Découplage de modèle économique lent/rapide

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Découplage de modèle économique lent/rapide

Aurélien Hazan

To cite this version:

Aurélien Hazan. Découplage de modèle économique lent/rapide. Modèles et apprentissages en Sciences

Humaines et Sociales, Jun 2011, Marseille, France. http://greqam.univ-mrs.fr/spip.php?article7176.

�hal-00586613�

La ompréhensiondesphénomènesé onomiquesné essitede pren-dre en ompte plusieurs é hellesde temps simultanément. Nous étu-dions le as d'un modèle simple d'épargne, où plusieurs é helles de temps ara téristiques oexistent.Nousmontronsqu'ilestpossiblede séparerles ontributionslenteset rapides onfonduesdansune même variableobservéeennousappuyantd'unepartsurunelinéarisationde ladynamique(sto hastiqueetnonlinéaire) autourd'unpoint d'équili-bre,etd'autrepartsurundé ouplagevialatransformationdeChang, issuedelathéoriedela ommande.

Lesmodèlesd'équilibre al ulable,plus générauxet degrande di-mension, tels quelesmodèlesDSGE employésparde nombreuses in-stitutionsnan ières, pourraientbéné ier de es outils autant pour a élérer leurs simulations que pour l'analyse statistique de données réelles.

lent/rapide

Aurélien Hazan SAMM Université Paris 1 90,rue de Tolbia , Paris, Fran e aurelien.hazanuniv-paris1.fr

18 avril 2011

1 Introdu tion

De très nombreux phénomènes physiquesou so iaux-é onomiques sont ara térisésparla oexisten edeplusieursé hellesdetemps ar-a téristiques,parfoistrès distin teslesunesdesautres.

Ené onomieonpeut iterlesé hellestemporellessuivantes[Bla02℄: ourtterme(e.g.mar hédesbiensde onsommation,mar hésnan iers), moyen terme (e.g. mar hé du travail, monnaie), et long-terme (e.g. roissan e, progrès te hnologique, a umulation du apital, produ -tion).

Souvent,lesdonnéesdisponibles on ernantunphénomèneé onomique donnémélangentetrendentindis ernablesdes ontributionsayantdes é hellesdetemps ara téristiquesdiérentes.Dans etarti le,pour sé-parer esdiérentes ontributions,nousproposonsd'utiliserun ensem-bled'outilstirésdelathéoriedela ommande,etplusparti ulièrement del'analysedesé hellestemporelles

1

[Nai02℄.

Nous illustrons l'importan e de e point de vue à l'aidedu mod-èle deSolow-Swan,employéaussibien enma roé onomiepourdé rire lesphénomènesde roissan equ'enmi roé onomiepourmodéliser l'é-pargne.

Cemodèleserabrièvementdé ritenŸ2.Leprin ipedudé ouplage des omposantes lentes et rapidesseraexposéenŸ3. Desrésultats de simulationsserontexposésenŸ4,avantdedis uterenŸ5des perspe -tivesdégagéespar etravail.

Nous nous plaçons en temps ontinu, dans le as simplié d'une é onomiefermée[BSiM04℄sansdépensepublique

2 :

Y

(t)

=

C(t) + I(t)

(1)

où

Y

(t)

est la produ tion,

C(t)

la onsommation et

I(t)

l'investisse-ment.L'équationd'a umulationdu apitals'é rit:

˙

K(t)

= Y (t) − C(t) − δK(t)

(2)

où

δ

estletauxdedépré iationdu apital.

Nousposonsunefon tiondeprodu tionnéo lassiquedetypeAK, ave ho ssto hastiques :

Y

(t) =

Ae

z(t)

K

α

(t)

(3)

où

α

estl'élasti ité,

A

une onstante et

z(t)

untermede ho autoré-gressifd'espéran e nulle. Le quantité de travail est i i impli itement onsidérée omme onstante.

DanslemodèledeSolow-Swan,la onsommationetdon l'investisse-mentsontdesfon tionslinéairesdelaprodu tion,dontlesproportions respe tivessontxées parune onstante

s ∈

[0, 1]

, letauxd'épargne. Enposantpoursimplier

A

= 1

,ona:

C(t) =

(1 − s)Y (t)

(4)

˙

K(t) =

se

z(t)

K

α

(t) − δK(t)

(5)

Onfaitl'hypothèsequeles ho sprodu tifssontaléatoires,etobéissent àl'équation suivante :

˙z(t) =

−

rz(t) + σ ˙

_W

(t)

(6)

où

W

(t)

est un bruit blan entré,

r >

0

,

σ >

0

. Cette équation orrespondàunemar healéatoire(terme

W

˙

)amortiedemanière ex-ponentielleparleterme

−

rz(t)

.

Lesystème i-dessus,munide onditionsinitialesappropriées, ad-metunéquilibrestable qu'onpeutapproximerennégligeantlapartie aléatoirepour

σ

faible.En xant

z(t) = 0

et

K(t) = 0

˙

,onobtient:

K

∞

≈

exp



log

δ

s

α −

1



(7)

Le modèle de Solow est simple mais néanmoins très utilisé pour étudierles phénomènes de roissan e au niveauma roé onomique.Il peutêtregénéralisé ommesuit:l'hypothèsede onsommationlinéaire est abandonnée au prot d'un modèle d'optimisation d'une fon tion d'utilité.Lemodèleobtenu,ditdeRamsey,peutêtreramenéàun prob-lème de ommande optimale au moyen d'une approximation linéaire quadratiquedelafon tiond'utilité auvoisinagedel'équilibre.Le as dutempsdis retest parexempletraitédans[HM05℄maisneserapas examinéi i.

Le omportementdumodèleé onomiquedé ritenŸ2résultede l'in-tera tiondesdeuxéquations(5,6).Lesdeuxphénomènesasso iés, a - umulationdu apitalet ho ,ontdestemps ara téristiquesdistin ts: un ho peut laisser sonempreinte plusieurs années dansl'é onomie, alors qu'un épargnant adaptera son omportement en quelques se-maines ou quelques mois. Pouren tenir ompte nous introduisons la notiondesystèmelent/rapide.

Soit un système dynamique régi par un système d'équations dif-férentielles linéaire

˙x = Ax, x(t

0

) = x

0

∈

R

n

. Si les valeurspropres

λ

i

de

A

peuvent être répartiesen deux groupes lairement distin ts, on diraque lesystème est lent/rapide, ouen orequ'il yaséparation d'é helle. Dans un adre non-linéaire, on peut étendre la dénition pré édente enlinéarisantlesystèmeenunpoint.

Pour ertaines valeursdes paramètresdu modèle de Solow-Swan (5,6), le système devient lent-rapide, pourvu qu'on le linéarise en un point,parexemplel'équilibrequivériel'équation (7)demanière ap-pro hée.OnendonnequelquesexemplesdansletableauTab.1.

α

δ

r

λ

₁

= δ(α − 1)

λ

₂

= −r

0.1 0.9 0.01 -0.81 -0.01 0.9 0.01 1 -0.001 -1

Table 1Paramètres dumodèleetvaleurspropres

λ

i

du systèmelinéarisé autourdel'étatd'équilibre

(K = K

_∞

, z

= 0)

.Onremarqueque

s

n'intervient pasdans

λ

1,2

,maisdansle ouplage des systèmes.

Lapremièrelignedonnel'exempled'unefaibleélasti itédu apital danslafon tiondeprodu tion,ave untauxdedépré iationimportant. Dans e as, lavaleur propre de l'équation en

K

est plus grande en valeur absolue que elle du terme de ho .

K(t)

est don le terme rapide, et

z(t)

le terme lent.La deuxièmeligne montre unesituation renversée.Danslesdeux ason onstatequelesvaleurspropresontdes ordresdegrandeurdistin ts,etquedon lesystèmedanssonensemble alapropriétédeséparationd'é helle.

Le problème qui nous intéresse est de séparer les ontributions lentes et rapidesqui s'inuen ent l'une l'autre.En parti ulier,le sys-tèmelentinuen erademanièredurablelesystèmerapide, equinous empê heradedistinguersaréponsepropreàun ho .

Pour pallier e problème, nous exposons en Ÿ3.1 le prin ipe de la transformation de Chang qui permet de dé oupler deux systèmes linéairesdépendantsetdon delesobserverséparèmentl'undel'autre. EnŸ3.2nousrappelonsquelquesappli ations lassiquesde ette trans-formationdansledomainedela ommande.EnŸ4nousproposonsdes simulationsnumériques.

Cettetransformation 3

est une diagonalisationparblo sd'un sys-tèmelinéaire.Soient

x

1

(t) ∈ R

n

1

_{, x}

₂

(t) ∈ R

n

2

lesétatslentet rapide quivérientlesystèmediérentiellinéairesuivant:

˙x

1

(t)

=

A

11

x

1

(t) + A

12

x

2

(t) + B

1

u(t)

(8)

˙x

2

(t)

=

A

21

x

1

(t) + A

22

x

2

(t) + B

2

u(t)

(9)

Moyennantlatransformation:

x

s

(t) =

(I

s

−

M L)x

1

(t) − M x

2

(t)

(10)

x

f

(t) =

Lx

1

(t) + I

f

x

2

(t)

(11)

lesystèmesemetsouslaforme[Nai02℄:

˙x

s

(t) =

A

s

x

s

(t) + B

s

u(t)

(12)

˙x

f

(t) =

A

f

x

f

(t) + B

f

u(t)

(13)

Sous ettedernièreexpression,onvoitdon que

x

s

(t)

nedépendplus de

x

f

,et ré iproquement.

Poury parvenir,il est né essaire de al ulerles matri es

L

et

M

, quisontdesin onnues.Lorsque essolutionsexistent,ellesrépondent àdeuxéquationsmatri ielles

4 .

LA

11

+ A

21

−

LA

₁₂

L − A

₂₂

L

=

0

(14)

A

11

M − A

12

LM − M A

22

−

M LA

₁₂

+ A

₁₂

=

0

(15)

Laprin ipale onditiond'existen eestl'inversibilitéde

A

22

.Plusieurs algorithmes derésolution numérique sont disponiblesdans la littéra-ture[GL01, Ÿ1.1℄.Nousemploieronsdans etarti leunalgorithmede pointxe.

3.2 Appli ations lassiques : ontrle et ltrage de système lent/rapide

La transformation (10,11) fonde un grand nombre de méthodes développéesenthéoriedela ommandepourlessystèmeslent/rapides

5 . Laplupartdessystèmeste hniquesprésententlapropriétéde sépara-tion d'é helle. Par exemple, un système mé anique asservi par une ommandeéle troniquepeutyêtreassimilé,étantdonnél'é artentre lestemps ara téristiquesde es deuxtypesd'artefa ts.

L'une des théories les plus utilisées, la théorie de la ommande optimale,aété étendueà e typede système, grâ eà latransformée deChang[KKO99℄.

3 . onlatrouveasso iéeàdiérentsauteursdanslalittérature(Ri ati,Sibuya,Harris). 4 . onparled'équationsnonlinéairesalgébriquesdeRi ati.

5 . plus spé iquement pour des systèmes lent/rapides qualiés de singulièrement perturbés 'est-à-direquandl'équationrapidedusystèmediérentielseprésentesousla forme

ε

˙x

2

(t) = g(x

1

, x

2

, ε, t)

,où

ε ≪

1

maledel'étatd'unsystèmeobservédemanièreimparfaite-aégalement étéétendudansle aslent/rapideàl'aidede ettetransformation.Ce i permetnotammentdetraiterdesproblèmesdeprédi tiondel'étatd'un systèmes lent/rapide.

Anotre onnaissan e, etype d'outilaététrès peuemployépour l'étudedesystèmesso io-é onomiques,malgrèlefaitqu'ilsprésentent souventlapropriétédeséparationd'é helle.Nousillustronsleur appli- ationdansle asdumodèledeSolow-SwanenŸ4.

4 Simulations numériques

4.1 Simulationetlinéarisationdumodèlede Solow-Swan ontinu

Lessolutionsdusystème(5,6)é ritenŸ2nepeuventêtretrouvées aisément de manière analytique. Nous proposons de les approximer grâ e àuns hémadedis rétisationd'Euler.Deplus,and'appliquer notre algorithme de dé ouplage, nous linéarisons le modèle au point d'équilibre

(K

∞

, z

∞

= 0)

.CesdeuxétapessontdétailléesenAnnexe.

LaFig.1permetde omparerl'approximationentempsdis retdu système nonlinéaireet dusystèmelinéarisé.

Figure 1  Capital

K

= f (t

k

)

. Approximation du modèle de Solow-Swan nonlinéaire (enbleu)etlinéarisé autourdu point d'équilibre (envert).

4.2 Dé ouplage

Nous supposons i i que l'évolution du apital

K(t)

est lente par rapportaux ho s

z(t)

.Noussouhaitonsvérierquelatransformation de Chang nouspermet de séparer lapartie spé iquelente

K

s

(t)

du terme

K(t)

.

linéariséedusystème (5, 6) autour dupointd'équilibre

(K

∞

, z

= 0)

. Nous obtenons un système du type(12, 13), que nous dis rétisons à l'aide d'un s héma d'Euler. Les résultatssont résuméspar la Fig.2. Nous onstatonsbienqueles ho s

z

ontuntemps ara téristiqueplus ourtque eluidu apital.

Figure2Capital

K(t

k

)

et ho

z(t

k

)

.(haut):

K(t

k

)

envert,etenbleusa omposante lentespé ique

K

s

(t

k

)

obtenueparlatransformationdeChang. (bas) : ho s

z(t

k

)

.

Cependantle apital

K(t

k

)

etsa omposantelentespé ique

K

s

(t

k

)

obtenue par la transformation de Chang sont indis ernables à ette é helle.LaFig.3(haut)permet depallier eproblème,etde onstater quela transformationabien isolé le terme lent spé ique

K

s

(t

k

)

qui estperturbéparl'inuen ede

z

dans

K(t

k

)

.

4.3 Inteprétation

Detelsrésultatsauraientpuêtreobtenusave desméthodes pure-mentstatistiques, sansprendreen ompte lemodèle sous-ja ent.Par exemple,unesimplemoyennemobile(moyennantle hoixdelalargeur dultre),ou larégressionde

K

parrapport à

z

, auraientpudonner desrésultatssatisfaisants.

Cependant,enaugmentantladimension,en omplexiantles mod-èleset enaugmentantleniveaudubruit,il estprobablequeles te h-niquesstatistiques lassiquessetrouventmisesendéfaut.Nous réalis-eronsune omparaisonplusdétailléedansdestravauxultérieurs.

5 Con lusions et perspe tives

Dans etarti lenous onsidéronsunphénomèneé onomique omme résultantdel'intéra tionde plusieurs ontributions ayantdesé helles

Figure3Capital

K(t

k

)

et ho

z(t

k

)

.(haut):

K(t

k

)

envert,etenbleusa omposantelentespé ique

K

s

(t

k

)

obtenueparlatransformationdeChang. (bas): ho s

z(t

k

)

.

detemps ara téristiquestrèsdiérenteslesunesdesautres.Pour er-taines valeurs de ses paramètres,le modèle lassique de Solow-Swan est unsystème lent/rapide.

Nous suggérons d'appliquer à l'analyse de e modèle des outils spé iquement développés pour les systèmes lents/rapides, issus de la théorie de la ommande, notammentla transformation de Chang. Notreproposaétéillustrépardessimulationsnumériquesdansun as très simple,qui permet d'appré ier les apa ités de dé ouplagede la transformation.

Danslasuite,nousproposonsd'appliquer ette méthodeàdes as plusréalistes,sipossibleengrandedimension.Dansunpremiertemps, nousidentieronslesproblèmesé onomiquesréelsoulesmodèles(e.g. detypeDSGE

6

)quiprésententlapropriétédeséparationd'é helle,et enproposeronsunsibesoin,parexempleenintroduisantdeshorizons temporelsnisd'ordredegrandeurdistin ts.Ilsseront alibréssurdes donnéesréelles.

Pourlesmodèlesqui reposentsurla ommandeoptimale,telsque lemodèledeRamsey,nousutiliseronslesystèmedé oupléande pro-poserunesolution ompositelente/rapide,enrésolvantséparèmentles sous-problèmes de ommande optimale.Les aspe ts omputationnels et lapré isiondesapproximationsserontévalués.

Noustraiteronsdansunse ondtemps l'analysededonnéesréelles sous l'angledultrage optimal,oùl'observation del'étatdusystème est partielleetperturbéeparunbruitd'observation.

Desextensions au as non-linéairesont envisagées dans la littéra-ture et pourront également être onsidérées, an d'éviter l'étape de linéarisation.

Les hémadedis rétisationd'Eulerdeséquations(5,6)s'é rit:

z(i + 1) = z(i)(1 − rh) + W (i + 1) − W (i)

(16)

K(i + 1) = K(i) + h

h

se

z(i)

K

α

(i) − δK(i)

i

(17)

où

h

estlepasdedis rétisation.

Aupointd'équilibre

(K

_∞

, z

_∞

= 0)

,lalinéarisations'é ritentemps ontinu:

˙

K(t) =

δ(α − 1) K(t) + sK

α

∞

z(t) + (1 − α)sK

α

∞

(18)

˙z(t) =

−

r z(t) + ˙

W

(t)

(19)

La linéarisation est i i ee tuée à l'aide d'un développemente de Taylorendimension2,bien quedemanièrerigoureuseun développe-ment de Ito-Taylor soit né essaire. Le système linéarisé ontinu est égalementdis rétiséàl'aidedus hémad'Euler.

Remer iements

Jeremer ieO.Abourapoursonaidepré ieuseausujetdus héma dedis rétisationdel'EDS,etduterme orre tifdudéveloppementde Taylorsto hastique.

Référen es

[Bla02℄ O. Blan hard. Ma roe onomi s. MIT Press, Cambridge, MA.,2002.

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