Générateurs Uniformes. S, espace d états fini; s 0, germe (état initial); f : S S, fonction de transition; s n = f(s n 1 )

(1)

G´ en´ erateurs Uniformes

S, espace d’´etats fini; s₀, germe (´etat initial);

f : S → S, fonction de transition; s_n = f(s_n−1)

(2)

G´ en´ erateurs Uniformes

f : S → S, fonction de transition; s_n = f(s_n−1) U, espace des valeurs de sortie;

g : S → U, fonction de sortie. u_n = g(s_n)

(3)

G´ en´ erateurs Uniformes

s₀

(4)

G´ en´ erateurs Uniformes

s₀

g



 y u₀

(5)

G´ en´ erateurs Uniformes

s₀ −→^f s₁

g



 y u₀

(6)

G´ en´ erateurs Uniformes

s₀ −→^f s₁

g



 y

g



 y u₀ u₁

(7)

G´ en´ erateurs Uniformes

s₀ −→^f s₁ −→ · · ·^f −→^f s_n −→^f s_n+1 −→ · · ·^f

g



 y

g



 y

g



 y

g



 y

u₀ u₁ · · · u_n u_n+1 · · ·

(8)

G´ en´ erateurs Uniformes

· · · −→^f s_ρ−1 −→^f s₀ −→^f s₁ −→ · · ·^f −→^f s_n −→^f s_n+1 −→ · · ·^f

g



 y

g



 y

g



 y

g



 y

g



 y

· · · u_ρ−1 u₀ u₁ · · · u_n u_n+1 · · ·

(9)

G´ en´ erateurs Uniformes

· · · −→^f s_ρ−1 −→^f s₀ −→^f s₁ −→ · · ·^f −→^f s_n −→^f s_n+1 −→ · · ·^f

g



 y

g



 y

g



 y

g



 y

g



 y

· · · u_ρ−1 u₀ u₁ · · · u_n u_n+1 · · ·

P´eriode: ρ ≤ card(S). s_n+ρ = s_n ∀n ≥ τ. On supposera que τ = 0.

(10)

Objectif: en observant seulement (u₀, u₁, . . .), il doit ˆetre difficile de distinguer cette suite d’une suite de v.a. i.i.d. uniformes sur U.

(11)

La loi uniforme sur [0,1]^t:

Choisir s₀ au hasard correspond `a choisir un point au hasard dans Ψ_t = {u = (u₀, . . . , u_t−1) = (g(s₀), . . . , g(s_t−1)), s₀ ∈ S},

qui peut être interprété comme espace échantillonnnal, approximation de [0,1]^t.

(12)

qui peut être interprété comme espace échantillonnnal, approximation de [0,1]^t. Critère: Ψ_t doit recouvrir [0,1]^t très uniformément pour “tout” t.

(13)

qui peut être interprété comme espace échantillonnnal, approximation de [0,1]^t. Critère: Ψ_t doit recouvrir [0,1]^t très uniformément pour “tout” t.

Généralisation: mesurer l’uniformité de Ψ_I = {(u_i₁, . . . , u_i_t) | s₀ ∈ S}

pour une classe choisie d’ensembles d’indices de forme I = {i₁, i₂,· · ·, i_t}.

(14)

GVAs ` a sous-suites multiples

Dans un contexte de programmation par objets, on veut pouvoir instancier des GVAs à volonté et les faire évoluer en parallèle.

(15)

GVAs ` a sous-suites multiples

Utile aussi de pouvoir partitionner ces suites (ou “streams”) en sous-suites.

(16)

GVAs ` a sous-suites multiples

Utile aussi de pouvoir partitionner ces suites (ou “streams”) en sous-suites.

Une instance:

´etat

. . . . ⇓ . . . .

d´ebut d´ebut prochaine

suite sous-suite sous-suite

(17)

Interface Java

public interface RandomStream {

public void resetStartStream ();

Réinitialise la suite à son état initial.

public void resetStartSubstream ();

R´einitialise la suite au d´ebut de sa sous-suite courante.

public void resetNextSubstream ();

R´einitialise la suite au d´ebut de sa prochaine sous-suite.

public double nextDouble ();

Retourne une v.a. U(0,1) de cette suite et avance d’un pas.

public int nextInt (int i, int j);

Retourne une v.a. uniforme sur {i, i + 1, . . . , j − 1}.

}

(18)

public class RandMrg implements RandomStream { Une implantation particuli`ere: MRG32k3a.

public RandMrg();

Construit une nouvelle suite de cette classe.

public static void setPackageSeed (long seed[]);

Fixe l’état initial de la première suite. Les autres sont calculés selon un espacement prédéterminé.

}

(19)

G´ en´ erateur r´ ecursif multiple (MRG)

x_n = (a₁x_n−1 + · · · + a_kx_n−k) mod m, u_n = x_n/m.

(20)

G´ en´ erateur r´ ecursif multiple (MRG)

En pratique, on prendra plutˆot u_n = (x_n + 1)/(m + 1),

ou encore u_n = x_n/(m + 1) si x_n > 0 et u_n = m/(m + 1) sinon.

Mais la structure reste essentiellement la mˆeme.

(21)

G´ en´ erateur r´ ecursif multiple (MRG)

Nombreuses variantes et implantations. Tr`es r´epandu.

(22)

G´ en´ erateur r´ ecursif multiple (MRG)

Si k = 1: générateur à congruence linéaire (GCL) classique.

(23)

G´ en´ erateur r´ ecursif multiple (MRG)

Si k = 1: générateur à congruence linéaire (GCL) classique.

Etat´ `a l’´etape n: s_n = x_n = (x_n−k+1, . . . , x_n)^t.

Espace d’états: Z^km = {0,1, . . . , m − 1}^k, de cardinalité m^k. Période max. ρ = m^k − 1, possible si m est premier.

(24)

Polynˆome caract´eristique:

P(z) = z^k − a₁z^k−1 − · · · − a_k = −

k

X

j=0

a_jz^k−j,

o`u a₀ = −1.

(25)

Polynˆome caract´eristique:

P(z) = z^k − a₁z^k−1 − · · · − a_k = −

k

X

j=0

a_jz^k−j,

o`u a₀ = −1.

Il est utile de représenter cette récurrence dans trois espaces différents:

(i) l’espace Z^km des vecteurs ayant k coordonn´ees dans Z^m = {0, . . . , m − 1},

(ii) l’espace Z^m[z]/(P) des polynômes de degré < k à coefficients dans Z^m (i.e., les polynômes réduits modulo P(z)),

(iii) l’espace L(P) des s´eries formelles de Laurent de la forme s(z˜ ) = P∞

j=1 c_jz^−j, o`u les coefficients c_j sont dans Z^m et satisfont c_j = (a₁c_j₋₁+· · ·+a_kc_j−k) mod m pour tout j > k.

(26)

Bijections entre ces espaces.

A` x_n = (x_n−k+1, . . . , x_n)^t on associe la s´erie

˜

s_n(z) =

∞

X

j=1

x_n−k+jz^−j

où x_n+1, x_n+2, . . . sont déterminés par la récurrence du MRG. Cette série est la fonction génératrice de {x_n−k+j, j ≥ 1}. On associe aussi de polynôme

p_n(z) = P(z)˜s_n(z) mod m, vu comme un cas particulier de s´erie formelle.

(27)

Proposition. Ces applications x_n → s˜_n(z) → p_n(z) sont des bijections entre Z^km, L(P) et Z^m[z]/(P). De plus, l’application correspondante x_n → p_n(z) satisfait

p_n(z) =

k

X

j=1

c_n,jz^k−j

o`u







c_n,1 c_n,2

...

c_n,k







=







1 0 . . . 0

−a₁ 1 . . . 0 ... . . . ...

−a_k−1 . . . −a₁ 1













x_n−k+1 x_n−k+2

...

x_n







mod m.

(28)

En multipliant s˜_n−1(z) par z, on obtient

zs˜_n−1(z) = z

∞

X

j=1

x_n−k−1+jz^−j =

∞

X

j=0

x_n−k+jz^−j = x_n−k + ˜s_n(z).

En enlevant le terme x_n−k on obtient s˜_n(z). I.e.,

˜

s_n(z) = zs˜_n−1(z) mod 1,

où “ mod 1” veut dire que l’on enlève la partie polynômiale.

(29)

En multipliant s˜_n−1(z) par z, on obtient

zs˜_n−1(z) = z

∞

X

j=1

x_n−k−1+jz^−j =

∞

X

j=0

x_n−k+jz^−j = x_n−k + ˜s_n(z).

En enlevant le terme x_n−k on obtient s˜_n(z). I.e.,

˜

s_n(z) = zs˜_n−1(z) mod 1,

où “ mod 1” veut dire que l’on enlève la partie polynômiale.

En multipliant par P(z), on obtient

p_n(z) = zp_n−1(z) mod P(z).

On a ainsi un LCG dans un espace de polynˆomes, avec modulo P(z) et multiplicateur z.

(30)

Le MRG est de pleine p´eriode m^k − 1 ssi cette r´ecurrence l’est. Si on prend

p₀(z) = 1 comme ´etat initial, on voit que la p´eriode maximale est atteinte ssi le plus petit n tel que zⁿ mod P(z) = 1 est n = m^k − 1.

(31)

Un polynôme P(z) qui satisfait cette condition s’appelle un polynôme primitif modulo m. Un tel polynôme ne peut exister que si m est premier, auquel cas Z^m devient le corps fini F^m.

(32)

Pour k > 1, un tel polynˆome doit avoir au moins deux coefficients non nuls, dont a_k.

(33)

Pour k > 1, un tel polynˆome doit avoir au moins deux coefficients non nuls, dont a_k.

Ainsi, la r´ecurrence la plus ´economique a la forme:

x_n = (a_rx_n−r + a_kx_n−k) mod m.

(34)

Pour v´erifier la condition de p´eriode max., on ne veut pas calculer explicitement zⁿ mod P(z) = 1 pour n = 1, . . . , m^k − 1.

(35)

Pour v´erifier la condition de p´eriode max., on ne veut pas calculer explicitement zⁿ mod P(z) = 1 pour n = 1, . . . , m^k − 1.

Les conditions suivantes sont plus pratiques:

Proposition. (Alanen et Knuth, 1964).

Soit r = (m^k − 1)/(m − 1). Le polynˆome P(z) est primitif modulo m ssi les trois conditions suivantes sont satisfaites:

(i) ((−1)^k+1a_k)^(m−1)/q mod m 6= 1 pour tout q facteur premier de m − 1;

(ii) z^r mod (P(z), m) = (−1)^k+1a_k mod m;

(iii) (z^r/q mod (P(z), m)) est de degr´e positif pour chaque facteur premier q de r, 1 < q < r.

Si m est premier et k = 1, alors r = 1 et ces conditions se r´eduisent `a a^(m−1)/q₁ mod m 6= 1 pour chaque facteur premier q de m − 1.

Un tel a₁ s’appelle un ´el´ement primitif modulo m.

(36)

Pour chercher des polynˆomes primitifs, pour k > 1, on cherche d’abord un a_k qui satisfait (i), puis on cherche au hasard pour des vecteurs de coefficients

(a₁, . . . , a_k−1) parmi ceux qui satisfont aussi certaines contraintes pour l’implantation.

(37)

La proportion des m^k − 1 polynˆomes qui sont primitifs pour k et m donn´es est 1

k

J

Y

j=1

p_j − 1 p_j

o`u p₁, . . . , p_J sont les facteurs premiers distincts de m^k − 1.

(38)

k

J

Y

j=1

p_j − 1 p_j

Exemple. Soient m = 2³¹ − 1 et k = 1. Alors

m^k − 1 = m − 1 = 2³¹ − 2 = 2 × 3² × 7 × 11 × 31 × 151 × 331 et cette proportion est = (1/2)(2/3)(6/7)(10/11)(30/31)(150/151)(330/331) ≈ 0.248943.

(39)

k

J

Y

j=1

p_j − 1 p_j

Exemple. Soient m = 2³¹ − 1 et k = 1. Alors

m^k − 1 = m − 1 = 2³¹ − 2 = 2 × 3² × 7 × 11 × 31 × 151 × 331 et cette proportion est = (1/2)(2/3)(6/7)(10/11)(30/31)(150/151)(330/331) ≈ 0.248943.

Si m = 2³¹ − 1 et k = 2, alors m^k − 1 = (m − 1)(m + 1) = (2³¹ − 2)2³¹. Les p_j sont les mˆemes et la proportion devient ≈ 0.124471.

(40)

On a m^k − 1 = 2hr o`u h = (m − 1)/2 et r = (m^k − 1)/(m − 1).

Il peut ˆetre tr`es difficile de factoriser r.

Id´ee: choisir h et r premiers.

(41)

On a m^k − 1 = 2hr o`u h = (m − 1)/2 et r = (m^k − 1)/(m − 1).

Il peut ˆetre tr`es difficile de factoriser r.

Id´ee: choisir h et r premiers.

La proportion de polynˆomes primitifs est alors approx.

(h − 1)(r − 1)/(2hrk) ≈ 1/(2k) pour m 2 et (2^k − 2)/(k(2^k − 1)) ≈ 1/k pour m = 2 et k 1.

(42)

m = 2

^e

Facile de calculer le produit ax mod m.

(43)

m = 2

^e

Facile de calculer le produit ax mod m. Mais:

(44)

m = 2

^e

Pour k = 1 et e ≥ 4, on a ρ ≤ 2^e−2;

(45)

m = 2

^e

Pour k = 1 et e ≥ 4, on a ρ ≤ 2^e−2; Pour k > 1, on a ρ ≤ (2^k − 1)2^e−1.

(46)

m = 2

^e

Exemple. Si k = 7 et m = 2³¹ − 1, la p´eriode max. est (2³¹ − 1)⁷ − 1 ≈ 2²¹⁷.

(47)

m = 2

^e

Exemple. Si k = 7 et m = 2³¹ − 1, la p´eriode max. est (2³¹ − 1)⁷ − 1 ≈ 2²¹⁷. Mais pour m = 2³¹ on a ρ ≤ (2⁷ − 1)2³¹⁻¹ < 2³⁷, i.e. 2¹⁸⁰ fois plus petit!

(48)

m = 2

^e

Pour k = 1, la p´eriode de x_n mod 2ⁱ ne peut pas d´epasser max(1,2ⁱ⁻²).

(49)

m = 2

^e

Pour k = 1, la p´eriode de x_n mod 2ⁱ ne peut pas d´epasser max(1,2ⁱ⁻²).

Pour k > 1, la p´eriode de x_n mod 2ⁱ ne peut pas d´epasser (2^k − 1)2ⁱ⁻¹.

(50)

Exemple. R´ecurrence x_n = 10205x_n−1 mod 2¹⁵:

x₀ = 12345 = 011000000111001₂ x₁ = 20533 = 101000000110101₂ x₂ = 20673 = 101000011000001₂ x₃ = 7581 = 001110110011101₂ x₄ = 31625 = 111101110001001₂ x₅ = 1093 = 000010001000101₂ x₆ = 12945 = 011001010010001₂ x₇ = 15917 = 011111000101101₂.

De tels générateurs ont quand même été populaires récemment.

Il ne faut pas les utiliser!

(51)

m a c Source

2²⁴ 1140671485 12820163 early MS VisualBasic

2³¹ 65539 0 RANDU

2³¹ 134775813 1 early Turbo Pascal

2³¹ 1103515245 12345 rand() in BSD ANSI C

2³² 69069 1 VAX/VMS systems

2³² 2147001325 715136305 BCLP language

2³⁵ 5¹⁵ 7261067085 Knuth (1998)

2⁴⁸ 68909602460261 0 Fishman (1990)

2⁴⁸ 25214903917 11 Unix’s rand48()

2⁴⁸ 44485709377909 0 CRAY system

2⁵⁹ 13¹³ 0 NAG Fortran/C library

x_n = (ax_n−1 + c) mod m; u_n = x_n/m.

(52)

Sauter en avant. On peut ´ecrire

x_n = Ax_n−1 mod m =







0 1 · · · 0 ... . . . ...

0 0 · · · 1 a_k a_k−1 · · · a₁







x_n−1 mod m.

(53)







0 1 · · · 0 ... . . . ...

0 0 · · · 1 a_k a_k−1 · · · a₁







x_n−1 mod m.

Ainsi

x_n+ν = A^νx_n mod m = (A^ν mod m)x_n mod m.

(54)







0 1 · · · 0 ... . . . ...

0 0 · · · 1 a_k a_k−1 · · · a₁







x_n−1 mod m.

Ainsi

On peut pr´ecalculer A^ν mod m via A^ν mod m =

(A^ν/2 mod m)(A^ν/2 mod m) mod m si ν est pair;

A(A^ν⁻¹ mod m) mod m si ν est impair.

(55)







0 1 · · · 0 ... . . . ...

0 0 · · · 1 a_k a_k−1 · · · a₁







x_n−1 mod m.

Ainsi

On peut pr´ecalculer A^ν mod m via A^ν mod m =

(A^ν/2 mod m)(A^ν/2 mod m) mod m si ν est pair;

A(A^ν⁻¹ mod m) mod m si ν est impair.

Avec la repr´esentation polynˆomiale,

p_n+ν(z) = z^νp_n(z) mod P(z) = (z^ν mod P(z))p_n(z) mod P(z), où z^ν mod P(z) peut être précalculé.

(56)

Structure de r´ eseau

Structure de Ψ_t:

(x₀, . . . , x_k−1) peut être n’importe quel vecteur dans {0,1, . . . , m − 1}^k. Ensuite, x_k, x_k+1, . . . sont déterminés par la récurrence.

(57)

Structure de r´ eseau

Structure de Ψ_t:

Si (x₀, . . . , x_k−1) = (1,0, . . . ,0), alors on a

x_k = a_k, x_k+1 = a₁a_k mod m, x_k+2 = (a²₁ + a₂)a_k mod m, . . .

(58)

Structure de r´ eseau

Structure de Ψ_t:

Si (x₀, . . . , x_k−1) = (1,0, . . . ,0), alors on a

x_k = a_k, x_k+1 = a₁a_k mod m, x_k+2 = (a²₁ + a₂)a_k mod m, . . . Si (x₀, . . . , x_k−1) = (0,1, . . . ,0), alors

x_k = a_k−1, x_k+1 = (a₁a_k−1 + a_k) mod m,

x_k+2 = (a²₁a_k−1 + a₁a_k + a₂a_k−1) mod m), . . .

(59)

Structure de r´ eseau

Structure de Ψ_t:

Si (x₀, . . . , x_k−1) = (1,0, . . . ,0), alors on a

x_k+2 = (a²₁a_k−1 + a₁a_k + a₂a_k−1) mod m), . . . ...

Si (x₀, . . . , xk−1) = (0, . . . ,0,1), alors x_k = a₁, x_k+1 = (a²₁ + a₂) mod m), etc.

(60)

Structure de r´ eseau

Structure de Ψ_t:

Si (x₀, . . . , x_k−1) = (1,0, . . . ,0), alors on a

x_k+2 = (a²₁a_k−1 + a₁a_k + a₂a_k−1) mod m), . . . ...

Si (x₀, . . . , xk−1) = (0, . . . ,0,1), alors x_k = a₁, x_k+1 = (a²₁ + a₂) mod m), etc.

Tout vecteur (x_n, . . . , x_n+t−1) qui obéit à la récurrence, pour t ≥ k, est une combinaison linéaire à coefficients entiers de ces k vecteurs de base.

(61)

(62)

Notons x_i,0, x_i,1, x_i,2, . . . la suite obtenue quand (x₀, . . . , x_k−1) = e_i.

(63)

Un ´etat initial (x₀, . . . , xk−1) = (z₁, . . . , z_k) peut s’´ecrire comme z₁e₁ + · · ·+ z_ke_k et produit la suite z₁(x_1,0, x_1,1, . . .) + · · · + z_k(x_k,0, x_k,1, . . .) mod m.

(64)

(65)

La r´eduction modulo m se fait en soustrayant des vecteurs me_i.

(66)

La r´eduction modulo m se fait en soustrayant des vecteurs me_i.

Ainsi, pour t ≥ k, (x₀, x₁, . . . , x_t−1) suit la récurrence ssi c’est une combinaison linéaire à coefficients entiers de

(1,0, . . . ,0, x_1,k, . . . , x1,t−1) ...

(0,0, . . . ,1, x_k,k, . . . , x_k,t−1) (0,0, . . . ,0, m, . . . ,0)

...

(0,0, . . . ,0,0, . . . , m).

(67)

En divisant par m, on obtient que (u₀, . . . , u_t−1) ∈ [0,1)^t est dans Ψ_t ssi c’est une combinaison lin´eaire (sur les entiers) de

v₁ = (1,0, . . . ,0, x_1,k, . . . , x_1,t−1)^t/m ... ...

v_k = (0,0, . . . ,1, x_k,k, . . . , x_k,t−1)^t/m v_k+1 = (0,0, . . . ,0,1, . . . ,0)^t

... ...

v_t = (0,0, . . . ,0,0, . . . ,1)^t.

(68)

En divisant par m, on obtient que (u₀, . . . , u_t−1) ∈ [0,1)^t est dans Ψ_t ssi c’est une combinaison lin´eaire (sur les entiers) de

v₁ = (1,0, . . . ,0, x_1,k, . . . , x_1,t−1)^t/m ... ...

v_k = (0,0, . . . ,1, x_k,k, . . . , x_k,t−1)^t/m v_k+1 = (0,0, . . . ,0,1, . . . ,0)^t

... ...

v_t = (0,0, . . . ,0,0, . . . ,1)^t. Si

L_t =

(

v =

t

X

i=1

z_iv_i | z_i ∈ Z )

est le r´eseau ayant ces vecteurs pour base, alors Ψ_t = L_t ∩ [0,1)^t.

(69)

0 1 u_n

0 1

u_n+1

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Exemple: LCG avec m = 101 et a = 12;

(70)

0 1 u_n

0 1

u_n+1

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Exemple: LCG avec m = 101 et a = 12; v₁ = (1,12)/101, v₂ = (0,1)

(71)

0 1 u_n

0 1

u_n+1

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LCG with m = 101 and a = 7

(72)

0 1 u_n

0 1

u_n+1

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LCG with m = 101 and a = 51

(73)

Pour t > k, il y a m^t vecteurs dont les coordonn´ees sont des multiples de 1/m, mais seulement m^k sont dans Ψ_t, soit une proportion de 1/m^t−k.

(74)

En t dimensions, les points sont dans des hyperplans parallèles équidistants, et ont une structure très régulière.

(75)

En t dimensions, les points sont dans des hyperplans parallèles équidistants, et ont une structure très régulière.

On peut calculer la distance 1/`_t entre les hyperplans successifs, pour la famille où ils sont le plus éloignés.

Cela se fait en r´esolvant un probl`eme d’optimisation quadratique en nombres entiers.

(76)

Indices lacunaires.

Pour I = {i₁, i₂,· · ·, i_t} on a

Ψ_I = {(u_i₁, . . . , u_i_t) | s₀ = (x₀, . . . , x_k−1) ∈ Z^km},

= L_I ∩ [0,1)^t,

1/`_I = distance entre les hyperplans dans L_I.

(77)

Mesures d’uniformit´e.

On connait des bornes supérieures de la forme `_t ≤ `^∗_t(n) pour un réseau général de densité n dans R^t.

(78)

On peut alors standardiser `_t par `_t/`^∗_t(m^k) pour avoir une mesure dans [0,1].

(79)

Figure de mérite générale:

M_J = min

I∈J `_I/`^∗_|I_|(m^k)

o`u J est une famille d’ensembles de la forme I = {0, i₂,· · ·, i_t}.

(80)

Figure de mérite générale:

M_J = min

I∈J `_I/`^∗_|I_|(m^k)

o`u J est une famille d’ensembles de la forme I = {0, i₂,· · ·, i_t}.

On peut chercher par ordinateur des param`etres qui “maximisent” cette mesure.

(81)

Autres bornes.

Proposition. Si i ∈ I lorsque a_k−i 6= 0 (avec a₀ = −1), alors

`²_I ≤ 1 + a²₁ + · · · + a²_k.

(82)

Autres bornes.

`²_I ≤ 1 + a²₁ + · · · + a²_k. Il faut donc que cette somme soit grande!

(83)

Autres bornes.

`²_I ≤ 1 + a²₁ + · · · + a²_k.

Il faut donc que cette somme soit grande!

Exemple: Lagged-Fibonacci

x_n = (±x_n−r ± x_n−k) mod m.

(84)

Autres bornes.

`²_I ≤ 1 + a²₁ + · · · + a²_k.

Il faut donc que cette somme soit grande!

Exemple: Lagged-Fibonacci

x_n = (±x_n−r ± x_n−k) mod m.

Pour I = {0, k − r, k}, on a 1/`_I ≥ 1/√

3 ≈ .577.

Les vecteurs (u_n, u_n+k−r, u_n+k) sont tous contenus dans deux plans!

(85)

MRGs avec retenue (“carry”)

x_n = (a₁x_n−1 + · · · + a_kx_n−k + c_n−1)d mod b, c_n = b(a₀x_n + a₁x_n−1 + · · · + a_kx_n−k + c_n−1)/bc, u_n =

∞

X

`=1

x_n+`−1b^−`,

o`u d = (−a₀)⁻¹ mod b, i.e., (−a₀d) mod b = 1.

(86)

MRGs avec retenue (“carry”)

∞

X

`=1

x_n+`−1b^−`,

Equivalent `´ a un LCG avec m = a₀ + a₁b + · · · + a_kb^k et a = b⁻¹ mod m.

On peut montrer que si {j : a_j 6= 0} ⊆ I, alors `_I ≤ a²₀ + · · · + a²_k.

(87)

MRGs avec retenue (“carry”)

∞

X

`=1

x_n+`−1b^−`,

Equivalent `´ a un LCG avec m = a₀ + a₁b + · · · + a_kb^k et a = b⁻¹ mod m.

On peut montrer que si {j : a_j 6= 0} ⊆ I, alors `_I ≤ a²₀ + · · · + a²_k.

G´en´erateurs add-with-carry et subtract-with-borrow (Marsaglia et Zaman 1991):

−a₀ = ±a_r = ±a_k = 1 pour 0 < r < q et les autres a_j sont nuls.