Chapitre 9 :
Périmètre d’une figure
Dans ce chapitre, on pourra utiliser des feuilles de papier millimétré.
1) Définition :
Le périmètre d’une figure fermée est la longueur de la ligne qui la délimite, dans une unité de longueur donnée.
On calcule un périmètre pour connaître la longueur d’une clôture de jardin, d’une cour de récréation, …
Exemple :
1 unité de longueur Le périmètre de la figure est
P = 8 unités de longueur.
On choisit comme unité la longueur d’un segment (de 1 carreau par exemple).
Pour calculer le périmètre d’une figure avec cette unité de longueur, on compte le nombre de segments qu’il y a sur la ligne et on n’oublie pas d’écrire l’unité.
Remarques :
● attention, P ≠ 3 unités !
Le périmètre n’est pas le nombre de carreaux situés à l’intérieur de la ligne !
● On ne compte pas les segments situés à l’intérieur de la figure.
2) Unités de longueur :
L’unité de longueur utilisée internationalement est le mètre, noté m.
On a aussi :
les kilomètres : km ( 1 km = 1000m) les hectomètres : hm (1 hm = 100m) les décamètres : dam (1 dam = 10m) les mètres : m (1m = 1m) les décimètres : dm (1 dm = 0,1m) les centimètres : cm (1 cm = 0,01m) les millimètres : mm (1 mm = 0,001m)
Pour faire des changements d’unités, on peut utiliser un tableau :
km hm dam m dm cm mm
0 , 3 0 Exemple : 3m = 30 dm = 0,3 dam
Pour écrire un nombre dans le tableau, on place le chiffre des unités dans la
« colonne de l’énoncé » SANS METTRE LA VIRGULE, on ajoute des zéros si besoin, et on place la virgule à droite du chiffre écrit dans la « colonne demandée ».
3) Périmètre d’un polygone :
Rappel : un polygone est une figure fermée dont les côtés sont des
segments (s’il a trois côtés c’est un triangle, … ) Il se note avec des lettres majuscules sans virgule ni parenthèse.
Il n’est pas toujours pratique de compter un par un le nombre de segments choisis comme unité de longueur.
Pour calculer le périmètre d’un polygone, on ajoute les longueurs de tous les côtés.
Exemple : Calculer le périmètre du polygone ABCDE.
A
4cm 7cm
B C
3cm 1cm E l’unité choisie ici est le mètre D 5cm
Périmètre (ABCDE) = 4 + 7 + 5 + 1 + 3 = l20 cm Remarques :
● Attention, on doit avoir la même unité pour tous les côtés. On fait des changements d’unités si besoin.
● L’unité ne s’écrit pas dans l’opération mais il ne faut pas oublier de la rajouter au résultat ou dans la phrase de réponse.
4) Périmètre d’un rectangle :
Un rectangle est un polygone à quatre côtés (quadrilatère) qui est particulier (il a quatre angles droits).
L
Pour le rectangle de longueur L et de largeur
l
, on additionne les longueurs de tous les côtés comme pour n’importe quel polygone.
Exemple : Calculer le périmètre d’un rectangle de longueur 5 cm et de largeur 3 cm.
Périmètre (rectangle) = 5 + 3 + 5 + 3 = l16 cm ou bien
Périmètre (rectangle) = 2 x (L +
l
) = 2 x (5 + 3) = 2 x 8 = l16 cmRemarque : Si on utilise la formule, on l’écrit puis on remplace les lettres par les nombres correspondants. La formule n’est pas indispensable, on peut toujours calculer le périmètre de n’importe quel polygone en additionnant les longueurs de tous les côtés.
5) Périmètre d’un carré :
Rappel : Un carré est un quadrilatère qui a ses quatre angles droits et ses quatre côtés de la même longueur. Comme pour le rectangle, il y a plusieurs manières de calculer le périmètre d’un carré de côté « c » :
On additionne tous les côtés ou bien on utilise la formule : Périmètre (carré) = 4 c
On dit qu’on obtient le périmètre du carré en fonction de la longueur de son côté.
Exemple : Calculer le périmètre d’un carré de côté 3 cm :
P (carré) = 3 + 3 + 3 + 3 = l12 cm ou bien P(carré) = 4 x c = 4 x 3 = l12 cm
l
c
6) Périmètre d’un cercle :
D CCCC CC
Diamètre
C
Le périmètre d’un cercle se calcule à l’aide d’une formule à connaître par cœur :
lPérimètre (cercle) = D
= Diamètre
est un nombre infini qui commence par 3,14.Pour multiplier par
, on multiplie par 3,14 ou bien par le nombre donné par la touche l
de la calculatrice (en appuyant sur lseconde l× 10xpour les calculatrices vertes).
On écrit le symbole ≃ et on arrondit le résultat.
Exemple : Calculer le périmètre du cercle de diamètre 4 cm.
Donner la valeur arrondie au dixième.
P = D
= l4 x
≃ 12,6 cmRemarques :
● On commence toujours par écrire la formule puis on remplace D par le nombre correspondant.
● Attention à ne pas confondre Diamètre et Rayon : quand on trace un cercle, on utilise le Rayon mais quand on calcule son périmètre, on utilise le Diamètre.
Diamètre = 2 x Rayon donc dans la formule, on peut remplacer D par 2 x R.
● l4 x
est la valeur exacte du périmètre. On utilise le symbole = .12,6 est la valeur approchée arrondie au dixième, on utilise le symbole ≃ .
● Le périmètre d’un cercle est aussi appelé la longueur du cercle.
7) Autre unité de mesure : le gramme
L’unité de mesure des masses est le gramme, noté g.
On a aussi :
les kilogrammes : kg ( 1 kg = 1000 g) les hectogrammes : hg ( 1 hg = 100 g) les décagrammes : dag (1 dag = 10 g) les grammes : g (1 g = 1 g) les décigrammes : dg (1 dg = 0,1 g) les centigrammes : cg (1 cg = 0,01 g) les milligrammes : mg (1 mg = 0,001 g)
On a le même tableau que pour les unités de longueur en remplaçant m par g.
On a aussi 1 tonne (t) = 1000 kg et 1 quintal (q) = 100 kg.
Il n’y a pas de nom pour les dizaines de kilogrammes. On peut prolonger le tableau avec trois colonnes en plus à gauche :
Exemple : 3 500 kg = 3,5 tonnes
t q kg hg dag g dg cg mg
3, 5 0 0
8) Autre unité de mesure : l’heure
L’unité de mesure d’une durée est l’heure, notée h.
1 heure = 60 minutes (1h = 60 min) 1 minute = 60 secondes (1 min = 60 s)
Pour convertir des heures en minutes ou bien pour convertir des minutes en secondes, il faut multiplier par 60.
Exemples :
2 h = 2 60 = 120 min 0,5 h = 0,5 x 60 = 30 min
Pour convertir des minutes en heures ou bien pour convertir des secondes en minutes, il faut diviser par 60 (en s’arrêtant avant la virgule).
Exemple :
90 min = 1 h 30 min 90 60
- 60 1 30
Remarques :
● Le reste de la division par 60 donne le nombre de minutes à écrire après le nombre d’heures.
●Le système n’est pas décimal, on ne peut pas utiliser de tableau car multiplier par 60 ne revient pas à décaler la virgule.
Annexe : extrait du programme officiel :
4.1 Longueurs, masses, Durées
- Effectuer, pour les longueurs et les masses, des changements d’unités de mesure.
- Comparer géométriquement des périmètres.
- Calculer le périmètre d’un polygone.
- Connaître et utiliser la formule donnant la longueur d’un cercle.
Il s’agit d’entretenir les connaissances acquises à l’école élémentaire, de compléter et consolider l’usage d’instruments de mesure, en s’appuyant sur les équivalences entre les différentes unités.
La comparaison de périmètres sans avoir recours aux formules est particulièrement importante pour affermir le sens de cette notion.
Le travail sur les périmètres permet aussi une initiation aux écritures littérales.
- Calculer des durées, calculer des horaires.
