Technique de calcul direct des éléments simples d une fonction rationnelle réelle: Méthode des N-dérivées

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Technique de calcul direct des éléments simples d’une fonction rationnelle réelle: Méthode des N-dérivées

HOUETOME Léon

Ingénieur en Informatique et Télécommunication, Enseignant de mathématiques : Université d’Abomey-Calavi (UAC/EPAC/LETIA)

houetomeleon@gmail.com, 01 BP 974 Cotonou (République du Bénin); Tél : +229 66982073

Résumé:

La décomposition en éléments simples d'une fonction rationnelle est son expression comme somme d'un polynôme et de fractions rationnelles 𝑀/𝑃_𝑗^𝑘 où M est un polynôme et 𝑃_𝑗 est un polynôme irréductible avec (d°M ˂ d°𝑃_𝑗). Cette décomposition est utilisée dans le calcul intégral pour faciliter la recherche des primitives de la fonction rationnelle associée mais aussi pour calculer des transformées de Laplace inverses... Par ailleurs les méthodes usuelles de calcul des éléments simples (divisions euclidiennes de toutes sortes, changement de variables, résolution de systèmes linéaires, calcul récursive des éléments d’ordre maximal suivi de leur isolation…) nécessitent parfois de longues gymnastiques parfois lourdes ou inefficaces. Cet article donne et démontre la formule de calcul direct (quasiment numérique), la plus simplifiée possible, des éléments simples d’une fonction rationnelle réelle ou non- réelle. Cette nouvelle méthode (du fait qu’il propose un calcul direct), outre son intérêt théorique, est plus rapide que les autres méthodes générales particulièrement quand la multiplicité est élevée (plus grande que 2) ou pour les éléments de seconde espèce. Ainsi cette méthode facilite énormément le calcul des éléments simples.

SOMMAIRE

Titre ...1

Résumé: ...1

Sommaire ...1

I. Introduction générale: ...2

II. Démonstration des expressions de la méthode des N-dérivées: ...3

III. Vulgarisation du calcul des dérivés n^ième: ... 13

IV. Détail littéral de la technique et exemples de calculs: ... 24

V. Etude comparative du coût de calcul de la nouvelle méthode avec les autres techniques générales: ... 33

VI. Implémentation de la méthode sous Matlab: ... 41

Références bibliographiques: ... 44

I. Introduction générale:

Soit une fraction rationnelle sous la forme:

𝑓 𝑥 =

^𝑁_𝐷(𝑥)^0(𝑥) où

𝑁

₀

(𝑥)

et

𝐷(𝑥)

sont des polynômes à coefficients réels.

𝐷 𝑥

admettant p+2q racines dont p racines réelles et 2q racines complexes pures deux à deux conjuguées et de même multiplicité (ordre) [1, 2 et 4]. Soient (𝑎 _𝑗)_{1≤𝑗≤𝑝+𝑞} p+q racines (de multiplicité𝑚 _𝑗 ) des p+2q racines (𝑎 _𝑗)_{1≤𝑗 ≤𝑝+2𝑞} dont (𝑎 _𝑗)_{1≤𝑗 ≤𝑝} sont les p racines réels; et (𝑎 _𝑗)_{𝑝+1≤𝑗≤𝑝+𝑞} q racines complexes parmi les 2q racines complexes dont aucune n’est conjuguée de lui-même ou d’un des autres. On prendra pour cela les (𝑎 _𝑗)_{𝑝+1≤𝑗≤𝑝+𝑞} en sorte qu’elles soient les q racines complexes à partie imaginaires positives ℐ𝑚(𝑎_𝑗) > 0.

𝑓 𝑥 = 𝑑

_𝑛

𝑥

^𝑛

+ 𝑑

_𝑛−1

𝑥

^𝑛−1

+∙∙∙ +𝑑

₀

+

^𝑁(𝑥)_𝐷(𝑥) avec 𝑑^𝑜𝑁 < 𝑑^𝑜𝐷 et 𝑁(𝑥)

𝐷(𝑥) se décomposent en éléments simples de 1^ère et de 2^nde espèces [1 et 4] et on a :

𝑵(𝒙)

𝑫(𝒙)

⁼

^{𝑨𝒋,𝒌}

(𝒙 − 𝒂_𝒋)^𝒌

𝒎_𝒋

𝒌=𝟏 𝒑

𝒋=𝟏

+

^{𝑴𝒋,𝒌𝒙 + 𝑵𝒋,𝒌}

(𝒙^𝟐 − 𝟐𝓡𝐞(𝐚_𝐣) ∙ 𝒙 +∣ 𝒂_𝒋 ∣^𝟐)^𝒌

𝒎_𝒋

𝒌=𝟏 𝒑+𝒒

𝒋=𝒑+𝟏

Les (𝑎 _𝑗)_{𝑝+1≤𝑗≤𝑝+𝑞} sont des racines complexes telles que ℐ𝑚(𝑎_𝑗) > 0: ℛ𝑒(𝑎_𝑗) , ℐ𝑚(𝑎_𝑗) et ∣ 𝑎_𝑗 ∣ sont respectivement les parties réelle et imaginaire puis le module de 𝑎_𝑗. Ainsi la fonction rationnelle f s’exprime :

𝒇 𝒙 = 𝒅_𝒏𝒙^𝒏+ 𝒅_𝒏−𝟏𝒙^𝒏−𝟏+∙∙∙ +𝒅_𝟎+ 𝑨_𝒋,𝒌 (𝒙 − 𝒂_𝒋)^𝒌

𝒎_𝒋

𝒌=𝟏 𝒑

𝒋=𝟏

+ 𝑴_𝒋,𝒌𝒙 + 𝑵_𝒋,𝒌

(𝒙^𝟐− 𝟐𝓡𝐞(𝐚_𝐣) ∙ 𝒙 +∣ 𝒂_𝒋∣^𝟐)^𝒌

𝒎_𝒋

𝒌=𝟏 𝒑+𝒒

𝒋=𝒑+𝟏

𝒅_𝒏𝒙^𝒏 + 𝒅_𝒏−𝟏𝒙^𝒏−𝟏+∙∙∙ +𝒅_𝟎 et 𝑵(𝒙) peuvent être calculé par la division euclidienne de 𝑁₀(𝑥) par 𝐷(𝑥) et en sont respectivement le quotient et le reste.

Mais le calcul des polynômes 𝑑_𝑛𝑥^𝑛 + 𝑑_𝑛−1𝑥^𝑛−1+∙∙∙ +𝑑₀ et 𝑁(𝑥) ne sont pas indispensable pour le calcul des éléments simples des deux types où 𝑁₀(𝑥) peut être utilisé en lieu et place de 𝑁(𝑥) dans les formules qui suivent et on pourra finalement calculer 𝑑_𝑛𝑥^𝑛 + 𝑑_𝑛−1𝑥^𝑛−1 +∙∙∙ +𝑑₀ en faisant:

𝒅_𝒏𝒙^𝒏+ 𝒅_𝒏−𝟏𝒙^𝒏−𝟏+∙∙∙ +𝒅_𝟎= 𝒇 𝒙 − 𝑨_𝒋,𝒌 (𝒙 − 𝒂_𝒋)^𝒌

𝒎_𝒋

𝒌=𝟏 𝒑

𝒋=𝟏

+ 𝑴_𝒋,𝒌𝒙 + 𝑵_𝒋,𝒌 (𝒙^𝟐− 𝟐𝓡𝐞(𝐚_𝐣) ∙ 𝒙 +∣ 𝒂_𝒋∣^𝟐)^𝒌

𝒎_𝒋

𝒌=𝟏 𝒑+𝒒

𝒋=𝒑+𝟏

= 𝒅(𝒙)

On peut aussi avoir les di en utilisant les nœuds ou valeurs constantes particulières ri de x tous différents des aj dans l’égalité précédente et en résolvant un système a n+1 lignes à n+1 inconnus à savoir 𝑑_𝑛, 𝑑_𝑛−1, ∙∙∙ et 𝑑₀ [1].

Cependant les méthodes usuelles de calcul des éléments simples des deux espèces (divisions euclidiennes de toutes sortes, changement de variables, résolution de systèmes linéaires, calcul récursive des éléments d’ordre maximal suivi de leur isolation…) nécessitent parfois de longues gymnastiques parfois lourdes ou inefficaces. Ainsi la nécessité d’une méthode de calcul plus directe et plus rapide s’impose: cette méthode dite ‘

des N-dérivées’

est exposée en détail dans la partie IV.

II. Démonstration des expressions de la méthode des N-dérivées:

La méthode ci-proposée généralise le calcul direct (sans usage de divisions euclidiennes de toutes sortes, ni choix arbitraire de nœuds pour la résolution de système linéaire…) des éléments simples de première espèce et ceux de la seconde et offre une formule de calcul direct des éléments simples. Elle n’exige pour l’obtention de chaque élément Ej,k que le calcul (pour x=aj) de la dérivé d’ordre suivante d’une fonction rationnelle f_j(x) (ou la dérivé 1^ière d’un polynôme Nj,k) qui reste la même pour chaque pôle aj.

fj(x) est la fonction rationnelle f(x) où D(x) est amputé de sont facteur (𝑥 − 𝑎_𝑗)^𝑚𝑗 ou (𝑥² − 2ℛe(a_j) ∙ 𝑥 +∣ 𝑎_𝑗 ∣²)^𝑚𝑗=(𝑥 − 𝑎_𝑗)^𝑚𝑗(𝑥 − 𝑎 )_𝑗 ^𝑚𝑗

𝑓_𝑗 𝑥 = 𝑁 𝑥 𝐷_𝑗 𝑥 où

𝐷_𝑗 𝑥 = (𝑥 − 𝑎_𝑘)^𝑚𝑘

𝑝

𝑘=1𝑘≠𝑗

∙ (𝑥²− 2ℛe(a_𝑘) ∙ 𝑥 +∣ 𝑎_𝑘 ∣²)^𝑚𝑘

𝑝+𝑞

𝑘=𝑝+1 𝑘≠𝑗



Eléments simples de première espèce d’un pôle réel a

j

: (rappels et lemmes) :

D’après la théorie des décompositions en éléments simples, on peut écrire

𝑵(𝒙)

𝑫(𝒙) sous la forme [1, 2 et 4]:

𝑵 𝒙

𝑫 𝒙 = 𝑨_𝒋,𝒌 𝒙 − 𝒂_𝒋 ^𝒌

𝒎𝒋

𝒌=𝟏

+ 𝑨_{𝒋𝒐,𝒌} 𝒙 − 𝒂_𝒋𝒐 ^𝒌

𝒎𝒋

𝒌=𝟏 𝒑

𝒋𝒐=𝟏 𝒋𝒐≠𝒋

+ 𝑴_{𝒋𝒐,𝒌}𝒙 + 𝑵_{𝒋𝒐,𝒌}

𝒙^𝟐− 𝟐𝓡𝐞 𝐚_𝐣𝐨 ∙ 𝒙 +∣ 𝒂_𝒋𝒐 ∣^{𝟐 𝒌}

𝒎𝒋

𝒌=𝟏 𝒑+𝒒

𝒋𝒐=𝒑+𝟏

𝑁 𝑥

𝐷 𝑥 = 𝐴_{𝑗 ,𝑘} 𝑥 − 𝑎_𝑗 ^𝑘

𝑚_𝑗

𝑘=1

+ 𝒈_𝒋(𝒙) 𝑵 𝒙

𝑫 𝒙 = 𝑨_𝒋,𝟏

𝒙 − 𝒂_𝒋 + 𝑨_𝒋,𝟐

𝒙 − 𝒂_𝒋 ^𝟐+ ⋯ + 𝑨_{𝒋,𝒎𝒋}

𝒙 − 𝒂_𝒋 ^𝒎𝒋 + 𝒈_𝒋(𝒙)

𝑜ù 𝑔_𝑗 𝑥 = 𝐴_{𝑗𝑜 ,𝑘} 𝑥 − 𝑎_𝑗𝑜 ^𝑘

𝑚_𝑗

𝑘=1 𝑝

𝑗𝑜 =1 𝑗𝑜 ≠𝑗

+ 𝑀_{𝑗𝑜 ,𝑘}𝑥 + 𝑁_{𝑗𝑜 ,𝑘}

𝑥²− 2ℛe a_jo ∙ 𝑥 +∣ 𝑎_𝑗𝑜 ∣^{2 𝑘}

𝑚_𝑗

𝑘=1 𝑝+𝑞

𝑗𝑜 =𝑝+1

𝒈_𝒋 𝒙 est une fraction rationnelle qui n’admet plus aj comme pôle et y est définie.

𝑁 𝑥

𝐷_𝑗 𝑥 = 𝑁 𝑥

𝐷 𝑥 ∙ 𝑥 − 𝑎_𝑗 ^𝑚𝑗

𝑁 𝑥

𝐷_𝑗 𝑥 =𝐴_𝑗,1 𝑥 − 𝑎_𝑗 ^𝑚𝑗−1+ 𝐴_𝑗,2 𝑥 − 𝑎_𝑗 ^𝑚𝑗−2+ ⋯ + 𝐴_𝑗,𝑘 𝑥 − 𝑎_𝑗 ^{𝑚𝑗−𝑘}+ ⋯ + 𝐴_𝑗,𝑘 𝑥 − 𝑎_𝑗 ^{𝑚𝑗−𝑘}+ ⋯ + 𝐴_𝑗,𝑚

𝑗+ 𝒈_𝒋(𝒙) ∙ 𝑥 − 𝑎_𝑗 ^𝑚𝑗

𝑁 𝑥

𝐷𝑗 𝑥 = 𝐴_{𝑗,𝑘𝑜} 𝑥 − 𝑎_𝑗 ^{𝑚𝑗−𝑘𝑜} 𝑘−1

𝑘𝑜=1

+ 𝐴_𝑗,𝑘 𝑥 − 𝑎_𝑗 ^{𝑚𝑗−𝑘}+ 𝐴_𝑗,𝑘 𝑥 − 𝑎_𝑗 ^{𝑚𝑗−𝑘}+ 𝐴_{𝑗,𝑘𝑜} 𝑥 − 𝑎_𝑗 ^{𝑚𝑗−𝑘𝑜}

𝑚𝑗

𝑘𝑜=𝑘+1

+𝒈_𝒋(𝒙) ∙ 𝑥 − 𝑎_𝑗 ^𝑚𝑗

On dérive (𝑚_𝑗 − 𝑘) fois de part et d’autre et on remplace 𝑥 par 𝑎_𝑗:

𝑁 𝑥 𝐷_𝑗 𝑥

(𝑚_𝑗−𝑘)

= 𝐴_{𝑗,𝑘𝑜} 𝑥 − 𝑎_𝑗 ^{𝑚𝑗−𝑘𝑜} 𝑘−1

𝑘𝑜=1

+ 𝐴_𝑗,𝑘 𝑥 − 𝑎_𝑗 ^{𝑚𝑗−𝑘}+ 𝐴_𝑗,𝑘 𝑥 − 𝑎_𝑗 ^{𝑚𝑗−𝑘}+ 𝐴_{𝑗,𝑘𝑜} 𝑥 − 𝑎_𝑗 ^{𝑚𝑗−𝑘𝑜}

𝑚𝑗

𝑘𝑜=𝑘+1

+𝒈_𝒋(𝒙) ∙ 𝑥 − 𝑎_𝑗 ^𝑚𝑗 (𝑚_𝑗−𝑘)

 Lemmes:

Soit m, k et k0 des entiers naturels non nuls on montre aisément que:

𝐴_{𝑗,𝑘𝑜} ∙ 𝑥 − 𝑎_𝑗 ^{𝑚 −𝑘𝑜 (𝑚−𝑘)}

= 𝐴_{𝑗 ,𝑘𝑜} ∙ 𝑚 − 𝑘𝑜 ∙ 𝑚 − 𝑘𝑜 − 1 … (𝑘 − 𝑘𝑜 + 1) ∙ 𝑥 − 𝑎_𝑗 ^{𝑘−𝑘𝑜}

 Lemme (1): si 𝑘𝑜 < 𝑘 alors on a 𝑚 − 𝑘𝑜 > 𝑚 − 𝑘.

D’où pour 𝒙 = 𝒂_𝒋, 𝑨_{𝒋,𝒌𝒐}∙ 𝒙 − 𝒂_𝒋 ^{𝒎−𝒌𝒐 (𝒎−𝒌)} = 𝑨_{𝒋,𝒌𝒐}∙ 𝒙 − 𝒂_𝒋 ^{𝒎−𝒌𝒐}

𝒂_𝒋 (𝒎_𝒋−𝒌)

= 𝟎 𝐜𝐚𝐫 (𝒂_𝒋− 𝒂_𝒋)^{𝒌−𝒌𝒐}= 𝟎.

 Lemme (2):si 𝑘𝑜 > 𝑘 alors on a 𝑘 − 𝑘𝑜 < 0, 𝑘 − 𝑘𝑜 ≤ −1: 𝑘 − 𝑘𝑜 + 1 ≤ 0 ≤ 𝑚 − 𝑘𝑜 < 𝑚 − 𝑘

D’où pour 𝒙 = 𝒂_𝒋, 𝑨_{𝒋,𝒌𝒐}∙ 𝒙 − 𝒂_𝒋 ^{𝒎−𝒌𝒐 (𝒎−𝒌)} = 𝑨_{𝒋,𝒌𝒐}∙ 𝒙 − 𝒂_𝒋 ^{𝒎−𝒌𝒐}

𝒂_𝒋 (𝒎−𝒌)

= 𝟎 car

𝑚 − 𝑘𝑜 ∙ 𝑚 − 𝑘𝑜 − 1 … ∙ 𝑘 − 𝑘𝑜 + 1 = 0 .

 Lemme (3):si 𝑘 ≥ 1, 𝑚 − 𝑘 < 𝑚 alors on a

𝒈_𝒋(𝒙) ∙ 𝒙 − 𝒂_𝒋 ^𝒎

𝒂_𝒋

𝒎−𝒌 = ^𝒎−𝒌_𝒏=𝟎 𝒙 − 𝒂_𝒋 ^{𝒎 𝒏} 𝒈_𝒋(𝒙) ^{(𝒎−𝒌−𝒏)}

𝒂_𝒋

= 𝟎 en vertu du lemme(1) car 𝑚 > 𝑚 − 𝑘 ≥ 𝑛.

 Lemme (4):si 𝑘 ≥ 𝑚, alors on a:

𝒈_𝒋 𝒙 ∙ 𝒙 − 𝒂_𝒋 ^𝒎 _𝒂

𝒋

𝒌 = 𝒙 − 𝒂_𝒋 ^{𝒎 𝒏} 𝒈_𝒋 𝒙 ^𝒌−𝒏

𝒌

𝒏=𝟎 𝒂_𝒋

𝒈_𝒋(𝒙) ∙ 𝒙 − 𝒂_𝒋 ^𝒎

𝒂_𝒋

(𝒌) = 𝒎! ∙ 𝑪_𝒌^𝒎∙ 𝒈_𝒋(𝒙)

𝒂_𝒋 (𝒌−𝒎)

, en effet

𝒈𝒋(𝒙) ∙ 𝑥 − 𝑎𝑗 𝑚 𝑎𝑗

(𝑘)= 𝐶_𝑘^𝑛 𝑥 − 𝑎𝑗 𝑚 (𝑛)

𝒈𝒋(𝒙) ^{(𝑘−𝑛)}

𝑚−1

𝑛=0 𝑎𝑗

+ 𝐶_𝑘^𝑚 𝑥 − 𝑎𝑗 𝑚 (𝑚)

𝒈𝒋(𝒙) ^{(𝑘−𝑚)}

𝑎𝑗

+ 𝐶_𝑘^𝑛 𝑥 − 𝑎𝑗 𝑚 (𝑛)

𝒈𝒋(𝒙) ^{(𝑘−𝑛)}

𝑘

𝑛=𝑚+1 𝑎𝑗

 Rappel et généralisation:

La première et la dernière sommes sont nulles respectivement en vertu des lemmes (1) et (2) donc on a: ^𝒈𝒋(𝒙) ∙ 𝑥 − 𝑎𝑗 𝑚_𝑗

𝑎_𝑗

(𝑘)= 𝑚𝑗! ∙ 𝐶_𝑘^𝑚𝑗 𝒈𝒋(𝒙) ^{(𝑘−𝑚𝑗)}

𝑎_𝑗. En vertu des lemmes (1), (2) et (3):

𝑁 𝑥 𝐷𝑗 𝑥

𝑎_𝑗 𝑚_𝑗−𝑘

= 0 + 𝐴𝑗 ,𝑘 𝑚_𝑗− 𝑘 ! + 0 = 𝐴𝑗 ,𝑘∙ 𝑚𝑗 − 𝑘 !

et on a

Cette expression est aussi valable pour les

pôle

s complexes prise isolémént sans leur conjuguée. Mais le calcul litéral de la suite des polynômes 𝑁_{𝑗 ,𝑘} s’effectue donc sur ℂ, ce qui peut rendre les calculs plus complexes.

𝑨_𝒋,𝒌 = 𝟏 𝒎_𝒋− 𝒌 !

𝑵 𝒙 𝑫_𝒋 𝒙 _𝒂

𝒋 (𝒎𝒋−𝒌)



Eléments simples de seconde espèce pour un pôle non réel (complexe

^𝒂_𝒋

):

En isolant les éléments simples du pôle 𝒂_𝒋 on peut écrire ^𝑵(𝒙)

𝑫(𝒙) sous la forme de:

𝑁 𝑥

𝐷 𝑥 = 𝑴_𝒋,𝒌𝒙 + 𝑵_𝒋,𝒌

𝒙^𝟐− 𝟐𝓡𝐞(𝐚_𝐣) ∙ 𝒙 +∣ 𝒂_𝒋∣^{𝟐 𝒌}

𝒎_𝒋

𝒌=𝟏

+ 𝑨_{𝒋𝒐,𝒌} 𝒙 − 𝒂_𝒋𝒐 ^𝒌

𝒎_𝒋

𝒌=𝟏 𝒑

𝒋𝒐=𝟏

+ 𝑴_{𝒋𝒐,𝒌}𝒙 + 𝑵_{𝒋𝒐,𝒌}

𝒙^𝟐− 𝟐𝓡𝐞(𝐚_𝐣𝐨) ∙ 𝒙 +∣ 𝒂_𝒋𝒐 ∣^{𝟐 𝒌}

𝒎_𝒋

𝒌=𝟏 𝒑+𝒒

𝒋𝒐=𝒑+𝟏 𝒋𝒐≠𝒋

𝑁 𝑥

𝐷 𝑥 = 𝑴_𝒋,𝒌𝒙 + 𝑵_𝒋,𝒌

𝒙^𝟐− 𝟐𝓡𝐞(𝐚_𝐣) ∙ 𝒙 +∣ 𝒂_𝒋 ∣^{𝟐 𝒌}

𝒎𝒋

𝒌=𝟏

+ 𝒈_𝒋(𝒙) 𝑵 𝒙

𝑫 𝒙 = 𝑴_𝒋,𝟏𝒙 + 𝑵_𝒋,𝟏

𝒙^𝟐− 𝟐𝓡𝐞(𝐚_𝐣) ∙ 𝒙 +∣ 𝒂_𝒋 ∣^𝟐 + 𝑴_𝒋,𝟐𝒙 + 𝑵_𝒋,𝟐

𝒙^𝟐− 𝟐𝓡𝐞(𝐚_𝐣) ∙ 𝒙 +∣ 𝒂_𝒋 ∣^{𝟐 𝟐}+ ⋯ + 𝑴_{𝒋,𝒎𝒋}𝒙 + 𝑵_{𝒋,𝒎𝒋}

𝒙^𝟐− 𝟐𝓡𝐞(𝐚_𝐣) ∙ 𝒙 +∣ 𝒂_𝒋 ∣^{𝟐 𝒎𝒋} + 𝒈_𝒋(𝒙)

𝑜ù 𝑔_𝑗 𝑥 = 𝐴_{𝑗𝑜 ,𝑘} 𝑥 − 𝑎_𝑗𝑜 ^𝑘

𝑚_𝑗

𝑘=1 𝑝

𝑗𝑜=1

+ 𝑀_{𝑗𝑜 ,𝑘}𝑥 + 𝑁_{𝑗𝑜 ,𝑘}

𝑥²− 2𝓡𝐞(𝐚_𝐣𝐨) ∙ 𝑥 +∣ 𝑎_𝑗𝑜 ∣^{2 𝑘}

𝑚_𝑗

𝑘=1 𝑝+𝑞

𝑗𝑜 =𝑝+1 𝑗𝑜 ≠𝑗

𝒈_𝒋 𝒙 est une fraction rationnelle qui n’admet plus aj comme pôle et y est défini.

𝑁 𝑥

𝐷_𝑗 𝑥 =𝑁 𝑥

𝐷 𝑥 ∙ 𝑥²− 2ℛe a_jo ∙ 𝑥 +∣ 𝑎_𝑗𝑜 ∣^{2 𝑚𝑗} = 𝑁 𝑥

𝐷 𝑥 ∙ (𝑥 − 𝑎 )_𝑗 ^𝑚𝑗(𝑥 − 𝑎_𝑗)^𝑚𝑗 𝑵 𝒙

𝐷_𝑗 𝑥 = 𝑴_𝒋,𝟏𝒙 + 𝑵_𝒋,𝟏 ∙ 𝒙^𝟐− 𝟐𝓡𝐞 𝐚_𝐣 ∙ 𝒙 +∣ 𝒂_𝒋∣^{𝟐 𝑚𝑗−𝟏}+ 𝑴_𝒋,𝟐𝒙 + 𝑵_𝒋,𝟐 ∙ 𝒙^𝟐− 𝟐𝓡𝐞 𝐚_𝐣 ∙ 𝒙 +∣ 𝒂_𝒋∣^{𝟐 𝑚𝑗−𝟐}+ ⋯ + 𝑴_𝒋,𝒌𝒙 + 𝑵_𝒋,𝒌

∙ 𝒙^𝟐− 𝟐𝓡𝐞 𝐚_𝐣 ∙ 𝒙 +∣ 𝒂_𝒋∣^{𝟐 𝑚𝑗−𝒌}+ ⋯ + 𝑴_{𝒋,𝒌+𝒏}𝒙 + 𝑵_{𝒋,𝒌+𝒏} ∙ 𝒙^𝟐− 𝟐𝓡𝐞 𝐚_𝐣 ∙ 𝒙 +∣ 𝒂_𝒋∣^{𝟐 𝑚𝑗−𝒌−𝒏}+ ⋯ + (𝑴_{𝒋,𝑚𝑗}𝒙 + 𝑵_{𝒋,𝑚𝑗}) + 𝒈_𝒋(𝒙)

𝑵 𝒙

𝐷_𝑗 𝑥 = 𝑴_𝒋,𝟏𝒙 + 𝑵_𝒋,𝟏 ∙ 𝒙 − 𝒂 _𝒋 ^{𝑚𝑗−𝟏} 𝒙 − 𝒂_𝒋 ^{𝑚𝑗−𝟏}+ 𝑴_𝒋,𝟐𝒙 + 𝑵_𝒋,𝟐 ∙ 𝒙 − 𝒂 _𝒋 ^{𝑚𝑗−𝟐} 𝒙 − 𝒂_𝒋 ^{𝑚𝑗−𝟐}+ ⋯ + 𝑴_𝒋,𝒌𝒙 + 𝑵_𝒋,𝒌

∙ 𝒙 − 𝒂 _𝒋 ^{𝑚𝑗−𝒌} 𝒙 − 𝒂_𝒋 ^{𝑚𝑗−𝒌}+ ⋯ + 𝑴_{𝒋,𝒌+𝒏}𝒙 + 𝑵_{𝒋,𝒌+𝒏} ∙ 𝒙 − 𝒂 _𝒋 ^{𝑚𝑗−𝒌−𝒏} 𝒙 − 𝒂_𝒋 ^{𝑚𝑗−𝒌−𝒏}+ ⋯ + (𝑴_{𝒋,𝑚𝑗}𝒙 + 𝑵_{𝒋,𝑚𝑗}) + 𝒈_𝒋(𝒙)

∙ 𝒙 − 𝒂 _𝒋 ^𝑚𝑗 𝒙 − 𝒂_𝒋 ^𝑚𝑗

𝑁 𝑥

𝐷𝑗 𝑥 = 𝑴_{𝒋,𝒌𝒐}𝒙 + 𝑵_{𝒋,𝒌𝒐} ∙ 𝒙 − 𝒂 _𝒋 ^{𝑚𝑗−𝒌𝒐} 𝒙 − 𝒂_𝒋 ^{𝑚𝑗−𝒌𝒐} 𝑘−1

𝑘𝑜=1

+ 𝑴_𝒋,𝒌𝒙 + 𝑵_𝒋,𝒌 ∙ 𝒙 − 𝒂 _𝒋 ^{𝑚𝑗−𝒌} 𝒙 − 𝒂_𝒋 ^{𝑚𝑗−𝒌}+ 𝑴_{𝒋,𝒌𝒐}𝒙 + 𝑵_{𝒋,𝒌𝒐} ∙ 𝒙 − 𝒂 _𝒋 ^{𝑚𝑗−𝒌𝒐} 𝒙 − 𝒂_𝒋 ^{𝑚𝑗−𝒌𝒐}

𝑚𝑗

𝑘𝑜=𝑘+1

+𝒈_𝒋(𝒙) ∙ 𝒙 − 𝒂 _𝒋 ^𝑚𝑗 𝒙 − 𝒂_𝒋 ^𝑚𝑗

On dérive (𝒎_𝒋− 𝒌) fois de part et d’autre et on obtient puis on remplace 𝒙 par 𝒂_𝒋:

𝑵 𝒙 𝑫_𝒋 𝒙

𝒂_𝒋 (𝒎_𝒋−𝒌)

= 𝑴_{𝒋,𝒌𝒐}𝒙 + 𝑵_{𝒋,𝒌𝒐} ∙ 𝒙 − 𝒂 _𝒋 ^{𝒎𝒋−𝒌𝒐} 𝒙 − 𝒂_𝒋 ^{𝒎𝒋−𝒌𝒐}

𝒂_𝒋 (𝒎_𝒋−𝒌) 𝒌−𝟏

𝒌𝒐=𝟏

+ 𝑀_𝑗,𝑘𝑥 + 𝑁_𝑗,𝑘 ∙ 𝑥 − 𝑎 _𝑗 ^{𝑚𝑗−𝑘} 𝒙 − 𝒂_𝒋 ^{𝒎𝒋−𝒌}

𝒂_𝒋 (𝒎_𝒋−𝒌)

+ 𝑀_{𝑗,𝑘+𝑛}𝑥 + 𝑁_{𝑗,𝑘+𝑛} ∙ 𝑥 − 𝑎 _𝑗 ^{𝑚𝑗−𝑘−𝑛} 𝒙 − 𝒂_𝒋 ^{𝒎𝒋−𝒌−𝒏}

𝒂_𝒋 (𝒎_𝒋−𝒌) 𝒎_𝒋−𝒌

𝒏=𝟏

+ 𝒈_𝒋(𝒙) ∙ 𝒙 − 𝒂 _𝒋 ^𝒎𝒋 𝒙 − 𝒂_𝒋 ^𝒎𝒋

𝒂_𝒋 (𝒎_𝒋−𝒌)

En vertu du lemme (3) pour la première somme et le dernier terme simple, et du lemme (4) pour le premier terme simple et la deuxième somme. Il faut aussi remarquer le changement de variable 𝒏 = 𝒌𝒐 − 𝑘:

𝑁 𝑥 𝐷_𝑗 𝑥

𝒂_𝒋 (𝑚_𝑗−𝒌)

= 0 + 𝑚_𝑗− 𝒌 ! ∙ 𝑴_𝒋,𝒌𝒂_𝒋+ 𝑵_𝒋,𝒌 ∙ 𝒂_𝒋− 𝒂 _𝒋 ^{𝑚𝑗−𝒌}+ 𝑴_{𝒋,𝒌+𝒏}𝒙 + 𝑵_{𝒋,𝒌+𝒏} ∙ 𝒙 − 𝒂 _𝒋 ^{𝑚𝑗−𝒌−𝒏}

𝒂_𝒋 (𝑛)

𝑚_𝑗− 𝒌 − 𝒏 ! 𝐶_𝑚

𝑗−𝒌 𝑚_𝑗−𝒌−𝒏 𝑚_𝑗−𝑘

𝑛=1

+ 0

𝑁 𝑥 𝐷_𝑗 𝑥

𝒂𝒋 𝑚_𝑗−𝒌

= 𝑚_𝑗− 𝒌 ! ∙ 𝑴_𝒋,𝒌𝒂_𝒋+ 𝑵_𝒋,𝒌 ∙ 𝒂_𝒋− 𝒂 _𝒋 ^{𝑚𝑗−𝒌}+ 𝑚_𝑗− 𝒌 − 𝒏 ! 𝐶_𝑚^𝒏_𝑗−𝒌∙ 𝑪_𝒏^𝟎 𝑴_{𝒋,𝒌+𝒏}𝒂_𝒋+ 𝑵_{𝒋,𝒌+𝒏} ∙ 𝒙 − 𝒂 _𝒋 ^{𝑚𝑗−𝒌−𝒏}

𝒂_𝒋 (𝒏)

+ 𝑪_𝒏^𝟏𝑴_{𝒋,𝒌+𝒏}∙ 𝒙 − 𝒂 _𝒋 ^{𝑚𝑗−𝒌−𝒏}

𝒂_𝒋 (𝒏−𝟏)

+ 𝟎 + ⋯

𝑚_𝑗−𝑘

𝑛=1

𝑁 𝑥 𝐷𝑗 𝑥 _𝒂

𝒋 𝑚𝑗−𝒌

= 𝑚_𝑗− 𝒌 ! ∙ 𝑴_𝒋,𝒌𝒂_𝒋+ 𝑵_𝒋,𝒌 ∙ 𝒂_𝒋− 𝒂 _𝒋 ^{𝑚𝑗−𝒌}

+ 𝑚_𝑗− 𝒌 − 𝒏 ! 𝐶_𝑚^𝒏_𝑗−𝒌∙ 𝑴_{𝒋,𝒌+𝒏}𝒂_𝒋+ 𝑵_{𝒋,𝒌+𝒏} ∙ 𝑚_𝑗− 𝒌 − 𝒏 ∙ … ∙ (𝑚_𝑗− 𝒌 − 𝟐𝒏 + 𝟐) ∙ (𝑚_𝑗− 𝒌 − 𝟐𝒏 + 𝟏) 𝒂_𝒋− 𝒂 _𝒋 ^{𝑚𝑗−𝒌−𝟐𝒏}+ 𝒏 ∙ 𝑴_{𝒋,𝒌+𝒏}∙ 𝑚_𝑗− 𝒌 − 𝒏 ∙ … ∙ (𝑚_𝑗− 𝒌 − 𝟐𝒏 + 𝟐) 𝒂_𝒋− 𝒂 _𝒋^{𝑚𝑗−𝒌−𝟐𝒏+𝟏}

𝑚𝑗−𝑘+1 2 𝑛=1

𝑁 𝑥 𝐷𝑗 𝑥 _𝒂

𝒋 𝑚_𝑗−𝒌

= 𝑚𝑗 − 𝒌 ! ∙ 𝑴𝒋,𝒌𝒂𝒋+ 𝑵𝒋,𝒌 ∙ 𝒂𝒋− 𝒂 𝒋 ^{𝑚𝑗−𝒌}

+ 𝑚_𝑗− 𝒌 − 𝒏 ! 𝑚 − 𝑘 !

𝑚_𝑗 − 𝒌 − 𝒏 ! 𝑛 !∙ 𝑚_𝑗− 𝒌 − 𝒏 ∙ … ∙ (𝑚_𝑗 − 𝒌 − 𝟐𝒏 + 𝟐) 𝒂_𝒋− 𝒂 _𝒋 ^{𝑚𝑗−𝒌−𝟐𝒏} 𝑴_{𝒋,𝒌+𝒏}𝒂_𝒋+ 𝑵_{𝒋,𝒌+𝒏} (𝑚_𝑗− 𝒌 − 𝟐𝒏 + 𝟏) + 𝒏 ∙ 𝑴_{𝒋,𝒌+𝒏}∙ 𝒂_𝒋− 𝒂 _𝒋

𝑚_𝑗−𝑘+1 2

𝑛=1

𝑁 𝑥 𝐷_𝑗 𝑥

𝒂_𝒋 𝑚_𝑗−𝒌

= 𝑚_𝑗 − 𝒌 ! ∙ 𝑴_𝒋,𝒌𝒂_𝒋+ 𝑵_𝒋,𝒌 ∙ 𝒂_𝒋− 𝒂 _𝒋 ^{𝑚𝑗−𝒌}

+ 𝑚𝑗− 𝒌 − 𝒏 ! 𝑚 − 𝑘 !

𝑚_𝑗 − 𝒌 − 𝒏 ! 𝑛 !∙ 𝑚_𝑗 − 𝒌 − 𝒏 !

𝑚_𝑗− 𝒌 − 𝟐𝒏 + 𝟏 !∙ 𝒂𝒋− 𝒂 𝒋 ^{𝑚𝑗−𝒌−𝟐𝒏} 𝑴_{𝒋,𝒌+𝒏}𝒂𝒋+ 𝑵𝒋,𝒌+𝒏 (𝑚_𝑗− 𝒌 − 𝟐𝒏 + 𝟏) + 𝒏 ∙ 𝑴𝒋,𝒌+𝒏∙ 𝒂𝒋− 𝒂 𝒋 𝑚_𝑗−𝑘+1

2

𝑛=1

On désignera par 𝐶_𝑗,𝑘 l^′expression 𝑴_𝒋,𝒌𝒂_𝒋+ 𝑵_𝒋,𝒌 pour 𝒌 = 𝑚_𝑗, 𝑚_𝑗 − 1, … 2, 1.

𝑁 𝑥 𝐷𝑗 𝑥

𝒂_𝒋 𝑚_𝑗−𝒌

= 𝑚𝑗− 𝒌 ! ∙ 𝐶𝑗 ,𝑘∙ 𝟐𝒊ℐ𝑚(𝑎𝑗) ^{𝑚𝑗−𝒌}+ 𝑚 − 𝑘 ! ∙ 𝑚_𝑗− 𝒌 − 𝒏 !

𝑛 ! ∙ 𝑚_𝑗− 𝒌 − 𝟐𝒏 + 𝟏 !∙ 𝟐𝒊ℐ𝑚(𝑎𝑗) ^{𝑚𝑗−𝒌−𝟐𝒏} (𝑚_𝑗− 𝑘 − 2𝑛 + 1) ∙ 𝐶𝑗 ,𝑘+𝑛+ 𝒏 ∙ 𝑴𝒋,𝒌+𝒏∙ 𝟐𝒊ℐ𝑚(𝑎𝑗)

𝑚_𝑗−𝑘+1 2

𝑛=1

Ainsi on a : 𝐶_{𝑗 ,𝑘} = ¹

𝑚_𝑗−𝒌 !∙ 𝟐𝒊ℐ𝑚 (𝑎_𝑗) ^{𝑚 𝑗 −𝒌} 𝑁 𝑥 𝐷_𝑗 𝑥 𝒂_𝒋

𝑚_𝑗−𝒌

− ^{𝑚𝑗−𝒌−𝒏 !}

𝟐𝒊ℐ𝑚 (𝑎_𝑗) ^2𝑛 𝑛 !∙ 𝑚_𝑗−𝒌−𝟐𝒏+𝟏 !∙∙ (𝑚_𝑗− 𝑘 − 2𝑛 + 1) ∙ 𝐶_{𝑗 ,𝑘+𝑛}+ 𝒏 ∙ 𝑴_{𝒋,𝒌+𝒏}∙ 𝟐𝒊ℐ𝑚(𝑎_𝑗)

𝑚 𝑗 −𝑘+1 𝑛=12

𝐶 = 1

. 1 𝑁 𝑥 ^{𝑚𝑗−𝒌}

− 𝑚𝑗− 𝒌 − 𝒏 + 𝟏 !

∙ (𝑚 − 𝑘 − 2𝑛 + 1) ∙ 𝐶 + 𝟐𝒏𝒊ℐ𝑚(𝑎) ∙ 𝑴 ∙

𝑚_𝑗−𝑘+1 2

𝐶_{𝑗 ,𝑘} = 1

𝑚_𝑗 − 𝒌 ! ∙ 𝟐𝒊ℐ𝑚(𝑎_𝑗) ^{𝑚𝑗−𝒌} 𝑁 𝑥 𝐷_𝑗 𝑥

𝒂_𝒋 𝑚_𝑗−𝒌

− 𝐶_𝑚^𝒏_{𝑗−𝒌+𝟏−𝒏}

𝟐𝒊ℐ𝑚(𝑎_𝑗) ^2𝑛 𝑚_𝑗− 𝒌 + 𝟏 − 𝒏 ∙ (𝑚_𝑗− 𝑘 − 2𝑛 + 1) ∙ 𝐶_{𝑗 ,𝑘+𝑛}+ 𝟐𝒊𝒏ℐ𝑚(𝑎_𝑗) ∙ 𝑴_{𝒋,𝒌+𝒏}∙

𝑚_𝑗−𝑘+1 2

𝑛=1

Or on a: 𝐶_{𝑗 ,𝑘} = 𝑴_𝒋,𝒌𝒂_𝒋+ 𝑵_𝒋,𝒌 = 𝑴_𝒋,𝒌 ℛe a_j ∙ +𝒊ℐ𝑚 𝑎_𝑗 + 𝑵_𝒋,𝒌 = 𝑴_𝒋,𝒌ℛe a_j + 𝑵_𝒋,𝒌 + 𝒊 ∙ 𝑴_𝒋,𝒌ℐ𝑚 𝑎_𝑗 d’où ℐ𝑚 𝐶_{𝑗 ,𝑘} = 𝑴_𝒋,𝒌ℐ𝑚 𝑎_𝑗 et 𝑴_𝒋,𝒌 = ^{ℐ𝑚 𝐶}_{ℐ𝑚 𝑎}^{𝑗 ,𝑘}

𝑗 ; puis ℛe 𝐶_{𝑗 ,𝑘} = 𝑴_𝒋,𝒌ℛe a_j + 𝑵_𝒋,𝒌 𝐝^′𝐨ù 𝑵_𝒋,𝒌 = ℛe 𝐶_{𝑗 ,𝑘} − 𝑴_𝒋,𝒌ℛe a_j = ℛe 𝐶_{𝑗 ,𝑘} −^{ℐ𝑚 𝐶𝑗 ,𝑘}

ℐ𝑚 𝑎_𝑗 ℛe a_j 𝑵_𝒋,𝒌 = ℛe 𝐶_{𝑗 ,𝑘} ∙ ℐ𝑚 𝑎_𝑗 − ℛe a_j ∙ ℐ𝑚 𝐶_{𝑗 ,𝑘}

ℐ𝑚 𝑎_𝑗 =ℐ𝑚 𝐶 ∙_𝑗,𝑘 ^𝒂𝒋

ℐ𝑚 𝑎_𝑗

𝑪_𝒋,𝒌 = 𝟏

𝒎_𝒋− 𝒌 ! ∙ 𝟐𝒊𝓘𝒎(𝒂_𝒋) ^{𝒎𝒋−𝒌}

𝑵 𝒙 𝑫_𝒋 𝒙

𝒂𝒋 𝒎𝒋−𝒌

− 𝐶_𝑚^𝒏_{𝑗−𝒌+𝟏−𝒏}

𝟐𝒊ℐ𝑚(𝑎_𝑗) ^2𝑛 𝑚_𝑗 − 𝒌 + 𝟏 − 𝒏 ∙ (𝒎_𝒋− 𝒌 − 𝟐𝒏 + 𝟏) ∙ 𝑪_{𝒋,𝒌+𝒏}+ 𝟐𝒊𝒏𝓘𝒎(𝑪_{𝒋,𝒌+𝒏})

𝒎_𝒋−𝒌+𝟏 𝟐

𝒏=𝟏

En somme: pour 𝒌 = 𝒎_𝒋, 𝒎_𝒋− 𝟏 , 𝒎_𝒋− 𝟐 , … , 𝟐, 𝟏;

et on a: 𝑴_𝒋,𝒌 = ^{𝓘𝒎 𝑪𝒋,𝒌}

𝓘𝒎 𝒂_𝒋 𝒆𝒕 𝑵_𝒋,𝒌 = 𝓡𝐞 𝑪_𝒋,𝒌 − 𝓡𝐞 𝐚_𝐣 ∙ 𝑴_𝒋,𝒌

𝑪_𝒋,𝒌 = 𝟏

𝒎_𝒋− 𝒌 ! ∙ 𝟐𝒊𝓘𝒎(𝒂_𝒋) ^{𝒎𝒋−𝒌} 𝑵 𝒙 𝑫_𝒋 𝒙 _𝒂

𝒋 𝒎_𝒋−𝒌

− 𝑪_𝒎^𝒏_{𝒋−𝒌+𝟏−𝒏}∙ 𝒎_𝒋− 𝒌 + 𝟏 − 𝟐𝒏 ∙ 𝑪_{𝒋,𝒌+𝒏}+ 𝟐𝒊𝒏 ∙ 𝓘𝒎(𝑪_{𝒋,𝒌+𝒏}) 𝟐𝒊ℐ𝑚(𝑎_𝑗) ^2𝑛 𝒎_𝒋− 𝒌 + 𝟏 − 𝒏

𝒎_𝒋−𝒌+𝟏 𝟐

𝒏=𝟏

 Résumé: formules de calcul direct:

𝑓 𝑥 = ^𝑁0(𝑥)

𝐷(𝑥) = 𝑑_𝑛𝑥^𝑛 + 𝑑_𝑛−1𝑥^𝑛−1 +∙∙∙ +𝑑₀ +^𝑵(𝒙)

𝑫(𝒙) avec 𝑑^𝑜𝑁 < 𝑑^𝑜𝐷.

𝒅_𝒏𝒙^𝒏 + 𝒅_𝒏−𝟏𝒙^𝒏−𝟏+∙∙∙ +𝒅_𝟎

et

𝑵 𝒙 sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne du polynôme 𝑁₀(𝑥) par le polynôme 𝐷(𝑥)

.

(𝑎 _𝑗)_{1≤𝑗 ≤𝑝+2𝑞} sont toutes les p+2q racines de 𝐷 𝑥 chacune de multiplicité 𝑚_𝑗. (𝑎 _𝑗)_{1≤𝑗 ≤𝑝} sont les p racines réelles de 𝐷 𝑥 ou pôles réelles de f.

(𝑎 _𝑗)_{𝑝+1≤𝑗 ≤𝑝+𝑞} :q racines des 2q pôles complexes restants) avec ℐ𝑚 𝑎_𝑗 > 0.

𝑓 𝑥 = 𝑑_𝑛𝑥^𝑛 + 𝑑_𝑛−1𝑥^𝑛−1+∙∙∙ +𝑑₀+ 𝐴_{𝑗 ,𝑘} (𝑥 − 𝑎_𝑗)^𝑘

𝑚_𝑗

𝑘=1 𝑝

𝑗 =1

+ 𝐴_{𝑗 ,𝑘}𝑥 + 𝐵_{𝑗 ,𝑘}

(𝑥²− 2ℛe(a_j) ∙ 𝑥 +∣ 𝑎_𝑗 ∣²)^𝑘

𝑚_𝑗

𝑘=1 𝑝+𝑞

𝑗 =𝑝+1

:

𝑵(𝒙)

𝑫(𝒙)

⁼

^{𝑨𝒋,𝒌}

(𝒙 − 𝒂_𝒋)^𝒌

𝒎_𝒋

𝒌=𝟏 𝒑

𝒋=𝟏

+

^{𝑨𝒋,𝒌𝒙 + 𝑩𝒋,𝒌}

(𝒙^𝟐− 𝟐𝓡𝐞(𝐚_𝐣) ∙ 𝒙 +∣ 𝒂_𝒋 ∣^𝟐)^𝒌

𝒎_𝒋

𝒌=𝟏 𝒑+𝒒

𝒋=𝒑+𝟏

où

Pour 𝒋 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒑, 𝒑 + 𝟏, 𝒑 + 𝟐, … , 𝒑 + 𝒒 et pour 𝒌 = 𝒎_𝒋, 𝒎_𝒋 − 𝟏 , … 𝟐, 𝟏

 Si 𝒂_𝒋 ∈ ℝ soit 1 ≤ 𝒋 ≤ 𝒑:

𝑨_𝒋,𝒌 = ^𝟏

𝒎_𝒋−𝒌 ! 𝑵 𝒙 𝑫_𝒋 𝒙

𝒂_𝒋 𝒎_𝒋−𝒌

 Si 𝒂_𝒋 ∈ ℂ avec 𝓘𝒎 𝒂_𝒋 > 0 soit 𝒑 + 1 ≤ 𝒋 ≤ 𝒑 + 𝒒:

𝑪_𝒋,𝒌= 𝟏

𝒎_𝒋− 𝒌 ! ∙ 𝟐𝒊𝓘𝒎(𝒂_𝒋) ^{𝒎𝒋−𝒌} 𝑵 𝒙 𝑫_𝒋 𝒙 _𝒂

𝒋 𝒎_𝒋−𝒌

− 𝑪_𝒎^𝒏_{𝒋−𝒌+𝟏−𝒏}∙ 𝒎_𝒋− 𝒌 + 𝟏 − 𝟐𝒏 ∙ 𝑪_{𝒋,𝒌+𝒏}+ 𝟐𝒊𝒏 ∙ 𝓘𝒎(𝑪_{𝒋,𝒌+𝒏}) 𝟐𝒊𝓘𝒎(𝒂_𝒋) ^𝟐𝒏 𝒎_𝒋− 𝒌 + 𝟏 − 𝒏

𝒎_𝒋−𝒌+𝟏 𝟐

𝒏=𝟏

Et on obtient: 𝑨_𝒋,𝒌 =^{𝓘𝒎 𝑪𝒋,𝒌}

𝓘𝒎 𝒂_𝒋 𝒆𝒕 𝑩_𝒋,𝒌 = 𝓡𝒆 𝑪_𝒋,𝒌 − 𝓡𝒆 𝒂_𝒋 ∙ 𝑨_𝒋,𝒌

 Méthode hybride