ÉCOLE POLYTECHNIQUE
CONCOURS D’ADMISSION 2016 FILIÈRE
MP
COMPOSITION DE PHYSIQUE ET SCIENCES DE L’INGÉNIEUR – (X)
(Durée : 4 heures)
Les calculatrices ne sont pas autorisées pour cette épreuve.
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Les deux parties de l’épreuve sont indépendantes et elles-même composées de parties largement indépendantes ; on les traitera dans l’ordre de son choix. Il n’est pas demandé de démontrer les relations données dans l’énoncé.
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1 Partie I : Propagation dans les milieux non homogènes
Préambule Cette partie concerne la propagation d’ondes électromagnétiques lumineuses dans des milieux non chargés d’indicen=n(x, y, z) non uniforme spatialement. On admettra dans ce cas la relation divn2−E→= 0 =n2div−E→+−E→·−grad−−−→!n2; cette relation montre que, en raison du terme dit dedispersion spatiale(en bleu) div−E→n’est pas, en général, nul. En régime harmonique de pulsation ω, la dépendance temporelle du champ électrique−E→est en exp (−i ωt). L’équation de propagation du champ−E→d’une onde électromagnétique monochromatique prend alors l’une ou l’autre des formes équivalentes (les termes de dispersion spatiale sont sur l’accolade, en bleu)
△
−→
E+n2ω2 c2
−→
E−
−−−−→
graddiv−E→
| {z }
=−→0, (1)
△−E→+n2ω2 c2
−→
E+−grad−−−→n−E→·−grad−−−→hlnn2io
| {z }
=−→0. (2)
Une pratique courante est cependant de poser que l’équation de propagation de−E→ se déduit en force brute de l’équation de propagation dans un milieu homogène - équation de Helmholtz -, en y remplaçant l’indice constant par l’indice variablen(x, y, z) et en ignorant les termes de dispersion spatiale. On établit alors l’équation de propagation, définissantk0=ω
c =2π λ,
△
−→
E+n2ω2 c2
−→
E =△
−→
E+n2k02
−→
E =−→0, (3)
oùcest la célérité de l’onde. On peut se demander si cette manière de faire est légitime. Tel n’est pas toujours le cas. Les deux cas traités ci-après sont cependant des exemples de réponse positive à cette question.
1.1 Fibre optique à profil parabolique d’indice et oscillateur quantique
Une onde électromagnétique monochromatique se propage dans une fibre optique modélisée par un cylindre de rayonR, illimité dans la directionzet à l’intérieur duquel le profil radial d’indice est
n2(r) =n20 A
1−x2+y2 a2
B
, aveca≫R R'λetλ≪2πn0a. (4) Ci-dessus,aest une longueur qui définit la largeur du profil d’indice selon une section droite du cylindre ; cet indice varie donc peu sur une distance de l’ordre quelques longueurs d’onde : l’inégalité de la relation (4) signifie en effetRayon du cylindre≈λ≪(un nombre de l’ordre de 10 - 20)× échelle de variation spatiale de l’indice. Dans la suite, on ne se préoccupera pas de conditions aux limites et l’on se restreindra à la forme suivante du champ−E→, où laconstante de propagation κest réelle et strictement positive etyˆest le vecteur unitaire selon la directionydu repère de référence :
−→
E =E(x, y) ˆyexp [j(κz−ωt)]. (5) On néglige provisoirement le terme de dispersion spatiale et l’on accepte l’équation de propagation
△−E→+n20 A
1−x2+y2 a2
Bω2 c2
−→
E =−→0. (6)
1. Établir l’équation (scalaire) de propagation deE(x, y); posantq0=n0k0puisµ=q02−κ2 q0
a, exprimer cette équation en termes des variables réduites(ξ, η) =
3q0 a
41
2(x, y).
L’équation de propagation du champ ressemble à l’équation de Schrödinger stationnaire d’un oscillateur harmonique2D, de massemet d’énergie propreEN
−~2
2m∆ψ(x, y) +1
2mω21x2+y22ψ(x, y) =ENψ(x, y). (7) On admet queEN= (N+ 1)~ω, oùN ∈N. L’énergie de l’état de plus basse énergie est ainsi E0=~ω; il lui correspond la fonction d’onde normaliséeψ0=
3m ω π~
41
2 exp 5
−m ω 2~
!x2+y2"
6 . 2. Vérifier la dimension deòmω
~ puis exprimer l’équation (7) en termes des variables réduites (u, v) =
òmω
~ (x, y).
3. On impose à la solution de l’équation (6) la conditionÚÚ
R2
ë−E→ë2 dxdy=V2, oùV est un réel positif, dont on donnera l’unité. Quel est le sens physique de cette normalisation ? 4. Quelles sont les valeurs possibles deµ=q02−κ2
q0
a, introduit à la question1? Montrer que le mode fondamental de propagation est gaussien, avecµ=µmin= 2.
5. Montrer que, pour une valeur donnée deµ, seuls les modes de pulsation supérieure à une certaine pulsation critiqueωcpourront se propager. Quelle valeur deµpeut-on choisir pour la longueur d’ondeλc= 0,6×10−6m, lorsquen0= 3eta= 5×10−6m!c= 3×108m·s−1"?
6. On considère les modes d’ordre peu élevé (µde l’ordre de quelques unités) et une longueur d’onde de l’ordre de 0,6×10−6m. Par définitions, la vitesse de phase de l’onde estvϕ=ω
κ et la vitesse de groupevg= dω
dκ. Montrer quevϕ> c n0
et quevgne dépend pas deµ.
7. A-t-il été-il légitime de négliger dans l’équation de propagation le terme de dispersion spatiale
−−−−→
gradh−E→·
−−−−→
grad ln!n2idevant le terme de dispersion temporellen2ω2 c2
−→
E? On pourra utiliser les coordonnées cylindriques et la relation−grad−−−→f =∂f
∂rrˆ+1 r
∂f
∂θθˆ+∂f
∂zz,ˆ yˆ= ˆrsinθ+ ˆθcosθ.
1.2 Mode TE dans un milieu stratifié
Dans unmilieu stratifié l’indice optiquenvarie selon une direction notéez, portant le vecteur unitaire ˆz. On note (xz) le plan de propagation (voir Figure 1) et l’on convient que les diverses
Figure1 – Propagation dans un milieu stratifié, où l’indice varie selon la direction z.
grandeurs associées à l’onde, représentées de manière complexe, ne dépendent pas dey; par suite de l’homogénéité de l’espace selonx, elles varient comme exp (iκx), oùκest laconstante de propagation, réelle et strictement positive. Pour le reste, nous reprenons les considérations et les notations du préambule.
Dans le mode Transverse Électrique (TE)−E→est dirigé selony; ses composantes sont notées Ex=Ez= 0, Ey=E(z) exp [i(κx−ωt)] (8) de sorte que l’équation de propagation (3) se ramène à l’équation scalaire, définissantkz
d2E
dz2 +n2k20−κ2E= d2E
dz2 +k2zE. (9)
On introduit alors, formellement, d’une part levecteur d’onde local,~k(z) = [κ,0, kz(z)], avec k2(z) =n2ω2
c2 =κ2+kz2(z), d’autre part lalongueur d’onde locale,λ(z) = 2π kz(z).
8. Montrer que, dans un mode TE,−B→est entièrement contenu dans le plan de propagation (xz).
9. La relationE(z) =A(z) exp [ik0S(z)] exprime l’inconnueEen termes du couple, non unique, des fonctions réelles AetS. Que devient l’équation (9), en termes du couple (A, S) ? On ordonnera le résultat selon les puissances décroissantes dek0. Ce sera l’équation [B].
10. Estimer la valeur dek0dans le domaine optique. Dans quel sens peut-on dire que «k0est grand » ? Une manière approchée de résoudre [B] est de supposer que aucun des coefficients de
k0n’est exceptionnellement grand et d’en annuler séparément chaque terme, à commencer par le terme de plus haut degré enk0. Quelle équation obtient-on ? Donner alors la relation entre n(z)et dS
dz, ce dernier étant choisi positif.
11. Comment se simplifient les résultats ci-dessus lorsquenest constant ? Vérifier que l’on retrouve les résultats habituels.
L’approximation de l’optique géométrique, étudiée ici, pose que le couple(A, S)effectif est celui où les variations deAsont petites à l’échelle deλ0=2π
k0
et négligeables devant celles deS.
12. Montrer alors que, dans un voisinage de quelquesλ0autour d’un point P(xp, zp)où l’indice estn(xp, zp) =np, c’est-à-dire pourx=xp+χetz=zp+ξavecξde l’ordre deλ0, l’onde est localement plane et progressive : toute composanteX d’un vecteur du champ s’exprime sous la formeX(x, z, t)≃X0(xp, zp) exp [i(k0npξ+κχ−ωt)].
13. Préciser le lien entre les vecteurs−E→,−B→etKþ de composantes[κ,0, k0np].
1.3 L’approximation semi classique en mécanique quantique ; une analogie Les fonctions d’ondeψdes états stationnaires d’une particule de massemet d’énergieEdans le
« potentiel » unidimensionnelU(x)sont solutions de l’équation de Schrödinger
−~2 2m
d2ψ
dx2+U(x)ψ(x) =Eψ(x). (10)
Dans les régions dites quasi classiques,U(x) ≤ E; l’impulsion classique de la particule étant p2(x) = 2m[E−U(x)], on définit, par analogie avec la relation de de Broglie, lalongueur d’onde localeparλ(x) = h
p(x)= 2π k(x)
3
~= h 2π
4
et l’équation (10 ) se réécrit d2ψ
dx2+k2(x)ψ(x) = 0. (11)
L’optique géométrique se déduit de l’optique ondulatoire en considérant la limiteλ→0; de la même manière, lerégime quantique semi-classiqueest la solution limite de (10) lorsque, par la pensée, on considère la limite~→0. On pose alorsψ(x) = exp
5i
~ 3
σ0(x) +~ iσ1(x)
46
, oùσ0etσ1∈R. 14. L’approximation d’ordre zéro consiste à ne garder queσ0dans l’expression deψ; déterminer
la solution de l’équation (10) à l’ordre 0. Vérifier que, sipest constant(p=p0>0), alors ψ(x)∝exp
3
±2iπp0x h
4
(on ne se préoccupera pas de normalisation).
15. Établir que,C+etC−étant des constantes complexes dont on ne se préoccupera pas, la solution d’ordre1est
ψ(x) = C+ ð|p(x)|exp
5i
~ Ú x
p(u) du 6
+ C− ð|p(x)|exp
5
−i
~ Úx
p(u) du 6
(12)
16. Il ressort de (12) que|ψ(x)|2∝ 1
|p(x)|. Ce résultat est-il cohérent avec ce que, intuitivement, l’on peut dire de l’occupation de l’espace par l’oscillateur harmonique classique 1D ?
2 Partie II : Simulateur de conduite de véhicule à deux roues
Introduction aux simulateurs de conduite Lessimulateurs de conduite à base mobile pour véhicules à deux rouesfournissent des indices de mouvement en cohérence avec les mouvements réels du véhicule. Ils sont souvent constitués d’un bâti fixe et d’une partie mobile comprenant le châssis de la moto et des chaînes cinématiques mues par des actionneurs. Leur but est de restituer les mouvements transitoires, d’incliner la plateforme pour les mouvements lents et, lorsque la vitesse du véhicule virtuel est constante, de retourner à une position calibrée, diteposition neutre. Les limitations de ces dispositifs sont partiellement compensées au moyen d’algorithmes qui réalisent des compromis entre fidélité de restitution du mouvement et limites physiques de la plateforme. La plateforme à structure parallèleétudiée ici est représentée dans les Figures 2, 3 et 41.
Figure2 – Moto et plate forme. La rotation d’angleψautour de Z, dite de lacet, détermine la trajectoire ; la rotation d’angleϕautour de X, dite deroulis, définit l’inclinaison de la caisse lors d’un virage ; la rotation d’angleθautour de Y(θmax≈10°)décrit letangage, rencontré notamment dans les phases d’accélération et de freinage. Le triplet(ϕ, θ, ψ)est un exemple d’angles d’Euler.
Figure3 – Arrière de la plate forme : pour avoir une hauteur réglable, le châssis de la moto est lié à la glissière via une barre métallique rigide et une liaison rotule fixée à cette dernière. La translation de la glissière crée le mouvement de lacet et reproduit l’effet d’un dérapage de la roue arrière.
Une glissière de type chariot mobile est fixée à l’arrière, sur la structure verticale du bâti (Figure 3).
1. La plupart des figures de cette partie est reproduite ou adaptée du mémoire doctoral de M. Lamri Nehaoua, avec son aimable autorisation.
La Fig. 4 montre comment on impose un déplacement symétrique des deux pivots mobiles liant les deux vérins au bâti (points B1et B2de la Fig. 5). Les notations étant celles de la Fig. 5, les
Figure4 – À gauche : vérins de tangage et de roulis. À droite : fixation et liaisons.
Figure5 – Description cinématique. Les pointsP1,P2etP3sont respectivement les points d’attaches supérieurs des deux vérins avant et de la glissière arrière (non représentée dans la Figure) avec la plateforme. Les pointsB1,B2etB3sont les points d’attaches correspondants avec le bâti.
distances OmP1= OmP2=ℓsont constantes, alors que B1O = B2O =d(t), oùd(t), représenté à gauche dans la Fig. 5, est variable ; par exemple, le cartouche en haut à droite de cette figure montre que, pour un roulis pur d’angleϕ,d=ℓcosϕ. Le déplacement des points B permet de conserver approximativement le parallélisme des deux vérins. Les angleϕetθsont indépendants ; par contraste, l’angle de lacetψgénère un tangage et un roulis résiduels, car la plateforme ne possède pas d’axe de rotation propre autour d’un axe porté par~k. Pour des raisons de coût, les déplacements longitudinal et latéral sont ignorés, seule la grandeur articulaire verticaleh3(t) est variable.
Définitions et modèle Outre les mouvements de translation selon trois axes orthogonaux, le véhicule est soumis aux trois rotations décrites Figure 2. Unespace articulaireest un espace qui
a pour référence le repère lié à chaque articulation motorisée. Les coordonnées associées sont les coordonnées articulaires. L’espaceopérationnela pour référence le repère lié à l’organe terminal de la plateforme. Nous nous intéresserons successivement aux
— modèle géométrique, reliant les coordonnées articulaires et opérationnelles,
— modèle cinématique, reliant les vitesses articulaires et opérationnelles
— et à une esquisse de description de la commande de la plate forme.
Lagéométrie inversedéfinit les coordonnées articulaires des différents actionneurs en fonction des coordonnées et de l’orientation de la plateforme. On introduit pour ce but un repèreR(O,~ı, ~, ~k) lié au bâti et unrepère mobileRm(Om,~ım, ~m, ~km) lié à la moto de la manière suivante (Figure 6) :
— La rotation de lacet (ψ) autour de~kdonne le repèreR1O,~ı1, ~1, ~k1
, avec~k1=~k.
— La rotation de tangage (θ) autour de~1donne le repèreR2O,~ı2, ~2, ~k2
, avec~2=~1.
— La rotation de roulis (ϕ) autour de~ı2donne le repèreRmOm,~ım, ~m, ~km
, avec~ım=~ı2.
Figure6 – Repères pour lacet, tangage et roulis. Les axes de rotation sont représentés en rouge. Les rotations font passer des « vecteurs noirs » aux « vecteurs bleus ».
Dans le repère mobileRm, les coordonnées des divers points P sont définies par
−−−−−−→
OmP1=ℓ−→m = [0ℓ0]T
−−−−−−→
OmP2 =−ℓ−→m = [0 −ℓ0]T
−−−−−−→
OmP3 =−ℓ3
−
→ım−h3(t)−→km = [−ℓ30 −h3]T
La matrice de rotation définissant l’orientation du repère mobileRmpar rapport au repère fixeR est notéeRe= (˜rij). L’axe de roulis est dans le plan de symétrie vertical de la moto et le déplacement de Omselon l’axe~est nul (ym= 0). La partie supérieure mobile du simulateur est repérée dansR par les coordonnées cartésiennes (xm, ym, zm) de OmdansRetles angles d’Euler (ϕ, θ, ψ).
Dans toute la suite, le triplet des composantes du vecteurX~ dans le repèreRαsera notéX~
Rα
; ainsi, la relation intrinsèque−OP−−−→3 =−OO−−−−m→+−O−−m−−P−→3 entraîne-t-elle la relation algébrique entre les coordonnées cartésiennes de l’origine Omet les angles d’orientation de la plate forme mobile (dans ce cas particulier,ym= 0) :
−−−→
OP3
R=−OO−−−−m→
R+ ˜R
−−−−−−→
OmP3
Rm
, (13)
soit
−L ρ3
h
=
xm
ym
zm
+ ˜R
−ℓ3
0
−h3
, de sorte que
xm = −L+r11ℓ3+r13h3
ρ3 = −r21ℓ3−r23h3
zm = h+r31ℓ3+r33h3.
Les variables articulairesxm, ym, zmetρ3ainsi déterminées, reste à trouver les variables articulaires des deux vérins avant, notées respectivementρ1etρ2, qui définissent la longueur de chaque vérin en fonction de l’orientation de la partie supérieure mobile :ρ2i =−B−−iP−→i·
−−−−→
BiPi.
2.1 Modèle géométrique et cinématique inverses de la plateforme du simulateur 17. On se propose de déterminer la course de chacun des trois vérins, permettant de respecter les caractéristiques géométriques de chaque degré de liberté, telles que données dans le tableau ci-après (ledébattementest le double de la valeur maximale).
Degré de liberté Lacetψ Tangageθ Roulisϕ
Valeur maximale (degrés) 10 10 72
Vitesse angulaire maximale!degrés·s−1 90 30 360
Pour ce but, on adopte les valeurs numériquesL=lm= 1,2 m,l=d= 0,2 m,l3= 1,1 m, h= 0,5 m eth3= 0,4 m. En s’appuyant sur des schémas et en utilisant la courbe de la Fig. 7, déterminer la course de chacun des trois vérins, d’abord dans le cas du roulis, ensuite dans le cas du lacet. Vérifier enfin que les valeurs trouvées sont compatibles avec la valeur maximale de l’angle de tangage.
Figure7 – Sinusoïde.
18. Exprimer−B−−iP−→i
R(i= 1,2) en fonction de−B−−i−O→
R,−OO−−−−m→
R,−O−−m−−P−→i
Rm
et ˜R. Considérant que la composante surydes−B−−iP−→i
Rest nulle, montrer qued=r22ℓ. Introduisant les vecteurs unitaires−u→i =
−−−−→
BiPi ρi
, montrer que la vitesse articulaire des vérins avant est
˙
ρi=−B−−i˙P−→i·−u→i. (14) Lacinématique inverse, qui consiste à déterminer les positions et rotations d’articulations permettant d’atteindre un objectif donné, se fait à partir des paramètres des articulations. Conformément à la Figure 6, on note, respectivement,Ω = ˙~ ψ~k+ ˙θ~1+ ˙ϕ~ı2le vecteur rotation de la plateforme (aussi nommévecteur de la vitesse angulaire),~q˙=ψ,˙ θ,˙ϕ˙et l’on admet que, dansR(O,~ı, ~, ~k) lié au bâti,
~Ω =E~q˙=
0 −sinψ cosθcosψ 0 cosψ cosθsinψ
1 0 −sinθ
~q.˙ (15)
Letorseur cinématiquede la plateforme par rapport au bâti, exprimé enOmestW= A þΩ
˙
−−−−−→
OOm B
.
19. Indiquer soigneusement, mais sans effectuer les calculs, la méthode conduisant à la relation 15 ; on précisera, notamment, le paramétrage des angles.
20. En considérant un résultat obtenu à la question18, exprimer−−−˙−→
BiPi (i= 1,2)dansRen fonction de−B−−i˙−O→,−OO−−˙−−m→dansRet de−Ω→∧Rå1
−−−−−−→
OmPi2
Rm
. 21. Établir la relation
˙
ρ3=−OO−−˙−−m→·
−
→
j + 3
å R1
−−−−−−→
OmP32
Rm
∧
−
→
j 4
·
−→
Ω = 3
å R1
−−−−−−→
OmP32
Rm
∧
−
→
j 4
·
−→
Ω. (16)
22. Le résultat établi à la question20conduit aux deux relations
˙
ρi=−B−−i˙−O→·−u→i+−OO−−˙−−m→·−u→i+ 3−→
Ω∧Rå1−O−−m−−P−→i 2
Rm 4
·−u→i, (17)
˙
ρi=−OO−−˙−−m→·−u→i+ 3Rå1
−−−−−−→
OmPi2
Rm
∧−u→i 4
·
−→
Ω. (18)
On définitè−A−→i éT
= 5Rå1
−−−−−−→
OmPi2
Rm
∧−u→i 6T
(uþ3=þ). Vérifier que
[ ˙ρ1,ρ˙2,ρ˙3] =
è−−→
A1é
T −−→
u1T è−−→
A2 éT −−→
u2 T
è−−→
Ai éT −→
jT
W. (19)
2.2 Introduction à la perception
Les accélérations du véhicule ne pouvant être reproduites à l’identique, une commande est nécessaire, transformant la trajectoire du véhicule simulé en un mouvement réalisable par la plate- forme, tout en prenant en compte les caractéristiques de la perception.
2.2.1 Modélisation des capteurs ; algorithme du pire cas Le principe de lacinématique inverseest représenté dans la Figure 8.
Comme le montre la Figure 9, page 10, les grandeurs de référence sont d’abord calibrées, ce qui permet de réduire d’autant les déplacements du simulateur. La composante transitoire de l’accélération est détectée derrière le filtre passe-haut FPH1. La composante basse fréquence de l’accélération ne pouvant être restituée par un déplacement de la plateforme, la technique dite de tilt(inclinaison de la plate forme) est utilisée pour récupérer une composante de la gravité qui sera perçue comme étant une accélération linéaire par le système de capteurs d’accélérations, situé dans l’oreille interne ; en effet, ce système, incapable dans ces conditions de distinguer une rotation d’une translation, est leurré. La sortie du filtre passe-basFPBcontribue ainsi à définir l’angle d’inclinaison de la plateforme par rapport à la verticale.
Ci-après on noteraX˜(p)la transformée de Laplace de la grandeurx(t).
Figure8 – Correspondance entre le mouvement d’un véhicule réel et le mouvement du simulateur.
MCAsignifieMotionCueingAlgorithm- Algorithme de Restitution du Mouvement.
Figure9 – Élément de l’algorithme de restitution du mouvement.Tilt= inclinaison. Noter la contribution du canal BF d’accélération à la position angulaire du simulateur.
23. Expliquer comment l’on peut, à partir de données d’accélération et de vitesse angulaire, accéder algorithmiquement à la position désirée du simulateur.
Les différents filtres passe haut utilisés pour déterminer la position de la plateforme à partir de la partie transitoire de l’accélération sont d’une importance décisive pour la qualité du simulateur. En particulier, il est nécessaire que le simulateur soit ramené en position neutre lorsque le signal d’entrée est un créneau de vitesse. On noteavl’accélération longitudinale du véhicule réel,asl’accélération à produire sur le simulateur et l’on considère queavest l’échelon d’amplitudeAvm.
24. Avec un filtre passe-haut du deuxième ordre, la position ˜P(p) de la plateforme est liée à l’accélération du véhicule par une relation du type
P˜(p)
A˜v(p)= K p2+ 2ζωnp+ωn2
(ζ >1, K >0). (20) En déduire que l’effet de ce filtre est de déplacer la plateforme vers la positionP∞, dont on
donnera l’expression en fonction deK, Ametωn. Conclure en expliquant pourquoi des filtres du premier ou du deuxième ordre sont inadaptés.
25. SoitPmle déplacement linéaire maximal disponible sur le simulateur ; comment choisirωn? 26. Un filtre du troisième ordre assure le retour en position neutre. On identifie, dans sa fonction
de transfert (21), la partieFiltragede la relation (20) et la partieRetour à la position neutre.
F P H(s) = A˜s(p)
A˜v(p)=K p2 p2+ 2ζωnp+ω2n
· p p+ωf
. (21)
Comment choisirωf de manière à avoir un retour rapide en position neutre ? On pourra s’appuyer sur une analyse de la Figure 10. Les données de déplacement dans cette Figure sont-elles en accord qualitatif avec vos réponses sur la course des vérins (question17) ?
Figure10 – Position de la plateforme (en m) en fonction du temps (en s), lorsque l’entrée est un échelon d’accélération, pourK= 1, ζ= 2 etωn= 1 rad·s−1. La courbe en pointillés correspond à ωf= 0; pour une meilleure lisibilité, son amplitude a été divisée par 2. Par amplitude maximale décroissante, les courbes correspondent respectivement àωf= 1,ωf= 2etωf= 4.
2.2.2 Vers un réglage pratique des paramètres, dans le pire des cas
Dans des conditions modérées de conduite, un filtre du deuxième ordre suffit (c’est la situation dite dupire cas). La réponse impulsionnelle du filtre intervenant dans la relation (20) est considérée représenter la position de la plate forme et c’est
h(t) = K p1−p2
[exp (p1t)−exp (p2t)], (22) oùp1etp2sont les zéros du polynômep2+ 2ζωnp+ω2n, avecp2< p1<0. On poseraζ= cosha.
27. Quelle est, dans l’équation (22), la dimension deK? Déterminer l’expression de l’instantT oùhatteint sa valeur maximale,H. Admettant la relationH= K
ωn
exp
− a tanha
, donner et commenter l’allure graphique deh(t) et celle deT(a).
28. Le canaltilt de la Figure 9 est-il utile pour ce simulateur ?
∗ ∗
∗
