [5, II.3.21℄ montre que}

Z

^′

(x) → 0

^quand

x → + ∞

^.

Eneet,soit

ε > 0

^.Ilexiste

x

0

> 0

^telque

∀ x > x

0^,

| Z (x) − L | ≤ ε

²

/(4M )

^.

D'après laformule de Taylor-Lagrange, pour tout

x > 0

^{, pour tout}

h > 0

^{, il}

existe

θ ∈ ]0, 1[

^telque

Z(x + h) = Z(x) + hZ

^′

(x) +

^h₂²

Z

^′′

(x + θh)

^{. Donpour}

tout

x > x

0^,pourtout

h > 0

^,

| Z

^′

(x) | ≤ | Z(x + h) − Z (x) |

h + M h

2 ≤ ε

²

2M h + M h 2 .

Ave

h = ε/M

^,onobtient

| Z

^′

(x) | ≤ ε

^pourtout

x > x

0^.

Appendie 4

Avelesnotationsdelasetion3.3,posons

U (t) = Y (t) − X (t)

^et

H(t) = dY

dt − F (Y (t)) − dX

dt − F(X (t))

.

Parhypothèse,onal'inégalitévetorielle

H (t) ≥ 0

^{.Parailleurs,}

dU

dt = H (t) + F (X(t) + U(t)) − F (X (t)) = φ(t, U (t)),

ave

φ

i

(t, U (t)) = H

i

(t) + X

j

Z

1 0

∂F

i

∂x

j

(X (t) + s U(t)) ds

U

j

(t).

Si

x

j

≥ 0 ∀ j

^{et si}

x

i

= 0

^{, alors}

φ

i

(t, x) ≥ 0

^{en raison de} l'hypothèse sur le signedesdérivéespartielles de lafontion

F

^{. Lene}

R

^d+ ^{est donune région}

invariante.Comme

U (0) ≥ 0

^{,il enrésulteque}

U(t) ≥ 0

^et

X (t) ≤ Y (t) ∀ t ≥ 0

^.

Remeriements

OnremerieA.Moussaouipouravoirsignalé[7℄.

Référenes

[1℄ N.Baaër,Histoiresde mathématiquesetde populations, ÉditionsCassini,

Paris,2009.

[2℄ N. Baaër, Surle pi épidémique dansun modèle S-I-R.Quadrature 117,

2020,9-12.

[3℄ N. Baaër, Un modèle mathématique des débuts de l'épidémie de oro-

navirus en Frane. Math. Model. Nat. Phenom. 15, 2020, 29. https:

//hal.arhives-ouvertes.fr/hal-02509142

[4℄ H. Hethote,The basi epidemiology models : models, expressionsfor

R

0^,

parameter estimation, and appliations. In : S. Ma, Y. Xia (éd.) Mathe-

matial Understanding of Infetious Disease Dynamis, World Sienti,

Singapour,2009,p.1-61.

[5℄ W.J.Kazor,M.T.Nowak(trad.E.Kouris),Problèmes d'analyseII.EDP

Sienes, LesUlis,2008.

[6℄ H.A. Lauwerier, Mathematial models of epidemis. Mathematish Cen-

trum,Amsterdam,1981.https://ir.wi.nl/pub/12996

[7℄ N.Piovella,Analytial solutionofSEIRmodeldesribingthe freespreadof

the COVID-19pandemi.ChaosSolitonFrat.140,2020,110243.

[8℄ J.W. Prüÿ,R. Shnaubelt,R.Zaher,Mathematishe Modellein derBio-

logie.Birkhäuser, Bâle,2008.

[9℄ E. Thomas,Surl'exponentielle de matries.Quadrature116,2020.